1999年数学一真题及答案详解

1999年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)lim(x?011?)=_____________. 2xxtanxdxsin(x?t)2dt=_____________. (2)?dx0(3)y???4y?e2x的通解为y=_____________.

(4)设n阶矩阵A的元素全为1,则A的n个特征值是 _____________.

(5)设两两相互独立的三事件A,B和C满足条件:ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?且已知P(A1, 2BC)?9,则P(A)=_____________. 16

二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设f(x)是连续函数,F(x)是f(x)的原函数,则 (A)当f(x)是奇函数时,F(x)必是偶函数

(B)当f(x)是偶函数时,F(x)必是奇函数

(D)当f(x)是单调增函数时,F(x)必是单调

(C)当f(x)是周期函数时,F(x)必是周期函数 增函数

?1?cosx x?0?(2)设f(x)??,其中g(x)是有界函数,则f(x)在x?0处 x?x2g(x) x?0?(A)极限不存在 (C)连续,但不可导

(B)极限存在,但不连续 (D)可导

?x 0?x?1a0??(3)设f(x)??,S(x)???ancosn?x,???x???, 122?2x ?x?1n?1??215S(?)等于 a?2f(x)cosn?xdx(n?0,1,2,)其中n ,则?0211(A) (B)?

2233(C) (D)?

44(4)设A是m?n矩阵,B是n?m矩阵,则

(A)当m?n时,必有行列式|AB|?0

(B)当m?n时,必有行列式|AB|?0

(C)当n?m时,必有行列式|AB|?0

(D)当n?m时,必有行列式|AB|?0

(5)设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1),则

1 21(C)P{X?Y?0}?

2(A)P{X?Y?0}?三、(本题满分6分)

1 21(D)P{X?Y?1}?

2(B)P{X?Y?1}?

设y?y(x),z?z(x)是由方程z?xf(x?y)和F(x,y,z)?0所确定的函数,其中f和F分别具有一阶连续导数和一阶连续偏导数,求

四、(本题满分5分)

求I?dz. dx?L(exsiny?b(x?y))dx?(excosy?ax)dy,其中a,b为正的常数,L为从点A(2a,0)沿

曲线y?2ax?x2到点O(0,0)的弧.

五、(本题满分6分)

设函数y(x)(x?0)二阶可导且y?(x)?0,y(0)?1.过曲线y?y(x)上任意一点P(x,y)作该曲

线的切线及x轴的垂线,上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1,区间[0,x]上以y?y(x)为曲线的曲边梯形面积记为S2,并设2S1?S2恒为1,求曲线y?y(x)的方程.

六、(本题满分7分)

论证:当x?0时,(x?1)lnx?(x?1).

七、(本题满分6分)

22 为清除井底的淤泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污泥后提出井口(见图).已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m/s,在提升过程中,污泥以20N/s的速率从抓斗缝隙中漏掉.现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳的功? (说明:①1N?1m=1Jm,N,s,J分别表示米,牛,秒,焦.②抓斗的高度及位于井口上方的缆绳长度忽略不计.)

八、(本题满分7分)

x2y2??z2?1的上半部分,点P(x,y,z)?S,?为S在点P处的切平设S为椭球面22面,?(x,y,z)为点O(0,0,0)到平面?的距离,求

zdS.???(x,y,z)S

九、(本题满分7分)

?设an???40tannxdx:

(1)求

1(an?an?2)的值. ?n?1n(2)试证:对任意的常数??0,级数

an收敛. ??n?1n?十、(本题满分8分)

?1c??a??,其行列式*b3设矩阵A?5又A的伴随矩阵A有一个特征值?0,属于?0|A|??1,????1?c0?a??的一个特征向量为α?(?1,?1,1)T,求a,b,c和?0的值.

十一、(本题满分6分)

T设A为m阶实对称矩阵且正定,B为m?n实矩阵,B为B的转置矩阵,试证BAB为正定矩阵

T的充分必要条件是B的秩r(B)?n.

十二、(本题满分8分)

设随机变量X与Y相互独立,下表列出了二维随机变量(X,Y)联合分布率及关于X和关于Y的边缘分布率中的部分数值,试将其余数值填入表中的空白处. X Y y1 y2 1 8 y3 P(X?xi)?pi? 1 x1 x2 P(Y?yi)?p?j

十三、(本题满分6分)

1 81 6?6x?(??x) 0< x??设X的概率密度为f(x)???3,X1,X2,??0 其它(1)求?的矩估计量??.

,Xn是取自总体X的简单随机样本

?). (2)求??的方差D(?

1999年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)答案详解

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) 【答】

1 3 【详解1】 lim?1?tanx?xtanx?x?1 ??lim?lim?3x?0x2x?0x2tanx?0xtanxxx??sec2x?12x?03x ?limtan2x1?lim? x?03x23 【详解2】 lim?1?sinx?xcosxsinx?xcosx?1 ??lim?lim?23x?0x2x?0x?0xtanx?xsinxx?cosx?cosx?xsinxsinx1?lim? 2x?0x?03x3x3 ?lim(2)

【答】 sinx

2dxd02sin(x?t)dtx?t?u?(?sinu2)du 【详解】 ?dx0dxxdx22sinudu?sinx ? ?0dx 故本题应填sinx (3)

【答】 y?C1e?2x21????C2?x?e2x，其中C1,C2为任意常数.

4??2 【详解】 特征方程为：??4?0，解得?1?2,?,2?-2. 故y?4y?0的通解为y1?C1e?\?2x?C2e2x，由于非齐次项为f(x)?e2x,a?2为

2x特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y?Axe，代入原方程求得A? 故所求解为

1, 4y?y1?y??C1e?2x?C2e2x??2x12xxe 4 故本题应填y?C1e(4)

1????C2?x?e2x，其中C1,C2为任意常数.

4??

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