2019 - 2020学年高二数学上学期期中试题理

2019-2020学年高二数学上学期期中试题 理

考试注意：试卷分第Ⅰ卷、第Ⅱ卷两部分。请在答题卡上作答，答在试卷上一律无效。 第Ⅰ卷 选择题（共 60 分）

一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合要求） 1. 已知命题

.则

为

2.

若

，则n 的值为

A.4 B.5 C.6 D. 7 3.若

，则“

”是“

”的

A.充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 执行如图所示的程序框图，则输出的结果是

A.8 B. 16 C. 32 D. 64

5. 某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是 A. 抽签法 B. 系统抽样法 C. 分层抽样法 D. 随机数法 6. 在区间点的概率为

上随机取一个数k ，则直线

与圆

有两个不同公共

A. B. C. D.

7. 如果用反证法证明“数列

的各项均小于2 ”，那么应假设

- 1 -

A. 数列C. 数列

的各项均大于2 B. 数列中存在一项

的各项均大于或等于2

中存在一项

， D. 数列

8. 下列说法正确 是

9. 某学校派出 5 名教师去三所中学进行教学交流，每所中学至少派一名教师，则不同的分配方法有

A. 80种 B. 90种 C. 120种 D.150 种

10. 从甲、乙两种树苗中各抽测了10株树苗的高度，其茎叶图如图所示．根据茎叶图，下列描述正确的是

A. 甲种树苗的高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数， 且甲种树苗比乙种树苗长得整齐

B. 甲种树苗 高度的中位数大于乙种树苗高度的中位数， 但乙种树苗比甲种树苗长得整齐

C. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，且乙种树苗比甲种树苗长得整齐 D. 乙种树苗的高度的中位数大于甲种树苗高度的中位数，但甲种树苗比乙种树苗长得整齐 11. 设命题

实数满足

(其中

)；命题

实数满足

.若

是的必要不充分条件， 则实数的取值范围是

1

2. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是 0.75，连续两天为优良的概率是 0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是

第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分）

二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分）

- 2 -

13. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问毕业会考数学成绩。老师说：“你们四人中有 2 位优秀，2 位良好，我 现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。”看后甲对大家说：“我还是不知道我的成绩。根据 以上信息，则可以知道自己成绩的同学是______．

14. 如右图，从 A 点出发每次只能向上或者向右走一步，则到达 B 点的路径的条数为

______．

15. 从 中任取两个不同的数，分别记为则“ ”的概率为

__________．

16. 给出下列三个命题： ①命题②若 ③“若

为真命题,则

，则

则

均为真命题；

”为假命题.其中正确的命题个数有________个．

三、解答题（本大题 6 小题，共 70 分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤） 17、(本小题 10 分) 写出命题“已知

，若关于的不等式

有非空解集，则

”的逆

命题、否命题、逆否命 题，并判断它们的真假． 18、(本小题 12 分) 给定两个命题，的方程

对任意实数都有

”为假，且“

恒成立；

关于

有实数根；如果 “ ”为真，求实数的取值

范围．

19、(本小题 12 分)

为了解某品种一批树苗生长情况，在该批树苗中随机抽取了容量为 120 的样本，测量树苗高度（单位：cm），经统计，其高度均在区间[19，31]内，将其按[19，21)，[21，23)，[23，25)，[25，27)，[27，29)，[29，31]分成 6 组，制成如图所示的频率分布直方图．其中高度为 及以上的树苗为优质树苗．

- 3 -

（1）求图中的值

（2）已知所抽取 这 120 棵树苗来自于 A，B 两个试验区，部分数据如下列联表：

将列联表补充完整，并判断是否有 99.9%的把握认为优质树苗 与 A，B 两个试验区有关系，并说明理由；

（3）用样本估计总体，若从这批树苗中随机抽取 4 棵， 其中优质树苗的棵数为，求的分布列和数学期望下面的临界值表仅供参考：

．

20、(本小题 12 分) 已知集合 件是

，求实数

的 取值范围.

若

成立的一个充分不必要条

21、(本小题 12 分)

某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为，中奖

可以获得 2 分；方案乙的中奖率为，中奖可以获得 3 分；未中奖则不得分．每人有且只

有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品．

- 4 -

（1）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为，求的概

率；

（2）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他们选择何种方案抽奖，累计得分的数学期望较大？ 22、(本小题 12 分)

在一场娱乐晚会上，有 5 位民间歌手(1 至 5 号)登台演唱，由现场数百名观众投票选出最受欢迎歌手．各位观众须彼此独立地在选票上选 3 名歌手，其中观众甲是 1 号歌手的歌迷，他必选 1 号，不选 2 号，另在 3 至 5 号中随机选 2 名．观众乙和丙对5 位歌手的演唱没有偏爱，因此在 1 至 5 号中随机选 3 名歌手．

（1）求观众甲选中 3 号歌手且观众乙未选中 3 号歌手的概率；

（2）表示 3 号歌手得到观众甲、乙、丙的票数之和，求的分布列及数学期望．

- 5 -

理科数学

一、选择题答案 1 B 2 C

填空题答案

13、乙和丁； 14、 16 ； 15、

3 A 4 C 5 C 6 B 7 D 8 C 9 D 10 D 11 A 12 A 7 ；16、 2个 . 152

2

17、(1)逆命题：已知a，b∈R，若a≥4b，则关于x的不等式x＋ax＋b≤0有非空解集，为真命题．

(2)否命题：已知a，b∈R，若关于x的不等式x＋ax＋b≤0没有非空解集，则a<4b，为真命题．

(3)逆否命题：已知a，b∈R，若a<4b，则关于x的不等式x＋ax＋b≤0没有非空解集，为真命题．

2

2

2

2

2

18、对任意实数x都有ax+ax+1＞0恒成立?a=0或?0≤a＜4；

关于x的方程x﹣x+a=0有实数根

2

；

由于“P∧Q”为假，且“P∨Q”为真，则P与Q一真一假； （1）如果P真，且Q假，有（2）如果Q真，且P假，有所以实数a的取值范围为：

19、（1）根据直方图数据，有解得

．

，列联表如下：

合计 30 90 120 ， ．

； ．

（2）根据直方图可知，样本中优质树苗有 优质树苗 非优质树苗 合计 A试验区 10 60 70 B试验区 20 30 50 - 6 -

可得．

所以，没有99.9％的把握认为优质树苗与A，B两个试验区有关系． （3）由已知，这批树苗为优质树苗的概率为，且X服从二项分布B(4，)，

；；．

所以X的分布列为：

； ；

X P 0 1 .

2 3 4 故数学期望EX＝

?1x?

20、A＝?x|<2<8，x∈R?＝{x|－1

?2?

∵x∈B成立的一个充分不必要条件是x∈A， ∴A?B，∴m＋1>3，即m>2.

22

21、法一：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影

35响．

记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A， 则事件A的对立事件为“X＝5”，

22411

因为P(X＝5)＝×＝，所以P(A)＝1－P(X＝5)＝，

35151511

即这两人的累计得分X≤3的概率为.

15

(2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖次数为X1，都选择方案乙抽奖中奖次数为X2，则这两人选择方案甲抽奖累计得分的数学期望为E(2X1)，选择方案乙抽奖累计得分的数学期望为E(3X2)．

?2??2?由已知可得，X1～B?2，?，X2～B?2，?， ?3??5?

2424

所以E(X1)＝2×＝，E(X2)＝2×＝，

3355

- 7 -

812

从而E(2X1)＝2E(X1)＝，E(3X2)＝3E(X2)＝.

35因为E(2X1)>E(3X2)，

所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

22

法二：(1)由已知得，小明中奖的概率为，小红中奖的概率为，且两人中奖与否互不影

35响．

记“这两人的累计得分X≤3”的事件为A，

则事件A包含有“X＝0”“X＝2”“X＝3”三个两两互斥的事件，

?2??2?1

因为P(X＝0)＝?1－?×?1－?＝，

?3??5?5

P(X＝2)＝×?1－?＝，

2?3?

2?5?

25

P(X＝3)＝?1－?×＝，所以P(A)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＋P(X＝3)＝，

11

即这两人的累计得分X≤3的概率为.

15

(2)设小明、小红都选择方案甲所获得的累计得分为X1，都选择方案乙所获得的累计得分为X2，则X1，X2的分布列如下：

??

2?23?5

2151115

X1 0 9 253 12 256 4 250 1 92 4 94 4 9 X2 P P 1448

所以E(X1)＝0×＋2×＋4×＝，

9993

E(X2)＝0×＋3×＋6×＝.

因为E(X1)>E(X2)，所以他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的数学期望较大．

22、(1)设A表示事件“观众甲选中3号歌手”，B表示事件“观众乙选中3号歌手”，C22C43

则P(A)＝2＝，P(B)＝3＝.

C33C55

∵事件A与B相互独立，

1

2

9

251225425125

- 8 -

∴观众甲选中3号歌手且观众乙未选中3号歌手的概率为P(AB)＝P(A)·P(B)＝224?P(A)·[1－P(B)]＝×＝?或P3515?

ABC2·C44?＝2. 3＝C3·C515??

2

13

C43

(2)设C表示事件“观众丙选中3号歌手”，则P(C)＝3＝. C55

1224

∵X可能的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝P(A B C)＝××＝，

35575

P(X＝1)＝P(A B C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝××＋××＋××＝

20， 75

232525133525132535

P(X＝2)＝P(AB C)＋P(A B C)＋P(A B C)＝××＋××＋××＝， P(X＝3)＝P(ABC)＝××＝，

∴X的分布列为

2335

318575

2323552233551335333575

X P 0 4 751 20 752 33 753 18 75420331814028∴X的数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝＝. 757575757515

- 9 -

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w73a.html