第3章利用DFT做连续信号的频谱分析

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3.2 利用DFT做连续信号的频谱分析信号的频谱分析：利用DFT计算连续信号的频谱

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3.2 利用DFT做连续信号的频谱分析信号的频谱分析：利用DFT计算连续信号的频谱

理论上，信号的时域长度和频域带宽不可能同 时为有限长，时域有限长则带宽无限长，时域无 限长则带宽有限长。

DFT对应的时域和频域信号都是有限长离散序 列，并隐含周期性。

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3.2 利用DFT做连续信号的频谱分析信号的频谱分析：利用DFT计算连续信号的频谱所以利用DFT计算连续信号的频谱，需要进行以下 几步操作： (1)频域限带：为满足抽样定理而进行的抗混叠 滤波 ，造成时域无限长 (2)时域抽样：造成频谱的周期延拓，可能产生 频谱混叠 ( f s 2 f h ) (3)时域截短：造成频谱泄露(频谱的扩散、拖 尾、变宽)一个周期N点 (4)频域抽样：造成时域周期延拓，可能产生时 域混叠(F0≤fs/N,M≥N)

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采 样 时域 截短

周期延拓 频谱混叠扩散/拖尾/变宽

频谱泄漏、混叠 频域 采样

周期延拓 取主值 序列

取主值 序列

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T 时域采样间隔 f s 时域采样频率 T0 信号记录长度

f s 1/ T T0 NT

fs 2 fh

F0 (频率分辨率)频域采样间隔 T0 1/ F0 T0 f s N 采样点数 N f s NF0 T0 NT T F0 f h 信号最高频率

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频率响应的混叠失真及参数的选择时域抽样：f s 2 f h 频域抽样：F0 1/ T0T0 f s N T F0

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信号最高频率与频率分辨率之间的矛盾T0 f s N T F0

要增加信号最高频率f h 则f s 当N 给定 F0必 ,即分辨率 1 要提高频率分辨率，即F0 则T0 F0 当N 给定 则T f s 要不产生混叠，f h必

同时提高信号最高频率和频率分辨率， 需增加采样点数N。

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参数选择的一般原则： (1)若已知信号的最高频率 f max ,为防 止混 叠，选定采样频率 f s 2 f max ; (2)根据频率分辩率 f F0 ,确定所需 DFT的长度 N f s / F0 (3) f s 和N确定以后，即可确定相应模拟信 号的时间长度 τ N / f s NT 这里T是采样周期。

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信号最高频率 fh 的确定如果不知道信号的最高频率 fh 怎么办？ 例如：人们只观察记录了一 段时间的波形或数据，如图 所示，应如何确定 fh 呢？ 时域变化越快则高频分量越丰富 取变化最快的两相邻峰点谷点之 间的时间为半个周期。

t0 Th / 21 1 fh Th 2t0

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例：有一频谱分析用的FFT处理器，其抽样点数 必须是2的整数幂，假设没有采用任何的数据处理 措施，已给条件为： 1)频率分辨率 10 Hz

2)信号最高频率 4kHz试确定以下参量： 1)最小记录长度T0 2)抽样点间的最大时间间隔T(即最小抽样频

率) 3)在一个记录中最少点数N

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解： 1)最小记录长度：1 1 T0 0.1s F0 10

2)最大抽样间隔 (f s 2 f h

f s 1/ T)

1 1 T 0. ms 125 3 2 f h 2 4 10

3)最小记录点数2 f h 2 4 103 N 800 F0 10

取N 2m 210 1024 800

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利用DFT做连续信号的频谱分析时出现的问题： (1)混迭对连续信号 x(t) 进行数字处理前，要进行采样xa ( nT ) x( t ) ( t nT )n

采样序列的频谱是连续信号频谱的周期延拓， 周期为fs,如采样率过低，不满足采样定理，即 若fs<2fh,则导致频谱混迭，使一个周期内的谱对 原信号谱产生失真，无法恢复原信号，进一步的数 字处理失去依据。

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不满足抽样定理时产生频率混叠现象f (t ) 1 Ts

Fs ( j )0

0

Ts

t

m1 Ts

m Fs ( j )

f (t )0

Ts

01 Fs ( j ) Ts

t

0

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(2) 泄漏处理实际信号序列 x(n)时，一般总要将它截 断为一有限长序列，长为N点，相当于乘以一个矩形 窗 w(n)=RN(n)。 矩形窗函数，其频谱有主瓣，也有 许多副瓣，窗口越大，主瓣越窄，当窗口趋于无穷大 时，就是一个冲击函数。 我们知道，时域的乘积对应频域的卷积，所以， 加窗后的频谱实际是原信号频谱与矩形窗函数频谱的 卷积，卷积的结果使频谱延伸到了主瓣以外，且一直 延伸到无穷。当窗口无穷大时，与冲击函数的卷积才 是其本身，这时无畸变，否则就有畸变。

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对时域截短，使频谱变宽拖尾，称为泄漏

改善方法： 1)增加x(n)长度

2)缓慢截短

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(3)栅栏效应N点DFT是在频率区间 [0,2π] 上对信号频谱 进行N点等间隔采样，得到的是若干个离散的频谱 点 X(k),且它们限制在基频的整数倍上，这就 好像在栅栏的一边通过缝隙看另一边的景象一样， 只能在离散点处看到真实的景象，其余部分频谱成 分被遮挡， 所以称之为栅栏效应。 减小栅栏效应方法：时域序列尾部补零，使谱 线变密，增加频域采样点数，原来漏掉的某些频谱 分量就可能被检测出来。

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DFT只计算离散点(基频F0的整数倍处)的频谱， 而不是连续函数

改善方法： 增加频域抽样点数N(时域补零),使谱线更密

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(4) DFT的分辨率 F0

填补零值可以改变对DTFT的采样密度，人们常常 有一种误解，认为补零可以提高DFT的频率分辨率。 事实上我们通常规定DFT的频率分辨率 f s / N , 这里的 N 是指信号x(n)的有效长度，而不是补零的 长度。 不同长度的x(n)其DTFT的结果是不同的； 相同长度的x(n)尽管补零的长度不同但其DTFT的结 果相同，他们的DFT只是反映了对相同的DTFT采用 了不同的采样密度。

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