第一讲行列式的定义逆序

§1.1全排列及逆序数

1、二阶与三阶行列式

由二元线性方程组引入二阶行列式

b1a22?b2a12?x?1??a11x1?a12x2?b1?a11a22?a12a21 利用消元法解得? ?ba?baax?ax?b211121?2112222?x2??a11a22?a12a21?x1,x2的分母记作

b1b2a11a11a21a12a22?a11a22?a12a21 （1）称为线性方程组的系数行列式D

x1的分子记作

a12a22b1?b1a22?a12b2=D1

x2的分子记作

a21b2?a11b2?a21b1?D2

D1?x??1D若系数行列式D?0，则二元线性方程组有唯一解?

D2?x2??D?a11x1?a12x2?a13x3?b1?同样的，对于三元线性方程组?a21x1?a22x2?a23x3?b2，当系数行列式D?0时有唯

?ax?ax?ax?b3223333?311D1?x?1?D?D?x2?2一解?D， 系数行列式

?D3x??3D??a11aaa12aaa13D?a212223?aaa?aaa?aaa?aaa?aaa?aaa

112233122331132132112332122133132231a313233D1,D2,D3是分别用常数项b1,b2,b3替换系数行列式的第一列，第二列，第三列得来

的。

2、排列：由1,2，…，n组成的一个有序数组称为一个n级全排列(简称为排列) 按照从小到大顺序排序的排列1,2，…，n，称具有自然顺序

3、逆序：在一个排列中，如果某个较大的数排在一个较小的数前面(即不符合自然顺序)，则称这两个数（或者叫数对）构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。

一个排列j1j2?jn的逆序数，一般记为?(j1j2?jn)。

4、奇偶排列：逆序数为偶数的排列称为偶排列，逆序数为奇数的排列称为奇排列.

下面介绍逆序数的计算方法

不妨设n个元素为1至n这n个自然数,并规定由小到大标准次序,设p1p2?pn为这n个自然数的一个排列,考虑元素pi(i?1,2?n,),如果比pi小的且排在pi后面的元素有ti个，就说pi这个元素的逆序数是ti，那么全体元素的逆序数之总和

t?t1?t2???tn??ti即是这个排列的逆序数.

i?1n例1、计算以下各排列的逆序数，并指出它们的奇偶性. （1） 42531 （2）135…（2n-1）246…(2n)

解：（1）在排列42531中,4排在首位,逆序数为3;2的后面比2大小的数有一个,故逆序数为1;5是最大数,逆序数为2;3的后面比3小的数有1个，于是这个排列的逆序数为?(42531)?7，因而是奇排列。 （2）同上，同理可得?(135?(2n?1)246?(2n)n(n?1) 2因而当n=4k或n=4k+1时为偶排列；当n=4k+2或n=4k++3时为奇排列。

§1.2 n阶行列式的定义

a11aaa12aaa13通过三阶行列式中a212223?aaa?aaa?aaa?aaa?aaa?aaa的

112233122331132132112332122133132231a313233正负号以及项数，可以看出，三阶行列式是所有不同行不同列元素乘积的代数和，其中正负号在行标按自然顺序排列时，由列标的逆序数的奇偶性决定，所

a11a12a13a33有三阶行列式可写成a21a22a31a32a23??(?1)?(j1j2j3)a1j1a2j2a3j3(j1j2j3为三级排列）

5、定义： 由n2个数构成n行n列的n阶行列式

a11D=?a12?a1n????j1j2?jna21a22?a2n?(?1)?(j1j2?jn)a1j1a2j2?anjn，共有n!项

an1an2?ann简记作det(aij).数aij称为行列式det(aij)的元素.第一个下标是行标，第二个下标是列标。

0001例2、计算4阶行列式D?002003004000。

解：根据定义，该行列式展开式共有24项，只有一项不为零。通过分析得，

D?1?2?3?4?24

a11例3、计算n阶行列式?0?00a21a22????

an1an2?ann我们称上述行列式为下三角行列式，它的特点是在主对角线以上的元素全为零。相同的可以定义上三角行列式。

a11解：利用定义?0?00?a11a22?ann

a21a22????an1an2?ann类似的还有上三角行列式与对角行列式，其结果都是主对角线元素的乘积。

§1.3 对换

6、定义： 在排列中,将某两个数对调,其余的数不动,这种对排列的变换称为对

换.将相邻两数对换,称为相邻对换（或者邻换）. 7、定理1：一个排列中的任意两数对换,排列改变奇偶性. 证明略

推论：n级排列共有n!项，其中奇偶排列各占一半。

a118、定理2：n阶行列式的可写为?a12?a1n????i1i2?ina21a22?a2n?(?1)?(i1i2?in)ai11ai22?ainn

an1an2?ann9、定理3：n阶行列式的可写为

a11a21?a12?a1na22?a2n????i1i2?inj1j2?jn?(?1)?(i1i2?in)??(j1j2?jn)ai1j1ai2j2?ainjn

an1an2?ann例6：试判断a14a23a31a42a56a65和?a32a43a14a51a25a66是否都是六阶行列式的项 解：??(431256)?6,?a14a23a31a42a56a65是六阶行列式的项

而?(341526)??(234156)?5?3?8,??a32a43a14a51a25a66不是六阶行列式的项 小结与提问:

小结:本讲介绍了二、三阶行列式的计算以及n阶行列式的定义、逆序数、对换等概念.

提问:行列式展开式的每一项由怎样的元素构成? 课外作业:

P25 1.(3)(4) 2. 3. 5.(2)(3)

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