第22章二次函数教案

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 1

第22章 二次函数

教学目标

1、 通过具体问题引入二次函数的概念；在解决问题的过程中体会二次函数的意义。

2、 会用描点法画出二次函数的图象，概括出图象的特点及函数的性质．通过比较，了解这类函数的性质．

3、 能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和

顶点坐标；会利用对称性画出二次函数的图象．会通过配方求出二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的最大或最小值；

4、利用待定系数法求二次函数的函数关系式。

5、会结合二次函数的图象分析问题、解决问题，在运用中体会二次函数的实际意义．让学生进一步体验把实际问题转化为有关二次函数知识的过程．

6、学会用数学的意识（1）会求出二次函数c bx ax y ++=2与坐标轴的交点坐标；（2）了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系．掌握一元二次方程及二元二次方程组的图象解法．

7、能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题。

教材分析

“二次函数”一章，从实际问题情景着手，引入基本概念，引导学生自主探索变量关系及其规律，认识二次函数与其图象的一些基本性质，继续学会寻找所给问题中隐含着的关系，掌握基本的解决方法。其主要内容有两大部分，一部分是二次函数及其图象的基本性质，从简单的开始，通过学生的自主参与，逐渐认识这一常用函数的最为基本的性质。内容的另一部分是二次函数模型，最开始的从实际问题引入基本概念，探究函数的性质之后所提出的一些实际问题，以及最后一节的实践与探索，都是为了对这一函数模型有更为深刻的认识。通过一两个实例，与学生一起解剖分析，尝试解决实际问题，逐步提高分析问题，解决问题的能力。

课时安排

二次函数 1课时

二次函数的性质 7课时

实践与探索 4课时

复习 2课时

教学设计

22.1.1 二次函数

教学目标：

通过具体问题引入二次函数的概念；在解决问题的过程中体会二次函数的意义

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 2 教学重点：

通过具体问题引入二次函数的概念，在解决问题的过程中体会二次函数的意义．

教学难点：

如何建立数学模型

教学方法：

通过探究的方法掌握如何建立数学模型

教学过程：

情境导入：

（1）正方形边长为a （cm ），它的面积s （cm 2）是多少？

（2）已知正方体的棱长为x ㎝，表面积为y 2

cm ,则y 与x 的关系是 。

（3）n 个球队参加比赛，每两个队之间进行一场比赛。比赛的场次数m 与球队数n 有什么关系？

（4）某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x 倍，那么两年后这种产品的产量y 将随计划所定的x 的值而确定，y 与x 之间的关系应怎样表示？

探究新知

请观察上面列出的两个式子，它们是不是函数？为什么？如果是，它是我们学过的函数吗？，

1、 探究新知：请你结合学习一次函数概念的经验，给以上三个函数下个定义．

2、 归纳：二次函数的概念

一般的，形如 y=ax 2+bx+c=o (a,b,c 是常数，a ≠0）的函数，叫做二次函数。其中，x 是自变量，

a,b,c 分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项。

3、 结合“情境”中的三个二次函数的表达式，给出常数a 、b 、c 的取值范围，强调0≠a 。

结合“情境”中的三个二次函数的表达式，说说它们的自变量的取值范围

二次函数的特殊形式：

当b ＝0时，y ＝ax 2＋c

当c ＝0时，y ＝ax 2＋bx

当b ＝0，c ＝0时，y ＝ax 2

试一试：看谁反应快

1、 说出下列二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项

（1） y=-x2+58x-112 （2）y=πx2

2、指出下列函数y=ax 2+bx+c 中的a 、b 、c

（1） y=-3x2-x-1 （2） y=5x2-6 （3） y=x(1+x)

实践与探索：

例1、下列函数中，哪些是二次函数？若是,分别指出二次项系数,一次项系数,常数项。 (1) y=3(x －1)2+1 (2) y=x+

x

1 (3) s=3－2t2 (4) y=(x+3)2－x2 (5)y= 21x －x (6) S=8π r2 例2、m 取哪些值时，函数)1()(2

2+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的二次函数？

分析 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，须满足的条件是：02≠-m m ．

解 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数，则 02≠-m m ．解得 0≠m ，且1≠m ．因

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 3 此，当0≠m ，且1≠m 时，函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是二次函数．

探索 ： 若函数)1()(22+++-=m mx x m m y 是以x 为自变量的一次函数，则m 取哪些值？ 例3．写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．

（1）写出正方体的表面积S （cm 2）与正方体棱长a （cm ）之间的函数关系；

（2）写出圆的面积y （cm 2）与它的周长x （cm ）之间的函数关系；

（3）某种储蓄的年利率是1.98%，存入10000元本金，若不计利息，求本息和y （元）与所存年数x 之间的函数关系；

（4）菱形的两条对角线的和为26cm ，求菱形的面积S （cm 2）与一对角线长x （cm ）之间的函数关系． 应用与拓展

1．下列函数中，哪些是二次函数？

（1）02=-x y

（2）2)1()2)(2(---+=x x x y

（3）x x y 12+

= （4）322-+=x x y

2．当k 为何值时，函数1)1(2+-=+k k x k y 为二次函数？

3．已知正方形的面积为)(2cm y ，周长为x （cm ）．

(1)请写出y 与x 的函数关系式；

(2)判断y 是否为x 的二次函数．

正方形铁片边长为15cm ，在四个角上各剪去一个边长为x （cm ）的小正方形，用余下的部分做成一个无盖的盒子．

(1)求盒子的表面积S （cm 2）与小正方形边长x （cm ）之间的函数关系式；

(2)当小正方形边长为3cm 时，求盒子的表面积

巩固练习

教材P 29 ,1～2

回顾与反思

形如c bx ax y ++=2的函数只有在0≠a 的条件下才是二次函数．

作业：

教材P 41，1～2

教学后记：

22.1.2 二次函数的图象与性质（1）

第一课时

教学目标：

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 4

会用描点法画出二次函数2ax y =的图象，概括出图象的特点及函数的性质． 教学重点：

通过画图得出二次函数特点 教学难点：

识图能力的培养 教学方法：

讲授法、探究法 教学过程： 情境导入：

我们已经知道，一次函数12+=x y 的图象是 ，那么二次函数2x y =的图象是什么呢？ 新课探究

（1）描点法画函数2

x y =的图象前，想一想，列表时如何合理选值？以什么数为中心？当x 取互为相反数的值时，y 的值如何？

（2）观察函数2

x y =的图象，你能得出什么结论？

探究新知： 列表．

在直角坐标系中描点，然后用光滑的曲线顺次连结各点，得到函数y ＝x 2的图象，如图22.1-3所示．

像这样的曲线通常叫做抛物线（parabola ）．它有一条对称轴，抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的顶点．

实践与探索

例1．在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象，并指出它们有何共同点？有何不同点？

（1）22

1x y =

（2）2

2x y =

解：分别列表，再画出他们的图象。

x … -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 … y=1/2x 2

… 8 4.5 2 0.5 0 0.5 2 4.5 8 … x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … y=2x 2

…

8

4.5

2

0.5

0.5

2

4.5

8

…

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 5

一般地，当a>0时，抛物线y=ax 2的开口向上，

对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点， a 越大，抛物线的开口越小。

在对称轴的左侧，抛物线从左到右下降；在对称轴的 右侧，抛物线从左到右上升。即，当x ＜0时，y 随x 的 增大而减小；当x ＞0时，y 随x 的增大而增大。

探究：

（1） 在同一直接坐标系中，画出函数y=-x 2，

y=-1/2x 2，y=-2x 2的图象，并考虑这些抛物线有什么共同点和不同点。

（2） 当a ＜0时，二次函数y=ax 2的图象有什么特点 解：分别列表，再画出他们的图象。 x

…

-4 -3 -2 -1 0 1

2 3 4 (22)

1x y =

... -8 -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 -8 (x)

… -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … 22x y =

…

-8

-4.5

-2

-0.5

-0.5

-2

-4.5

-8

…

一般地，当a ＜0时，抛物线y=ax 2的开口向下，对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最高点，a 越小，抛物线的开口越小。

在对称轴的左侧，抛物线从左到右上升；在对称轴的 右侧，抛物线从左到右下降。即，当x ＜0时，y 随x 的 增大而增大；当x ＞0时，y 随x 的增大而减小。 归纳：

一般地，抛物线y=ax 2的对称轴是y 轴，顶点是原点，顶点是抛物线的最低点，当a ＜0时，抛物线y=ax 2的开口向下，顶点是抛物线的最高点，对于抛物线y=ax 2，a 越大，

抛物线的开口就越小。 巩固练习

教材P32、练习 课堂小结：

二次函数y =ax 2的图象是 ， 其对称轴是 ，顶点是 ．当a >0时，抛物线的开口 ，顶点是抛物线的 ，a 越大，抛物线的开口 ，在对称轴的左侧（即x ＜0），y 随x 的增大而减小，在对称轴的右侧（即x ＞0），y 随x 的增大而增大；当a <0时，抛物线的开口向_______,顶点是抛物线的最______点，a 越大，抛物线的开口越________，在对称轴的左侧（即x ＜0），y 随x 的增大而增大，在对称轴的右侧（即x ＞0），y 随x 的增大而减小。

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课堂作业：

课本P41 习题 3～4 教学后记：

22.1.2 二次函数的图象与性质（2）

第二课时 教学目标：会画出k ax y +=2这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质． 教学重点：通过画图得出二次函数性质 教学难点：识图能力的培养 教学方法：探究法 教学过程： 情境导入：

二次函数y=ax 2的图象是什么？它的性质有哪些？

同学们还记得一次函数x y 2=与12+=x y 的图象的关系吗？

你能由此推测二次函数22x y =与122+=x y 的图象之间的关系吗？ ，那么2

x y =与

122-=x y 的图象之间又有何关系？ ．

探究新知：

问题1：在同一直角坐标系中，画出函数22x y =+1与1-22x y =的图象． 解 列表． X

… -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … 22x y =+1 …

9 5.5 3 1.5 1 1.5 3 5.5 9 …

1

-22

x y =

…

7

3.5

1

-0.5

-1

-0.5

1

3.5

7

…

然后描点画出这两个函数的图象，得2

2x y =+1，

1-22x y =的图象（22.1-6）

可以发现，把抛物线y=2x 2向上平移1个单位长度，就得到抛物线2

2x y =+1；把抛物线y=2x 2向下平移1个单位长度，就得到抛物线y=2x 2-1。你能由此说出函数

22x y =与222-=x y 的图象之间的关系吗？

探索： 观察这两个函数，它们的开口方向、对称轴和顶点坐标有那些是相同的？又有哪些不同？

这两个函数图象开口方向都向上，对称轴为y 轴， y = 2x 2＋1的顶点坐标是（0，1）， y = 2x 2－1的顶点坐标是（0，－1），x>0时，y 随x 的增大而增大，x<0时，y

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 7

随s 的增大而减小

实践与探索2： y=-x2+3

问题2：在同一直角坐标系中，画出函数32+-=x y 与22--=x y 的图象，并说明，通过怎样的平移，可以由抛物线32+-=x y 得到抛物线

22--=x y ．

回顾与反思 ： 抛物线32+-=x y 和抛物

线22--=x y 分别是由抛物线2x y -=向

上、向下平移一个单位得到的．

探索： 如果要得到抛物线

42

+-=x y ，应将抛物线

12

--=x y 作怎样的平移？ 归纳：函数y=ax2 (a ≠0)和函数y=ax 2+k(a ≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当k>0时，函数y=ax 2+k

的图象可由y=ax 2的图象向 平移 个单位得到，当k<0时，函数y=ax 2+k 的图象可由y=ax 2的图象向 平移 个单位得到。

二次函数y=ax2+c (a ≠0)的图象与性质

二次函数y=ax2+c (a ≠0)的图象是一条抛物线，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点坐标为(0 ,c)，对称轴是y 轴，当x<0时，y 随着x 的增大而减小，当x>0时，y 随着x 的增大而增大，当x=0时,y 有最小值，最小值为c ；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点坐标为(0 ,c)，对称轴是y 轴，当x<0时，y 随着x 的增大而增大，当x>0时，y 随着x 的增大而减小，当x=0时,y 有最大值，最大值为c 。 巩固练习

教材P33，练习

一条抛物线的开口方向、对称轴与221x

y =

相同，顶点纵坐标是-2，且抛物线经过点（1，1），求这条抛

物线的函数关系式． 课堂小结：

本节课你的收获有哪些？（函数k ax y +=2与2ax y =图像的关系。）

作业：

教材P41，习题5（1） 教学后记：

22.1.2 二次函数的图象与性质（3）

第三课时

教学目标：

会画出2

)(h x a y -=这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．．

4

2

-2

-4

-6

-8

y

-10

-5

5

10

x

O

y= -x 2

y= -x 2+3

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教学重点：

通过画图得出二次函数性质 教学难点：

识图能力的培养 教学方法： 探究法 教学过程： 情境导入：

我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下平移所得，那么函数

2)2(2

1

-=

x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？

探究新知：

实践与探索1：

问题1：在同一坐标系中作出二次函数y=3x 2,y=3(x-1)2和y=3(x+1)2的图象． 完成下表,并比较3x2,3(x-1)2和3(x+1)2的值,它们之间有什么关系? x -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 y=3x 2 27 12 3 0 3 12 27 y=3(x-1)2 27 12 3 0 3 12 27 y=3(x+1)2 27

12

3

3

12

27

让学生观察并回答以下问题：

1.函数y=3(x+1)2的图象与y=3x 2和y=3(x-1)2的图象有什么关系?它是轴对称图形吗?它的对称轴和顶点坐标分别是什么?

2.x 取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x 值的增大而增大?x 取哪些值时,函数y=3(x+1)2的值随x 的增大而减少？

2

3x y =()

2

13-=x y ()

2

13+=x y

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 9

结论：二次函数y=3(x+1)2和y=3(x-1)2与y=3x 2的图象形状相同,可以看作是抛物线y=3x 2整体沿x 轴向左

或向右平移了1 个单位；二次项系数相同，a>0，开口都向上；图象是轴对称图形，抛物线y=3(x+1)2 的对称轴是平行y 轴的直线:x= -1，顶点坐标是点(-1，0)，在对称轴(直线:x=-1)左侧(即x<-1时),函数y=3(x+1)2的值随x 的增大而减少，在对称轴(直线：x=-1)右侧(即x>-1时),函数y=3(x+1)2的值随x 的增大而增大，顶点是最低点,函数有最小值.当x=-1时, 最小值是0；抛物线y=3(x-1)2 的对称轴是平行y 轴的直线:x= 1，顶点坐标是点(1，0)；在对称轴(直线:x=1)左侧(即x<1时),函数y=3(x-1)2的值随x 的增大而减少，在对称轴(直线：x=1)右侧(即x>1时),函数y=3(x-1)2的值随x 的增大而增大，顶点是最低点,函数有最小值.当x=1时，最小值是0；

问题2：在同一直角坐标系中，画出下列函数的图象．

221-x y =，2)1(21-+=x y ，2)1(2

1

--=x y ，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标．

解 列表． X

…

-4 -3 -2

-1

1

2 … 2)1(2

1-+=x y

… -4.5 -2 -0.5 0 -0.5 -2 -4.5 … X

…

-2 -1 0

1

2

3

4 … 2)1(2

1--=x y

… -4.5

-2

-0.5 0 -0.5 -2

-4.5

…

然后描点画出这两个函数的图象，得2)1(21-+=x y ，2)1(2

1

--=x y 的图象（22.1-7） 可以看出，抛物线2)1(2

1

-

+=x y 的开口向下，对称轴是经过点（-1,0）且与x 轴垂直的直线，把它记作x=-1，顶点是（-1,0）；抛物线2)1(2

1

-

-=x y 的开口向下，对称轴是x=1，顶点是（1,0）

探索 抛物线2)2(2

1

+=

x y 和抛物线2

)

2(21-=x y 分别是由抛物线221x y =向左、向右平移两个单位得到的．如果要得到抛物线

2)4(2

1

-=

x y ，应将抛物线221x y =作怎样的平

移？

实践与探索2：1．画图填空：抛物线2

)1(-=x y 的开口 ，对称轴是 ，顶点坐标是 ，它可以看作是由抛物线2

x y =向 平移 个单位得到的．

归纳：函数y=ax2 (a ≠0)和函数y=a （x-h ）2

(a ≠0)的图象形状 ，只是位置不同；当h>0时，函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax 2的图象向 平移 个单位得到，当h<0时，函数y=a(x-h)2的图象可由y=ax 2的图象向 平移 个单位得到。

二次函数2

)(h x a y -=的图象与性质

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 10 二次函数y=a(x-h)2 (a ≠0)的图象是一条抛物线，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点坐标为(h ，0)，对称轴是直线x=h ，当xh 时，y 随着x 的增大而增大，当x=0时,y 有最小值，最小值为0；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点坐标为(h ，0)，对称轴是直线x=h ，当xh 时，y 随着x 的增大而减小，当x=h 时,y 有最大值，最大值为0。 回顾与反思 ：

1、二次函数2)2(2

1+=x y 与221x y =图像之间的关系。 2、对于抛物线2)2(2

1+=x y ，当x 时，函数值y 随x 的增大而减小；当x 时，函数值y 随x 的增大而增大；当x 时，函数取得最 值，最 值

y= ．

巩固练习

教材P35，练习

课堂作业

1．不画出图象，请你说明抛物线25x y =与2)4(5-=x y 之间的关系．

2．将抛物线2ax y =向左平移后所得新抛物线的顶点横坐标为 -2，且新抛物线经过点

（1，3），求a 的值

3、教材P41，习题5（2）

教学后记：

22.1.3 二次函数的图象与性质（4）

第四课时

教学目标：

1．掌握把抛物线2ax y =平移至2)(h x a y -=+k 的规律；

2．会画出2)(h x a y -=+k 这类函数的图象，通过比较，了解这类函数的性质．

教学重点：

通过画图得出二次函数性质

教学难点：

识图能力的培养

教学方法：

讲授法、探究法

教学过程：

情境导入：

由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 11 图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？

探究新知：

实践与探索1：

问题1：在同一直角坐标系中画出函数1)2(2

1)2(212-+=+=

x y x y 和的图象 观察并回答：1、由221x y =的图象经过怎样平移得到1)2(212-+=x y 的图象？ 2、由此你有什么发现?

问题2、画出函数1)1(2

1-

2-+=x y 的图象，并指出它们的开口方向、对称轴和顶点坐标． 怎样移动抛物线221-x y =就可以得到抛物线1)1(21-2-+=x y 解 （1）列表：略

（2）描点：

（3）连线，画出这三个函数的图象，如图22．1-8

所示．

观察：它们的开口方向都向 ，对称轴

分别为 、 、 ，顶点

坐标分别为 、 、 ．

请同学们完成填空，并观察三个图象之间的关系．

探索 你能说出函数2)(h x a y -=+k （a 、h 、k 是

常数，a ≠0）的图象的开口方向、对称轴和顶点坐

标吗？

归纳：一般的抛物线y=a （x-h ）2 +k(a ≠0)和y=ax2 (a ≠0)形状相同 ，只是位置不同。把抛物线y=ax 2向上（下）平移k 个单位后，再向左（右）平移h 个单位得到抛物线y=a （x-h ）2 +k(a ≠0)。

二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质

二次函数y=a(x-h)2+k (a ≠0)的图象是一条抛物线，当a>0时，抛物线的开口向上，顶点坐标为(h ，k)，对称轴是直线x=h ，当xh 时，y 随着x 的增大而增大，当x=h 时,y 有最小值，最小值为k ；当a ＜0时，抛物线的开口向下，顶点坐标为(h ，k)，对称轴是直线x=h ，当xh 时，y 随着x 的增大而减小，当x=h 时,y 有最大值，最大值为k 。 回顾与反思：

二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此

2)(h x a y -=+k 开口方向 对称轴 顶点坐标 0>a

0

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 12 外，图象的平移与平移的顺序无关．

巩固练习

教材P37，练习

课堂作业：

1、把抛物线c bx x y ++=2向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线2x y =，求b 、c 的值．

2、教材P41，习题5（3）

教学后记：

22.1.4 二次函数的图象与性质（5）

第五课时

教学目标：

1．能通过配方把二次函数c bx ax y ++=2化成2)(h x a y -=+k 的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标；

2．会利用对称性画出二次函数的图象．

教学重点：

通过画图得出二次函数性质

教学难点：

识图能力的培养、配方法

教学方法：

讲授法、探究法

教学过程：

情境导入：

由前面的知识，我们知道，函数22x y =的图象，向上平移2个单位，可以得到函数222+=x y 的图象；函数22x y =的图象，向右平移3个单位，可以得到函数2)3(2-=x y 的图象，那么函数22x y =的图象，如何平移，才能得到函数2)3(22+-=x y 的图象呢？

探究新知：

实践与探索1：

例1．通过配方，确定抛物线216-212+=

x x y 的开口方向、对称轴和顶点坐标，再描点画图． 解 216-2

12+=x x y =3)62

12+-x （ 因此，抛物线开口向上，对称轴是直线x=6，顶点坐标为（6，3）．

由对称性列表： x

… 3 4 5 6 7 8 9 … y=3)6212+-x （

… …

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 13 然后描点画出图象，得3)6212

+-x （的图象（22.1-10）

注意点： （1）列表时选值，应以对称轴x=1为中心，

函数值可由对称性得到；（2）描点画图时，要根据已知抛

物线的特点，一般先找出顶点，并用虚线画对称轴，然后

再对称描点，最后用平滑曲线顺次连结各点．

探索： 对于二次函数c bx ax y ++=2，你能用配方法

求出它的对称轴和顶点坐标吗？

一般地，二次函数c bx ax y ++=2可以通过配方化成k h x a y +-=2)(的形即a

b a

c a b x a y 44)2(2

2-++= 因此，抛物线c bx ax y ++=2的对称轴是a b x 2-=，顶点是（a b 2-，a b ac 442

-） 如果a ＞0，当x ＜a

b 2-时，y 随x 的增大而减小，当x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而增大，当x ＞a

b 2-时，y 随x 的增大而减小；

例2．已知抛物线9)2(2++-=x a x y 的顶点在坐标轴上，求a 的值．

分析 顶点在坐标轴上有两种可能：（1）顶点在x 轴上，则顶点的纵坐标等于0；（2）顶点在y 轴上，则顶点的横坐标等于0．

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 14 回顾与反思：

二次函数的图象的上下平移，只影响二次函数2)(h x a y -=+k 中k 的值；左右 平移，只影响h 的值，抛物线的形状不变，所以平移时，可根据顶点坐标的改变，

确定平移前、后的函数关系式及平移的路径．此外，图象的平移与平移的顺序无关．

巩固练习

教材P39，练习

课堂作业：

1．当0

2. 已知抛物线h x x y +-=42的顶点A 在直线14--=x y 上，求抛物线的顶点坐 标．

3、教材P41，习题5（3）

教学后记：

22.1.4 二次函数的图象与性质（6）

第六课时

教学目标：

1．掌握二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像与a,b,c 的符号的关系；

2．会利用二次函数的图象判定系数及其关系式的符号．

教学重点：

利用二次函数的图象判定系数及其关系式的符号．

教学难点：

利用二次函数的图象判定系数及其关系式的符号．

教学方法：

讲授法、探究法

教学过程：

情境导入：

一般地，二次函数c bx ax y ++=2

可以通过配方化成k h x a y +-=2)(的形即a

b a

c a b x a y 44)2(2

2-++= 二次函数y=ax 2+bx+c(a ≠0)的图像与性质

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 15 表达式 顶点坐标

对称轴 最值 图像 y=ax2+bx+c （a b 2-，a

b a

c 442

-） a b x 2-= a b ac 442- 图象增减性 如果a ＞0，当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而减小，当x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而增大； 如果a ＜0，当x ＜a b 2-时，y 随x 的增大而增大，当x ＞a b 2-时，y 随x 的增大而减小

探究新课

抛物线y=ax2+bx+c 的符号问题

（1）a 的符号：由抛物线的开口方向确定

开口向上←→a ＞0 开口向下←→a ＜0

（2）C 的符号：由抛物线与y 轴的交点位置确定

与y 轴的正半轴相交←→c>0 y=ax 2+bx+c=c ＞0

与y 轴的负半轴相交←→c<0 y=ax 2+bx+c=c ＜0

经过坐标原点←→c=0 y=ax 2+bx+c=c=0

（3）b 的符号：由对称轴的位置确定

对称轴在y 轴左侧←→a 、b 同号 a

b x 2-=＜0 对称轴在y 轴右侧←→a 、b 异号 a

b x 2-=＞0 对称轴是y 轴←→b=0 a

b x 2-==0 （4）b 2-4a

c 的符号：由抛物线与x 轴的交点个数确定

与x 轴有两个交点←→b2-4ac>0

与x 轴有一个交点←→b2-4ac=0

与x 轴无交点←→b2-4ac<0

（5）a+b+c 的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定

点在x 轴上方←→a+b+c>0

点在x 轴下方←→a+b+c<0

点在x 轴上←→a+b+c=0

（6）a-b+c 的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定

点在x 轴上方←→a-b+c>0

点在x 轴下方←→a-b+c<0

点在x 轴上←→a-b+c=0

知识应用

例1、如图，若a ＜0，b ＞0，c ＜0，则抛物线y=ax 2

＋bx ＋c 的大致图象为（ ）

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿）

16

分析：a ＜0，抛物线开口向下；a ＜0，b ＞0，则a 、b 异号，对称轴在y 轴的右侧；c ＜0，则抛物线与y 轴较于负半轴。所以答案选B.

例2、二次函数y =ax 2+bx +c 的图象如图3所示，则下列关于a ，b ，c 间关系的判断正确

的是（ ）

A 、ab ＜0

B 、bc ＜0

C 、a +b +c ＞0

D 、a -b +c ＜0

分析：抛物线开口向下，说明a ＜0，抛物线顶点在第三象限，说明a

b 2-＜0，那么 a

b 2＞，则a 、b 同号，所以b ＜0，即ab ＞0；图象交y 轴于负半轴，说明

c ＜0，所以bc ＞0；图象均在x 轴的下方，所以a +b +c ＜0， a -b +c ＜0。所以答案选D.

例3、二次函数y=ax 2

与一次函数y=ax ＋a 在同一坐标系中的图象大致为（ ）

分析：如果a ＞0，则抛物线开口向上，直线过一、三象限，且与y 轴的正半轴相交（即直线过一、二、三象限）；如果a ＜0，则抛物线开口向下，直线过二、四象限，且与y 轴的负半轴相交（即直线过二、三、

四象限），所以答案选C 。

例4、下图中⊿0<的是（ ）

（A ） （B ） （C ） （D ）

分析：⊿0<，说明抛物线与X 轴无交点，所以答案选B 。

例5、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则①20a b +>②

20a b +<③02b a -<④20a b -<⑤20a b ->中正确的有

________________________.(请写出番号即可) 分析：抛物线开口向下，与y 轴交于正半轴，所以a ＜0，c ＞0；对称轴在y 轴

的左边且x ＜-1，所以a 、b 同号，且-1＜a b 2-

＜0，即b ＜0，20a b -<，20a b +<。所以答案有②，③，④。 课堂练习

O y x O y x y x O y x O .

.

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 17 1、不论x 为何值,函数y=ax 2

+bx+c(a ≠0)的值恒大于0的条件是( ) 。

A.a ＞0,△＞0；

B.a ＞0, △＜0；

C.a ＜0, △＜0；

D.a ＜0, △＜0 1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，则下列说法不正确的是（ ）

A 、240b ac ->

B 、0a >

C 、0c >

D 、02b a

-<

2、函数y=ax 2＋bx ＋c 和y=ax ＋b 在同一坐标系中，如图所示，则正确的是（ ）

3、在同一直角坐标系内，二次函数y=ax 2

＋（a ＋c ）x ＋c 与一次函数y=ax ＋c 的大致图象，有且只有一个是正确的，正确的是（ ）

4、二次函数y=ax 2

＋bx ＋c 与一次函数y=ax ＋c 在同一坐标系中的图象大致是图中的（ ）

课堂小结

本节课主要学习了二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像与a,b,c 的符号的关系，能够利用二次函数的图象判

定系数a 、b 、c 及其关系式的符号；或能够利用系数a 、b 、c 及其关系式的符号选择正确的图象。

作业

完成教辅资料上相关的作业

教学后记

22.1.4 二次函数的图象与性质（7）

第七课时

教学目标：

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式

教学重点：

会根据不同的条件，利用待定系数法求二次函数的函数关系式

教学难点：

在实际应用中体会二次函数作为一种数学模型的作用，会利用二次函数的性质求实际问题中的实际问

题

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 18 教学方法：

探究法、讲授法

教学过程：

情境导入：

一般地，函数关系式中有几个独立的系数，那么就需要有相同个数的独立条件才能求出函数关系式．例如：我们在确定一次函数)0(≠+=k b kx y 的关系式时，通常需要两个独立的条件；如果要确定二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的关系式，又需要几个条件呢？

探究新知：

确定二此函数的关系式的一般方法是待定系数法，在选择把二次函数的关系式设成什么形式时，可根据题目中的条件灵活选择，以简单为原则．二次函数的关系式可设如下三种形式：

（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，已知三个点坐标三对对应值，选择一般式。

（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式。

（3）交点式：))((21x x x x a y --=，已知抛物线与x 轴的两交点坐标，选择交点式。

例1．根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点A （-1，10）、B （1，4）、C （2，7）；

（2）已知抛物线的顶点为（1，-3），且与y 轴交于点（0，1）；

（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（3，0），且与y 轴交于点（0，-3）；

（4）已知抛物线的顶点为（3，-2），且与x 轴两交点间的距离为4．

分析：（1）根据二次函数的图象经过三个已知点，可设函数关系式为c bx ax y ++=2的形式；

（2）根据已知抛物线的顶点坐标，可设函数关系式为3)1(2

--=x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；

（3）根据抛物线与x 轴的两个交点的坐标，可设函数关系式为)5)(3(-+=x x a y ，再根据抛物线与y 轴的交点可求出a 的值；

（4）根据已知抛物线的顶点坐标（3，-2），可设函数关系式为2)3(2--=x a y ，同时可知抛物线的对称轴为x=3，再由与x 轴两交点间的距离为4，可得抛物线与x 轴的两个交点为（1，0）和（5，0），任选一个代入2)3(2--=x a y ，即可求出a 的值．

已知二次函数y=x 2+px+q,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为-5, 求这个二次函数的解析式. 巩固练习

教材P40，练习

课堂小结

二次函数的关系式可设如下三种形式：

（1）一般式：)0(2≠++=a c bx ax y ，已知三个点坐标三对对应值，选择一般式。

（2）顶点式：)0()(2≠+-=a k h x a y ，已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式。

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 19 （3）交点式：))((21x x x x a y --=，已知抛物线与x 轴的两交点坐标，选择交点式。

课堂作业：

根据下列条件，分别求出对应的二次函数的关系式．

（1）已知二次函数的图象经过点（0，2）、（1，1）、（3，5）；

（2）已知抛物线的顶点为（-1，2），且过点（2，1）；

（3）已知抛物线与x 轴交于点M （-1，0）、（2，0），且经过点（1，2）．

教学后记：

22.2 二次函数与一元二次方程（1）

教学目标：（1）会求出二次函数c bx ax y ++=2与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 教学重点：（1）会求出二次函数c bx ax y ++=2与坐标轴的交点坐标；

（2）了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系 教学难点：了解二次函数c bx ax y ++=2与一元二次方程、一元二次不等式之间的关系． 教学方法：讲授法、探究法

教学过程：

情境导入：

思考：2. 二次函数的一般式y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）与一元二次方程ax ２＋bx ＋c ＝0（a ≠0）有什

么联系和区别？

联系(1)等式一边都是ax 2＋bx ＋c 且a ≠0

(2)方程ax 2＋bx ＋c=0可以看成是函数y= ax 2＋bx ＋c 中y=0时得到的.

区别:前者是函数.后者是方程.等式另一边前者是y,后者是0

新课探究

问题1、如图，y=x 2-3x-4的图象，回答问题

（1）二次函数的图象与x 轴的交点A 、B 的坐标分别是

A （ ），

B （ ）。

（2）当x=（ ）时，函数y=x 2-3x-4的

值为0.

（3）求方程x 2-3x-4=0的解。

（4）方程x 2-3x-4=0的解与二次函数y=x 2-3x-4的交点

的横坐标之间有什么关系？

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 20 问题2、观察下列图象，分别说出一元二次方程

x 2+x-2=0，x 2-6x+9=0，x 2-x+1=0的根的情况。

（1）抛物线y=x 2+x-2与x 轴有两个交点，它们的

横坐标是-2,1。此时函数值为0，所以方程的根是

1,221=-=x x 。

（1）抛物线y=x 2-6x+2与x 轴有一个交点，它的横

坐标是3。此时函数值为0，所以方程有两个相等的

实数根321==x x

（1）抛物线y=x 2-6x+2与x 轴有一个交点，它的横

坐标是3。此时函数值为0，所以方程x 2-x+1=0

没有实数根。

归纳：（1）方程可以看成是对于二次函数y= ax 2＋bx ＋c （a ≠0），当y=0时，函数即可化为一元二次方程ax2＋bx ＋c=0，这是方程的根就是抛物线与x 轴交点的横坐标

（2）抛物线y= ax 2＋bx ＋c 与x 轴有公共交点，公共交点的横坐标是0x 。那么当0x x =时，函数值是0，因此0x x =是方程ax2＋bx ＋c=0的一个实数根。

（3）二次函数y=ax2+bx+c 的图象与x 轴的位置关系有三种：没有公共交点，有一个公共交点，有两个公共交点。这对应着一元二次方程ax2＋bx ＋c=0的根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不相等的实数根。

另外，能否利用二次函数c bx ax y ++=2的图象寻找方程)0(02

≠=++a c bx ax ，不等式)0(02≠>++a c bx ax 或)0(02≠<++a c bx ax 的解？

知识应用

例1．试判定下列各函数的图象与x 轴有没有公共交点，并说明理由．

（1）y=x 2-x (2)y=-x 2+6x-9 (3)y=3x 2+6x+11

解：（1）△＞0，函数的图象与x 轴有两个交点；

（2）△＝0，函数的图象与x 轴有一个交点；

（3）△＜0，函数的图象与x 轴没有交点

例2、已知二次函数12-+=x mx y 。

（1） 当m 为何值时，函数的图象与x 轴有两个交点？

（2） （2）若函数的图象与x 轴有交点，求m 的取值范围。

（3） （3）当函数的图象与x 轴相切时，求m 的取值范围。

分析：（1）要使函数的图象与x 轴有两个交点，方程012=-++m x mx 有两个不相等的实数根，因而必须符合条件⊿＞0；

（2）要使函数的图象与x 轴有交点，方程012=-++m x mx 有两个实数根，因而必须符合条件⊿≥0；

（3）函数的图象与x 轴相切，即函数的图象与x 轴有一个交点，方程012=-++m x mx

有两个相等实

中江县通济中学初三数学集体备课教案（定稿） 21 数根，因而必须符合条件⊿=0。

例3．已知二次函数1)2(2++-+-=m x m x y ，

（1）试说明：不论m 取任何实数，这个二次函数的图象必与x 轴有两个交点；

（2）m 为何值时，这两个交点都在原点的左侧？

（3）m 为何值时，这个二次函数的图象的对称轴是y 轴？

分析：（1）要说明不论m 取任何实数，二次函数1)2(2++-+-=m x m x y 的图象必与x 轴有两个交点，只要说明方程01)2(2=++-+-m x m x 有两个不相等的实数根，即⊿＞0．

（2）两个交点都在原点的左侧，也就是方程01)2(2=++-+-m x m x 有两个负实数根，因而必须符合条件①⊿＞0，②021<+x x ，③021>?x x ．综合以上条件，可解得所求m 的值的范围．

（3）二次函数的图象的对称轴是y 轴，说明方程01)2(2=++-+-m x m x 有一正一负两个实数根，且两根互为相反数，因而必须符合条件①⊿＞0，②021=+x x ．

巩固练习

课堂小结

（1）二次函数图象与x 轴的交点问题常通过一元二次方程的根的问题来解决；反过来，

一元二次方程的根的问题，又常用二次函数的图象来解决．

（2）利用函数的图象能更好地求不等式的解集，先观察图象，找出抛物线与x 轴的交

点，再根据交点的坐标写出不等式的解集．

课堂作业：

1、函数m x mx y 22-+=（m 是常数）的图象与x 轴的交点有 （ ）

A ．0个

B ．1个

C ．2个

D ．1个或2个

2已知二次函数22-++=a ax x y ．

（1）说明抛物线22-++=a ax x y 与x 轴有两个不同交点；

（2）求这两个交点间的距离（关于a 的表达式）；

（3）a 取何值时，两点间的距离最小？

教学后记：

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w71e.html