疲劳习题和答案 - 图文

习题和答案

第一章

1-5 已知循环最大应力smax＝200MPa，最小应力Smin?50MPa，计算循环应力变程?S、应力幅Sa、平均应力Sm和应力比R。 解：?S?Smax?Smin?200?50?150 MPa

?S?75 MPa 2S?Smin200?50??125 MPa Sm?max22 Sa?R?Smin50??0.25 Smax200（完）

1-6 已知循环应力幅Sa?100MPa，R＝0.2，计算Smax、Smin、Sm和?S。 解：?S?2Sa?200 MPa

Smax?Smin??S?200 MPa…………（a） R?Smin/Smax?0.2……………………（b） 结合(a)、(b)两式，计算得到：

Smax?250 MPa， Smin?50 MPa 则：

Sm?(Smax?Smin)/2?(250?50)/2?150 MPa （完）

第二章

2-2 7075-T6铝合金等寿命图如本章图2.9所示，若a）R＝0.2，N＝106；b）R＝－0.4，N＝105 试估计各相应的应力水平（Smax，Smin，Sa，Sm）。

图2.9 7075-T6铝合金等寿命图

解：由图中可以得到：

a）Smax?380 MPa，Smin?80 MPa Sa?160 MPa，Sm?230 MPa b）Smax?340 MPa，Smin??130 MPa

Sa?230 MPa，Sm?100 Mpa （完）

2-4 表中列出了三种材料的旋转弯曲疲劳试验结果，试将数据绘于双对数坐标纸上，并与由

S103?0.9Su，S106?0.5Su估计的S－N曲线相比较。

A B C Su?430 MPa Sa/MPa 225 212 195 181 178 171 168 注：*未破坏

解：计算出各lgS和lgN，列于下表：

A Su?715 MPa Sa/MPa 570 523 501 453 435 417 412 Su?1260 MPa Sa/MPa 770 735 700 686 665 644 Nf/105 0.45 2.40 8.00 15.00 27.00 78.00 260.00 Nf/105 0.44 0.85 1.40 6.30 19.00 29.00 74.00 Nf/105 0.24 0.31 0.45 0.87 1.50 1000.00* B C Su?430 MPa lgSa 2.35 2.33 2.29 2.26 2.25 2.23 2.22 Su?715 MPa lgSa 2.76 2.72 2.70 2.66 2.64 2.62 2.61 Su?1260 MPa lgSa 2.89 2.87 2.85 2.84 2.82 2.81 lgNf 4.65 5.38 5.90 6.18 6.43 6.89 7.41 lgNf 4.64 4.93 5.15 5.80 6.28 6.46 6.87 lgNf 4.38 4.49 4.65 4.94 5.18 8 假设：S103?0.9Su S106?0.5Su S－N曲线表达式为：

Sm?N?C

（1）

对（1）式两边取对数有：

lgS?11lgC?lgN mm （2）

结合上面的式子，可以得到：

m?3/lg(0.9/0.5)?11.8

C?(0.9Su)11.8?103

或者：C?(0.5Su)11.8?106 （3） 对于A组情况：Su?430 MPa 则有：

C?(0.9Su)11.8?103?(0.9?430)11.8?103?3.4276?1033 代入（2）式，得：

lgS?2.84?0.08lgN

（a）

对于B组情况：Su?715 MPa 则有：

C?(0.9Su)11.8?103?(0.9?715)11.8?103?1.383?1036 代入（2）式，得：

lgS?3.06?0.08lgN

（b）

对于C组情况：Su?1260 MPa 则有：

C?(0.9Su)11.8?103?(0.9?1260)11.8?103?1.108?1039 代入（2）式，得：

lgS?3.31?0.08lgN

（c）

将a、b、c三式在坐标纸上标出，见下图。

2-5 某极限强度Su＝860MPa之镍钢，在寿命Nf＝107时的试验应力值如下表，试作其Goodman图，并将数据点与Goodman直线相比较。

Smax/MPa Smin/MPa 解：由上表得：

420 -420 476 -378 482 -308 581 -231 672 0 700 203 707 357 S?1?420 MPa 已知：

Sm?Smax?SminS?Smin，Sa?max 22对上表进行数据处理，求得各自得Sa/S?1以及Sm/Su得：

Sa/S?1 Sm/Su 1 0 1.02 0.06 0.94 0.10 0.97 0.20 0.80 0.39 0.59 0.52 0.42 0.62 将以上数据在坐标纸中标出数据点，并作出Goodman曲线。

2-9 某起重杆承受脉冲循环（R＝0）载荷作用，每年作用载荷谱统计如下表所示，S－N曲线可

3用SmaxN?2.9?1013，

a）试估算拉杆的寿命为多少年？

b）若要求使用寿命为5年，试确定可允许的Smax。

Smaxi/MPa 每年工作循环ni/10次 6500 400 300 200 0.01 0.03 0.1 0.5 解：根据已知得S－N曲线得到不同Smax下的寿命，见下表：

Smaxi/MPa 工作循环 500 400 300 200 Ni/10次 则：

a）根据：D???得：??D/?ni Nini Ni60.232 0.453 1.074 3.625 ??1/(0.010.030.10.5???)?2.94 0.2320.4531.0743.625b）由相对Miner理论可得：

?(ni)BNi?2.94?'? ni?(N)?5i又因为Smax3N?2.9?1013?Const 上式可写成：

'3Smax2.94 ?3Smax5'得：Smax?0.838Smax?419MPa

（完）

2-10 试用雨流计数法为下述载荷谱计数，并指出各循环的应力变程和均值。

解：计数结果如下。

循环 变程 均值 ANA’ 10 0 BCB’ 2 3 DGD’ 5 1.5 HKH’ 5 0.5 LML’ 3 -2.5 EFE’ 1 1.5 IJI’ 2 1

第三章

3-2 制作Weibull概率纸。

3-5 30CrMnSiNi2A钢在应力水平Smax＝660MPa，R＝0.5下的疲劳试验寿命为64，67，68，92，93，103，121，135千周。（N0?50千周），利用威布尔概率纸确定其寿命威布尔分布参数及存活概率为95％的寿命N95。 解：

i 1 2 3 4 5 6 7 8 N(10) 6.4 6.7 6.8 9.2 9.3 10.3 12.1 13.5 4F(N)=i n+10.111 0.222 0.333 0.444 0.556 0.667 0.778 0.889 将数据标示于坐标纸上，可见基本服从Weibull分布。分布参数估计：

N0?50千周

由图中查出于破坏概率63.2％对应的Na?N0?5?104周， 所以，特征寿命参数为：Na?10?104周=100千周

F(N)=90%时，有：lglg[1-F(N90)]-1?0，则：

lglg[1-F(N90)]-1?lglge0.3622 b=?lg(N90?N0)?lg(Na?N0)lg(N90?N0)?lg(Na?N0)由图中直线可查得：N90?N0?8.6?104，Na?N0?5?104 代入（1）式，得：b＝1.54 由F(N)?1?exp[1?(N?N0b)]可得：

Na?N0 （1）

N95?57千周

即存活概率为95％的寿命N95?57千周。 （完）

3-6 已知某应力比下的一组疲劳试验寿命结果如下表，使用最小二乘法拟合lgSa?lgN直线，求出相关系数，并写出其S－N曲线表达式。

Sa/MPa N(103次) 60 12.3 50 20.0 40 39.6 30 146.1 25 340.6 解：S－N曲线为SmN?C，取对数之后有：lgS?令 y＝lgS，x＝lgN，回归方程可写成： y＝A＋Bx 其中：A?11lgc；B??

mm11lgc?lgN mm列表计算得：

SaMPa 60 50 40 30 25 N xi?lgNi 4.0899 4.3010 4.5977 5.1646 5.5322 23.6854 yi?lgSai 1.7782 1.6990 1.6020 1.4771 1.3979 7.9542 xi2 16.7273 18.4986 21.1388 26.6731 30.6052 113.6430 yi2 3.1620 2.8866 2.5664 2.1818 1.9541 12.7509 xiyi 7.2727 7.3074 7.3655 7.6286 7.7335 37.3077 12300 20000 39600 146100 340600 ?根据上表：

x? ?xni?23.6854?4.73708 57.9542?1.59084 5y??yni?又：

23.68542Lxx??x?(?xi)/n?113.6430??1.44336

52i27.95422Lyy??y?(?yi)/n?12.7509??0.09704

52i2Lxy??xiyi??xiyi/n?37.3077?23.6854?7.9542??0.37198

5回归系数为：

B?LxyLxx??0.37198??0.2577

1.44336

A?Y?BX?2.8116 故有：

m??1?3.88 BC?10mA?103.88?2.8116?8.11?1010

相关系数为：

??LxyLxxLyy??0.37198??0.9939

1.44336?0.09704显著性水平取为??0.01，本题中n－2＝3，查表得???0.959，固有????，则回归方程能反映随即变量间的相关关系。

S－N曲线表达式为：

S3.88N?8.11?107(MPa,千次)

回归方程lgSa?lgN的直线表达式为：

lgSa?2.8116?0.2577lgN （完）

第四章

4-3 如果工程应变e＝0.2％，0.5％，1％，2％，5％，试估算工程应力S与真实应力?，工程应变e与真实应变?之间的差别有多大？ 解：工程应力为：S?P A0PPl??S(1?e) AAol0真实应力为：??则：

??SS?e

所以：e分别为0.2％，0.5％，1％，2％，5％时，真实应力比工程应力大0.2％，0.5％，1％，2％，5％。

e2真实应变为：??ln(1?e)?e?????

2忽略三阶小量，可知二者之间的相对误差为：

e??e? e2则e分别为0.2％，0.5％，1％，2％，5％时，真实应变比工程应变分别小0.1％，0.25％，0.5％，1％，2.5％

（完）

4-7 材料的循环性能为：E?2.1?105MPa，K'?1220MPa，n'?0.2。试计算图示应力谱下的循环响应，并画出???图。 解：

0-1 由循环应力应变曲线??(?/E)?(?/K')1/n 得到：

'?1?500MPa

?1?(?1/E)?(?1/K')1/n?0.014

1-2 卸载过程，??1?2?500MPa，按滞后环曲线???(??/E)?2(??/2K')1/n 得到：

''??1?2?0.003

故有：?2?0.011，?2?0

2-3 加载过程，??2?3?300MPa 按滞后环曲线求得：

??2?3?0.001

故有：?3?0.012，?3?300MPa

3-4 卸载过程，其中2-3-2’形成封闭环，故可直接按照1-4路径计算 1-4 卸载过程，??1?4?800MPa，根据滞后环曲线得：

??1?4?0.011

故有：?4?0.003，?4??300MPa

4-5 加载过程，??4?5?700MPa，由滞后环曲线得：

??4?5?0.007

故有：?5?0.010，?5?400MPa

5-6 卸载过程，??5?6?500MPa，由滞后环曲线得：

??5?6?0.003

故有：?6?0.007，?6??100MPa

6-7 加载过程，??6?7?200MPa，由滞后环曲线得：

??6?7?0.001

故有：?7?0.008，?7?100MPa

7-8 卸载过程，其中6-7-6’形成封闭环，故卸载可以按5-8路径计算 5-8 卸载过程，??5?8?600MPa，由滞后环曲线得：

??5?8?0.003

故有：?8?0.005，?8??200MPa

8-1’ 加载过程，其中5-8-5’形成封闭环，考虑路径4-1’ 4-1’ 加载过程，其中1-4-1’形成封闭环

故有：?1'?0.014，?1'?500MPa 给出???图，如图所示

（完）

4-8 某镍合金钢性能为：E＝200GPa，K'?1530，n'?0.07，?'f?1640MPa，?'f?2.6，b＝-0.06，c＝-0.82。试估算下述载荷条件下的寿命。

a）??/2?0.01，?m?0 b）??/2?0.01，?m?0.01 解：

a） 此为恒幅应变对称循环，且?a?0.01，?m?0

直接由??N曲线有：

?a??'fE(2N)b??'f(2N)c?0.01

解得： N＝1072

b）此为恒幅应变，但不对称，?a?0.01，?m?0.01

0-1 ?1??1/E?(?1/K1)1/n?0.02 解得：?1?1136.6MPa

1-2 ??1?2???1?2?2(??1?2/2K')1/n?0.02 解得：??1?2?2104MPa 故有：?2?0，?2??967.4MPa 2-3 1-2-3形成封闭环，有：

''?3??1?0.02，?3??1?1136.6MPa

根据滞后环得到：

?m??2??32?84.6MPa

估算寿命，有：

?a??f'??mE(2N)b??'f(2N)c?0.01

代入各项数值，解得： N＝1008次 （完）

4-9 某压力容器构件有一个Kt?3的缺口，承受名义应力Smax＝500MPa，Smin?50MPa的循环载荷作用。已知材料参数E＝200GPa，K'?1600MPa，?'f?1700MPa，n'?0.125，b＝-0.1，c＝-0.7，?'f?0.6。试估算其寿命。 解：为缺口应力－应变响应计算

0-1 已知S1?Smax?500MPa，由循环应力应变曲线计算有：

e1/n'?31?S1/E?(S1/K')?2.6?10 将e1、S1代入Neuber双曲线，有：

?1?1?K2tS1e1?11.7MPa

结合循环应力应变曲线：

?n'1??1/E?(?'1/K)1/

结合（1）、（2）式，解得：

?1?885MPa，?1?0.0132

1-2 卸载过程，?S1?2?450MPa，由滞后环曲线有：

?e1?2??S1?2/E?2(?S/2K')1/n'?2.3?10?3

将?e1?2，?S1?2代入Neuber双曲线，得：

??1?2??1?2?K2t?S1?2?e1?2?9.315MPa 结合滞后环曲线：

??'1?2?(??1?2/E)?2(??1?2/2K')1/n 结合（3）、（4）式，解得：

??1?2?1248MPa，??1?2?0.00734 故有：?2??363MPa，?2?0.00586 2-3 加载过程。同理可计算得到：

??2?3?1248MPa，??2?3?0.00734 故有：?3?885MPa，?3?0.0132 由上述数据得到滞后环曲线：

?a?(?1??2)/2?0.00367

（1）

（2）

（3）

（4）

?m?(?1??2)/2?261MPa

利用??N曲线寿命估算：

?a??'f??mE(2N)b??'f(2N)c

得到：N＝5997次 （完）

第五章

5-1 三点弯曲试样B＝30mm，W＝60mm，L＝240mm，裂纹尺寸a＝32mm。若施加载荷P＝50Kn，求K1。 解：

K?3PLa?af()

2BW2w其中：

aaaaaf()?1.090?1.735()?8.20()2?14.18()3?14.57()4 wwwww将各项数据代入上两式：

af()?1.525 wK?80.58MPam （完）

5-2 已知某一含中心裂纹2a＝100mm的大尺寸钢板，受拉应力?c1?304MPa作用时发生断裂，若在另一相同的钢板中有一中心裂纹2a＝40mm，试估计其断裂应力?c2。

aa解：K1C??1C?a1f(1)??2C?a2f(2)

ww （1）

对于大尺寸板：a/w??0，则f＝1 故（1）式可写成：?1Ca1??2Ca2 解得：?2C?a1?1C?480.7 a2MPa （完）

5-3 某材料?ys?350MPa，用B＝50mm，W＝100mm，L＝4W的标准三点弯曲试样测试断裂韧性，预制裂纹尺寸a＝53mm。由试验得到的P－V曲线知，断裂载荷PQ?54MPa，试计算该材料的断裂韧性K1C并校核其有效性。 解：标准三点弯曲试样的应力强度因子为：

KQ?3PQL2BW2?af()

aw （1）

其中：

aaaaaf()?1.090?1.735()?8.20()2?14.18()3?14.57()4 wwwwwaa已知：?0.53，得：f()?1.5124

ww将各项数据代入（1）式，得：

KQ?40.0MPam 对其进行有效性验证：

B?50mm?2.5(KQ/?ys)2?32.6mm

满足有效性条件，即得到：K1C?KQ?40.0MPam （完）

5-4 材料同上题，若采用B＝50mm，W＝100mm的标准紧凑拉伸试样测试其断裂韧性，预制裂纹尺寸仍为a＝53mm。试估算试验所需要施加的断裂载荷P。 解：若采用标准紧凑拉伸试样，断裂时有：

K1?Paaf()?K1C BWw （1）

转换得到：

P?K1CBW aaf()w （2）

其中：

aaaaaf()?29.6?185.5()?655.7()2?1017.0()3?638.9()4 wwwwwaa已知：?0.53，则计算得到：f()?14.4755

ww将各项数据代入（2）式，得到：

P?60.0KN

（完）

5-7 某合金钢在不同的热处理状态下的性能为：

1）275?C回火：?ys?1780MPa，K1C?52MPam 2）600?C回火：?ys?1500MPa，K1C?100MPam

设工作应力??750MPa，应力强度因子表达式K?1.1??a，试问两种情况下的临界裂纹长度ac各为多少？

解：1）K?1.1??a?K1C，可得不发生断裂时：

a?1K1C2() ?1.1? （1）

将各项数据代入，得：

a?1.265?10?3

又因??750MPa??ys，满足静强度条件，故：ac?1.265?10?3m?1.265mm 2）由上计算得到：

a?1K1C2() ?1.1?代入各项数据，得：

a?4.679?10?3

又因??750MPa??ys，满足静强度条件，故ac?4.679?10?3m?4.679mm （完）

7-4 某大尺寸厚板有一a/c＝0.2之表面裂纹，受远场拉应力?作用。材料的屈服应力为?ys?900 MPa，断裂韧性K1C?100 MPa，试估计：

1）作用应力??600 MPa时的临界裂纹深ac。 2）若a＝5mm，求此表面裂纹厚板的临界断裂应力?c。 解：

1）无限大体中半椭圆表面裂纹最深处的应力强度因子为：

K1?1.1??a Q其中：Q?[E(k)2?0.212(?/?ys)2]1/2?[1?1.47(a/c)1.64?0.212(?/?ys)2]1/2 在发生断裂的临界状态有：

K1C?1.1??ac QK1C2Q2对上式进行变换，得：ac?

1.21?2?代入各项数据，得到：

Q2?1.01，ac?7.47mm 2）断裂的临界状态有：

K1C?1.1?c?a，此时：Q2?1.10?0.212(?c/900)2 Q结合上述两式，得：

?c21.10K1C2 ?21.21?a?0.212(K1C/?ys)代入各项数据，得到：

?c?713.4MPa

（完）

7-6 某宽板厚t＝30mm，测得其材料的断裂韧性为K1C?30MPam，屈服应力为?ys?620 MPa。

1）若板中有一长为2a的中心穿透裂纹，试估计承受??150 MPa的拉应力作用时，可允许的最大裂纹尺寸ac。

2）若板中有一深度为a的半椭圆表面裂纹，假设a/c＝0.5，承受??150 MPa的拉应力作用，试估计可以允许的最大裂纹尺寸ac。

3）若板承受的载荷??600 MPa（接近屈服应力），考虑塑性修正，再估计再上述两种情况下的许容缺陷容限尺寸。

解：1）该题可认为是承受拉伸的无限宽中心裂纹板，则：

K1???a?K1C 得：a?K1C2??2

代入数据后，得：ac?12.7mm

2）该题可认为是无限大体中的半椭圆表面裂纹，则最深处的应力强度因子为：

K1?Mf??aE(k) （1）

变换（1）式，得：a?1E(k)K1C2() ?Mf? （2）

通常取Mf?1.1，E(k)?[1?1.47(a/c)1.64]1/2?1.213 将各项数据代入（2）式，得：ac?0.0155m?15.5mm 3）考虑塑性修正后，对无限宽中心裂纹板：

K1'???(a?rp)??{?[a???a2)]}

2???ys1(此为平面应力情况，则有??1，又由K1'?K1C，可得：

[1?0.5(?21/2)]???a?K1C ?ys由上式，得：

a????[1?0.5()2]?ys2K1C2

解得：ac?0.54mm

对半椭圆表面裂纹，发生断裂得临界状态为：

K1?1.1??ac?K1C QK1C2Q2可知：ac?

1.21?2?其中：Q2?1?1.47(0.5)1.64?0.212(600/620)2?1.27 代入得到：

ac?0.84mm

（完）第八章

8-3 某宽板含中心裂纹2a0，受R＝0的循环载荷作用，KC?120MPam，裂纹扩展速率为

da/dN?2?10?12(?K)3m/C。

A）试对于a0＝0.5mm，2mm两种情况分别计算Smax＝100、200、300MPa时的寿命。 B）绘出此裂纹板在a0＝0.5mm时的S－N曲线。 解：为宽板中心裂纹，所以：f?1，K???a

故：?K?Kmax?Kmin?(?max??min)?a????a 根据裂纹扩展速率公式，得：m?3，C?2?10?12 因：ac?1KC2() ?Smax

（1） （2）

Pairs公式：NC?111(?) mmm?1?1C(f???)(0.5m?1)a02ac2根据（1）式，求出各Smax下对应的ac，结合C，f，m，a0，代入（2）式，即可求出寿命NC，见下表

Smax?100 MPa a0?0.5mm Smax?200 MPa Smax?300 MPa Smax?100 MPa a0?2mm Smax?200 MPa Smax?300 MPa b）取af?30mm定义其寿命，则：

afaC?0.458mm aC?0.114mm aC?0.051mm aC?0.458mm aC?0.114mm aC?0.051mm NC?7.766?106 NC?9.374?105 NC?2.680?105 NC?3.750?106 NC?4.355?105 NC?1.293?105 a0?da1?1/212??a?7.0?10 ?123?122?10(?a)10??a0af由??mN?7.0?1012，及?S???，Sm??S/2，可得到：

1Sa3N?8.74?1011 -----? lgSa?4?lgN

3图形见下。

8-5 某中心裂纹宽板承受循环载荷作用，R＝0。已知KC?100MPam，?Kth?6MPam，

da/dN?3?10?12(?K)3m/C。假定a0?0.5mm，试估算：

a）裂纹不扩展时的最大应力Smax。

b）寿命为N?0.5?106此时所能允许的最大循环应力Smax。 解：

a） 对于中心裂纹宽板，f＝1，则：

K???a

?K?Kmax?Kmin?(?max??min)?a??max?a 由?K??Kth?6MPam可得：?max??Kth?151.4 MPa

?a即裂纹不扩展时的最大应力为151.4MPa b）临界裂纹尺寸ac为：ac?临界状态时有：Smaxm?Kc2)

?Smax1(111(?) mmm?1?1CN(?)(0.5m?1)a02ac2其中：m＝3，C?3?10?12，N?0.5?106，a0?0.5?10?3m 代入上述两式，得：

Smax?214 MPa

（完）

8-5 某中心裂纹宽板承受循环载荷作用，R＝0。已知KC?100MPam，?Kth?6MPam，

da/dN?3?10?12(?K)3m/C。假定a0?0.5mm，试估算：

a）裂纹不扩展时的最大应力Smax。

b）寿命为N?0.5?106此时所能允许的最大循环应力Smax。 解：

a） 对于中心裂纹宽板，f＝1，则：

K???a

?K?Kmax?Kmin?(?max??min)?a??max?a 由?K??Kth?6MPam可得：?max??Kth?151.4 MPa

?a即裂纹不扩展时的最大应力为151.4MPa b）临界裂纹尺寸ac为：ac?临界状态时有：Smaxm?Kc2)

?Smax1(111(?) mmm?1?1CN(?)(0.5m?1)a02ac2其中：m＝3，C?3?10?12，N?0.5?106，a0?0.5?10?3m 代入上述两式，得：

Smax?214 MPa

（完）

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w78p.html