05 机械振动 作业及参考答案 2015(1)分析

2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案

第十三章 机械振动 一. 选择题:

【 D 】1 （基础训练2） 一劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，取出其中的两根，将它们并联，下面挂一质量为m的物体，如图13-15所示。则振动系统的频率为 ： (A)

?k． (B)

??3m?3k(C) ． (D)

??m??????k ． m6k． mk m 图13-15

提示：劲度系数为k的轻弹簧截成三等份，每份的劲度系数为变为3k，取出其中2份并联，系统的劲度系数为6k.

【 C 】 2 （基础训练4） 一质点作简谐振动，周期为T．当它由平衡位置向x轴正方向运动时，从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程所需要的时间为 (A) T /12． (B) T /8． (C) T /6． (D) T /4．

提示：从从二分之一最大位移处到最大位移处这段路程在旋转矢量图上，矢量转过的角位移为?，对应的时间为T/6.

[ B ] 3、（基础训练8） 图中所画的是两个简谐振动的振动曲线．若这两个简谐振动可叠加，则合成的余弦振动的初相为

x (A) 3?． (B) ?．

x2 2A/2 t 1 (C) ?． (D) 0． O 132提示：使用谐振动的矢量图示法，合振动的初始状态为 -A x1 ?A,初相位为?

2

[ D ] 4、（自测提高4）质量为m的物体，由劲度系数为k1和k2的两个轻质弹簧串联后连接到固定端，在光滑水平轨道上作微小振动，则振动频率为：

(A) v?2? (C) v?

提示：两根劲度系数分别为k1和k2的两个轻质弹簧串联后，可看成一根弹簧，其弹

k1?k21． (B) v?m2?k1?k2． m12?k1?k21． (D) v?mk1k22?k1k2．

m(k1?k2)2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案

性系数满足：

kkk1k2111，可计算得到v ??，k?12，?2?kk1k2k1?k2m(k1?k2)

x (cm) 【 B 】 5、（自测提高5）一简谐振动曲线如图所示．则振动

4 周期是 2 (A) 2.62 s． (B) 2.40 s． (C) 2.20 s． (D) O 1 2.00 s． 图13-23 提示：使用谐振动的矢量图示法，初始状态旋转矢量位于第四象限，初始相位为t (s) ??，到第一次回到平衡位置时，旋转矢量转过的角度为35???5?＋＝，此过程经历时间为1s，可得?＝，等到周期为2.4s

6236

【 D 】6、（自测提高6）弹簧振子在水平光滑桌面上作简谐振动，其弹性力在半个周期内所做的功为：（ ）

A kA B

提示：振动方程为x?Acos(?t??0)，经过半个周期，质点偏离平衡位置的位移为

2121kA C kA2 D 0 241x?Acos(?t??0??)，这两个位置弹簧所具有的弹性势能Ep＝kx2相同，所以所做的

2功为零。

二 填空题

7、(基础训练12) 一系统作简谐振动, 周期为T，以余弦函数表达振动时，初相为零．在0≤t≤

1T范围内，系统在t =_ T/8_时刻动能和势能相等． 4提示：动能和势能相等，为总能量的一半，此时物体偏离平衡位置的位移应为最大位移的22，相位为?4，因为初始相位为零，t=T/8

8、(自测提高9) 两个弹簧振子的振动周期都是0.4S，设开始时第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过0.5S后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，则这两个振动的相位差为： ?． 14提示：第一个振子在开始运动时，其初始相位为?2，经过0.5S?1T后，振动相位为?，此时第二个振动才从正方向的端点开始运动，即第二个振动的初始相位为 0,所以两

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个振动的相位差为 ?

9、 (自测提高 10) 分别敲击某待测音叉和标准音叉，使他们同时发音，会听到时强时弱的拍音。若测得在20S内拍的次数为180次，标准音叉的频率为300Hz，则待测音叉的频率为：309Hz或291Hz

提示：20秒内测得拍的次数为180次，拍的频率为9；而待测音叉和标准音叉产生拍的频率为两个频率的差，即v1?v2?v1?300?9

10、(自测提高 11) 一单摆的悬线长l = 1.5 m，在顶端固定点的竖直下方0.45 m处有一小钉，如图13-26所示．设摆动很小，则单摆的左右两方振幅之比A1/A2的近似值为___0.837___．

提示：当单摆在最低位置时，对左右两边有：

0.45 m 小钉 l 图13-26

11m(?1A1)2?m(?2A2)2 22对于单摆??lggg，A1?A2 A1:A2?1?0.837 ll1l2l2

11．(自测提高 13)一台摆钟每天慢2分10秒，其等效摆长l = 0.995 m， 摆锤可上、下移动以调节其周期．假如将此摆当作质量集中在摆锤中心的一个单摆来考虑，则应将摆锤向上移动2.99mm，才能使钟走得准确？

提示：钟摆周期的相对误差?T/T?钟的相对误差?t/t，等效单摆的周期

T?2?l/g，这里g不变，则有 2dT/T?dl/l 即有

2?0.995?130?l?2l?T/T?2l?t/t??2.99mm

24?60?60

12 (自测提高 14)、两个互相垂直的不同频率谐振动合成后的图形如图13-27所示．由图可知x方向和y方向两振动的频率之比?x??y =___4:3___．

提示：在同样的时间间隔内，X方向的振动为2Tx，而y方向的振动为1.5Ty,周期之比为3：4，频率之比相反为4：3

三 计算题

13、（基础训练18）如图所示，有一水平弹簧振子，弹簧的弹性系数为k=24N/m，物体的质量为6kg，物体静止在平衡位置。设以大小为F=10N的水平恒力向左作用于物体（不计摩擦），使之由平衡位置向左运动了0.05m时撤去力F，当物体运动到左方最远位置时开始记时，求物体的运动方程。

解：由题意可以得到，当物体在恒力作用下左移0.05米时，满足：

y x 图13-27

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1212kx?mv?FS 22外力撤去后，系统能量守恒，有

121212kx?mv?kA 222代入数据可以得到：A?0.204m；??k24??2 m6取向右为正，当物体达到左方最远位置为起始时刻，初始相位为? 振动方程为x?0.204cos(2t??)

14. （基础训练23）有两个同方向的简谐振动，它们的方程(SI单位)如下：

3?1???x1?0.05cos?10t???，x2?0.06cos?10t???

4?4??? (1) 求它们合成振动的振幅和初位相。 (2) 若另有一振动x3?0.07cos(10t??)，问

?为何值时，x1?x3的振幅为最大；?为何值时，x2?x3的振幅为最小。

解：（1）合成振动的振幅：A?0.052?0.062?0.078m 310.05sin??0.06sin??144)?tan?111 初相位：?0?tan(310.05cos??0.06cos?44因为旋转矢量位于第一象限，初始相位为84.80

(2) 若另有一振动x3?0.07cos(10t??)，x1?x3振幅最大，需要振动的初相位相同，所以??35?，x2?x3的振幅最小，需要初相位相差1800，这时??? 44

15. （基础训练24） 在竖直悬挂的轻弹簧下端系一质量为100g的物体，当物体处于平衡位置时，再对物体加一拉力使弹簧伸长，然后从静止状态将物体释放。已知物体在32内完成48次振动，振幅为5cm。（1）上述的外加拉力有多大？（2）当物体在平衡位置以下1cm时，此振动的动能和势能各是多少？

解：(1)由题可知，T?2???2?m2?S k3k?8.88N/m f?kA?8.88?0.05?0.444N (因为从静止状态释放，此时偏离平

衡位置位移最大，此时弹簧的相对于平衡位置的形变为振幅A)

(2) 当物体在平衡位置以下1cm时，此振动的势能和动能分别是：

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EP?121kx??8.88?(0.01)2?4.44?10?4J 221111EK?kA2?kx2??8.88?(0.05)2??8.88?(0.01)2?1.07?10?2J

2222

16(自测提高18) 在平板上放一质量为m=2kg的物体, 平板在竖直方向上作简谐振动,其振动周期T?1S, 振幅A=4cm, (1) 物体对平板的压力的表达式; (2) 平板以多大的振幅2振动时,物体才能离开平板?

解: 物体的振动方程可以表示为: x?0.04cos(4?t??0) 取竖直方向为x轴方向,且竖直向上为正方向. 考虑到起始时刻未定,引入初始相位?0

(1) 设平板对物体的弹力为N, 物体所受重力mg, 由牛顿第二定律得:

d2xF合?N?mg?m2

dtd2xN?m2?mg??m?2Acos(4?t??0)?mg?m?2Acos(4?t??)?mg

dt其中,

???0??

N?19.6?1.28?2cos(4?t??), 物体对平板的压力与弹力大小相等,方向相反 N'??19.6?1.28?2cos(4?t??)

(2) N?m?Acos(4?t??)?mg

当cos(4?t??)取?1时,N最小,要求N?0,则有

2?m(4?)2A?mg?0

A?6.21?10?2m

17 (自测提高21) 质量为M的圆盘挂在劲度系数为k的轻弹簧下，并处于静止状态，如图13-30所示。一质量为m的物体，从距圆盘为h的高度自由下落，并粘在盘上和盘一起振动。设物体和盘相碰瞬间t=0，而且碰撞时间很短。取碰后系统的平衡位置为坐标原点，竖直向下为坐标的正方向。试求系统的振动方程。

所以，振动方程为：

k m M h 图13-30

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mg22ghm2kmgx?()?cos(?t＋arccos??)

2k(m?M)kM?mmg2ghmk()2?k(m?M)k或者：

mg22ghm2k2khx?()?cos(?t?arctan??)

k(m?M)kM?m(m?M)g

解法1：

质量为m的物体与质量为M的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为v：

m2gh?(M?m)v v?m2gh/(M?m)，系统动能为：

Ek1?1(m?M)v2?m2gh/(M?m) (1) 2到系统达到平衡位置时，弹簧伸长量为L =(M+m)g/k，则碰撞后瞬间物体偏离平衡位置的位移为x??mg，根据振动系统能量守恒，有： k111(m?M)v2?kx2?kA2 (2) 222mg22ghm2A?()?k(m?M)k

根据条件，此振动的角频率为

k

M?mmg k在t=0时，M＋m 在往平衡位置方向运动，并再经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于第三象限。且x??初始相位为：arccosmgmg22ghm)?k(m?M)k2??;

k(也可写成：arctan2kh??

(m?M)g所以，振动方程为：

mg22ghm2kmgx?()?cos(?t＋arccos??)

2k(m?M)kM?mmg2ghmk()2?k(m?M)k2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案

或者：

mg22ghm2k2khx?()?cos(?t?arctan??)

k(m?M)kM?m(m?M)g

解法2：质量为m的物体与质量为M的物体先发生碰撞，碰撞后的瞬时速度大小为v：

m2gh?(M?m)v v?m2gh/(M?m)，系统动能为：

Ek1?1(m?M)v2?m2gh/(M?m) (1) 212M2g2碰撞前后瞬间，弹簧的伸长量为L1=Mg/k, 弹簧的弹性势能为Ep1?kl1? (2)

22k到系统达到平衡位置时，弹簧伸长量为L2 =(M+m)g/k，设平衡位置时（M＋m）物体的速度

为v’,有：

112(m?M)v'?kL2g(L2?l1) (3) 2?Ek1?Ep1?(m?M)2211(m?M)v'2?KA2， (4) 22mg22ghm2)?根据（1）（2）（3）（4）各式，得到A?(k(m?M)k根据条件，此振动的角频率为

；

k

M?mmg k在t=0时，M＋m 在往平衡位置方向运动，并再经平衡位置向正最大位移方向移动，由此可判定在旋转矢量图中，矢量处于第三象限。且t=0时物体偏离平衡位置位移为x，x??初始相位为：arccosmgmg22ghm)?k(m?M)k2??;

k(也可写成：arctan2kh??

(m?M)g所以，振动方程为：

mg22ghm2kmgx?()?cos(?t＋arccos??)

2k(m?M)kM?mmg2ghmk()2?k(m?M)k或者：

2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案

mg22ghm2k2khx?()?cos(?t?arctan??)

k(m?M)kM?m(m?M)g

18 (自测提高23) 如图13-31所示。一质点在x轴上作简谐振动，选取该质点向右运动通过A点

时作为计时起点( t = 0 )，经过2秒后质点第一次经过B点，再经过2秒后质点第二次经过B点，若已知该质点在A、B两点具有相同的速率，且AB = 10 cm求：(1) 质点的振动方程；(2) 质点在A点处的速率。

A v 图13-31

?B x 解：由旋转矢量图和 |vA| = |vB| 可知 T/2 = 4秒，

-∴ T = 8 s， ? = (1/8) s1，

- ???????????????? s1 (1) 以AB的中点为坐标原点，x轴指向右方． t = 0时， x??5 cm?Acos?

t = 2 s

t = 4 sA?vAOvBBxvB时， x?5 cm?Acos(2???)??Asin?

t = 0由上二式解得 tg? = 1 因为在A点质点的速度大于零，所以? = -3?/4或5?/4（如图）

?t = 2 s

A?x/cos??52 cm

∴ 振动方程 x?52?10?2cos?(t?3?) (SI)

44?2?52??10dx(2) 速率 v??sin(?t?3?) (SI) dt444当t = 0 时，质点在A点

?52??10?2sin(?3?)?3.93?10?2 m/s

v?dx?dt44

附加题

1 （自测提高24） 在伦敦与巴黎之间（约S＝320 km ）挖掘地下直线隧道，铺设地下铁路．设只在地球引力作用下时列车运行，试计算两城市之间需运行多少时间？列车的最大速度是多少？忽略一切摩擦，并将地球看作是半径为 R = 6400 km 的密度均匀的静止球体，已知处于地球内部任一点处质量为m的质点所受地球引力的大小与它距地球中心的距离成正比，可由

(4?G?mr)/3 表示，式中G为引力恒量，?为地球密度，r为质点与地球中心的距离。

解：见图，质量为m的质点P受的引力在指向O点的方向上的分力为

4?G?mrsin? ① 3上式中 rsin??x ②

431又因 G?R?m2?mg

3R F? S ?/2 ??r M P x R

2015-2016(1)《大学物理A(2)》作业参考答案

4g4?G?R?g, 即 ?G?? ③ 33Rmgx 将②、③式代入①式，得 F?R有

这表明，在OP方向上，F正比于x并且方向相反，故为谐振动．

d2xmg??x 因此 F?mRdt2其解为 x?Acosg/Rt

令 A?Rsin(?/2)?(S/2)?1.6?105 m

则列车运行所需时间

T2?/???22?g/R??R?42.3 min g列车最大速度 vmax?Ag/R?1.98?102m?s－1

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