安徽省浮山中学2008-2009学年度高中数学竞赛集训卷二
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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 安徽省浮山中学2008-2009学年度高中数学竞赛集训卷二
命题人 吴约中
一、选择题 (本大题满分36分,每小题6分)
1.设集合A?{a2?8|a?N},B?{b2?29|b?N},若A?B?P,则P中元素个数为( )
A.0
B.1
C.2
D.至少3个
2.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1),且a1=9,其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<
1125的最小整数n是( ) A.5 B.6 C.7 D.8 3.三个互不重合的平面,能把空间分成n部分,则n的所有可能的值是( )
A.4, 6, 8 B. 4, 6, 7 C. 4, 5, 7, 8 D. 4, 6, 7, 8
4.设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心,过O的动平面与PC交于S,与PA、PB的延长线分别交于Q、R,则和式
111( ) ??PQPRPS
B.有最小值而无最大值
D.是一个与面QPS无关的常数
A.有最大值而无最小值 C.既有最大值又有最小值,两者不等
x2y2??1上任一点P,作椭圆C的右准线的垂线PH(H为垂足)5.过椭圆C:,延长PH32到点Q,使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时,点Q的轨迹的离心率的取值范围为
( )
A.(0,3] 3B.(33,] 32C.[3,1) 3D.(3,1) 2b6.在△ABC中,角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1),且
CsinB,都是方程logAsinAx=logb(4x-4)
的根,则△ABC( ) A.是等腰三角形,但不是直角三角形 B.是直角三角形,但不是等腰三角形 C.是等腰直角三角形 D.不是等腰三角形,也不是直角三角形 二、填空题 (本题满分54分,每小题9分)
7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1,则|x|-|y|的最小值是_________. 8.函数f(x)?12??(0?x?)的最小值是____________. ,222sinxcosx9.若对|x|≤1的一切x,t+1>(t2-4)x恒成立,则t的取值范围是_______________. 10.数列?an?的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn?11(an?),则an=______. 2an11.若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为 .
12.对每一实数对(x, y),函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1.若f(-2)=-2,试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.
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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 三、解答题(本题满分60分,每小题20分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 13. (20分)将等差数列{an}:an?4n?1 (n?N*)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2008的值.
14.(20分)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2,Q是l上一动点,⊙Q与⊙P相外切,⊙Q交l于M、N两点,对于任意直径MN,平面上恒有一定点A,使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。
15.(20分)已知a>0,函数f(x)=ax-bx2,
(1)当b>0时,若对任意x∈R都有f(x)≤1,证明:a≤2b;
(2)当b>1时,证明:对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是:b-1≤a≤2b; (3)当0
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参考答案
说明:1.评阅试卷时,请依据本评分标准.选择题和填空题严格按标准给分,不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评卷时请参照本评分标准适当档次评分.
一、选择题 (本大题满分36分,每小题6分) 1.C
2.C由递推式得:3(an+1-1)=-(an-1),则{an-1}是以8为首项,公比为-
1的等比数列,318[1?(?)n]113=6-6×(-1)n,∴∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)=|Sn-n-6|=6×()n<,得:3n-1>250,∴满
1331251?3足条件的最小整数n=7,故选C。 3.D
4.D设正三棱锥P-ABC中,各侧棱两两夹角为α,PC与面PAB所成角为β,则VS-PQR=
111(PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面,记O到各面的距离为d, S△PQR·h=
332则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,
1111d1d1d1???PQ·PS·sinα,S△·d=S·d+S·d+S·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+故PQR△PRS△PRS△PQS
3333323232有:PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS),即
111sin????=常数。故选D。 PQPRPSd5.C设P(x1, y1),Q(x, y),因为右准线方程为x=3,所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH,所以
3(1??)?x?HP?1?x1??,所以由定比分点公式,可得:?,代入椭圆方程,得Q点?PQ1????y1?y[x?3(1??)]2y23?2?223??1轨迹为,所以离心率e= ?1??[,1)。故选C。223?233?23?6.B由log
bx=logb(4x-4)得:x2-4x+4=0,所以x1=x2=2,故C=2A,sinB=2sinA,因A+B+C=180°,所
以3A+B=180°,因此sinB=sin3A,∴3sinA-4sin3A=2sinA,∵sinA(1-4sin2A)=0,又sinA≠0,所以sin2A=而sinA>0,∴sinA=
1,41。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。 2第 3 页 共 5 页
安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 二、填空题 (本题满分54分,每小题9分)
?x?2y?0?x?2|y|?x?2y?0?7.3.?由对称性只考虑y≥0,因为x>0,∴只须求?22x?4y?4?(x?2y)(x?2y)?4??x-y的最小值,令x-y=u,代入x2-4y2=4,有3y2-2uy+(4-u)2=0,这个关于y的二次方程显然有实
13?121?1
1?211?211?211?21,从而 ?1?13?1?13?1?13或t>,从而 12.1或-2。令x=y=0得f(0)=-1;令x=y=-1,由f(-2)=-2得,f(-1)=-2,又令x=1, y=-1可得f(1)=1,再令x=1,得f(y+1)=f(y)+y+2 ①,所以f(y+1)-f(y)=y+2,即y为正整数时,f(y+1)-f(y)>0,由f(1)=1可知对一切正整数y,f(y)>0,因此y∈N*时,f(y+1)=f(y)+y+2>y+1,即对一切大于1的正整数t,恒有f(t)>t,由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明:当整数t≤-4时,f(t)>0,因t≤-4,故-(t+2)>0,由①得:f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0,即f(-5)-f(-4)>0,f(-6)-f(-5)>0,……,f(t+1)-f(t+2)>0,f(t)-f(t+1)>0 相加得:f(t)-f(-4)>0,因为:t≤4,故f(t)>t。综上所述:满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。 三、解答题(本题满分60分,每小题20分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。) 13.解:由于an?15?an?60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an?15是3或5的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+?)=(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{an}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项8个,为: b1?7,b2?11,b3?19,b4?23,b5?31,b6?43,b7?47,b8?59,于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项,且有b8k?r?br?60k,k∈N,1≤r≤8.所以 . 9b2008?60?250?b8?60?250?59?1505 14.以l为x轴,点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系,设Q的坐标为(x, 0),点A(k, λ),⊙Q的半径为r,则:M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x2?22=1+r。 o?ro?h?k?kAM所以x=±r2?2r?3, ∴tan∠MAN=AN?x?r?hx?r?h o?ho?h1?kAN?kAM1??x?r?hx?r?k2rh2rh2rh???(x?k)2?r2?h2(?r2?2r?3)2?r2?h2h2?k2?3?2r?2kr2?2r?3第 4 页 共 5 页 安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 令2m=h2+k2-3,tan∠MAN= 1,所以m+r?kr2?2r?3=nhr,∴m+(1-nh)r=?kr2?2r?3,n两边平方,得:m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2,因为对于任意实数r≥1,上式恒成立,所 ?m2??3k2(1)?1以?2m(1?nh)?2k2(2),由(1)(2)式,得m=0, k=0,由(3)式,得n=。由2m=h2+k2-3 h?(1?nh)2?k2(3)?1得h=±3,所以tan∠MAN==h=±3。所以∠MAN=60°或120°(舍)(当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°), n故∠MAN=60°。 a2a2aa215.(1)证:依题设,对任意x∈R,都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)+,∴f()=≤1,∵a>0, b>0, 2b2b4b4b∴a≤2b。(2)证:(必要性),对任意x∈[0, 1],|f(x)|≤1?-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1,∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1],|f(x)|≤1?f(x)≤1,因为b>1,可推出f( 1b)≤1。即a· 1b-≤1,∴a≤2b,所以 b-1≤a≤2b。(充分性):因b>1, a≥b-1,对任意x∈[0, 1],可以推出:ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1,即:ax-bx2≥-1;因为b>1,a≤2b,对任意x∈[0, 1],可推出ax-bx2≤2b-bx2≤1,即ax-bx2≤1,∴-1≤f(x)≤1。综上,当b>1时,对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是:b-1≤a≤2b。 (3)解:因为a>0, 00, 0 第 5 页 共 5 页
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