第1～2章 质点的运动、第二章质点动力学

第一章 质点的运动

1－1已知质点运动方程为x??Rsin?t，y?R(1?cos?t)，式中R，ω为常量，试求质点作什么运动，并求其速度和加速度。

解：

?vx?dxdy??Rwcoswt,vy???Rwsinwtdtdt

22?v?vx?vy?Rw?ax?dvydvx?Rw2sinwt,ay??Rw2coswtdtdt

22?a?ax?ay?Rw2?x?Rsinwt,y?R(1?coswt)

?轨迹方程为x2?(y?R)2?R2

质点轨迹方程以R为半径，圆心位于（0，R）点的圆的方程，即质点作匀速率圆

周运动，角速度为ω；速度v = Rω；加速度 a = Rω2

1－2竖直上抛运动的物体上升到高度h处所需时间为t1，自抛出经最高点再回到同一高度h处所需时间为t2，求证：h =gt1 t2/2

解：设抛出点的速度为v0，从高度h到最高点的时间为t3，则

?v0?g(t1?t2)?0,t1?2t3?t2?v0?g(t1?t2)/2?h?v0t?(t?t)121gt?g12t1?gt12 2221?gt1t221－3一艘正以v0匀速直线行驶的汽艇，关闭发动机后，得到一个与船速反向大小与船速平方成正比的加速度，即a＝?kv2，k为一常数，求证船在行驶距离x时的速率为v=v0e?kx.

解：取汽艇行驶的方向为正方向，则

?a??dv??kv2,dtv?dxdtdvdv??kvdt,??kdxvvvdvx???kdx ?? v0v0vln??kxv0?v?v0e?kx1－4行人身高为h，若人以匀速v0用绳拉一小车行走，而小车放在距地面高为H的光滑平台上，求小车移动的速度和加速度。

解：人前进的速度V0，则绳子前进的速度大小等于车移动的速度大小，

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22?l2?v0t?(H?h)22v0tdl??22dtv0t?(H?h)22(H?h)2v0d2l?22223/2dt??(H?h)?v0t??

所以小车移动的速度v?2v0t(H?h)?vt2(H?h)2v022220

小车移动的加速度a??(H?h)?vt223/20?

1－5一质点由静止开始作直线运动，初始的加速度a0，以后加速度以a?a0?匀增加（式中b为一常数），求经t秒后，质点的速度和位移。

解：

a0t均b?a?vdv,dtta?a0?a0tb?dv?(a0?a0t)dtba0dv?(a??0?00bt)dtdx?v?,vdt?dxdtta0t2?v?a0t?2b

?a0t2???a0t??dt?dx2b??a0t2a0t3?x??26b－

x?a0t2?a0t??dt??0dx?0?2b??1－6一足球运动员在正对球门前25.0m处以20.0m·s1的初速率罚任意球，已知球门高

为3.44m。若要在垂直于球门的竖直平面内将足球直接踢进球门，问他应在与地面成什么角度的范围内踢出足球？（足球可视为质点）

解：由运动方程x?vtcos?,y?vtsin??12gt,消去t得轨迹方程， 2g(tg2??1)x2 22v－

以x＝25.0m，v＝20.0ms1，以及3.44m?y?0代入后得

y?xtg??69.92???1?71.11?18.89??2?27.92??

1－7一人扔石头的最大出手速率为v＝25m/s，他能击中一个与他的手水平距离L=50m，高h=13m的目标吗？在此距离上他能击中的最大高度是多少？

解：由运动方程x?vtcos?,y?vtsin??12gt,消去t得轨迹方程 2y?xtg??g22(tg??1)x 22v－1

以x＝05.0m ，v＝25ms代入后得

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g(1?tg2?)?50222?25?50tg??20(1?tg2?) y?50tg??5??20(tg??)2?11.254取g＝10.0，则当tg??1.25时，ymax?11.25〈13

所以他不能射中，能射中得最大高度为ymax?11.25 1－8质点做半径为R的圆周运动，其路程按规律s?ct?12bt运动，式中b、c为常2数，求:（1）t时刻质点的角速度和角加速度；（2）当切向加速度等于法向加速度时，质点运动经历的时间。

解：（1）质点做圆周运动的速率v?ds?c?bt dtcbt?角速度w?v/R??

RRd2sat?2??b 切向加速度

dtab?角加速度??t??

RRv2(c?bt)2an??（2）法向加速度

RR(c?bt)2当at?an时，??b

R?(c?bt)2?RbcRt??bb

1－9一质点作半径为R的圆周运动，初速为v0，若其加速度a与速度v之间的夹角θ

恒定不变，求质点运动的速率随时间的变化v(t)，及其切向加速度、法向加速度的大小。

解：速度沿着切向方向，加速度与速度成恒定的夹角，则

dvv2?an?asin??,at?acos??dtR1dv ?ctg?dt?2Rvt1vdvctg?dt??0R?v0v2v0R?v?；

R?v0t?ctg?v0Rv02Rv22an??()/R?RR?v0t?ctg?(R?v0t?ctg?)2anv02Rctg?at??tg?(R?v0t?ctg?)2

；

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1－10飞机以100m·s-1的速度沿水平直线飞行，在离地面高为100m时，驾驶员要把物品投到前方某一地面目标处。问：（1）此时目标在飞机下方前多远？（2）投放物品时，驾驶员看目标的视线和水平线成何角度？（3）物品投出2s后，它的法向加速度和切向加速度各为多少？ 解：

（1）

12y?y＝gt2，t＝2g?x?v2y?452mgy?12.5? x （2）?2v＝（gt）?v20?arctgdvgt2at＝＝22dt（gt）?v0（3）?at?1.96m/s2,g?10.0(或1.88m/s2,g=9.8）

2?a?at2?an?g?an?g2?at2?9.80m/s2,g?10.0(或9.62m/s2，g＝9.8)

1－11一无风的下雨天，一列火车以v1=20m/s的速度匀速前进，在车内的旅客看见玻璃窗外的雨滴和垂线成75°角下降，求雨滴下落的速度v2。（设下降的雨滴作匀速运动）

解：以地面为参考系，火车相对地面运动的速度为V1,雨滴相对地面竖直下落的速度为V2，旅客看到雨滴下落速度V2’为相对速度，它们之间的关系为

???v2?v2'?v1

?v2?v1/tg75??5.36ms?1

1－12升降机以加速度a0=1.22m·s?2上升，当上升速度为2.44m·s?1时，有一螺帽自升降机的天花板脱落，天花板与升降机的底面相距2.74m，试求：（1）螺帽从天花板落到底面所需时间；（2）螺帽相对于升降机外固定柱子的下降距离。

解：（1）以升降机为参考系，此时，螺丝相对它的加速度为a’=g+a,螺丝落到底面时，

10?h?(g?a)t22有

2ht??0.705sg?a（2）由于升降机在t时间内的高度为

则d?h?h'?0.716m

1－13飞机A相对地面以vA =1000km/h的速率向南飞行，另一飞机B相对地面以vB =800 km/h的速率向东偏南30°方向飞行。求飞机A相对飞机B的速度。

解：

1h'?v0t?at22

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?????vA?1000j,vB?400j?4003i???v?vA?vB???＝1000j－400j?4003i??

?tg??3,??40?52',方向西偏南2v?6002?4002?3?916km/h

1－14 一人能在静水中以1.10m·s-1的速度划船前进，今欲横渡一宽为1000m、水流速

－

度为0.55m·s1的大河。（1），那么应如何确定划行方向？到达正对岸需多少时间？（2）如果希望用最短的时间过河，应如何确定划行方向？船到达对岸的位置在什么地方？

解：如图（1）若要从出发点横渡该河而到达正对岸的一点，则划行速度和水流速度u的合

???vv速度的方向正对着岸，设划行速度合速度的夹角为α

?v?sin??usin??u?0.55/1.1?0.5 v?2(1)

v’ v α u (2)

v’

u cos??3t?dd??1.05?103s vv?cos?dd,l?ut?u?500m v?v?如图（2）用最短的时间过河，则划行速度的方向正对着岸

?t?1－15设有一架飞机从A处向东飞到B处，然后又向西飞回到A处，飞机相对空气的速率为v?，而空气相对地面的速率为u，A、B间的距离为l。

（1）假定空气是静止的（即u=0），求飞机来回飞行的时间； （2）假定空气的速度向东，求飞机来回飞行的时间； （3）假定空气的速度向北，求飞机来回飞行的时间。

???v解：由相对速度的矢量关系?v'?u有

（1）空气时静止的，即u＝0，则往返时，飞机相对地面的飞行速度就等于飞机相对空

气的速度v’（图（1）），故飞机来回飞行的时间

t0?tAB?tBA?ll2l?? v'v'v'(2) 空气的速度向东时，当飞机向东飞行时，风速与飞机相对空气的速度同向；返回时，两者刚好相反（图（2）），故飞机来回飞行的时间为

t1?tAB?tBA???v(3) 空气的速度向北时，飞机相对地面的飞行速度的大小由?v'?u可得为

llu2?1???t0(1?2) v'?uv'?uv'v?v'2?u2，故飞机来回飞行的时间为

ll2lt2?tAB?tBA????22vvv'?u

u2?1?t0(1?2)2

v'v'2u2?v'2v'22l/v'师大家教http://www.lzzedu.com

第二章 质点动力学

2－1一物体从一倾角为30?的斜面底部以初速v0=10m·s?1向斜面上方冲去，到最高点后又沿斜面滑下，当滑到底部时速率v=7m·s?1,求该物体与斜面间的摩擦系数。

解：物体与斜面间的摩擦力f＝uN＝umgcos30?

物体向斜面上方冲去又回到斜面底部的过程由动能定理得

121mv?mv02??f?2s22物体向斜面上方冲到最高点的过程由动能定理得

(1)

10?mv02??f?s?mgh??f?s?mgssin30?2

?s?把式（2）代入式（1）得，

2v0g(3u?1)(2)

u?

2－2如本题图，一质量为m的小球最初位于光滑圆形凹槽的A点，然后沿圆弧ADCB下滑，试求小球在C点时的角速度和对圆弧表面的作用力，圆弧半径为r 。

解：小球在运动的过程中受到重力G和轨道对它的支持力T.取如图所示的自然坐标系，由牛顿定律得

3?v?v22v2?v020??0.198???dvFt??mgsin??mdt??v2Fn?T?mgcos??m2R由v?(1)

A rD o B T ? C (2)dsrd?rd??,得dt?,代入式（），1 dtdtv习题2－2图

并根据小球从点A运动到点C始末条件进行积分有，

?v00vdv???(?rgsin?)d?90?得v?2grcos?则小球在点C的角速度为vr?＝?2gcos?/rmv2由式（2）得 T??mgcos??3mgcos?r由此可得小球对园轨道得作用力为?T'??T??3mgcos?,方向与en反向

2－3如本题图，一倾角为? 的斜面置于光滑桌面上，斜面上放一质量为m的木块，两

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者间摩擦系数为?，为使木块相对斜面静止，求斜面的加速度a应满足的条件。

解：如图所示

a1?asin?,a2?acos??N?mgcos??ma1?masin?mgsin??uN?m?a2macos?(1)?2?a m

(1)?u?(2)得，g(sin??ucos?)?a(cos??usin?)g(sin??ucos?)g(tg??u)?amin?? (cos??usin?)1?utg?(2)?(1)?u得，g(sin??ucos?)?a(cos??usin?)g(sin??ucos?)g(tg??u)?amax??(cos??usin?)1?utg?g(tg??u)g(tg??u)??a?1?utg?1?utg?θ 习题2-3图

2－4如本题图，A、B两物体质量均为m，用质量不计的滑轮和细绳连接，并不计摩擦，则A和B的加速度大小各为多少 。 解：如图由受力分析得

mg?TA?maATB?mg?maB2aA?aBTA?2TB1解得aA＝－g52aB＝－g5(1)(2)(3)(4)

aA

TA A TB B mg aB

mg 习题2-4图

2－5如本题图所示，已知两物体A、B的质量均为m=3.0kg，物体A以加速度a=1.0m/s2

运动，求物体B与桌面间的摩擦力。（滑轮与连接绳的质量不计）

解：分别对物体和滑轮受力分析（如图），由牛顿定律和动力学方程得，

mAg?FT?mAaF'T1?Ff?mBa'2a?a'FT'?2FT1mA?mB?mFT＝FT'F'T1?FT1解得Ff?(1)(2)(3)(4)?5??6??7?

习题2－5图

mg?(m?4m)a?7.2N22－6质量为M的三角形木块，放在光滑的水平桌面上，另一质量为m的木块放在斜面上(如本题图所示)。如果所有接触面的摩擦均可忽略不计，求M的加速度和m相对M的加

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速度。

?，则 解：（如图）m相对M的相对加速度为am??am?cos?,amy??am?sin?, amx在水平方向，

??amx?aMxamx

??aMx??am?cos??aM?amx?amx在竖直方向

习题2-6图

??amyamy?sin??amy?am

由牛顿定律可得，

?cos??maM?Nsin??mamx??mam?sin?mg?Ncos??mamy?mamNsin??MaM

解得aM?mgsin?cos?(M?m)gsin?a＝， m22M?msin?M?msin?2－7在一只半径为R的半球形碗内，有一粒质量为m的小钢球。当钢球以角速度ω在

水平面内沿碗内壁作匀速圆周运动时，它距碗底有多高？

解：取钢球为隔离体，受力分析如图所示，在图示坐标中列动力学方程得，

Fsin??man?mR?2sin?Fcos??mgcos??(R?h)/R解得钢球距碗底的高度

h?R?g?2

2－8光滑的水平面上放置一半径为R的固定圆环，物体紧贴环的内侧作圆周运动，其摩擦系数为μ。物体的初速率为v0，求：（1）t时刻物体的速率；（2）当物体速率从v0减少到v0/2时，物体所经历的时间及经过的路程。

解：（1）设物体质量为m，取图示的自然坐标系，由牛顿定律得，

v2FN?man?m2RFf??mat??mFf?uFNv2dv由上三式可得u2＝?Rdt对（4）式积分得?dt＝－0t(1)dvdt(2)(3)（4）Rvdvu?v0v2

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?v?Rv0

R?v0?t?Rv0可得物体所经历的时间

R?v0?t（2） 当物体速率从v0减少到v0/2时，由上式?vt??经过的路程

R v0?s??vdt＝?0t?t?0Rv0Rdt＝ln2

R?v0?t?2－9从实验知道，当物体速度不太大时，可以认为空气的阻力正比于物体的瞬时速度，

设其比例常数为k。将质量为m的物体以竖直向上的初速度v0抛出。 （1）试证明物体的速度为

?tmg?mtv?(e?1)?v0em

kkk(2)证明物体将达到的最大高度为

mv0m2gkvH??ln(1?0)

kkmg(3)证明到达最大高度的时间为

tH?证明：由牛顿定律可得

kvmln(1?0) kmgdv(1)-mg-kv=m，dt?t0dt???mdvv0mg?kvvmt?tmmg?kv0mg?m?t?ln，v?(ek?1)?v0ekkmg?kvkdvmvdv(2)-mg-kv=mv，dx??dxmg?kvy

v

令mg?kv?u,du?kdvxkmgkmgdumgdudx??mdu?，?dx??(?mdu?)0mg?kv0mumumv0m2gkv?x??ln(1?0）kkmgmmg?kv0（3）?t?lnkmg?kvmmg?kv0?当v?0时，t＝ln即为到达最高点的时间kmg?k

22f＝－kv

?mg

2－10质量为m的跳水运动员，从距水面距离为h的高台上由静止跳下落入水中。把跳

水运动员视为质点，并略去空气阻力。运动员入水后垂直下沉，水对其阻力为－bv2，其中b

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为一常量。若以水面上一点为坐标原点O，竖直向下为Oy轴，求：（1）运动员在水中的速率v与y的函数关系；（2）跳水运动员在水中下沉多少距离才能使其速率v减少到落水速率v0的1/10？（假定跳水运动员在水中的浮力与所受的重力大小恰好相等）

解：运动员入水可视为自由落体运动，所以入水时的速度为

v0?2gh，入水后如图由牛顿定律的

mg-f-F=mamg=Ff=bv2dvdva=?vdtdy??bv2?mvdvdyyvdvb?dy??0m?v0vv?v0e?by/m?2ghe?by/m(2)将已知条件y＝－b?0.4m?1,v?0.1v0代入上式得，m

mvln＝5.76mbv02－11一物体自地球表面以速率v0竖直上抛。假定空气对物体阻力的值为f＝－kmv2，其中k为常量，m为物体质量。试求：（1）该物体能上升的高度；（2）物体返回地面时速度的值。

解：分别对物体上抛和下落时作受力分析（如图），

(1)-mg-kmv2=m?y0dy???vv0dvmvdv＝，dtdyvdvg?kv21g?kv2?y??ln()22kg?kv0?物体达到最高点时，v＝0，故g?kv021h=ymax＝ln()2kg(2)下落过程中，-mg+kmv2=mdvmvdv＝dtdy?0hdy???v0vdvg－kv2

2－12长为60cm的绳子悬挂在天花板上，下方系一质量为1kg的小球，已知绳子能承

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kv20－1/2?v=v（）01?g

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