基于MATLAB的振动模态分析 - 毕业设计论文 - 图文

基于MATLAB的振动模态分析

摘要

振动系统是研究机械振动的运动学和动力学，研究单自由系统的振动有着实际意义，因为工程上有许多问题通过简化，用单自由度系统的振动理论就能得到满意的结果。模态是振动系统的一种固有振动特性，模态一般包含频率、振型、阻尼。

振动系统问题是个比较虚拟的问题，比较抽象的理论分析，对于问题的分析可以实体化建立数学模型，通过MATLAB可以转化成为图像。单自由度频率、阻尼、振型的分析，我们可以建立数学模型，最后通过利用MATLAB编程实现数据图形；多自由度主要研究矩阵的迭代求解，我们在分析抽象的理论的同时根据MATLAB编程实现数据的迭代最后可以得到所要的数据，使我们的计算更加简便。

利用MATLAB编程并验证程序的正确性。通过程序的运行，能快速获得多自由度振动系统的固有频率以及主振型，为设计人员提供了防止系统共振的理论依据，也为初步分析各构件的振动情况以及解耦分析系统响应奠定了基础。 关键词：振动系统；单自由度；MATLAB；多自由度

I

Abstract

Vibration system is to study the kinematics and dynamics of mechanical vibration, the vibration of a single free system has practical significance, because there are many engineering problems by simplifying, using the vibration theory of a single degree of freedom system can be satisfied with the results.

Vibration system problems is a relatively virtual problems, more abstract and theoretical analysis, problem analysis for a mathematical model can be materialized by MATLAB can be converted into images. Single degree of freedom frequency, damping, mode shape analysis, we can create mathematical models, the final program data through the use of MATLAB graphics; many degrees of freedom main matrix iterative solution, our analysis based on abstract theory, while MATLAB programming The last iteration of data can be the desired data, so our calculations easier

Using MATLAB programming and verify the correctness of the program.Through the process of operation, can quickly obtain multiple degrees of freedom vibration system and the main vibration mode natural frequency for the design to prevent resonance provide the theoretical basis for the preliminary analysis of the vibration of each component, and laid the decoupling of system response basis.

Key words:vibrating system; Single Degree of Freedom ;MATLAB; multiple degree of

freedom

II

1 绪论

1.1问题的提出

机械振动是一门既古老又年轻的科学，随着人类科学技术的不断进步振动理论得到不断的发展和完善。机械振动在许多情况下是有害的，人们想方设法避免它：另一方面，人们利用机械振动原理制造了各种机械或仪表来为人类服务。振动机械是20世纪后半期得到迅速发展的一类机械，它是利用振动原理来完成各种工艺过程的机械设备。其中，Mathorks公司推出的MATLAB以其强大的功能和易用性受到越来越多科技工作者的欢迎。它把计算、可视化、程序设计融合到了一个交互的工作环境中，可以实现工程计算、算法研究、建模和仿真、数据分析及可视化、科学和工程绘图、应用程序开发（包括图形用户界面程序设计）等功能。它在美国等发达国家的大学里已经成为一种必须掌握的基本编程语言，而在国外的研究设计单位和工业部门，更是早己成为研究和解决工程计算问题的一种标准软件。在国内也有越来越多的科学技术工作者参加到学习和倡导这种语言的行列中来。应用MATLAB软件对选矿用振动筛的振动特性进行研究，可以充分发挥计算机技术的优势，为选矿用振动筛振动特性研究探索新的途径。

在工程振动中，确定系统固有频率与主振型是非常重要的。固有频率是决定系统振动特性的重要物理量，它既是防止系统共振的依据，又是多自由度系统解耦分析（模态分析）的前提，因此研究某系统振动时，首先要求出系统的固有频率。主振型则为初步分析各构件的振动情况以及解耦分析奠定了基础。对于多自由度振动系统，计算系统固有频率与主振型主要有2种方法[1]：(1)利用特征矩阵方程式与特征方程式求解；(2)矩阵迭代法求解。2种方法各有各的特色。对于低自由度的振动系统，方法一容易、快捷。但是在实际工程中，大多数振动

系统都是自由度较多，用特征矩阵方程式与特征方程式求解系统固有频率与主振型这种传缆的计算方法虽然从原则上可行，但当自由度增加时，惯性、刚度阵的阶数增高，计算量也急剧加大，这显然很不方便。但采用矩阵迭代法，即使是自由度很大的振动系统，计算量也只不过是多进行矩阵迭代而已，而且假设的初始矩阵愈接近实际状况，迭代的次数愈少，相应的计算量也愈少。

1.2 国内外研究现状

1.2.1机械振动理论的发展状况及应用现状

振动理论是力学的一个重要组成部分[2]，人类对振动现象的认识有悠久的历史。振动力学的物理基础在17世纪已经奠定，到了18世纪，振动力学已从物理学中独立出来。最主要的成就为线性振动理论的形成，它是与数学中的常微分方程和偏微分方程同步发展的。目前，振动及系统按运动微分方程的形式分为以下两种。

线性振动：描述其运动的方程为线性微分方程，相应的系统称为线性系统。线性振动的一个重要特性是线性叠加原理成立。非线性振动[3]:描述其运动的方程为非绒性微分方程，相应的系统称为非线性系统。对于非线性振动叠加原理不再成立。在实际的振动机械或振动系统中，严格的讲，都是非线性的。但是，建立振动系统的非线性力学模型难度大，求解困难，有些问题甚至无解可求。在实际的工程应用中，很多情况下在误差允许的范围之内用线性的方法解决复杂的近线性问题。线性振动有确定的力学模型一一线性微分方程，可以求得准确的解，能够描述出振动系统的主要特征。由于用线性振动的方法能够解决众多的工程实际问题，线性振动的理论一直倍受关注，并且在理论和实验方面已经得到很大的发展和成熟。特别是多自由度系统的振动的理论，可以说既是振动力学的核心又是应用得最广泛的振动理论。线性振动在当今不仅是作为基础科学的力学的一个重要组成部分，而且正走上向工程科学发展的道路，它在航空、机械、船舶、车辆、建筑、水利等工业技术部门中占有愈来愈重要的地位。线性振动的应用可分为两个方面：一个方面是减少由于振动而造成的危害，目的在于减振甚至于避免有害的振动；另一个方面利用振动，如工业上常采用的振动筛选、振动沉桩、振动输送以及按振动理论设计的测量传感器、地震仪等等就是这方面的典型例子。选矿用振动筛是振动筛选设各中的—种，线性振动理论在选矿用振动筛的设计制造及生产运行中有着广泛的应用，有关这方面的内容将在下一节中详细介绍。线性振动的理论在发展过程中产生了一个重要分支，那就是模态分析理论。在对选矿用振动筛进行分析时，需要通过实验来验证理论的正确性，振动实验则需要用到模态分析技术。模态分析技术从20世纪60年代后期发展至今已趋成熟[4]。它和有限元分析技术一起，已成为结构动力学中两大支柱。模态分析是结构动力学中

的～种“逆问题”分析方法，它与传统的“正问题”方法（主要是指有限元方法）不同，是建立在实验（或实测）的基础上，采用实验与理论相结合的方法来处理工程中的振动问题。目前这一技术已发展成为解决工程中振动问题的重要手段，在机械、航空、航天、土木、建筑、造船、化工等工程领域被广泛应用[5]。近十年来，模态分析理论吸取了振动理论、信号处理、信号分析、数据处理、数理统计及自动控制理论中的有关“营养”，结合自身内容的发展，形成了一套独特的理论为模态分析及参数识别技术的发展奠定了理论基础。模态分析的基础理论概念主要包括；机械阻抗、导纳、传递函数（或频响函数）、实模态、复模态等。模态测试技术主要采用同时测量输入及输出的方法，对一个振动系统来说，可以表示成图l-1所示的框图

输入（激励） 系统输出（响应） 图1.1 模态分析框图 Fig. 1.1 Modal Analysis Diagram

通过测量激励和响应，进行模念分析可以确定系统。自从FFT问世以来，目前广泛采用宽频带激振技术。其中主要有脉冲、阶跃激励，快速正弦扫描等瞬态激励和纯随机、伪随机、周期随机、瞬态随机等激励方法。此外，由于F弦慢扫描技术测试精度高，它仍不失为重要激励手段。模态参数辨识的频域方法有：分量分析法、导纳圆辨识方法、正交多项式曲线拟合、非线性优化辨识方法等。模态参数辨识的时域方法与模态参数辨识的频域方法不同，它无需将所测得的响应与激励的时间历程信号变换到频域中去，而是直接在时域中进行参数辨识。它与频域法相比，两者所采取的分析路线不同，如图1.2所示。

时域 信号 FFT 频率 信号 数估计 传递函 传递 函数 参数 识 别 模态 参数 图1.2 模态参数辨识分析路线框图

Fig.1.2 Modal parameter identification of line diagram

wd=w0.*sqrt(1-a*a);x1=wd

y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cos(wd.*t)+((x1+a*wd*x0)./wd)*sin(wd.*t)) figure(1),plot(t,y,'r');hold on a=1.0;t=0:0.1:18; w0=1;wd=1;x1=wd;

y=exp(-wd.*t).*(x0+(x1+wd*x0).*t); figure(1),plot(t,y,'d');hold on

a=2.0;t=0:0.1:18;w0=1;wd=w0*sqrt(a*a-1);

y=exp(-a*w0.*t).*(x0.*cosh(wd.*t)+(x1+a*w0*x0)/w0.*sinh(t));

figure(1),plot(t,y,'v');hold on 结论：

图2-2为Matlab计算后给出的响应曲线，从中可以得到一些重要的结论[14]： 在0???1的情况下，阶跃信号输入时，输出信号为衰减振荡，其振荡角频率（阻尼振荡角频率）为?d，幅值按指数衰减越大，阻尼越大，衰减越快。

??1时，振荡系统等同于两个一阶系统串联。此时虽然不产生振荡，但也需要经过较长时间才能达到稳态。

在一定的?之下，欠阻尼系统能够更快地达到稳态值；而过阻尼系统反应迟饨，动作缓慢，所以系统通常设计成欠阻尼系统，?取值为2

x(t)1.41.210.80.6a=1.00.4a=2.00.20a=0.5-0.2024681012141618t(s)

图2-2

算例绘制无阻尼单自由度系统的固有频率和周期随静变形的变化曲线。 固有频率?n和周期?n

?n?g?st，?n?2??stg

取g?9.81m/s2。可以利用下列MATLAB程序画出?st在0~0.5范围内?n和?n的变换曲线：

%Ex2_17.m g=9.81;

for i=1:101 t(i)=0.01+(0.5-0.01)*(i-1)/100;w(i)=(g/t(i))^0.5; tao(i)=2*pi*(t(i)/g)^0.5; end

plot(t,w);gtext('w_n'); hold on;plot(t,tao);gtext('T_n');

xlabel('delta_s_t'); title('Example2.1');

Example2.13530252015wn105Tn000.050.10.150.20.25deltast0.30.350.40.450.5

2.3单自由度系统的强迫振动

[15]

简谐激励是激励形式中最简单的一种，虽然它在实际中存在的场合比较少但掌握系统对于简谐激励的响应的规律，是理解系统对周期激励或更一般形式激励的响应基础。图所示的弹簧质量系统中，质量块上作用有简谐激振力

P(t)?P0sin?t (2-15)

P(t) x P(t) ? m?xm

kx k c ? cx

其中P0为激振力幅，?为激振频率。以静平衡位置为坐标原点建立图示的坐标系。从图的受力分析，得到运动微分方程为：

??cx??kx?p0sin?t (2-16) m?x由常微分方程理论知道，方程(3.2)的通解x由相应的齐次方程的通解xh和非齐次方程的任意特解xp两部分组成，即

x(t)?xh(t)?xp(t) (2-17)

当欠阻尼时，式中xh(t)为有阻尼自由振动，它的特点是振动频率为阻尼固有频率，振幅按指数规律衰减，称为瞬态振动或瞬态响应；xp(t)是一种持续的等幅振动，它是由于简谐激励振力的持续作用而产生的，称之为稳态强迫振动或稳态振动，在间隔充分长时间考虑的振动就是这种稳态振动，而在刚受到外界激励时，系统的响应则是上述两种振动之和。可见，系统受简谐激励后的响应可以分为两个阶段，一开始的过程称为过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失这时进入过渡阶段，经充分长时间后，瞬态响应消失，这是进入稳态阶段。

将方程（2-15）的两端同除以质量m，并且令

c2?2??n （2-18） m其中?为相对阻尼系数，?n为相应的无阻尼系统的固有频率，则方程

（2-15）成为

???2??nx???n2x?xp0sin?t （2-19） m上述方程特解可以通过x?Bsin(?t??)或者x?Acos?t?Bsin?t来求得，这里介绍用复数方法求式（2-19）的特解。先将式（2-19）写为下列的复数形式

???2??nx???n2x?xp0i?te （2-20） m其中x是复数设复数形式的特解为

x?Bei?t （2-21）

其中B称为复振幅，其意义是包含有相位的振幅。将式（2-21）代入（2-20），解得

B?P01 （2-22） 22m?n???i2??n?记?为频率比，它定义为

??则式（2-22）可以写成

? （2-23） ?nB?式中

P0p01?k1??2?i2??k1(1??2)2?(2??)2e?i?Be?i? （2-24）

B?p0k1(1??)?(2??)222 （2-25）

??tg?12?? （2-26） 1??2将式（2-24）代入（2-21），得到复数形式的特解为

x?Bei(?t??) （2-27）

比较方程（2-17）与（2-18），可知（2-19）中的位移x是（2-20）中复数x的虚部，因此（2-25）的虚部就是方程（2-12）的特解，即有

x?Bsin(?t??) （2-28）

其中B为振幅，?为相位差。由式（2-26）、2-23）及（2-24）得出稳态强迫振动有如下的基本特点：

1)线性系统对简谐激励的稳态响应是频率等同于激励频率而相位滞后与激振力的简谐振动；

2)稳态响应的振幅及相位差只取决于系统本身的物理性质和激振的频率及力幅，而与系统本身进入运动的方式无关。

无阻尼系统对简谐激励的稳态响应可以从式（2-26）得出。 当???n时，得到??1，??0，这时

x?P01sin?t （2-29）

k1??2当???n时，得到??1，???，这时

P01sin(?t??) （2-23）

k?2?1P1式（2-21）也可以写成（2-22）的形式，这时相位差反映在振幅0k1??2x?的符号中。上述结果也可以由直接设x?Bsin?t并代入下列方程而得到：

??kx?P0sin?t （2-24） m?x为了具体讨论影响稳定响应的振幅和相位差的各种因素，记

B0?P0 （2-25） kB0实际是质量块在激振力幅静作用下的最大位移。再引入无量纲的振幅

放大因子?，它定义为

??B1 （2-26） ?222B0(1??)?(2??)由式（2-26）和（2-19）可以分别画出以相对阻尼系数?为参数的曲线——???曲线与???曲线，前者称为幅频响应曲线，后者称为相频响应曲线如图所示

程序如下

for kesai=[0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0]

lamda=0:0.01:5.0;

beta=1./(sqrt((1-lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2)); plot(lamda,beta) hold on end

axis([0 5 0 3]);

300.052.50.1520.25振幅放大因子0.3751.510.50.51.0000.511.522.5频率比33.544.55

偏心质量引起的强迫振动振幅放大因子

MB?2? (2-27)

222me(1??)?(2??)程序如下：

for kesai=[0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50] lamda=0:0.01:5.0;

beta=lamda./(sqrt((1-lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2)); plot(lamda,beta) hold on

end

axis([0 5 0 3]);

30.52.50.100.1520.25MB/me0.3751.50.5011.00.5000.511.522.5频率比33.544.55

支撑运动引起的强迫振动振幅放大因子

B1?(2??)2 (2-28) ???a(1??2)2?(2??)2程序如下：

for kesai=[0.05,0.10,0.15,0.25,0.375,0.50,1.0] lamda=0:0.01:5.0;

beta=sqrt((1+(2*kesai*lamda).^2)./((1-lamda.^2).^2+(2*kesai*lamda).^2));

plot(lamda,beta) hold on end

axis([0 5 0 3]);

30.052.50.100.152振幅放大因子0.251.50.3750.5011.00.51.141000.511.522.5频率比33.544.55

算例利用MATLAB，绘制弹簧-质量系统在简谐力作用下的响应曲线。已知数据如下：

?0?0.1m/s。 m?5kg,k?2000N/m,F(t)?100cos30tN,x0?0.1m,x系统全解形式如下：

x(t)??0x?nsin?nt?(x0?f0f0)cos?t?cos?t n22?n??2?n??2式中，

f0?F0100k??20,?n??20rad/s,??30rad/s m5m利用MATLAB绘制解曲线上式的程序如下： %Ex3_11.m F0=100; wn=20; m=5;

w=30; x0=0.1; x0_dot=0.1; f_0=F0/m; for i=1:101

t(i)=2*(i-1)/100;

x(i)=x0_dot*sin(wn*t(i))/wn+(x0-f_0/(wn^2-w^2))*cos(wn*t(i)) +f_0/(wn^2-w^2)*cos(w*t(i)); end plot(t,x); xlabel('t'); ylabel('x(t)'); title('Ex3.11')

Ex3.110.150.10.050x(t)-0.05-0.1-0.15-0.200.20.40.60.81t1.21.41.61.82

2.4本章小结

基于MATLAB对单自由度自由振动绘制振动图像，进行粘性阻尼，强迫振动振幅放大因子绘图进行数据分析，使振动数据更加明显。

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w7nh.html