2010年第五届卡西欧杯全国高中青年教师优秀课观摩与评比活动教案

2010年第五届全国高中青年数学教师优秀课观摩与评选活动交流材料

人教版全日制普通高级中学教科书（必修）第二册

椭圆及其标准方程教学设计

云南省玉溪市第一中学 姚艳萍

2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

椭圆及其标准方程

一、教学目标

1．知识目标：掌握椭圆的定义，能正确推导椭圆的标准方程．

2．能力目标：通过引导学生亲自动手尝试画椭圆，让学生发现椭圆的形成过程进而归纳出椭圆的定义 , 培养学生的动手能力、合作学习能力以及运用所学知识解决实际问题的能力． 3．情感目标

（1）通过椭圆定义的获得培养学生探索数学的兴趣.

（2）通过椭圆标准方程的推导培养学生求简意识并能懂得欣赏数学的“简洁美”.

（3）通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识. 二、重点、难点

重点：掌握椭圆的定义及标准方程，理解坐标法的基本思想． 难点：椭圆标准方程的推导与化简．

三．教学方法：探究式教学法，即教师通过问题诱导→启发讨论→探索结果，引导学生直观观察→归纳抽象→总结规律，使学生在获得知识的同时，能够掌握方法、提升能力．

四．教具准备：多媒体课件和自制教具：呼啦圈，绘图板、图钉、细绳． 五、教学过程

（一）创设情境，认识椭圆．

材料1：对椭圆的感性认识.通过演示课前准备的生活中有关椭圆的实物和图片，

让学生从感性上认识椭圆.

材料2：“嫦娥一号”模拟轨道图．

2007年10月24日，我国第一颗探月卫星“嫦娥一号”发射成功 , 开始了举世瞩目的太空之旅，流传了几千年的飞天神话，变成了现实 ，这标志着我国航天事业又上了一个新台阶，这是中国人的骄傲．请问： “嫦娥一号” 绕地球飞行的运行轨道是什么？（课件演示轨道图） 引入课题：椭圆及其标准方程．

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（设计意图：利用多媒体，展示学生常见的椭圆形状的物品，让学生从感性上认识椭圆：通过“嫦娥一号”的轨道录像，让学生感受现实，激发学生的学习兴趣，培养爱国思想.）

（二）动手实验，亲身体会．

1．教师演示，引出研究思路．

教师将一圆形的呼啦圈朝一方向用力压或拉，变成一椭圆形状的呼啦圈，以说明圆和椭圆的密切关系，点明可以像学习圆一样来学习椭圆．

思考：在上一章圆的学习中我们知道：平面内到一定点的距离为定长的点的轨迹是圆.那么，到两定点距离之和等于常数的点的轨迹又是什么呢？

（设计意图：对于生活中、数学中的圆，学生已经有一定的认识和研究，但对椭圆，学生只停留在直观感受，基于它俩的关系，引导学生用上一章所学，来研究椭圆．）

2．学生分组试验． (1)取一条细绳；

(2)把细绳的两端用图钉固定在板上的两点F1、F2；

(3)用铅笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察画出的图形是什么？ （教师巡视指导，展示学生成果） 3.分析实验，得出规律．

(1)在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？ (2)在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？ (3)在画椭圆的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？ (4)改变绳子长度与两定点距离的大小，轨迹又是什么？ 学生总结规律：|MF1|+|MF2|>|F1F2| 轨迹为椭圆；

|1FF| |MF轨迹为线段 ； 1|+|MF2=|2 |MF1|+|MF2|<|F1F2|轨迹不存在．

（设计意图：在本环节中并不是急于向学生交待椭圆的定义，而是设计一个实验，一来是为了给学生一个动手实验的机会，让学生体会椭圆上点的运动规律；二是通过实践思考，为进一步上升到理论做准备．）

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（三）总结归纳，形成概念． 定义：平面内，到两个定点F1、F2的距离之和等于常数（大于F1F2）的点的轨迹叫做椭圆． （在归纳椭圆定义的过程中，教师根据学生回答的情况，不断引导他们逐步加深理解并完善椭圆的定义，在引导中突出体现“常数”及“常数”的范围等关键词与相应的特征.） 问：椭圆定义还可以用集合语言如何表示？MF1?MF2?2a(2a?2c). （设计意图：通过学生观察、思考、讨论，概括出椭圆的定义，让学生全程参与概念的探究过程，加深理解，提高概括能力和数学语言的表达能力.） （四）合理建系，推导方程． 1.复习求曲线的方程的基本步骤：⑴建系；⑵设点；⑶列式；⑷化简； （5）证明（可省略）（由学生回答，不正确的教师给予纠正．） 2.如何选取坐标系？ 【学情预设】学生可能会建系如下几种情况： 方案一：把F1、F2建在x轴上，以F1F2的中点为原点； 方案二：把F1、F2建在x轴上，以F1为原点； 方案三：把F1、F2建在x轴上，以F1F2与x轴的左交点为原点； 方案四：把F1、F2建在y轴上，以F1F2的中点为原点； 教师折椭圆，学生观察椭圆的几何特征（对称性），如何建系能使方程更简洁？学生讨论，经过比较确定方案一. （设计意图：积极鼓励学生用不同建系方法，让他们充分暴露自然思维，通过比较，得出最简洁的方案，而不是被动地接受教材或老师强加给的方法．） 3．推导标准方程． 选取建系方案,让学生动手，尝试推导. 按方案一：以过F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分或线为y轴，建立平面直角坐标系．设F1F2?2c(c?0)，点M(x,y)为椭圆上任意一点， 则 P??MMF1?MF2?2a?（称此式为几何条件）， ∴ 得

?x?c?2?y2??x?c?2?y2?2a（实现集合条件代数化）， 2010年第五届全国高中数学青年教师观摩与评比活动精品教案

（想一想：下面怎样化简？）

（１）教师为突破难点，进行引导设问：

我们怎么化简带根式的式子？对于本式是直接平方好还是整理后再平方好呢？化简，得 (a2?c2)x2?a2y2?a2(a2?c2)．

y（2）b的引入． 由椭圆的定义可知，2a?2c, ∴a2?c2?0． F1bMa0cF2x让点M运动到y轴正半轴上（如图2），由学生观察图形直观获得a，c的几何意义，进而自然引进b，此时设图2b2?a2?c2，于是得b2x2?a2y2?a2b2， 两边同时除以a2b2，得到方程：x2y2． ??1?a?b?0?（称为椭圆的标准方程）a2b2（3）建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程． 要建立焦点在y轴上的椭圆的标准方程，又不想重复上述繁琐的化简过程，如何做？ 方法1：按步骤列出方程，利用两方程结构的异同（结构相同，只是字母x，，直接得到方程． y交换了位置）方法2：（视情况决定讲与否(预设)）借助于化归思想，抓住图1（前面方程推导时用过）与图3的联系(关于直线y?x对称)即可化未知为已知，将已知的焦点在x轴上的椭圆的标准方程转化为焦点在y轴上的椭圆的标准方程．只需将图1沿直线y?x翻折即可转化成图3；

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图1 图3 (4)教师应用多媒体，把其它建系得出的方程展示给学生，相比之下，其它的建系方式得到的方程不够简洁. （设计意图：椭圆的标准方程的导出，先放手给学生尝试，教师协从指导．再展示学生结果；教师对照图形，加以引导，让学生明白方程中字母的几何意义，对方程的理解有很大的作用；利用类比对称，化归的思想得出焦点在y轴上的标准方程，避免重复的繁杂计算．） 4．归纳概括，掌握特征． （1）椭圆标准方程形式：它们都是二元二次方程，左边是两个分式的平方和，右边是1； （2）椭圆标准方程中三个参数a , b , c的关系：b2?a2?c2(a?b?0)； （3）椭圆焦点的位置由标准方程中分母的大小确定. （五）尝试应用，范例教学． 例1 下列哪些是椭圆的方程，如果是，判断它的焦点在哪个坐标轴上？并指明a、b，写出焦点坐标． x2y2(1)??194 (2)9x2?25y2?225?0x2y2(4)2?2?1(m?0)mm?1x2y2(3)??42516 注意：分母哪个大，焦点就在哪个坐标轴上，反之亦然． （设计意图：进一步巩固对椭圆标准方程形式的掌握.） 0?、例2写出适合下列条件的椭圆的标准方程：两个焦点的坐标分别是??4，0?，椭圆上一点到两焦点距离的和等于10. ?4，变式一：将上题焦点改为(0,?4)、(0,4)，结果如何？ 变式二：将上题改为两个焦点的距离为8 ，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10 ，结果如何？（学生直接抢答）

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例3 写出适合下列条件的椭圆的标准方程： ?35??2?、?0，2?，并且经过点P??，?． 两个焦点的坐标分别是?0，?22?（先和学生一起简单分析条件中蕴涵的信息，再由学生自己动手完成．教师巡视，投影学生答案．学生讨论总结．） 解题思路1：先根据已知条件设出焦点在y轴上的椭圆方程的标准方程y2x2?35???，再将椭圆上点的坐标并结合a、a?b?0??1b、??，?代入此方程，22ab?22?y2x2c间的关系求出a、b的值，从而得到椭圆的标准方程为??1． 10622(设计意图：学会用待定系数法球椭圆的标准方程.) ?35??2?、解题思路2：利用椭圆定义（椭圆上的点??，?到两个焦点?0，22???0，2?的距离之和为常数2a）求出a值，再结合已知条件和a、b、c间的关系求出b2的值，进而写出标准方程． （设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的重要作用.） （六）回顾反思，归纳提炼. 1.椭圆定义； 2.椭圆标准方程； 3.解题思想方法． （七）课后作业，巩固提高． （八）板书设计： §8.1椭圆及其标准方程 一．椭圆的定义 三.例题 MF1?MF2?2a(2a?2c) 四.小结 二．椭圆的标准方程 五.作业

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x2y2焦点在x轴上：2?2?1?a?b?0? aby2x2焦点在y轴上；2?2?1?a?b?0? ab

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