教案：图形的相似全章教案

图形的相似全章教案,内容包括：图上距离和实际距离,黄金分割,相似三角形的识别、性质、应用。

昆山市花桥中学·八年级数学

主备：王霞

审核：八年级数学组

10、1 图上距离与实际距离 教学课题 教学目标：结合现实情境了解线段的比和成比例线段，理解并掌握比例的基本性质。通过实际问题的研 究，发展从数学角度提出问题，分析问题和解决问题的能力，增强用数学的意识

教学重点：掌握比例的性质。 教学难点：理解比例的性质及其应用。 教学过程： 教学过程：教师活动一、创设情境 展示两张江苏地图，并要求学生做： 1、分别测量出南京到徐州、南京到连云港的图上距离。 2、在这两副图中，南京到徐州的图上距离之比是多少？ 南京到连云港的图上距离之比是多少？这两个比是什么关系？ 二、新课讲授 1、线段的比：两条线段的长度之比叫做这两条线段的比。 2、举例 1、一张桌面的长 a=1.25m,宽 b=0.75m,则 a:b= 练习 1、若线段 a=10cm,线段 b=2m,则 a:b= 3、比例尺 1:8000000 是什么意思，你能算出南京到徐州、南京到 连云港的实际距离吗？ 练习：在比例尺为 1:150000 的地图上，测得 A、B 两地间的图上 距离为 16cm,求 A、B 两地间实际距离。 4、成比例线段：四条线段 a,b,c,d 中，如果 a:b=c:d,或

学生活动测量 计算

设计意图通过测量计算， 引出“线段的 比”的概念。

归纳概念 完成练习

归纳、巩固“线 段的比” 的概念 强调单位统一

归纳成比例线 段的概念 理解成比例线段的 概念

a c b d

那么这四条线段 a,b,c,d 叫做成比例线段，简称 比例线段。 a、d 叫做比例外项，c、b 叫做比例内项，特别 d 是第四比例项 若作为比例内项的是两条相同的线段，即 a:b=b:c,则 b 叫做 线段 a、c 的比例中项。 5、例题 2、下列各组长度的线段成比例的有哪几组？ (1)4cm,6cm,8cm,10cm (3)11cm,22cm,33cm,66cm (2)4cm,6cm,8cm,12cm (4)2cm,4cm,4cm,8cm 思考、 完成练习 巩固成比例线 段的概念

例题 3、①已知 a 4cm, b 6cm, c 3cm ,求 a、b、c 的第四比 例项 d。② 已知 a 2.4cm, c 5.4cm ,求 a 和 c 的比例中项 b。 6、比例的基本性质(1)若 a:b=c:d,则______=______; ( (2)若 ad=bc(b≠0,d≠0)则 ( 7、比例还有其它一些重要的性质： ) ( = ) ( ) 。 ) 理解、证明 比例的基本性质

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a c a+b c+d (1)如果 = ,那么 = 成立吗？ b d b d a c a-b c-d (2)如果 = ,那么 = 成立吗？ b d b d a c a±b c±d (3)如果 = ,那么 = 成立吗 ？ b d b d a c e a+c+e a (4)如果 = = ,那么 = 成立吗？ b d f b+d+f b (5)如果 a+c+ +m a c m a = = = (b+d+ +n≠0),那么 = 成 b d n b b+d+ +n

探究

比例的基 本性质、 证明比 例的基本性质

立吗？为什么？ 例 4、已知 2x 是=5y,求① x x+y x-y ;② ;③ y y y AB BC CA = = A′B′ B′C′ C′A′

例 5、 已知⊿ABC 和⊿A′B′C′中， =

1 ,且⊿ABC 的周长为 15cm,求⊿A′B′C′的周长。 2

x y z 例 6、已知 = = ,且 2x+3y-z=18,求 x、y、z 的值。 2 3 4 AD AE 例 8、如图，在⊿ABC 中， = ,AB=12,AE=6,EC=4, DB EC DB EC (1)求 AD 的长； (2)试说明 = 成立。 AB AC 三、课堂练习： 课本 P84 页练习题 四、小结与思考 本节课你有什么收获？ (二)思考： 由 ad=bc 得到 五、中考链接[来源:Z|xx|] [来源:]

思考、解决问题 巩固比例的基 本性质

A D B E C

a c = 。 还可以得到哪些不同的比例式？ b d

a+b-c a-b+c b+c-a 已知， k= = = , 则 k 的值为 ( c b a A 2 ; 3 B3; C1 或-2; 3 D 2

)

六、布置作业 授后小记

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10.2 黄金分割 教学课题 教学目标：1、经历探索黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的过程，了解黄金分割在生活[

的各个 领域有价值的运用； 2、会找一条线段的黄金 分割点； 3、在应用中进一步理解线段的比、成比例线段，并在实际操作、思考、交流等过程中进一步感悟数学与 生活的密切联系； 4、通过建筑、艺术等生活实例使学生体会黄金分割的文化价值，提高学生的审美意识。

教学重点：了解黄金分割、黄金矩形、黄金三角形的意义 教学难点：怎样做一条线段的黄金分割点 教学过程： 教学过程：教师活动一、复习： 前面一节课我们探讨了成比例线段，以及比例 的性质，什么叫成 比例线段？比例有哪些性质？什么叫比例中项？ 二、情境创设： C C

学生活动

设计意图

欣赏、观察

①B B

③

②A A

④感受美， 体会黄 金分割的存在

1、P85 欣赏芭蕾舞演员身体各部分之间适当的比例给人以匀称、 协调的美感，请量出图中线段 AB、AC 的长度，并求出线段 AB 与 AC 的比值； 2、上海东方明珠电视设计巧妙，整个塔体的挺拔秀丽，请量出图 中线段 AB、AC 的长度，并求出线段 AB 与 AC 的比值； 3、观察 P84“你最喜欢的矩形”的调查结果，看看多数同学选择是 哪一个矩形，在此矩形中，宽与长的比值约是多少？[来源:学科网]

21 34

三、探索活动：

(有一种通俗的说法 是：较小的线段与较 AC 大的线段的比等于较 把矩形ABCD的长AB与宽BC画在同一条直线上，此时点B把线段 大的线段与整个线段 AB BC AC分成两部分，如果 ，那么线段AC被点B黄金分割。 之比) 活动一、计算 AB (或BC )的值， A AB

B

C

引入 黄金 分

割 的概念. 明确黄金分割 的概念 理解黄金比例5 1 2

AC

AB

试着解方程，得出黄 解：设 AC=x,AB=1,则由 AC2=BC· AB 得：x2=(1—x)· 1, 金比例的值 ∴x2 + x—1=0,1 ∴x2 + x+ = 5 , 4 4

∴(x+

1 2 5 ) = , ∴…… , ∴ x 5 1 , 又 ∵ < 1 , ∴x = 2 2 4

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5 1 ≈0.618 2

BC 与 AC(或 AC 与 AB)的比值约为 0.168,这个比值称为黄金 比. 注意： (1)一条线段的黄金分割点有两个，它们关于中点中心 对称； (2)若矩形的两 条邻边长度的比值约为 0.618,这种矩形 称为黄金矩形. ( 3)若在 黄金矩形中截取一个正方形，那么剩余 的矩形是黄金矩形吗？ D C D E C 观察黄金矩形，写出 线段的比值 巩固黄金比例

[来源:学科网

A

B

A

F

B

活动二、认识黄金分割在几何中的一些应用.(如黄金三角形) 1、作顶角为 36° 的等腰△ ABC; 2、分别量出底边 BC 与腰 AB 的长度； 3、作∠ B 的 平分线，交 AC 于点 D,量出△ BCD 的底边 CD 的长度； 最后， 分别求出△ ABC 与△ BCD 的底边与腰的长度的比值 (精 确到 0.001) 问：比值是多少？ 学生：大约是 0.618 所以我们把顶角为 36° 的三角形称为黄金三角形，它具有如 下的性质： (1)

A

D B C

BC 0.618 ; AB

(2)设 BD 是△ ABC 的底角的平分线，则△ BCD 也是黄金三 角形，且点 D 是线段 AC 的黄金分割点； (3)如再作∠ C 的平分线，交 BD 于点 E,则△ CDE 也是黄 金三角形，如此继续下去，可得到一串黄金三角形； A 活动三、如图，五边形 ABCDE 的 5 条边相等，5 个内角也相等， H (1)找出图中的黄金三角形； M B (2)图中的点 F、G、H、M、N 分别是那些线 段的黄金分割点？ N G 你能说明理由吗？ F 解： (1) △ ACD、 △ BDE、 △ CAE、 △ DAB、 △ EBC、 △ AGD、 △ ABN、 C D △ BCF、 △ BAH、 △ CMB、 △ CDG、 △ DNC、 △ DEH、 △ EDF、 △ EMA; (2)点F是线段CG、CE、DN、BD的黄金分割点，…………… 三、例题讲解： 例 1、若线段 AB=4cm,点 C 是线段 AB 的一个黄金分割点，则 AC 的长为多少？[来源:]

黄金三角形中 线段的比

E

解 ： 如 图 1 , 若 AC 是 BC 与 AB 的 比 例 中 项 ： 则 AC≈0.618×4cm=2.472 cm; 如 图 2 , 若 BC 是 AC 与 AB 的 比 例 中 项 ： 则 BC≈0.618×4cm=2.472 cm;

变题：电视节目主持 人在主持节目时，站 在舞台的黄金分割点 处最自然得体，若舞 台AB长为20米 ， 试计 算主持人应走到离 A 点至少多少米 处是比 较得体的位置？(结

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∴ AC≈1.528 cm 果精确到0.1米) 例 2、据有关实验

测 定，当气温处于人体正常体温(37oC)的黄 金比值时,人体感到最舒适。这个气温约为_______ oC (精确到 1 o C)。 例 3、 如图， 点 C 是 AB 的黄金分割点， A B=4, 则 AC2=________; (结果保留根号) 例 4、我们知道古希腊时期的巴台农神庙(Parthenom Temple)的 正面是一个黄金矩形， 若已知黄金矩形的长等于 6,则这个黄金矩 形的宽等于_________; (结果保留根号) 例 5、如图的五角星中，AD=BC,且 C、D 两点都是 AB 的黄金 分割点，AB=1,求 CD 的长； 解：∵ 点 C、D 是 AB 的黄金分割点， ∴ AC=BD≈0.618·AB=0.618, ∴ BC≈1—0.618=0.382 ∴ CD≈0.618—0.382=0.236 答: CD 的长约为 0.236 例 6、科学研究表明，当人的下肢与身高比为 0.618 时，看起来最 美，某成年女士身高为 153cm,下肢长为 92cm,该女士穿的高跟 鞋鞋跟的最佳高度约为 cm(精确到 0.1cm) ; 解：设该女士穿的高跟鞋鞋跟的高度为 xcm, 根据黄金分割的概念知：92 + x≈0.618(153 + x) ,解得：x≈6.7 四、黄金分割的应用： (1)据有关测定, 当气温处于人体正常体温的黄金比值时 , 人 体感到最舒适。因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适 合? (人的正常体温 36.2℃ ~ 37.2℃ ) “ 人 体 舒 适 指 数 ”----36.5℃ ×0.618≈23℃, “ 人 体 舒 适 指 数 ” 为 22℃ ∽ 24℃ ; (2)二胡的“千斤”放在琴弦的金分割点处，音色最佳； (3)维纳斯雕像、雅典娜女神象、海姑娘---阿曼达雕塑等肚脐之 下的长度与身高之比接近 0.618,芭蕾舞演员的比值只有 0.618, 所以要踮起脚尖！ (4)植物茎的顶端向下，上下层的 两片叶子间大约成137.50,这 个角度对植物叶子采光、通风、光合作用最为有利，这是因为： 137.5︰(360—137.5)≈0.618;

教学课题

10.3

相似图形

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教学目标： 知识与技能：1.了解形状相同的图形是相似的图形； 2.理解相似三角形、相似比的概念. 过程与方法：1.经历观察、操作、归纳、类比、反思、交流的过程，提高数学思维水平；2.通过渗透类 比的思想方法，进一步体会数学内容之间的内在联 系，初步认识特殊与一般的辩证关系；3.通过几何图 形的变换发展空间观念；4.通过从直观发现到自觉说理的过渡，培养有条理的表达能力。 情感态度与价值观：分析、欣赏相似图形，提高 审美意识，增强学习数学的兴趣和自信心。

教学重点：相似三角形定义的理解和认识 教学难点：准确判断出相似三角形的对应角和对 应边。 教学过程： 教学过程：教师活动一、创设情景，引入新课 1、请欣赏图片 2、议一议：你们刚才欣赏的

图片都有些什么特征呢？--形状相同 归纳：像这样，形状相同的图形是相似图形。 交流： (1)你能举出生活中所见过的相似图形吗？ (2)全等图形和相似图形之间有什么联系与区别? 3、找一找:下面各组图形中，哪些是相似图形？哪些不是？

学生活动

设计意图

观察图片，回答问 题

二 、合作交流，解读探究 1、操作： (小组合作) (1) 度量课本第 90 页放大镜中的三角形和原三角形对应的角和边， 你发现了什么？ (2)放大镜中的三角形和原三角形形状相同吗？它们相似吗？ 2、归纳：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形，叫做相 似三角形。 相似三角形中对应边的比 叫做相似比。 数学表达：如图,在△ABC 和△A′B′C′中,A

∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′;

A'

AB BC CA k, A' B ' B ' C ' C ' A'则△ABC 与△A′B′C′相似。记作

B

C

B'

C'

△ ABC∽△ A′B′C′,其中k叫做它 们的相似比 3、尝试：下面每组都有两个三角形相似,请把它们 表示出来,并说 出它们的相似比.

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4、思考：如果相似比 k=1,这两个三角形有怎样的关系？ 5、探索： (类比思想) 我们知道：各角对应相等、各边对应成比例的两个三角形，叫 做相似三角形。相似三角形中对应边的比叫做相似比。假如把三角 形换成四边形、或者五边形，甚至多边形呢？ 归纳：如果两个边数相同的多边形的角对应相等，边对应成比 例， 那么这两个多边形叫做相似多边形。相似多边形对应边的比叫做相 似比。

三、应用新知，体验成功 例 1、如图 D、E、F 分别是△ABC 三边的中点。△DEF 与△ACB 相似吗？为什么？ 例 2、 如图△ABC∽△A′B′C′, 求∠α 、 ∠β 的大小和 A′C′ 的长[来源:学科网]

A

E

F

B

D

C

四、巩 固训练，加深记忆 1、下列命题中，正确的是( A、所有的等腰三角形都相似 所有的等边三角形都相似 ) B、所有的直角三角形都相似 C、[来源:Z

完成练习

D、所有的矩形都相似

2、 若△ABC∽△ A′B′C′ , 且 C′相似比是 ，△ A′B′C ′与△ABC 的相似比是 。 3、 △ABC的三条边的长分别为6、 8、 10, 与△ABC相似的△A′B′C′ 的最长边为30则△A′B′C′的最短边的长为__ _____。 五、总结反思，自我评价 通过本节课的学 习你有什么收获？还有什么疑惑？ 六、作业 授后小记

AB 2, 则△ABC与△ A′B′ A' B '

巩固新知

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10.4 探索相似三角形的条件(1) 教学课题 教学目标：1、通过探究与交流得出只要具备两个角对应相等，就可以判断两

个三角形相似。平行于三角 形一边同样可以得到相似三角形。2、通过探究，培养和提高学生利用已有知识证明新命题的能力。尝试判 断三角形相似，解决实际问题。3、经历探究和交流，激发学生求知欲和学习兴趣、信心。

教学重点：相似三角形判断的探究过程和三角形相似的判定方法。 教学难点：通过相似三角形判定方法来解决问题 教学过程： 教学过程：教师活动一、复习 1、什么叫相似三角形？ 2、全等三角形有哪些识别方法？ 二、探究一 如图， 已知△ABC, 和线段 A′B′,在线段 A′B′同侧画 A B C ,' ' '

学生活动

设计意图复习引出探究 相似三角形又 有怎样的识别 方法呢？

各角对应相等，各边 对应成比例的三角 形叫相似三角形。

使∠A′=∠A, ∠B′=∠B,交点 C′ (1)点 C′是否在格点上？ (2)△ABC 与△A′B′C′是否相似？ (3) 结论： 如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两角 对应相等，那么这两个三角形相似。 简单地说，两角对应相等的两个三角形相似。 几何语言: ∵∠A′=∠A, ∠B′=∠B, ∴△ABC∽△A′B′C′ 三、例题与练习 1. 若∠ A=70 °,∠ C=65 °,∠ A1=70 °,∠ B1=35 °△ ABC △ A1B1C1 相似吗？ 2、判断： (1)所有的等腰三角形都相似。 ( ) (2)所有的等腰直角三角形都相似。 ( ) (3)所有的等边三角形都相似。 ( ) (4)所有的直角三角形都相似。 ( ) (5)有一个角是 120°的两个等腰三角形相似。 ( ) (6)有一个角是 40°的两个等腰三角形相似。 ( ) 3、在下列图形中，已知：∠1=∠2,写出图中所有的相似三角形 巩固识别方法 一， 找两个角对 应相等。 思考、回答问题 操作、交流、归纳 探究 “两个角对 应相等的三角 形相似”

∵∠1=∠2, ∴△ ∽△

∵∠1=∠2, ∴△ ∽△

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4、已知如图，∠1=∠2=∠3,试说明△ABC∽△ADE 根 据 △ ABC ∽ △ ADE 找准对应顶点、对应 角，找两个角对应相 等 四、探究二 如图，直线 DE∥BC,试找出下列图形中的相似三角形，并说明理 由。

巩固识别方法 一， 找两个角对 应相等。

是识别方法一 的延续， 也可以 作为识别方法 二。 通过证明， 培养 学生说理能力。 弄清已知和结论 并证明

归纳：平行于三角形一边的直线和三角形的两边(或两边的延长 线)相交，所构成的三角形与原三角形相似。A D B E C B E D A

几何语言： ∵DE∥BCC

∴△ABC∽△ADE

5、如图, 在△ABC 中, E 是 AB 上一点,在 AC 上取一点 F,使以 A、 根据今天所学，分析 E、F 为顶点的三角形与 △ABC 相似,你能在图上画出来吗？ 出

有两种情况

6、如图，在平行四边形 ABCD 中，E 是 DC 上的一点，AE 的延长线 交 BC 于 F,求证： AB AE AF ED

把乘积形式转换为 比例形式， “三点定 形”找相似三角形。

巩固新知 及新知的应用

五、课堂小结 1、两角对应相等的两个三角形相似。 学生叙述 2、平行于三角形一边的直线和三角形的两边(或两边的延长线) 相交，所构成的三角形与原三角形相似。 六、作业 授后小记

巩固新知

巩固新知

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教学课题

相似三角形的识别(2)

教学目标：1.掌握相似三角形的判定定理 2 及其应用. 2.经历“探索—发现—猜想”,通过实际问题的研究，提高分析问题、解决问题的能力，通过运用 三角形相似的条件解决简单问题，进一步发展合情推理能力和初步的逻辑推理能力. 3.开发培养发散性思维。 教学重点：三角形相似的条件 2 的探索与应用 教学难点：三角形相似的条件 2 的探索与应用 教学过程： 教学过程：教师活动 一、创设情景，感悟新知 1.三角形相似的条件 1 及其推论？ 2.如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD,E 是 AD 的中点，EF∥CB 交 AB 于 F,BC=4cm,则 EF= cm.

学生活动 回顾旧知 完成练习

设计意图

复习旧知 引出新知 2 题图

二、探索规律，揭示新知

通过类比，展开联想 猜想得出结论 1.课本 96 页探索. 引出新课： “两个三 2.如果在△ABC 和△A′B′C′中，∠A=∠A′, = , 角形的两组边对应 成比例，且夹角相 那么△ABC 与△A′B′C′相似吗？ 等，则这两个三角形 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且 相似” 夹角相等，那么这两个三角形相似.(简称 SAS) 思考： 如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比 例，并且其中一边的对角相等， 那么这两个三角形相似吗？(简称 SSA) 4.课本 97 页讨论 1、2. 三、尝试反馈，领悟新知1、下列条件能判定△ABC 与△A′B′C′相似的有 ( (1)∠A=45°,AB=12, (2)∠A=47°, AB=1.5, (3)∠A=47°, A、0 个 AB=2, AC=15, AC=2, AC=3, D、3 个 ∠A′=45°,A′B′=16, A′C′=20 ∠B′=47°,A′B′=2.8,B′C′=2.1 ∠B′=47°, A′B′=4,B′C′=6 B、1 个 C、2 个 2、如图，在△ABC 中，P 为 AB 上的一点，在下列条件中： ①∠ACP=∠B;②∠APC=∠ACB; ③AC2=AP AB;④AB CP=AP CB, 能满足△APC∽△ACB 的条件是( A、①②④ 已经具备了条件 或 或 B、①③④ ) D、①②③ , C、②③④ )

借助已有经验， 猜想得出新知， 帮助学生建立 新旧知识间的 关系 获得新知的同 时学会类比的 方法

再

次类比于全等的 “SSA”的不确定性 学生完成定理的证明 后，应用定理，养成 良好的分析问题、解 决问题的能力和习惯 巩固识别方法 二， 找两边对应 成比例， 且夹角 相等。

第2题图

小题目， 夯实基 础， 增强学生学 习信心。

3、如图,在△ABC 中,D 在 AB 上,要说明△ACD∽△ABC 相似, ,还需添加的条件是

第3题图

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4、如图，已知

AD AE 3 DE ,求 的值 BD EC 2 BC

5、△ABC 中，AB=12,BC=18,AC=15,D 为 AC 上一点， CD=

2 AC,在 AB 上找一点 E,得到△ADE,若图中两个三角形相 3

第4题图

似，求 AE 的长

6.如图，四边形 ABCD 是正方形，E 是 CD 上一点，且 CE∶DE =1∶3,P 是 BC 上的点，如果△PCE 与以 A、B、P 为顶点的三 角形相似，则这样的点 P 有 个. 7.如图，△ADE 与△ABC 有公共的顶点 A,∠1=∠2,∠ABC= ∠ADE, 则△ABD 和△ACE 相似吗？请说明理由. 8.如图，在△ABC 中，∠C=60° ,BE⊥AC 于 E,AD⊥BC 于 D, 求证：DE= AB. 9.如图，在△ABC 中，∠C=90° ,BC=8cm, 5AC-3AB=0,点 P 从 B 出发，沿 BC 方向以 2cm/s 的速度移动，点 Q 从 C 出发沿 CA 方向 以 1cm/s 的速度移动，若 P、Q 分别从 B、C 出 发，经过多少时间以 C、P、Q 为顶点的三角形与△ CBA 相似？

适当拔高， 链接 中考， 为学习能 力强的学生提 供机会。

6题图

7题图

9 题图

8题图 四、课堂练习，巩固新知 练习题一：完成课本P98练习1、2 练习题二： 1.如图，小正方形的边长均为 1,则图中的三角形(阴影部分)与 △ABC 相似的是( )

2.如图，在直角坐标系中有两点 A(4,0),B(0,2),如果点 C 在 x 轴上(C 与 A 不重合)当 C 点 的坐标为 时，使得由点 B、O、C 组成的三角形与△AOB 相似. 2 3.在△ABC 中， AD 是 BC 边上的高， DC, ∠B=25° , 且 AD =BD· . 则∠BCA 的度数为 五、学习体会： 1.本节课我们学习了哪些知识？ 2.在对应关系不明确时，要注意分类讨论； 3.有条理的写出解题过程是我们必须要掌握的基本能力、 六、课后作业：P102习题9.4 4、5 授后小记：

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教学课题

相似三角形的识别(3)

教学目标：1.通过对比和 猜想，探索得出两个三 角形有三边对应成比例， 即可判断两个三角形相似的方 法. 2.能够选择适当的方法判定两个三角形相似， 进一步解决与三 角 形相似有关的问题。 教学重点：三角形相似的条件 3 的探索与应用 教学难点：三角形相似的条件 3 的探索与应用 教学过程： 教学过程：教师活动 一、回顾旧知 1、三角形相似有哪些判定方法

? 2、两个全等三角形一定相似吗？如果相似，相似比是多少？两个 相似三角形一定全等吗？ 3、对照判定两个三角形全等的方法， 猜想判定两个三角形相似还 可能有什么方法？ 二、探究新知 已知△ABC. 1.画△DEF,使得 学生活动 设计意图 复习旧知， 引出 新知 回顾、交流

当

AB BC CA 2 DE EF FD

AB BC CA k DE EF FD时候，你能判断△ ABC 与 △ DEF 相 似 吗？ 探究 “三边对应 成比例的三角 形相似

2.比较∠A 与∠D 的大小，由此，能判断△ABC 与△DEF 相似吗？ 为什么？ 判定方法四：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边 对应成比例，那么这两个三角形相似。 几何语言： 在△ABC 和△DEF 中， ∵

AB BC CA DE EF FD

∴△ABC∽△DEF 三、例题与练习 1.已知：在△ABC 中，AB=4,BC=5,CA= 6. (1) 如果 DE=10, 那么当 EF=___, FD=___ 时， △DEF∽△AB C; (2)如果DE=10,那么当EF=___,FD=___时，△FDE∽△ABC. 2. (1)如图，若 A、B、C、P 、Q、甲、乙、丙、丁都是方格纸 的格点，为使△ABC∽△PQR,则点 R 应是甲、乙、丙、丁 4 点中的( ) . (A)甲 (B)乙 (C)丙 (D)丁 (2 )下面给出 4 个结论：①所 有的等腰三角形都相似；②所有 的直角三角形都相似；③所有的等边三角形都相似；④所有 的矩形都相似. 其中，正确的有( ) . (A) 1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个 3. (1)在△ABC 中，AB:BC: CA=2:3:4,在△A ′B′C′ 中，A′B′=1,C′A′=2, 当 B′C′=_____时，△ 独立完成后，再交流。 ABC∽△A′B′C′. ( 2)在△ABC中，AB=6,AC=8,在△A′B′C′中， A′B′=4,A′C′=3,若BC:B′C′=____,则△ABC∽△_ . 4.强强为了装饰自己的房间，想要制作两个三角形的框架，其中 一个三角形框架 的三边长分别为4、5、6,另一个三角形框架的一 边长为2.你认为 他可以如何选料使这两个三角形相似？[来源:学科网] [来源:学科网]

巩固识别方法 三， 找三边对应 成比例

小题目， 夯实基 础， 增强学生学 习信心。

图形的相似全章教案,内容包括：图上距离和实际距离,黄金分割,相似三角形的识别、性质、应用。

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主备：王霞

审核：八年级数学组

5、已知：如图，四边形 A BCD 为平行四边形， 试说明： (1)

AE AB ; AD CF

_ D

_ C

(2)若连接 AC 交 DE 于点 G, 则 DG 是 EG、FG 的比例中项._ A _ B

_ F

_ E

6、有人猜想三角形内角平分线有 这样一个性质:如图,在△ABC 中, AD 平分 ∠BAC,则

E A

BD AB . CD ACB

如果你认为这个猜想是正确的, 请写出一个完整的推理 过程 D C 合作探究 讨论交流 尝试完成推理。 适当拔高， 链接 中考， 为学习能 力强的学生提 供机会。E

(利用图中辅助线：作 BE//AD 交 CA 延长线于

E)说明这个猜想的 正确性; 如果你认为这个猜想不正确,也请说明理由.A

7.如图，已知在△ABC 中，∠ACD=∠B, CE²BC=BD²CD.试说明：DE∥BC.D

B

C

D8、如图，已知矩形 ABCD 中，AB=10cm, BC=2 0cm,两只蚂蚁 P 和 Q 同时分别从 A、B 出发，沿 AB、BC 向 B、C 方向前进， P 蚂蚁每秒钟走 1cm,Q 蚂蚁每秒钟的速度

C

Q B

A 是 P 蚂蚁的速度的 2 倍，结果同时到达 B 和 C 点，

P (1)都爬行 4 秒钟后 ，两蚂蚁的 最短距离 PQ 长是多少 cm?

(2)两蚂蚁同时出发 t 秒钟后，以 P、B、Q 为顶点的三角形与以 A、B、D 为顶点的三角形相似，求 t 的值； (3)是否存在这样的t(秒)值，使PQ∥AC?若存在，求出t的值， 若不存在，请说明理由. 授后小记

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教学课题 相似三角形的识别(4) 教学目标： 1. 灵活运用三角形相似的不同条件 解决问题， 进一步体会判断三角形相似的各种方法的特征. 2.通过对具体问题的分析和思考，提高分析问题和解决问题的能力. 教学重点： 教学难点： 教学过程： 教学过程：教师活动 一、情境创设： 1、判定两个三角形相似的条件有哪些？ 2、根据下列条件，试判 别△A′B′C′与△ABC 是否相似，并 说明理由： ( 1)∠A=70°,∠C=65°,∠A′=70°,∠B′=35°; (2)∠B=55°,AB=6cm,BC=7cm, ∠B′=55°,A′B′=18cm ,B′C′=21cm; (3)AB=10cm,BC=8cm,AC=16cm, A′B′=16cm,B′C′=12.8cm,A′C′=25.6cm. 3、 如图， 要使△ACD∽△ABC, 需要添加的一个条件是 A D B 二、例题讲解 1、 如图 Rt△ABC 中， ∠ACB=90 °, CD 是斜边 AB 上的高. (1) 图中有哪几对相似三角形？ 请用符号把它们表示出来，并说 明理由； (2)AC 是哪两条线段的比例中项？为什么？ △ADE 与△ABC 相 似有两种情况。 2.在△ABC 中，点 D、E 分别在 AB、AC 上，AD=4,DB=2, △ADE∽ △ABC 是 AC=8. 当 AE=______时， △ADE∽ △ABC; 当 AE=_______时， 已经对应顶点对应 △ADE∽△ACB 写的。 (3)若 AD=4,BD=9,求 CD 和 BC 的长. 3.(1)P 是 Rt △ABC 的斜边 BC 上异于点 B、C 的一点，过点 P 作直线截△ABC, 使截得的三角形与△ABC 相似，满足这 样条件的直线共有( ) . (A)1 条 (B)2 条 (C)3 条 (D)4 条 (2)如图，在正方形 ABCD 中，E 是 CD 的中点，FC= 灵活应用这些 识别方法解决 问题。 A D B C C 本例题重点在于发 现直角三角形中的 相似：射影定理 . 学生活动 设计意图 复习知识， 灵活 应用这些识别 方法解决问题。

回顾 独立完成练习

1 BC.图中与△ADE 相似 4

的三角形有( ) . ( A)0 个 (B)1 个 (C)2 个 (D)3 个

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4. 如图， 在梯形 ABCD 中， AD∥BC, AD<BC, AD=5, AB=DC =2, 等 腰 梯 形 同 一 底 上 P 为 AD 上的一点， ∠B PC= ∠A. △ABP 与△ DPC 相似吗？ 的两个底角相等。 为什么？

[来源:学&科&网 Z&X&X&K]

找准已有条件， 弄清还需要的 条件，合理推 理。 培养学生分析、 推理能力。 规范书写过程。

5.如图，在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，连接并 延长 DE 交 BC 的延长线于点 F ,连接 DC、BE.若∠BDE+∠ BCE=180°. (1)写出图中 3 对相似三角形(注意：不得添加字母和线 ) ; (2) 请在你所找出的相似三角形中选取 1 对， 说明它们相似的 理由 .

[来源:学

6.如图，在△ABC 中，CD⊥AB,DE⊥AC,DF⊥BC ,垂足分 别为 D、E、F. (1 )CA²CE 与 CB²CF 相等吗？为什么？ (2)连接 EF 交 CD 于点 O,线段 OC、OD、OE、OF 成比 例吗？

射影定理的应用，找 准相似三角形

课堂小结：

授后小记：

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10.5 相似三角形的性质(1) 教学课题 教学目标：1、探索相似三角形 的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2、运用类比的思想 方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线 段(高、中线、角平分线)的比等于相似比；周长之比等于 相似比，面积之比等于相似比的平方。3、发展学生合情推理，和有条理的表达能力。

教学重点：相似三角形的性质 教学难点：有条理的表达与推理 教学过程： 教学过程：教师活动一、知识回顾 1.什么样的三角形叫做相似三角形？ 2.由相似三角形的概念,相似三角形具有哪些性质? 二、探究新知 若△ABC∽△ A'B'C', 相似比是 k,

学生活动相似三角形的对应 角相等 , 对应边成比 例. 根据“相似三角形的 对应边成比例”和比 例的基本性质证明， 并归纳出性质一：相 似三角形的周长的 比等于相似比。

设计意图 复习回顾，引 入新课根据旧知探究 新知

也就是

AB AC BC = = = k ,你能得到等式 A ' B ' A 'C ' B 'C '

推广到多边形

AB + AC + BC = k 成立吗？ A ' B '+ A ' C '+ B ' C '结论：相似三角形的周长的比等于相似比。 思考：相似多边形的周长的比等于 证明： 连接对角线 把多边形相似转化 为三角形相似 练习： 1.已知△ABC∽△ A'B'C'其相似比是 2, △ABC 的周长是 36, 则 A'B'C'的周长是________. 2.小明把 1 米长的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形且 相似比为 3:5,那么截成的两段铜丝的长度差是_______. 3.已知两个相似多边形的相似比是 4:5,周长的和是 18cm,则两个 多边形的周长分别是___________. 证明：相似三角

形的对应边上的高之比等于相似比。 画图，写清已知、求证，再证明 探究相似三角形的面积之比与相似比的关系。 结论：相似三角形的面积的比等于相似比的平方. 相似多边形的面积的比等于 . 练习：1、给形状相同且对应边的比为 1:2 的两块标牌的表面涂 漆，如果小标牌用漆半听，那么大标牌用漆需要____听. 2、如图:在△ABC 中,M、N 分别是 AB、 AC 的中点, 练习 巩固新知 练习巩固新知

把高换成中线 换成角平分线 证明推广

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(1)△AMN 与△ABC 的面积比是____; (2)△AMN 与四边形 MNCB 的面积比是_________; 三、例题讲解 1.在比例尺为 1:500 的地图上,测得一个三角形地块 ABC 的周长为 12cm,面积为 6 cm ,求这个地块的实际周长和面积. 读题，弄清比例尺的 意思2

例题 巩固新知， 规范 书写

2. 四边形 ABCD 是平行四边形,点 E 是 BC 的延长线上的一点,而 CE:BC=1:3,试求: (1) △ADG 和△EBG 的周长比和面积比. (2)若△DFG 的面积为 9,求△ABG 的面积.

四、练习： 1.两个相似五边形的面积比为9:16,其中较大的五边形的 周长为64cm,则较小的五边形的周长为_______cm. 2.如图,DE∥BC,AD:DB=1:2,DC,BE交于点O,则△DOE与 △BOC的周长之比是_________,面积比是________.

快速独立完成

基础题 给基础差的学 生机会和信心。

五、课堂小结：1、基础知识： 2、方法：六、作业： 授后小记：

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教学课题

10.5 相似三角形的性质(2)

教学目标： 1、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；2、经历“操作—观察—探索—说理” 的数学活动过程，发展合情推理 和有条理的表达能力.

教学重点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题. 教学难点：利用相似三角形相似比的性质解决问题. 教学过程： 教学过程：教师活动一、复习 1、如图，已知：△ABC∽△EFG ,相似比为 EH⊥FG ,D、H 为垂足，填下列空格.

学生活动

设计意图

4 ,且 AD⊥BC , 3

复习： 相似三角形对应角 相等，对应边成比例

(1)∠BAC = ( (2)

, ∠B = ) = = (

, ∠C =

.

AB = EF

)' ' '

2、 (1)△ABC 三边长之比为 3 : 4 : 6,且△ A B C 的最长边为 18cm,若△ABC∽ △ A B C ,则△ A B C 的周长为______ cm。 (2)将三角形每条边都扩大到原来的 5 倍，则新三角形面积将扩 大到原来的_______ 倍。 3、已知 CD 为 Rt△ABC 斜边 AB 上的高. ⑴ 已知 AD = 9cm ,CD = 6cm ,求 BD . ⑵已知 AB = 25cm ,BC = 15cm ,求 BD .' ' ' ' ' '

复习相似三角形周 长之比等于相似比， 面积之比等于相似 比的平方。

复习旧知， 为新

课打下基础。

小题目， 为基础 差的学生提供 机会，增强信 心。

全等三角形与相似三角形性质比较 全等三角形 对应边相等 对应角相等 周长相等 面积相等 对应高相等 对应中线相等 对应角平分线相等 相似三角形 对应边的比等于相似比 对应角相等 周长的比等于相似比 面积的比等于相似比的平方 对应高的比_____________ 对应中线的比___________ 对应角平分线的比__________ 归纳比较， 便于 理解记忆。

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例题讲解 1.如图：与小孔 O 相距 32cm 处有一枝长 30cm 处燃烧的蜡烛 AB, 经小孔，在与小孔相距 20cm 的屏幕上成像，求像 A'B'的长度. 变式练习： 如图是一个照相机成像的示意图。 如果底片 AB 宽 35mm, 焦距是 70mm, 拍摄 5m 外的景物 A′B ′有多宽？如果焦距是 50mm 呢

找相似三角形，名确 距离 32cm,20cm 的意 思

相似三角形的 性质的应用

变式练习， 巩固 应用 类比练习

2.如图： △ABC是一块锐角三角形的余料，边长BC=120mm, 高AD=80mm,要把它加工成正方形零件， 使正方形的一边在BC上， 其余两个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？ 相似三角形的 性质的应用

分析、交流

思考题： 有一块三角形铁片ABC,BC=12cm,高AH=8cm,按下(1)、(2) 两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG,且要求矩形的长是 宽的2倍， 为了减少浪费， 加工成的矩形铁片的面积应尽量大些。 请你通过计算判断(1)、(2)两种设计方案哪个更好？

审题 分析 交流

相似三角形的 性质的应用

课堂小结作业

授后小记

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w8jm.html