浅析极限的若干求法

本科毕业论文

题目： 浅析极限的若干求法

学院： 数学与计算机科学学院

班级： 数学与应用数学

姓名：

指导教师： 职 称： 副教授

完成日期： 年 5 月 1 5 日

浅析极限的若干求法

摘要:无论是在中学数学还是在大学数学中,极限的概念和思想都非常重要,

运用极限的思想能够求解一些不能精确计算的结果;在数学分析中,极限思想贯穿于始末,众所周知,常见的求解极限的方法包括无穷小量、重要极限公式、洛必达法则等,但实际在求极限时究竟是依靠某一种方法还是把多种方法加以综合运用始终是个难点.所以本文讨论的核心点是极限求解的最终方法,并配有典型例题,而且每一种方法的特点及注意事项也都作了小结.

关键词:洛必达法则;无穷小量;泰勒公式

目 录

1 利用极限的定义计算极限 ........................................ 1

1.1 数列求极限 .............................................. 1 1.2 函数求极限 .............................................. 1 2 利用四则运算法则计算极限 ...................................... 2

2.1 数列求极限 .............................................. 2 2.2 函数求极限 .............................................. 3 3 利用迫敛性定理或者夹逼性定理计算极限 .......................... 4 4 利用两个重要极限计算极限 ...................................... 5 5 利用导数的定义计算极限 ........................................ 5 6 利用洛必达法则计算极限 ........................................ 6

06.1 型不定式极限 .......................................... 6

0?6.2 型不定式极限 .......................................... 7

?6.3 其它类型不定式极限 ...................................... 7 7 利用定积分（求和式）计算极限 .................................. 7 8 利用无穷小量的性质和无穷小量与无穷大量之间的关系计算极限 ...... 8 9 利用变量替换计算极限 .......................................... 8 10 利用等价无穷小量代换计算极限 ................................. 9 11 利用泰勒公式计算极限 ......................................... 9 12 利用归结原则（海涅定理）计算极限 ............................ 10 参考文献： ..................................................... 11

1 利用极限的定义计算极限 1.1 数列求极限

数列极限的??N定义:假设?an?为数列,a为定数.如果对任意给定的正数?,总是存在一个正整数N,使得当n?N时,总是有an?a??,那么就称数列

?an?收敛于a，其中定数a则称为数列?an?的极限，并且记为liman?a或者

n??an?a（n??）,读作“当n趋于无穷大时，数列?an?的极限等于a或者也说an趋于a”.

2n2?2. 例1.1 验证lim2n??n?22n244证明 由于2?2?2??n?1?

n?2n?2n因此，对于任意给定的正数?，只要

44??即n?， n?2n2?4?便有2?2??，这里取N?max?1,?，

n?2????4?即任意??0，存在N?max?1,?，使得当n?N时，

???2n22n2?2. 有2?2??，所以lim2n??n?2n?2小结：

有关极限运算经常用到的一些结论:lim1,其中?为正数，limqn?0,其中?0n??n??n?q?1,limna?1,其中a?0.

n??1.2 函数求极限

x趋于x0时函数极限的???定义:假设函数f在点x0的某个空心邻域

Uo?x0;???内有定义,A为定数.如果对于任意给定的??0，总是存在正数

1

??????,使得当0?x?x0??时总是有|f?x??A|??,那么就称函数f当x趋于x0时以A为极限,并且记作limf?x?=A 或者f?x??A（x?x0）.

x?x0x趋于?时函数极限的定义:假设f为定义在?a,???上的函数,A为定数,如果对于任意给定的正数?,总是存在正数M??a?,使得当x?M时总是有

f?x??A??,那么就称函数f当x趋于??时以A为极限,并且记作

x???limf?x??A 或者 f(x)?A?x????.

1?0. x?11111?0???， x?111111?x例1.2 验证limx???证明 任意??0，令x?0,解不等式

得x?111?1??，取m?min?111?,?1??0，那么任意x?m，

????1 有小结：

11?0??.所以lim?0.

x???x?111x?111现在假设f为定义在U????或者U???上的函数，当x?-?或者x??时，如果函数值f(x)能无限地接近某定数A，那么就称f当x?-?或者x??时以A为极限，并且分别记作limf?x??A 或者f(x)?x???；limf?x??A 或者A（x?-?）

x??，只须把定义中的“x?M”分别改为“x??M”或者f(x)?A（x??）“x?M”即可.

2 利用四则运算法则计算极限 2.1 数列求极限

2

定理 如果?an?与?bn?为收敛数列，那么?an?bn??,an?bn??,an?bn?也都是收敛数列,并且有lim?an?bn??liman?limbn,lim?an?bn??liman?limbn.

n??n??n??n??n??n??特别地当bn为常数c时有lim?an?c??liman?c,limcan?climan.

n??n??n??n???a?如果再假设bn?0以及limbn?0,那么?n?也是收敛数列，并且有

n???bn?liman?limanlimbn. n??bn??n??nn例2.1 求limn??1?n2???n11n?n?n112.

解 原式?lim?nklimn??k?1n??nn?n?n1 11??1n2

??limnklimk?1n??n??11

?1112

?22. 2.2 函数求极限

定理 如果极限limf?x?与limg?x?都存在，那么函数f?g,f?g当x?x0时

x?x0x?x0极限也存在，并且

x?x0lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?;lim?f?x?g?x???limf?x??limg?x?;

x?x0x?x0x?x0x?x0x?x0又如果limg?x??0,那么fg当x?x0时极限存在，并且有

x?x0x?x0lim?f?x?g?x???limf?x?limg?x?.

x?x0x?x07020?7x?2??2x?9?. 例2.2 求lim90x???9x?7? 3

7020?7x?2??2x?9?解 limx???9x?7?902?9???lim?7???lim?2??x??x?x???x???907??lim?9??x??x??7020770?220?. 909小结：

通过比较可以发现，利用四则运算法则求数列极限或者函数极限时，方法与技巧基本一致，需要注意的是经常用到的一些方法，例如分数的基本性质，分子、分母有理化，因式分解等等.

3 利用迫敛性定理或者夹逼性定理计算极限

,bn?都是以a为极限，数列?cn?满足:存在正数N0,当数列:假设收敛数列?an??n?N0时有an?cn?bn,那么数列?cn?收敛，并且limcn?a.

n??函数:假设limf?x??limg?x??A,并且在某Uo?x0;???内有f?x??h?x??g?x?,x?x0x?x0那么limh?x??A.

x?x0例3 计算极限lim1?3?5????2n?1??n?N??.

n??2?4?6????2n?解 令S?1?3?5????2n?1??2?4?6????2n?,S?, 2?4?6????2n?3?5?7????2n?1?1, 2n?1很显然有S小于S?，因为S2?S?S?S?S??所以0?S?11,又因为lim?0,

n??2n?12n?1再根据夹逼性定理得到：lim小结：

1?3?5????2n?1??0.

n??2?4?6????2n?做这类题型的关键在于找出小于已知函数的函数与大于已知函数的函数，而且还要保证所找出的两个函数的极限必须是同一个数才行.

4

4 利用两个重要极限计算极限

第一个重要极限是limsinx?1，可以通过函数极限的迫敛性来实现;第二个

x?0x111重要极限是lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，方法是构造阶梯函数，

x??n??x?0xn然后根据归结原则和迫敛性定理即可.用这两个重要极限来求函数的极限时必须仔细观察所给的函数形式，只有形式符合或经过变化符合这两个重要极限的形式时才能运用此方法来求极限.一般常用的方法是配指数法与换元法.

?x?1?例4 求极限lim?? x???x?1??x?11??2?2?1??2?2??x?1??2???解 lim???lim?1???lim??1?x?1??1????e x???x?1x???x???x?1?x?1?????2??????xx2x小结：

第二个重要极限的步骤:先凑出１,再凑?1,最后凑指数部分. x5 利用导数的定义计算极限

f?x??f?x0?x?x0定义 假设函数y?f?x?在点x0的某邻域内有定义，如果极限limx?x0存在,那么就称函数y?f?x?在点x0处可导，并且称该极限为函数y?f?x?在点x0处的导数，记作f'?x0?.令x?x0??x,?y?f?x0??x??f?x0?,则上式可以改写为limf?x0??x??f?x0??y?lim?f'?x0?.

?x?0?x?x?0?x???例5 求lim?x???cot2x的极限.

?2?x??2解 取函数f?x??tan2x, 则原式

5

?1limx??2tan2xx??2???tan2x?tan?2???2??1lim??x?x?22 ???f?x??f???2??1limx??2x??2?1???f????2?12sec22xx??

?2

1?.26 利用洛必达法则计算极限

洛必达法则为:假设当自变量x趋近于某一定值（或无穷大）时,函数f?x?与

g(x)满足:（1）f?x?与g(x)的极限都是0或者都是无穷大;（2）f?x?与g(x)都可导,并且g(x)的导数不为0;（3）limf'(x)存在（或是无穷大）,那么极g'(x)限limf(x)f'(x)f(x)f'(x)也一定存在,并且等于lim,即lim=lim .利用洛g(x)g'(x)g(x)g'(x)必达法则求极限,可以简化一些较复杂的函数求极限的过程,但是运用时需要注意条件.

06.1 型不定式极限

01?cosx例6.1 求lim.

x?0x21?cosxsinx1解 limlim?. ?2x?0x?02x2x 6

?型不定式极限 ?lnx例6.2 求lim.

x???x6.2

??lnx?1lnx解 lim?lim?lim?0.

x???x???xx???xx?6.3 其它类型不定式极限

不定式极限还有0??,1?,?0,00,???等类型.经过简单变换,他们一般都可以

0?化为型或者型.

0?小结：

① 需要注意条件,也就是说,在没有完全化为,0?型时不可以求导. 0?② 应用洛必达法则,是分别求分子、分母的导数,不是求整个分式的导数. ③ 需要及时化简极限符号后面的分式,并在化简以后检查其是否仍是不定式,若遇到不是不定式,应该立即停止使用洛必达法则,否则会引起错误.

④ 如果limx?x0f?x?f??x?不存在,并不能说明lim也不存在. x?x0g?x?g??x?7 利用定积分（求和式）计算极限

假设函数f?x?在区间?a,b?上连续，把区间?a,b?分成n个子区间?xi?1,xi?，

?x0?a,xn?b,i?1,2,?,n?，在每个子区间上任取一点?i?i?1,2,?,n?，作和

式，当??0时，(?属于最大的区间长度)该和式无限接近于某个常数，这个常数就叫做函数f?x?在区间?a,b?上的定积分.

33??3例7 求lim??????.

n??n?1n?22n??解 将此极限式化为某个积分和的极限式，并且转换成计算定积分，因此可作如下变形：原式?3lim?1?.可以把其中的和式看成是函数

n??ini?11?nn1 7

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