2015年广州一模数学（文科）试题（含标准答案）

试卷类型：A

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）

2015.3 本试卷共4页，21小题， 满分150分．考试用时120分钟. 注意事项：

1．答卷前，考生务必用2B铅笔在“考生号”处填涂考生号。用黑色字迹钢笔或签字笔

将自己所在的市、县/区、学校以及自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区

域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题题号对应的信息点，再作答。漏涂、错涂、

多涂的，答案无效。 5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 参考公式：锥体的体积公式V?1Sh，其中S是锥体的底面积，h是锥体的高． 3一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知全集U??1,2,3,4,5?, 集合M??3,4,5?,N??1,2,5?, 则集合?1,2?可以表示为 A．MN B．(eUM)N C．M(e(UN) UN) D．(痧UM)2．已知向量a=?3,4?，若

A．

?a?5，则实数?的值为

11 B．1 C．? D．?1 553. 若某市8所中学参加中学生合唱比赛的得分用茎叶图表示（如图1），其中茎为十位数，

叶为个位数，则这组数据的中位数是 A. 91 B. 91.5 C. 92 D. 92.5

8879174203图14．已知i为虚数单位，复数z?a?bi?a,b?R?的虚部b记作Im?z?，则Im?A．?

1

?1??? ?1?i?1 B．?1 2C．

1 2D．1

5. 设抛物线C:y2?4x上一点P到y轴的距离为4，则点P到抛物线C的焦点的距离是

A．4 B．5

C．6

D．7

6. 已知△ABC的三边a,b,c所对的角分别为A,B,C,且

sinA?asinbB2, 则cosB的值为

A.

1133 B. C. ? D. ?

22227. 已知数列?an?为等比数列，若a4?a6?10，则a7?a1?2a3??a3a9的值为 A.10 B. 20 C.100 D. 200

?x?y?4?0,?8. 若直线y?3x上存在点?x,y?满足约束条件?2x?y?8?0, 则实数m的取值范围是

?x?m,?A. ?1,??? B. ??1,??? C. ???,?1 D. ???,?1? 9. 已知某锥体的正视图和侧视图如图2， 其体积为??22222侧视图2正视图 图2

23，则该锥体的俯视图可以是 3222 2 22 A. B. C. D.

10．已知圆O的圆心为坐标原点，半径为1，直线l:y?kx?t(k为常数，t?0)与圆O 相交于M,N两点，记△MON的面积为S，则函数S?f?t?的奇偶性为 A．偶函数 B．奇函数

22 C．既不是偶函数，也不是奇函数 D．奇偶性与k的取值有关

二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分． （一）必做题（11～13题）

11. 函数f?x??ln?x?2?的定义域为 .

2

12. 已知e为自然对数的底数，则曲线y?2ex在点?1,2e?处的切线斜率为 . 13. 已知函数f?x??

1，点O为坐标原点, 点An?n,f?n??(n?N*)， 向量i??0,1?， x?1?n是向量OAn与i的夹角，则

cos?1cos?2??sin?1sin?2?cos?2015的值为 .

sin?2015（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题） 14. （坐标系与参数方程选做题）

在直角坐标系xOy中，曲线C1和C2的参数方程分别为??x?cos??sin?,(?为参数)

?y?cos??sin?和??x?2?t,(t为参数)．以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，则曲

y?t?A线C1与C2的交点的极坐标为 . ．．．15. （几何证明选讲选做题）

如图3，BC是圆O的一条弦，延长BC至点E，

使得BC?2CE?2，过E作圆O的切线，A为切点，

BODCE?BAC的平分线AD交BC于点D，则DE的长为 .

图3

三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分） 已知函数f?x??sin?x???????cosx. 6?（1）求函数f?x?的最小正周期； （2）若?是第一象限角，且f???

3

????4???，求?tan?????的值.

3?54??

17．（本小题满分12分）

从广州某高校男生中随机抽取100名学生，测得他们的身高(单位: cm)情况如表1:

分组 频数 频率 ?160,165? ?5 0.05 （1）求a,b,c的值； 165,170? （2）按表1的身高组别进行分层抽样, 从这100名学生中抽取20名担任广州国际马拉松

志愿者, 再从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作, 求这2名

担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于

a 35 b 10 c 0.35 0.20 0.10 ?170,175? ?175,180? ?180,185? 合计 180cm的概率.

100 1.00

表1

18.（本小题满分14分）

?如图4，在边长为4的菱形ABCD中，?DAB?60，点E，F分别是边CD，CB的

中点，ACEF?O．沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA,PB,PD，得到如图5

的五棱锥P?ABFED，且PB?10. （1）求证：BD?平面POA； （2）求四棱锥P?BFED的体积.

DEP

C A O

DAB图5FEO

FB图44

19.（本小题满分14分）

已知数列?an?的前n项和为Sn，且满足a1?1, nSn?1??n?1?Sn?（1）求a2的值；

（2）求数列?an?的通项公式；

（3）是否存在正整数k，使ak，S2k， a4k成等比数列? 若存在，求k的值； 若不存

在，请说明理由.

20.（本小题满分14分）

n?n?1?, n?N*. 2x2?y2?1的顶点，直线已知椭圆C1的中心在坐标原点，两焦点分别为双曲线C2:2x?2y?0与椭圆C1交于A，B两点，且点A的坐标为(?2,1)，点P是椭圆C1上

异于点A,B的任意一点，点Q满足AQ?AP?0，BQ?BP?0，且A，B，Q三点不共线.

(1) 求椭圆C1的方程； (2) 求点Q的轨迹方程；

(3) 求?ABQ面积的最大值及此时点Q的坐标.

21.（本小题满分14分）

已知t为常数，且0?t?1，函数g?x??1?1?t?x????x?0?的最小值和函数 2?x?h?x??x2?2x?2?t的最小值都是函数f?x???x3?ax2?bx(a,b?R)的零点.

（1）用含a的式子表示b，并求出a的取值范围； （2）求函数f?x?在区间?1,2?上的最大值和最小值.

5

2015年广州市普通高中毕业班综合测试（一）

数学（文科）试题参考答案及评分标准

说明：1．参考答案与评分标准给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与参考答案

不同，可根据试题主要考查的知识点和能力比照评分标准给以相应的分数． 2．对解答题中的计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答

未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的得分，但所给分数不

得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．

3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．

4．只给整数分数，选择题和填空题不给中间分．

一、选择题：本大题考查基本知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分． 题号 答案 1 B 2 D 3 B 4 A 5 B 6 C 7 C 8 A 9 C 10 A

二、填空题：本大题考查基本知识和基本运算，体现选择性．共5小题，每小题5分，满

分20分．其中14~15题是选做题，考生只能选做一题． 11. ?2,??? 12. 2e 13.

2015??? 14. ?2,? 15. 20164??3 说明: 第14题答案可以是?2,2k???????,k?Z. 4?三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）

（本小题主要考查三角函数图象的周期性、同角三角函数的基本关系、三角恒等变换等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力） （1）解：f?x??sin?x????????cosx 6?6cxoss?inx c o s ??????????1分

6xcos? ?sin ??31sinx?cosx ??????????2分 22xcos? ?sin6 ?sin?x??cxoss i n ??????????3分

6??????. ??????????4分 6? 6

∴ 函数f?x?的最小正周期为2?. ??????????5分

（2）解：∵f???????4???4?， ∴ ?sin?????. ??????????6分 ??3?536?5?4. ??2?5∴ sin??? ∴ cos?? ∵

????4. ??????????7分 53. ??????????8分 5?是第一象限角，

sin?3?. ??????????9分 cos?4 ∴ sin??1?cos2?? ∴ tan??4 ??????????10分

??4?1?tan??tan?43?14 ? ??????????11分 31??141 ??. ??????????12分

7 ∴ tan???17. （本小题满分12分）

（本小题主要考查古典概型、分层抽样等基础知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及数据处理能力与应用意识）

（1）解: 由0.05?c?0.35?0.20?0.10?1.00，得c?0.30. ??????????1分

????tan??tan?a?0.30，得a?30， ??????????2分 100 由5?30?35?b?10?100，得b?20. ??????????3分

由

（2）解：依据分层抽样的方法，抽取的20名志愿者中身高在区间175,180?上的有

?0.20?20?4名，记为A,B,C,D； ????????????????5分

而身高在区间180,185?上的有0.10?20?2名，记为E,F. ????????7分

记“这2名担任迎宾工作的志愿者中至少有1名的身高不低于180cm”为事件M， 从身高不低于175cm的志愿者中随机选出2名担任迎宾工作，共有15种不同取法：

?{A,B},{A,C},{A,D},{A,E},{A,F}，{B,C},{B,D},{B,E},{B,F}，

{C,D},{C,E},{C,F}，{D,E},{D,F}，{E,F}． ??????????9分

7

事件M包含的基本事件有9种：{A,E},{A,F}，{B,E},{B,F}，{C,E},{C,F}

{D,E},{D,F}，{E,F}． ??????????11分

∴P?M??

18．（本小题满分14分）

（本小题主要考查空间线面关系、几何体的体积等知识，考查数形结合、化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力） （1）证明：∵点E，F分别是边CD，CB的中点，

∴BD∥EF. ??????????1分 ∵菱形ABCD的对角线互相垂直，

∴BD?AC. ??????????2分 ∴EF?AC. ??????????3分 ∴EF?AO，EF?PO. ??????????4分 ∵AO?平面POA，PO?平面POA，AOPO?O， ∴EF?平面POA. ??????????5分 ∴BD?平面POA. ??????????6分 （2）解：设AOBD?H，连接BO， ∵?DAB?60，

∴△ABD为等边三角形. ??????????7分

?93?为所求． ??????????12分 155PDEHBFOA ∴BD?4，BH?2，HA?23，HO?PO?3. ????????8分 在R t△BHO中，BO?2BH2?HO2?7， ??????????9分

22 在△PBO中，BO?PO?10?PB， ??????????10分 ∴PO?BO. ??????????11分 ∵PO?EF，EFBO?O，EF?平面BFED，BO?平面BFED， ∴PO?平面BFED. ??????????12分

1?EF?BD??HO?33，?????????13分 211 ∴四棱锥P?BFED的体积V?S?PO??33?3?3.??????14分

33 梯形BFED的面积为S?19．（本小题满分14分）

（本小题主要考查等差数列、等比数列等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及运算求解能力和创新意识）

（1）解：∵a1?1, nSn?1??n?1?Sn? ∴S2?2S1?n?n?1?, 21?2?1. ??????????1分 28

∴ S2?1?2S1?1?2a1?3. ??????????2分 ∴ a2?S2?a1?2. ??????????3分

（2）解法1: 由nSn?1??n?1?Sn?n?n?1?SS1, 得n?1?n?. ????????4分

n?1n22 ∴ 数列? ∴

S11?Sn??是首项为?1, 公差为的等差数列.

12?n?Sn11?1??n?1???n?1?. ??????????5分 n22 ∴ Sn?n?n?1?. ??????????6分 2 当n?2时, an?Sn?Sn?1 ??????????7分

n?n?1??n?1?n? ? 22

?n. ??????????8分

而a1?1适合上式，

∴ an?n. ??????????9分

解法2: 由nSn?1??n?1?Sn?n?n?1?n?n?1?, 得n?Sn?1?Sn??Sn?， 22n?n?1? ∴nan?1?Sn?． ① ??????????4分

2 当n?2时，?n?1?an?Sn?1?n?n?1?，② 2n?n?1?n?n?1??， 22 ①?②得nan?1??n?1?an??Sn?Sn?1?? ∴nan?1?nan?n． ??????????5分 ∴an?1?an?1． ??????????６分 ∴ 数列?an?从第２项开始是以a2?2为首项, 公差为1的等差数列. ???７分 ∴ an?2??n?2??n. ??????????８分

9

而a1?1适合上式，

∴ an?n. ??????????9分

（3）解：由(2)知an?n, Sn?n?n?1?. 2 假设存在正整数k, 使ak, S2k, a4k成等比数列,

2 则S2. ??????????10分 k?ak?a4k?2k?2k?1?? 即???k?4k. ??????????11分

2?? ∵ k为正整数, ∴?2k?1??4.

得2k?1?2或2k?1??2, ??????????12分 解得k?2213或k??, 与k为正整数矛盾. ??????????13分 22∴ 不存在正整数k, 使ak, S2k, a4k成等比数列. ??????????14分

20.（本小题满分14分）

（本小题主要考查椭圆的方程、双曲线的方程、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，考查数形结合、化归与转化、函数与方程的数学思想方法，以及推理论证能力和运算求解能力）

x2?y2?1的顶点为F（1）解法1： ∵ 双曲线C2:1(?2,0),F2(2,0), ????1分 2∴ 椭圆C1两焦点分别为F1(?2,0),F2(2,0).

x2y2设椭圆C1方程为2?2?1?a?b?0?，

ab∵ 椭圆C1过点A(?2,1)，

∴ 2a?AF得a?2. ?????????2分 1?AF2?4，

22∴ b?a???22?2. ?????????3分

x2y2??1. ?????????4分 ∴ 椭圆C1的方程为 42 10

x2解法2: ∵ 双曲线C2:,2(2,0), ???????1分 ?y2?1的顶点为F1(?2,0)F2∴ 椭圆C1两焦点分别为F,2(2,0). 1(?2,0)Fx2y2设椭圆C1方程为2?2?1?a?b?0?，

ab∵ 椭圆C1过点A(?2,1)， ∴

21?2?1. ① ?????????2分 2ab. ∵ a2?b2?2, ② ?????????3分 由①②解得a2?4, b2?2.

x2y2??1. ?????????4分 ∴ 椭圆C1的方程为 42（2）解法1：设点Q(x,y)，点P(x1,y1)，

由A(?2,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(2,?1)， ∴AQ?(x?2,y?1)，AP?(x1?2,y1?1)，

BQ?(x?2,y?1)，BP?(x1?2,y1?1).

由 AQ?AP?0, 得 (x?2)(x1?2)?(y?1)(y1?1)?0， ????????5分 即 (x?2)(x1?2)??(y?1)(y1?1). ①

同理, 由BQ?BP?0, 得 (x?2)(x1?2)??(y?1)(y1?1). ② ?????6分 ①?②得 (x?2)(x1?2)?(y?1)(y1?1). ③ ?????????7分

2222x12y12??1，得x12?4?2y12, 由于点P在椭圆C1上, 则42代入③式得 ?2(y1?1)(x?2)?(y?1)(y1?1).

当y1?1?0时，有2x?y?5，

当y1?1?0，则点P(?2,?1)或P(2,1),此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或

22222222 11

(?2,?1) ，其坐标也满足方程2x2?y2?5. ?????????8分

当点P与点A重合时，即点P(?2,1)，由②得 y?2x?3，

22??2x?y?5,解方程组? 得点Q的坐标为

??y?2x?3,??2?. 2,?1或??2,?2?????同理, 当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为?2,1或???????2?. ,2??2?∴点Q的轨迹方程为 2x2?y2?5, 除去四个点

??2?, ?2,1, 2,?1,?,?2??2???????2?. ?????????9分 ???2,2????解法2：设点Q(x,y)，点P(x1,y1)，

由A(?2,1)及椭圆C1关于原点对称可得B(2,?1)， ∵AQ?AP?0，BQ?BP?0， ∴AP?AQ，BP?BQ.

∴y1?1y?1???1x1??2，① ????????5分

x1?2x?2??

y1?1y?1???1x1?2. ② ????????6分

x1?2x?2??y2?1①?② 得 2??1. (*) ?????????7分

x1?2x2?2x12y12x122??1，得y1?2?, ∵ 点P在椭圆C1上, ∴ 42212x1y2?1?1y2?12?2?1，即?2?1, 代入(*)式得2x1?2x?22x?21? 化简得 2x?y?5.

若点P(?2,?1)或P(2,1), 此时点Q对应的坐标分别为(2,1)或

22y12?1 12

(?2,?1) ，其坐标也满足方程2x2?y2?5. ?????????8分

当点P与点A重合时，即点P(?2,1)，由②得 y?2x?3，

22??2x?y?5,解方程组? 得点Q的坐标为

??y?2x?3,??2?. 2,?1或??2,?2?????同理, 当点P与点B重合时，可得点Q的坐标为?2,1或???????2?. ,2??2?∴点Q的轨迹方程为 2x2?y2?5, 除去四个点

??2?, ?2,1, 2,?1,?,?2??2???????2?. ?????????9分 ???2,2????(3) 解法１：点Q?x,y?到直线AB:x?2y?0的距离为x?2y3.

x?2y122△ABQ的面积为S??????????10分 (2?2)?(?1?1)?23 ?x?2y?x2?2y2?22xy. ?????????11分

yy2y2 而22xy?2?(2x)?(时等号成立） )?4x?（当且仅当2x?222y2552?5x2?y2?∴S?x?2y?22xy?x?2y?4x?. ??12分

22222222当且仅当2x?y时, 等号成立. 2y???222x?,,?x??,?x??由?解得?22或?2 ?????????13分

?y?2,?y??2.?2x2?y2?5,???∴△ABQ的面积最大值为?2???522,2?,?2, 此时,点Q的坐标为?或.?14分 ???????2?2??2?解法２：由于AB??2?2?2???1?1??23，

2故当点Q到直线AB的距离最大时，△ABQ的面积最大． ?????????10分

13

设与直线AB平行的直线为x?2y?m?0，

由???x?2y?m?0,消去x，得5y2?42my?2c2?5?0，

22??2x?y?5,由??32m2?202m2?5?0，解得m????52． ?????????11分 2若m?252252，则y??2，x??；若m??，则y?2，x?． ?12分

2222?2???2或时，△ABQ的面积最大，其值为 ,2?,?2???2???2?????故当点Q的坐标为?S?1AB?22?2?221?2?2?2?52． ?????????14分 2

21. （本小题满分14分）

（本小题主要考查函数的最值、函数的导数、函数的零点与单调性等知识，考查数形结合、化归与转化、分类与讨论的数学思想方法，以及运算求解能力、抽象概括能力与创新意识）（1）解: 由于0?t?1，x?0，则g?x?? 当且仅当x? h?x??1?1?t?11?tx???2x??1?t， ??2?x?2x1?t，即x?1?t时，??g?x???min?1?t. ???????1分 xx2?2x?2?t??x?1?2?1?t，当x?1时，??h?x???min?1?t.

?????????2分

∵0?t?1，

1?1?t?2，0?1?t?1. ∴

2由于f?x???x?ax?bx?x?x?ax?b，结合题意，可知，

32??2 方程?x?ax?b?0的两根是1?t，1?t， ?????????3分

故1?t?1?t?a，1?t?1?t??b. ?????????4分 ∴a?2?21?t?1?t?2?2b. ∴b?1?212a. ?????????5分 214

而方程?x2?ax?b?0的一个根在区间1,2上，另一个根在区间?0,1?上. 令??x???x?ax?b，

2?????0??b?0,?? 则???1???1?a?b?0, ?????????6分

??2??2?2a?b?0.?????12?1?2a?0,?a??2或a?2,?12?? 即??1?a?1?a?0,解得?0?a?2, ?????????7分

2??12?a?2.???2?2a?1?2a?0.? ∴2?a?2. ?????????8分 ∴b?1?12a，2?a?2. 222求a的取值范围的其它解法：

另法1：由a?1?t?1?t，得a?2?21?t， ?????????6分 ∵0?t?1，

∴2?a?4． ?????????７分 ∵a?1?t?1?t?0，

∴2?a?2． ?????????8分 另法2：设??t??1?t?1?t，0?t?1， 则???t??2111?t?1?t ?????????6分 ???0，

221?t21?t21?t 故函数??t?在区间?0,1?上单调递减． ∴??t???2,2． ?????????７分

? ∴2?a?2． ?????????8分 （2）解：由（1）得f?x???x3?ax2??1???12?a?x， 2? 15

则f??x???3x2?2ax?1? ∵2?a?2，

12a. ?????????9分 2 ∴二次函数f??x???3x2?2ax?1?a212a的开口向下，对称轴x??.

332 故函数f??x?在区间?1,2?上单调递减. ?????????10分 又f??1???3?2a?1?1212a???a?2??0， ?????????11分 22 ∴当x?1,2时，f??x??f??1??0.

∴函数f?x?在区间?1,2?上单调递减. ?????????12分 ∴函数f?x?的最大值为f?1??a???12a，最小值为f?2???a2?4a?6. 2?????????14分

16

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