安徽省浮山中学2008-2009学年度高中数学竞赛集训卷二

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命题人 吴约中

一、选择题 （本大题满分36分，每小题6分）

1.设集合A?{a2?8|a?N},B?{b2?29|b?N},若A?B?P,则P中元素个数为( )

A.0

B.1

C.2

D.至少3个

2.已知数列{an}满足3an+1+an=4(n≥1)，且a1=9，其前n项之和为Sn。则满足不等式|Sn-n-6|<

1125的最小整数n是（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 3.三个互不重合的平面,能把空间分成n部分,则n的所有可能的值是( )

A.4, 6, 8 B. 4, 6, 7 C. 4, 5, 7, 8 D. 4, 6, 7, 8

4.设O是正三棱锥P-ABC底面三角形ABC的中心，过O的动平面与PC交于S，与PA、PB的延长线分别交于Q、R，则和式

111（ ） ??PQPRPS

B．有最小值而无最大值

D．是一个与面QPS无关的常数

A．有最大值而无最小值 C．既有最大值又有最小值，两者不等

x2y2??1上任一点P，作椭圆C的右准线的垂线PH（H为垂足）5.过椭圆C：，延长PH32到点Q，使|HQ|=λ|PH|(λ≥1)。当点P在椭圆C上运动时，点Q的轨迹的离心率的取值范围为

（ ）

A．(0,3] 3B．(33,] 32C．[3,1) 3D．(3,1) 2b6.在△ABC中，角A、B、C的对边分别记为a、b、c(b≠1)，且

CsinB，都是方程logAsinAx=logb(4x-4)

的根，则△ABC（ ） A．是等腰三角形，但不是直角三角形 B．是直角三角形，但不是等腰三角形 C．是等腰直角三角形 D．不是等腰三角形，也不是直角三角形 二、填空题 （本题满分54分，每小题9分）

7.若log4(x+2y)+log4(x-2y)=1，则|x|-|y|的最小值是_________. 8.函数f(x)?12??(0?x?)的最小值是____________. ,222sinxcosx9.若对|x|≤1的一切x，t+1>(t2-4)x恒成立，则t的取值范围是_______________. 10.数列?an?的各项为正数,其前n项和Sn满足Sn?11(an?),则an=______. 2an11.若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为 .

12.对每一实数对(x, y)，函数f(t)满足f(x+y)=f(x)+f(y)+f(xy)+1.若f(-2)=-2，试求满足f(a)=a的所有整数a=__________.

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安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 13. (20分)将等差数列{an}:an?4n?1 (n?N*)中所有能被3或5整除的数删去后,剩下的数自小到大排成一个数列{bn},求b2008的值.

14.(20分)已知半径为1的定圆⊙P的圆心P到定直线l的距离为2，Q是l上一动点，⊙Q与⊙P相外切，⊙Q交l于M、N两点，对于任意直径MN，平面上恒有一定点A，使得∠MAN为定值。求∠MAN的度数。

15.(20分)已知a>0，函数f(x)=ax-bx2,

（1）当b>0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明：a≤2b；

（2）当b>1时，证明：对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b； （3）当0

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参考答案

说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分．

2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分．

一、选择题 （本大题满分36分，每小题6分） 1.C

2.C由递推式得：3(an+1-1)=-(an-1)，则{an-1}是以8为首项，公比为-

1的等比数列，318[1?(?)n]113=6-6×(-1)n，∴∴Sn-n=(a1-1)+(a2-1)+…+(an-1)=|Sn-n-6|=6×()n<，得：3n-1>250，∴满

1331251?3足条件的最小整数n=7，故选C。 3.D

4.D设正三棱锥P-ABC中，各侧棱两两夹角为α，PC与面PAB所成角为β，则VS-PQR=

111(PQ·PRsinα)·PS·sinβ。另一方面，记O到各面的距离为d， S△PQR·h=

332则VS-PQR=VO-PQR+VO-PRS+VO-PQS,

1111d1d1d1???PQ·PS·sinα，S△·d=S·d+S·d+S·d=PQ·PRsinα+PS·PRsinα+故PQR△PRS△PRS△PQS

3333323232有：PQ·PR·PS·sinβ=d(PQ·PR+PR·PS+PQ·PS)，即

111sin????=常数。故选D。 PQPRPSd5.C设P(x1, y1)，Q(x, y)，因为右准线方程为x=3，所以H点的坐标为(3, y)。又∵HQ=λPH，所以

3(1??)?x?HP?1?x1??，所以由定比分点公式，可得：?，代入椭圆方程，得Q点?PQ1????y1?y[x?3(1??)]2y23?2?223??1轨迹为，所以离心率e= ?1??[,1)。故选C。223?233?23?6.B由log

bx=logb(4x-4)得：x2-4x+4=0，所以x1=x2=2，故C=2A，sinB=2sinA，因A+B+C=180°，所

以3A+B=180°，因此sinB=sin3A，∴3sinA-4sin3A=2sinA，∵sinA(1-4sin2A)=0，又sinA≠0，所以sin2A=而sinA>0，∴sinA=

1，41。因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B。 2第 3 页 共 5 页

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 二、填空题 （本题满分54分，每小题9分）

?x?2y?0?x?2|y|?x?2y?0?7.3．?由对称性只考虑y≥0，因为x>0，∴只须求?22x?4y?4?(x?2y)(x?2y)?4??x-y的最小值，令x-y=u，代入x2-4y2=4，有3y2-2uy+(4-u)2=0，这个关于y的二次方程显然有实

13?121?10，即t<-222t?1t?1?1, t+1>t2-4, t2-t-5<0解得或t>2，则由2>x(|x|≤1)恒成立，得2t?4t?4根，故△=16(u2-3)≥0。8.3?229.t的取值范围是：

1?211?211?211?21，从而-t2+4; t2+t-3>0，解得：若t2-4<0，即-2

?1?13?1?13?1?13或t>，从而

12．1或-2。令x=y=0得f(0)=-1；令x=y=-1，由f(-2)=-2得，f(-1)=-2，又令x=1, y=-1可得f(1)=1，再令x=1，得f(y+1)=f(y)+y+2 ①，所以f(y+1)-f(y)=y+2，即y为正整数时，f(y+1)-f(y)>0，由f(1)=1可知对一切正整数y，f(y)>0，因此y∈N*时，f(y+1)=f(y)+y+2>y+1，即对一切大于1的正整数t，恒有f(t)>t，由①得f(-3)=-1, f(-4)=1。下面证明：当整数t≤-4时，f(t)>0，因t≤-4，故-(t+2)>0，由①得：f(t)-f(t+1)=-(t+2)>0，即f(-5)-f(-4)>0，f(-6)-f(-5)>0，……，f(t+1)-f(t+2)>0，f(t)-f(t+1)>0

相加得：f(t)-f(-4)>0，因为：t≤4，故f(t)>t。综上所述：满足f(t)=t的整数只有t=1或t=2。

三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 13.解:由于an?15?an?60,故若an是3或5的倍数,当且仅当an?15是3或5的倍数. 现将数轴正向分成一系列长为60的区间段:(0,+?)＝(0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…,注意第一个区间段中含有{an}的项15个,即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{bn}的项8个,为:

b1?7,b2?11,b3?19,b4?23,b5?31,b6?43,b7?47,b8?59,于是每个区间段中恰有15个{an}的项,8个{bn}的项,且有b8k?r?br?60k,k∈N,1≤r≤8.所以

. 9b2008?60?250?b8?60?250?59?1505

14.以l为x轴，点P到l的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ=x2?22=1+r。

o?ro?h?k?kAM所以x=±r2?2r?3, ∴tan∠MAN=AN?x?r?hx?r?h

o?ho?h1?kAN?kAM1??x?r?hx?r?k2rh2rh2rh???(x?k)2?r2?h2(?r2?2r?3)2?r2?h2h2?k2?3?2r?2kr2?2r?3第 4 页 共 5 页

安徽高中数学 http://www.ahgzsx.com 令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=

1，所以m+r?kr2?2r?3=nhr，∴m+(1-nh)r=?kr2?2r?3，n两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所

?m2??3k2(1)?1以?2m(1?nh)?2k2(2)，由（1）（2）式，得m=0, k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3

h?(1?nh)2?k2(3)?1得h=±3，所以tan∠MAN==h=±3。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），

n故∠MAN=60°。

a2a2aa215.（1）证：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1。∵f(x)=-b(x-)+，∴f()=≤1，∵a>0, b>0,

2b2b4b4b∴a≤2b。（2）证：（必要性），对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1?-1≤f(x)据此可推出-1≤f(1)即a-b≥-1，∴a≥b-1。对任意x∈[0, 1]，|f(x)|≤1?f(x)≤1，因为b>1，可推出f(

1b)≤1。即a·

1b-≤1，∴a≤2b，所以

b-1≤a≤2b。（充分性）：因b>1, a≥b-1，对任意x∈[0, 1]，可以推出：ax-bx2≥b(x-x2)-x≥-x ≥-1，即：ax-bx2≥-1；因为b>1，a≤2b，对任意x∈[0, 1]，可推出ax-bx2≤2b-bx2≤1，即ax-bx2≤1，∴-1≤f(x)≤1。综上，当b>1时，对任意x∈[0, 1], |f(x)|≤1的充要条件是：b-1≤a≤2b。 （3）解：因为a>0, 00, 0

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