高中新课程作业本_数学_选修2-1 参考答案

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高中新课程作业本_数学_选修2-1 参考答案

答案与提示

第一章常用逻辑用语

11命题及其关系

111命题

112四种命题

1.C2.C3.D4.若A不是B的子集,则A∪B≠B5.①6.逆

7.(1)若一个数为一个实数的平方,则这个数为非负数.真命题

(2)若两个三角形等底等高,则这两个三角形全等.假命题

8.原命题:在平面中,若两条直线平行,则这两条直线不相交.

逆命题:在平面中,若两条直线不相交,则这两条直线平行.

否命题:在平面中,若两条直线不平行,则这两条直线相交.

逆否命题:在平面中,若两条直线相交,则这两条直线不平行.

以上均为真命题

9.若ab≠0,则a,b都不为零.真命题

10.逆否命题:已知函数f(x)在R上为增函数,a,b∈R,若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0,真命题.证明略

11.甲

113四种命题间的相互关系

1.C2.D3.B4.0个、2个或4个5原命题和逆否命题

6.若a+b是奇数,则a,b至少有一个是偶数;真

7.逆命题:若a2=b2,则a=b.假命题.

否命题:若a≠b,则a2≠b2.假命题.

逆否命题:若a2≠b2,则a≠b.真命题

8.用原命题与逆否命题的等价性来证.假设a,b,c都是奇数,则a2,b2,c2也都是奇数,又a2+b2=c2,则两个奇数之和为奇数,这显然不可能,所以假设不成立,即a,b,c不可能都是奇数

9.否命题:若a2+b2≠0,则a≠0或b≠0.真命题.

逆否命题:若a≠0,或b≠0,则a2+b2≠0.真命题

10.真

11.三个方程都没有实数根的情况为(4a)2-4(-4a+3)<0,

(a-1)2-4a2<0,

4a2+8a<0-32<a<-1.

所以实数a的取值范围a≥-1,或a≤-32

12充分条件与必要条件

121充分条件与必要条件

1.A2.B3.A4.(1)/(2)/(3)(4)/5.充分不必要

6.必要不充分7.“c≤d”是“e≤f”的充分条件8.充分条件,理由略

9.一元二次方程ax2+2x+1=0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件为a<0

10.m≥911.是

122充要条件

1.C2.B3.D4.假;真5.C和D6.λ+μ=17.略8.a=-3

9.a≤110.略11.q=-1,证明略

1.3简单的逻辑联结词

131且(and)

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132或(or)

133非(not)

1.A2.C3.C4.真5.①③6.必要不充分

7.(1)p:2<3或q:2=3;真(2)p:1是质数或q:1是合数;假(3)非p,p:0∈;真

(4)p:菱形对角线互相垂直且q:菱形对角线互相平分;真

8.(1)p∧q:5既是奇数又是偶数,假;p∨q:5是奇数或偶数,真;

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p:存在乘积为0的三个实数都不为0;假

9.(1)假(2)真(3)假(4)真10.a≥311.(-2,2)

单元练习

1.B2.B3.B4.B5.B6.D7.B8.D9.C10.D

11.5既是17的约数,又是15的约数;假12.[1,2)

13.在△ABC中,若∠C≠90°,则∠A,∠B不都是锐角14.充要;充要;必要15.b≥0

16.既不充分也不必要17.①③④18.a≥3

19.逆命题:两个三角形相似,则这两个三角形全等;假;

否命题:两个三角形不全等,则这两个三角形不相似;假;

逆否命题:两个三角形不相似,则这两个三角形不全等;真;

命题的否定:存在两个全等三角形不相似;假

20.充分不必要条件

21.令f(x)=x2+(2k-1)x+k2,方程有两个大于1的实数根

Δ=(2k-1)2-4k2≥0,

-2k-12>1,

f(1)>0,即k<-2,所以其充要条件为k<-2

22.(-3,2]第二章圆锥曲线与方程

21曲线与方程

211曲线与方程

1.C2.C3.B4.45.±556.y=|x|7.不是,理由略

8.证明略.M1(3,-4)在圆上,M2(-25,2)不在圆上

9.不能.提示:线段AB上任意一点的坐标满足方程x+y-3=0;但是,以方程x+y-3=0的解为坐标的点不一定在线段AB上,如P(-1,4),所以方程x+y-3=0不是线段AB的方程.线段AB的方程应该是x+y-3=0(0≤x≤3)

10.作图略.面积为4

11.c=0.提示:①必要性:若方程y=ax2+bx+c的曲线经过原点,即(0,0)是方程y=ax2+bx+c的解,则c=0;②充分性:若c=0,即方程y=ax2+bx+c为y=ax2+bx,则曲线经过原点(0,0) 212求曲线的方程

1.C2.B3.B4.y=5,或y=-55.x2-y2+6xy=0

6.y2=x+67.x2+y2=4(x≠±2)

8.x2+y2-8x-4y-38=0[除去点(-3,5),(11,-1)]

9.4x-3y-16=0或4x-3y+24=0.提示:设C(x,y),因为直线AB的方程为4x-3y+4=0,|AB|=5,且点C到直线AB的距离为|4x-3y+4|5,故12|4x-3y+4|=10

10.4x-4y-3=0.提示:抛物线的顶点坐标为-m-12,-m-54,设顶点为(x,y),则x=-m-12, y=-m-54.消去m得到顶点轨迹方程为4x-4y-3=0

11.x+2y-5=0

22椭圆

221椭圆及其标准方程(一)

1.C2.D3.A4.6546.±3327.(1)x2+y26=1(2)x225+y216=1

8.x24+y23=19.m∈(2,3)

10.x225+y29=1.提示:由△ABF2的周长为20,知4a=20,得a=5,又c=4,故b2=a2-c2=9

11.x225+y216=1(x≠±5).提示:以BC所在直线为x轴,线段BC的垂直平分线为y轴,建立坐标系,由已知得|AB|+|AC|=10,即点A的轨迹是椭圆,且2a=10,2c=6,故a=5,c=3,从而得b2=a2-c2=16,又当A,B,C三点共线时不能构成三角形,故点A的轨迹方程是

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x225+y216=1(x≠±5)

221椭圆及其标准方程(二)

1.B2.A3.B4.x26+y210=15.5或36.x24+3y24=1(x≠±2)

7.x25+y24=1或x25+y26=1.提示:分焦点在x轴、y轴上求解

8.(1)9

(2)当|PF1|=|PF2|=5时,|PF1||PF2|的最大值为25.提示:由|PF1||PF2|≤|PF1|+|PF2|2,得|PF1||PF2|≤|PF1|+|PF2|22=25,当且仅当|PF1|=|PF2|=5时取等号

9.x210+y215=1.10.54

11.x29+y24=1.提示:过点M作x轴、y轴的垂线,设点M(x,y),由相似三角形知识得,|x||OA|=35,|y||OB|=25,即有|OA|=5|x|3,|OB|=5|y|2,由|OA|2+|OB|2=|AB|2,得x29+y24=1

222椭圆的简单几何性质(一)

1.D2.C3.A4.165.146.4或1

7.长轴长2a=6,短轴长2b=4,焦点坐标为F1(0,-5),F2(0,5),顶点坐标为A1(-2,0),A2(2,0),B1(0,-3),B2(0,3),离心率e=ca=53

8.x24+y2=1或x24+y216=1

9.x216+y212=1.提示:由△AF1B的周长为16,可知4a=16,a=4;又ca=12,故c=2,从而b2=a2-c2=12,即得所求椭圆方程

10.(1)x24+y2=1(2)x-122+4y-142=1

11.e=22.提示:设椭圆方程x2a2+y2b2=1(a>b>0),则c2=a2-b2,F1(-c,0),P-c,b1-c2a2,即P-c,b2a.因为AB∥OP,所以kAB=kOP,即-ba=-b2ac,b=c,得e=22

222椭圆的简单几何性质(二)

1.D2.D3.A4.120°5.356.x212+y29=17.x24+y23=1

8.x277832+y277212=1.提示:以AB为x轴,AB的垂直平分线为y轴,建立直角坐标系,设椭圆的标准方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),则a-c=|OA|-|OF2|=|F2A|=6371+439=6810,a+c=|OB|+|OF2|=|F2B|=6371+2384=8755,解得a=77825,c=9725,所以b=a2-c2=8755³6810≈7721.因此,卫星的轨道方程是x277832+y277212=1

9.-3-22.提示:设原点为O,则tan∠FBO=cb,tan∠ABO=ab,又因为e=ca=22,所以a=2c,b=c,所以tan∠ABF=cb+ab1-cab2=1+21-2=-3-22

10.94.提示:设P(x,y),先由12(|PF1|+|PF2|+|F1F2|)²12=12²|F1F2||y|可求得y值,再确定点P的坐标

11.6-3.提示:连结F1Q,设|PF1|=m,则|PQ|=m,|F1Q|=2m,由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|=2a.∴|PF1|+|PQ|+|F1Q|=4a,,即(2+2)m=4a,∴m=(4-22)a.又|PF2|=2a-m=(22-2)a,在Rt△PF1F2中,|PF1|2+|PF2|2=(2c)2,即(4-22)2a2+(22-2)2a2=4c2,∴c2a2=9-62=3(2-1)2,∴e=ca=6-3

222椭圆的简单几何性质(三)

1.B2.D3.C4.835.2556.-127.5

8.(1)-52≤m≤52(2)x-y+1=0,或x-y-1=09.y275+x225=1

10.3x+4y-7=0.提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),则x214+y213=1①,x224+y223=1②,①-②得(x1-x2)(x1+x2)4+(y1-y2)(y1+y2)3=0,∴y1-y2x1-x2=-34²x1+x2y1+y2.又M为AB中点,∴x1+x2=2,y1+y2=2,∴直线l的斜率为-34,故直线l的方程为y-1=-34(x-1),即3x+4y-7=0

11.(1)所求轨迹为直线4x+y=0在椭圆内的一条线段(不含端点).提示:设l交C于点A(x1,y1),B(x2,y2),由y=x+m,

4x2+y2=1,得5x2+2mx+m2-1=0,由Δ>0,得4m2-4³5(m2-1)>0,得-52<m<52.设弦AB的中

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点为M(x,y),则x=x1+x22=-m5,又y=x+m,消去m,得4x+y=0-510<x<510

(2)5x-5y±10=0.提示:设P(x1,x2),Q(x2,y2),由(1)知x1,x2是方程5x2+2mx+m2-1=0的两个根,由OP⊥OQ,得x1x2+y1y2=0,将y1=x1+m,y2=x2+m代入并整理,得2x1x2+m(x1+x2)+m2=0,即有2²m2-15+m²-2m5+m2=0,解得m=±105∈-52,52,所以直线l的方程是y=x±105,即5x-5y±10=0

23双曲线

231双曲线及其标准方程

1.D2.C3.C4.(0,6),(0,-6)5176.28

7.(1)x216-y29=1(2)y220-x216=18.x23-y22=1

9.x29-y227=1(x<-3).提示:由正弦定理,结合sinB-sinC=12sinA,可得b-c=12a=12|BC|=6,故点A的轨迹是以B,C为焦点的双曲线的左支,且不含双曲线与x轴的交点.因为a双=3,c双=6,所以b2双=27,故所求动点的轨迹方程为x29-y227=1(x<-3)

1036.提示:分别记PF1,PF2的长为m,n,则m2+n2=400①,|m-n|=16②.①-②2得到2mn=144,所以△F1PF2的面积S=12mn=36

11.巨响发生在接报中心的西偏北45°,距中心68010m处.提示:以接报中心为原点O,正东、正北方向为x轴、y轴正方向,建立直角坐标系.则A(-1020,0),B(1020,0),C(0,1020),设P(x,y)为巨响发生点,由A,C同时听到巨响声,得|PA|=|PC|,故点P在AC的垂直平分线PO上,PO的方程为y=-x,因为点B比点A晚4s听到爆炸声,故|PB|-|PA|=340³4=1360,由双曲线定义知点P在以A,B为焦点的双曲线x2a2-y2b2=1上,依题意得a=680,c=1020,∴b2=c2-a2=10202-6802=5³3402,故双曲线方程为x26802-y25³3402=1,将y=-x代入上式,得x=±6805,∵|PB|>|PA|,∴x=-6805,y=6805,即P(-6805,6805),故|PO|=68010 232双曲线的简单几何性质(一)

1.B2.A3.C4.x2-3y2=365.60°6.53或54

7.实轴长2a=4;虚轴长2b=23;焦点坐标(-7,0),(7,0);顶点坐标(-2,0),(2,0);离心率e=ca=72;渐近线方程为y=±32x

8.(1)x29-y216=1.提示:设双曲线方程为y+43xy-43x=λ

(2)∠F1PF2=90°.提示:设|PF1|=d1,|PF2|=d2,则d1²d2=32,又由双曲线的几何性质知|d1-d2|=2a=6,∴d21+d22-2d1d2=36,即有d21+d22=36+2d1d2=100.又|F1F2|=2c=10,∴|F1F2|2=100=d21+d22=|PF1|2+|PF2|2.∴△PF1F2是直角三角形

9.x2-y22=1或y2-x22=110.y=±2x

11.(1)e1=ca=a2+b2a,e2=cb=a2+b2b,∴1e21+1e22=a2a2+b2+b2a2+b2=1

(2)22.提示:e1+e2=a2+b21a+1b≥2ab²21ab=22,当且仅当a=b时,(e1+e2)min=22 232双曲线的简单几何性质(二)

1.B2.C3.A4.465.466.(-12,0)

7.轨迹方程为y24-x23=1,点M的轨迹是以原点为中心,焦点在y轴上,且实轴、虚轴长分别4,23的双曲线

8.3x+4y-5=0

9.22.提示:设与直线l:x-y-3=0平行的双曲线的切线方程为y=x+m,根据直线与双曲线相切的充要条件可得m2=16,m=±4,由题意得m=-4,将y=x-4代入双曲线方程,得x=254,从而y=x-4=94,故切点坐标为254,94,即是所求的点,dmin=22

10.-2<k<-2

11.1713.提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),P(0,1),∵PA=512PB,∴(x1,y1-1)=512(x2,y2-1),由此得x1=512x2①.又由x2a2-y2=1,

x+y=1,得(1-a2)x2+2a2x-2a2=0,由题意Δ>0,故0<a<2且a≠1,x1+x2=-2a21-a2②,

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x1x2=-2a21-a2③,联立①②③,解得a=1713

24抛物线

241抛物线及其标准方程

1.C2.D3.B4.y2=-20x556.y2=-12x7.(9,6)或(9,-6)

8.若以(-3,0)为焦点,则抛物线的标准方程是y2=-12x;若以(0,2)为焦点,则抛物线的标准方程是x2=8y

9.y2=±6x

10.抛物线的方程为y2=-8x,m=26或m=-26.提示:设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点F-p2,0,准线方程为x=p2,由抛物线定义得点M到准线的距离|MN|=3+p2=5,∴p=4,抛物线方程为y2=-8x;又M(-3,m)在抛物线上,∴m=26,或m=-26

11.y2=8x

242抛物线的简单几何性质(一)

1.A2.C3.B4.y2=±6x526.727.y2=16x8.x2=8y

(第9题)9.能安全通过.提示:建立如图所示的直角坐标系,设抛物线方程为x2=-2py(p>0).A(20,-6)在抛物线上,∴400=-2p²(-6),解得-2p=-2003.∴x2=-2003y.

又∵B(2,y0)在抛物线上,∴4=-2003y0.∴y0=-350,∴|y0|<1,∴载有木箱的竹排可以安全通过此桥

10.灯泡应安装在距顶点约35mm处.提示:在车灯的轴截面上建立直角坐标系xOy.设抛物线方程为y2=2px(p>0),灯应安装在其焦点F处.在x轴上取一点C,使OC=69,过点C作x轴的垂线,交抛物线于A,B两点,AB就是灯口的直径,即AB=197,所以点A坐标为69,1972,将点A坐标代入方程y2=2px,解得p≈703,它的焦点坐标约为F(35,0),因此,灯泡应安装在距顶点约35mm处

11.设P(x0,y0)(x0≥0),则y20=2x0,∴d=(x0-a)2+y20=(x0-a)2+2x0=[x0+(1-a)]2+2a-1.∵a>0,∴x0≥0.

①当0<a<1时,1-a>0,此时有x0=0时,dmin=a

②当a≥1时,1-a≤0,此时有x0=a-1时,dmin=2a-1

242抛物线的简单几何性质(二)

1.D2.C3.B4.±8586.x2=2y7.y2=43913x.

8.b=2.提示:联立方程组y=x+b,

x2=2y,消去y,得x2-2x-2b=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),由OA⊥OB可得x1x2+y1y2=0,即x1x2+(x1+b)(x2+b)=0,也即2x1x2+b(x1+x2)+b2=0.由韦达定理,得x1+x2=2,x1x2=-2b,代入解得b=2(舍去b=0)

9.-34.提示:当直线AB的斜率存在时,设lAB:y=kx-12,代入y2=2x,得ky2-2y-k=0,

∴y1y2=-1,x1x2=y21y224=14,所以OA²OB=x1x2+y1y2=-34;当直线AB的斜率不存在时,即lAB:x=12,也可得到OA²OB=-34

1032.提示:假设当过点P(4,0)的直线的斜率存在,设为k,则直线方程为y=k(x-4),代入y2=4x,得k2x2-(8k2+4)x+16k2=0,∴x1+x2=8k2+4k2,∴y21+y22=4(x1+x2)=4³8k2+4k2=48+4k2>32.当过点P(4,0)的直线的斜率不存在时,直线方程为x=4,则x1=x2=4,y21+y22=4(x1+x2)=4³8=32;故所求的最小值为32

11.设A(x1,y1),B(x2,y2),当AB的斜率存在时,设AB方程为y=kx-p2,代入y2=2px,得y2-2pyk-p2=0,∴y1y2=-p2,x1x2=y212p²y222p=p24,又|AF|=x1+p2=m,|BF|=x2+p2=n, ∴x1+x2=m+n-p.∵x1+p2x2+p2=x1x2+p2(x1+x2)+p24=mn,

∴p24+p2(m+n-p)+p24=mn,∴p2(m+n)=mn,∴1m+1n=2p.当直线AB的斜率不存在时,m=n=p,上述结论也成立

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242抛物线的简单几何性质(三)

1.A2.C3.C435.(2,3)6.4837.y=14x+1,y=1,x=08.略

9.(1)y2=x-2.提示:设直线OA:y=kx,则OB:y=-1kx,由y2=2x,

y=kx,得A2k2,2k;由y2=2x,

y=-1kx,得B(2k2,-2k),设AB的中点坐标为(x,y),则x=1k2+k2,

y=1k-k,消去k得所求的轨迹方程为y2=x-2

(2)由(1)知,直线AB的方程为y+2k=k1-k2(x-2k2),令y=0,得它与x轴的交点为(2,0).其坐标与k无关,故为定值

10.略

11.(1)y2=32x

(2)∵yA=8,∴xA=2.∵F(8,0)为△ABC的重心,∴xA+xB+xC3=8,

yA+yB+yC3=0,即有xB+xC=22,

yB+yC=-8.又y2B=32xB,

y2C=32xC,故(yB+yC)(yB-yC)=32(xB-xC),所以yB-yCxB-xC=-4,即直线BC的斜率为-4 单元练习

1.C2.C3.B4.C5.B6.C7.B8.A9.B10.B

11.212.8513.y=±23x14.23

15.点P的轨迹方程是x-y-2=0,点Q的轨迹方程是y=-2

16.(1)由a=3,c=2,得b=1,∴椭圆的标准方程为x23+y2=1

(2)由y=x+m,

x23+y2=1,解方程组并整理得4x2+6mx+3m2-3=0.由Δ>0,得-2<m<2

17.32或52.提示:由AB∥CD,设AB为y=x+b(b≠4),代入y2=x,得x2+(2b-1)x+b2=0,由Δ=1-4b>0,得b<14.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=2|x1-x2|=2(1-4b).又AB与CD间距离为|b-4|2,|AB|=|CB|,∴2(1-4b)=|b-4|2,解得b=-2或-6.

∴当b=-2时,正方形边长|AB|=32;当b=-6时,正方形边长|AB|=52

18.(1)不妨设点M在第一象限,由双曲线x2-y2=1,得a=1,b=1,c=2.∴|MF1|-|MF2|=2. ∴(|MF1|+|MF2|)2=(|MF1|-|MF2|)2+4|MF1|²|MF2|=4+4³54=9.

∴|MF1|+|MF2|=3>|F1F2|.故点M在以F1,F2为焦点的椭圆上,其中a′=32,c′=2,b′=12.∴点M在椭圆x294+y214=1,即在4x2+36y2=9上

(2)由x2-y2=1,

4x2+36y2=9,解得M324,24.又点M在抛物线y2=2px上,代入方程,得18=2p²324,解得p=224,故所求的抛物线方程为y2=212x

19.由y=-12x+2,

x2a2+y2b2=1,消去y整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=8a2a2+4b2,x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2. 设AB的中点为M(xM,yM),则xM=x1+x22=4a2a2+4b2,yM=-12xM+2=8b2a2+4b2. ∵kOM=yMxM=12,∴2b2a2=12,即a2=4b2.

从而x1+x2=8a2a2+4b2=4,x1x2=16a2-4a2b2a2+4b2=8-2b2.又|AB|=25,

∴1+14(x1+x2)2-4x1x2=25,即5216-4(8-2b2)=25,解得b2=4.

∴a2=4b2=16,故所求椭圆方程为x216+y24=1

20.(1)Q(5,-5).提示:解方程组y=12x,

y=18x2-4,得x1=-4,

y1=-2或x1=8,

y1=4,即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB=12,得直线AB的垂直平分线方程

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y-1=-2(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5)

(2)直线OQ的方程为x+y=0,设Px,18x2-4.∵点P到直线OQ的距离d=x+18x2-42=182|x2+8x-32|,|OQ|=52,∴S△OPQ=12|OQ|d=516|x2+8x-32|.∵点P为抛物线上位于线段AB下方的点,且点P不在直线OQ上,∴-4≤x<43-4,或43-4<x≤8.∵函数y=x2+8x-32在区间[-4,8]上单调递增,∴当x=8时,△OPQ的面积取到最大值30第三章空间向量与立体几何

31空间向量及其运算

311空间向量及其加减运算

1.D2.C3.C4.BB′,CC′,DD′5.AD,CA6.①②③④

7.(1)CA(2)AC(3)0(4)AB

8.作向量OA=a,AB=b,OC=c,则CB就是所作的向量

9.A1B=-a+b-c,AB1=-a+b+c

10.AB.提示:先分别用AB,AD,AA′表示AC′,D′B,再相加

11.(1)AC′.提示:利用MC′=BN(2)A′B′

312空间向量的数乘运算

1.A2.A3.C4.①③5.256.①②③7.(1)AB1(2)NA1

8.MN=-12a-12b+14c9.AM=12a+12b+12c

10.EF=3a+3b-5c.提示:取BC的中点G,利用EF=EG+GF求解

11.提示:(1)由AC=AD+mAB,EG=EH+mEF直接得出

(2)EG=EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)=k(OD-OA)+mk(OB-OA)=kAD+mkAB=kAC 313空间向量的数量积运算

1.D2.C.提示:①②③正确3.D4.-175.①②③65

7.提示:AC²BD′=AC²(BD+DD′)=AC²BD+AC²DD′=0

812.利用PC=PA+AB+BC平方求解

9.14.提示:将a+b=-c两边平方,得a²b=32,再利用cos〈a,b〉=a²b|a||b|求解 10.120°.提示:利用公式cos〈a,b〉=a²b|a||b|求解

112或2.提示:利用BD=BA+AC+CD两边平方及〈BA,CD〉=60°或120°

314空间向量的正交分解及其坐标表示

1.D2.A3.C4.-3j5.(-2,3,-5)

6.M1(3,-6,9),M2(-3,-6,9),M3(3,6,-9)

7.2,-5,-88.AE=-12DA+12DC+DD′;AF=-12DA+DC+12DD′

9.提示:证明AD=2AB+3AC

10.提示:假设{a+b,a-b,c}不构成空间的一个基底,则存在x,y∈R,使得c=x(a+b)+y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,知a,b,c共面,与题设矛盾

11.DM=12a+12b-c;AQ=13a+13b+13c

315空间向量运算的坐标表示

1.C2.C3.D4.(1,4,-1);2355.(2,4,-4)或(-2,-4,4)

6.120°7.(1)(8,-1,1)(2)(5,0,-13)(3)-7(4)-15

8.(1)x=17(2)x=-52

9.[1,5].提示:|AB|=(3cosα-2cosβ)2+(3sinα-2sinβ)2+(1-1)2=13-12cos(α-β)

10.65.提示:cos〈a,b〉=a²b|a||b|=-27,得sin〈a,b〉=357,由S=|a|²|b|sin〈a,b〉可得结果

11.(1)证明BF²DE=0

(2)1010.提示:分别以DA,DC,DD′为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz,利用坐

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标运算计算得出

单元练习一

1.C2.A3.C4.B5.A6.37.1538.x<-49.213

10.-112AB-13AC+34AD11.13512.17+63

13.90°.提示:(a+b)²(a-b)=a2-b2=0

14.提示:设AB=b,AC=c,AD=d,则b2=d2,(b-c)2=(d-c)2,∴b²c=d²c,而BD²AC=(d-b)²c=d²c-b²c=0,∴BD⊥AC

15.156.提示:不妨设正方体的棱长为1,分别以DA,DC,DD′为单位正交基底建立空间直角坐标系Oxyz,利用坐标运算计算得出

32立体几何中的向量方法(一)

1.B2.C3.D4.相交(但不垂直)5.互余6.相等或互补

7.-27,37,67或27,-37,-67.提示:所求单位法向量为:±AB|AB|

8.-1或49.814.提示:由题意a∥u,解得x=34,y=9

10.12,-1,1.提示:设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,1),则由n²AB=0且n²AC=0,解得x=12,y=-1

11.垂直.提示:证明n²AB=0且n²AC=0

32立体几何中的向量方法(二)

1.D2.B3.C4.3,25.2π3或π3

6.VOBCD·OA+VOCDA·OB+VODAB·OC+VOABC·OD=0

7.26.提示:利用CD=CA+AB+BD,平方及CA⊥AB,AB⊥BD,CA⊥BD求解

8.x=13+6cosθa.提示:利用AC′=AB+AD+AA′,再平方求解

9.60°.利用AC′=AB+AD+AA′,平方求解

10.a2+b2.提示:利用CD=CA+AB+BD,平方及〈CA,BD〉=120°求解

11.63.提示:连结AC,AC2=(AB+BC)2=3,∴AC=3,又AA′²AC=AA′²(AB+BC)=cos60°+cos60°=1.∴cos∠A′AC=AA′²AC|AA′||AC|=13∴所求距离=|AA′|sin∠A′AC=63 32立体几何中的向量方法(三)

1.B2.D3.B4相等或互补5.30°6.90°

72.提示:∵CD=CA+AB+BD,AC⊥l,BD⊥l,A,B∈l,∴CA²AB=0,AB²BD=0.又CA与BD成60°的角,对上式两边平方得出结论

8.45

9.60°.提示:令C(-2,0),D(3,0),利用AB=AC+CD+DB两边平方,及AC⊥CD,CD⊥DB,〈CA,DB〉=θ求解

10.155.提示:以D为原点,直线DA,DC,DD1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系.可求得平面BB1D的法向量为n=(1,-1,0),设θ是BE与平面BB1D所成的角,则sinθ=|cos〈BE,n〉|=|BE²n||BE||n|=105.∴cosθ=155

11.22.提示:以A为原点,直线AD,AB,AS分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则依题意可知D12,0,0,C(1,1,0),S(0,0,1),可知AD=12,0,0=n1是面SAB的法向量.设平面SCD的法向量n2=(x,y,z).∵SD=12,0,-1,DC=12,1,0,n2²SD=0,n2²DC=0,可推出x2-z=0,x2+y=0,令x=2,则有y=-1,z=1,∴n2=(2,-1,1).设所求二面角的大小为θ,则cosθ=n1²n2|n1||n2|=12³2+0³(-1)+0³112222+12+12=63,∴tanθ=22

32立体几何中的向量方法(四)

1.C2.D3.B4.33a5.246.227.491717

8.33.提示:以B为原点建立空间直角坐标系,得下列坐标:B(0,0,0),C(1,0,0),D(1,1,0),B1(0,0,1),则BD=(1,1,0),B1C=(1,0,-1),BB1=(0,0,1),设与BD,B1C

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都垂直的向量为n=(x,y,z),则由BD²n=0和B1C²n=0,令x=1,得n=(1,-1,1),∴异面直线BD与B1C的距离d=|BB1²n||n|=33

9.以D为原点建立空间直角坐标系,得下列坐标:D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),M(0,0,a),E(a,0,a),F(0,a,a),Pa2,0,a2,Qa2,a2,0.设n=(x,y,z)是平面EFB的法向量,则n⊥平面EFB,∴n⊥EF,n⊥BE,又EF=(-a,a,0),EB=(0,a,-a),即有-ax+ay=0,

ay-az=0x=y=z,取x=1,则n=(1,1,1),∵PE=a2,0,a2,∴设所求距离为d,则d=|PE²n||n|=33a 10.33a

(第11题)11.(1)建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(2,4,0),A(2,0,0),C(0,4,0),E(2,4,1),C1(0,4,3).设F(0,0,z).

∵AEC1F为平行四边形,∴AF=EC1,即(-2,0,z)=(-2,0,2),∴z=2.∴F(0,0,2).∴BF=(-2,-4,2).于是|BF|=26,即BF的长为26

(2)设n1为平面AEC1F的法向量,显然n1不垂直于平面ADF,故可设n1=(x,y,1).由n1²AE=0,

n1²AF=0,得

x=1,

y=-14.又CC1=(0,0,3),设CC1与n1的夹角为α,则cosα=CC1²n1|CC1|²|n1|=43333. ∴点C到平面AEC1F的距离为d=|CC1|cosα=43311

32立体几何中的向量方法(五)

1.B2.D3.A4.-165.30°6.①②④

7.不变,恒为90°.提示:以A为原点,AB,AC,AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,易证明PN²AM恒为0

8.2.提示:设平面ABC的法向量为n,直线PN与平面ABC所成的角为θ,利用sin〈PN,n〉=|PN²n||PN||n|求解

9.155.提示:以A为原点,AB,AD,AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,由已知先得出AD=233.易知平面AA1B的一个法向量m=(0,1,0),设n=(x,y,z)是平面BDF的一个法向量,BD=-2,233,0,由n⊥BF,

n⊥BDn²BF=0,

n²BD=0-x+z=0,

2x-233y=0x=z,

3x=y.不妨设n=(1,3,1),所以cos〈m,n〉=m²n|m||n|=155

10.255.提示:点A到平面BDF的距离,即AB在平面BDF的法向量n上的投影的长度,所以距离=|AB²cos〈AB,n〉|=|AB²n||n|=255,所以点A到平面BDF的距离为255

11.(1)60°.提示:以A为原点,AB,AC,AA1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Axyz,设AC=AB=A1A=2,则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),E(1,1,0),A1(0,0,2),G(0,2,1),

∴AE=(1,1,0),A1C=(0,2,-2),∴cos〈AE,A1C〉=AE²A1C|AE||A1C|=12

(2)66.提示:设平面AGE的法向量为n1=(x,y,z),则AG²n1=0,AE²n1=0,令x=1,得n1=(1,-1,2),又平面AGC的法向量为n2=(1,0,0),∴cos〈n1,n2〉=n1²n2|n1||n2|=66

(3)66.提示:∵平面AGE的法向量为n1=(1,-1,2),AC=(0,2,0),∴sin〈AC,n1〉=|AC²n1||AC||n1|=66

单元练习二

1.D2.C3.C4.A5.D6.C7.D8.A9.B10.A

11.229,329,-42912.21513.54,7214.-4或x=1

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15.π216.①③17.43,43,8318.337,-157,-319.不共面

20.以点C为坐标原点,以CA,CB分别为x轴和y轴,过点C作与平面ABC垂直的直线为z轴,建立空间直角坐标系Cxyz,设EA=a,则A(2a,0,0),B(0,2a,0),E(2a,0,a),D(0,2a,2a),M(a,a,0).

(1)∵EM=(-a,a,-a),CM=(a,a,0),∴EM²CM=0,故EM⊥CM

(2)设向量n=(1,y0,z0)与平面CDE垂直,则n⊥CE,n⊥CD,即n²CE=0,n²CD=0. ∵CE=(2a,0,a),CD=(0,2a,2a),∴y0=2,z0=-2,即n=(1,2,-2),

∴cos〈n,CM〉=CM²n|CM|²|n|=22,则所求的角是45°

21.(1)略(2)24(3)217

(第22题)22.(1)如图,建立空间直角坐标系Dxyz.设A(a,0,0),S(0,0,b),则B(a,a,0),C(0,a,0),Ea,a2,0,F0,a2,b2,EF=-a,0,b2.取SD的中点G0,0,b2,则AG=-a,0,b2.

∴EF=AG,EF∥AG,又AG平面SAD,EF平面SAD,

∴EF∥平面SAD

(2)33.提示:不妨设A(1,0,0),则B(1,1,0),C(0,1,0),S(0,0,2),E1,12,0,F0,12,1,EF的中点M12,12,12,MD=-12,-12,-12,EF=(-1,0,1),MD²EF=0,∴MD⊥EF.又EA=0,-12,0,EA²EF=0,∴EA⊥EF.所以向量MD和EA的夹角等于二面角AEFD的平面角.

cos〈MD,EA〉=MD²EA|MD|²|EA|=33,所以二面角AEFD平面角的余弦值为33 综合练习(一)

1.C2.A3.B4.C5.A6.B7.D8.C9.B10.B

11.若a≠0或b≠0,则a2+b2≠0(a,b∈R)12.4或-5413.-4<k<-1,或k>1

14.-83

15.925.提示:以点D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则A1(4,0,3),B(4,4,0),B1(4,4,3),C(0,4,0),得A1B=(0,4,-3),B1C=(-4,0,-3).设A1B与B1C的夹角为θ,则cosθ=A1B²B1C|A1B|²|B1C|=925

16.y216-x29=1,y240+x215=1.提示:由共同的焦点F1(0,-5),F2(0,5),可设椭圆方程为y2a2+x2a2-25=1,双曲线方程为y2b2-x225-b2=1

17.y2=-4x,或y2=12x.提示:设抛物线的方程为y2=2mx,则y2=2mx,

y=2x+1,消去y得4x2-(2m-4)x+1=0,|AB|=1-k2|x1-x2|=5(x1+x2)2-4x1x2=15,则m24-m=3,m2-4m-12=0,m=-2或6,∴y2=-4x,或y2=12x

18.163.提示:a=3,c=5,不妨设PF1>PF2,则PF1-PF2=2a=6,F1F22=PF21+PF22-2PF1²PF2cos60°,而F1F2=2c=10,得PF21+PF22-PF1²PF2=(PF1-PF2)2+PF1²PF2=100,

PF1·PF2=64,S=12PF1·PF2sin60°=163

19.提示:以D为坐标原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系Dxyz,则有A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),A1(1,0,2),B1(1,1,2),C1(0,1,2),D1(0,0,2).

(1)∵A1C1=(-1,1,0),AC=(-2,2,0),D1B1=(1,1,0),DB=(2,2,0).∴AC=2A1C1,DB=2D1B1.∴AC与A1C1平行,DB与D1B1平行,于是A1C1与AC共面,B1D1与BD共面 (2)DD1²AC=0,DB²AC=0,∴DD1⊥AC,DB⊥AC.DD1与DB是平面B1BDD1内的两条相交直线.∴AC⊥平面B1BDD1.又AC平面A1ACC1,∴平面A1ACC1⊥平面B1BDD1

20.-15.提示:AA1=(-1,0,2),BB1=(-1,-1,2),CC1=(0,-1,2).设n=(x1,y1,z1)为平面A1ABB1的法向量,则n²AA1=-x1+2z1=0,n²BB1=-x1-y1+2z1=0.于是y1=0,取z1=1,得x1=2,故n=(2,0,1).设m=(x2,y2,z2)为平面B1BCC1的法向量,m²BB1=-x2-y2+2z2=0,m²CC1=-y2+2z2=0.于是x2=0,取z2=1,则y2=2,m=(0,2,1),cos〈m,n〉=m²n|m||n|=15.∴二面角ABB1C的平面角的余弦值为-15

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综合练习(二)

1.D2.A3.C4.B5.D6.D7.C8.A9.A10.D

11.(±7,0)12.1或213.y2=12(x+3)14.-13,13,-13

15.x=-3,-2,-1,0,1,2,3,4.提示:“

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