绪论-第一章-第二章讲稿

目 录

绪 论 ................................................................................................ 1

内容简介 ................................................................................................................................... 1

第一章 预备知识 .................................................................................. 2

引言........................................................................................................................................... 2 § 1.1 三维欧氏空间中的标架 ......................................................................................................... 2

一、向量代数复习 ................................................................................................................... 2 二、标架 ................................................................................................................................... 3 三、正交标架流形 ................................................................................................................... 3 四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换 ........................................................................... 3 § 1.2 向量函数 ............................................................................................................................... 4

第二章 曲线论 ...................................................................................... 6

§ 2.1 参数曲线 ............................................................................................................................... 6 § 2.2 曲线的弧长 ........................................................................................................................... 8 § 2.3 曲线的曲率和Frenet标架 ................................................................................................. 9 § 2.4 曲线的挠率和Frenet公式 ............................................................................................... 13 § 2.5 曲线论基本定理 ................................................................................................................. 15 §2.7 存在对应关系的曲线偶 ...................................................................................................... 21 §2.8 平面曲线 .............................................................................................................................. 21

绪 论

几何学是数学中一门古老的分支学科. 几何学产生于现实生产活动. “geometry”就是“土地测量”.

Pythagoras定理和勾股定理(《周髀算经》). 数学：人类智慧的结晶，严密的逻辑系统. 以欧几里德(Euclid)的《几何原本》(Elements)为代表.

《自然辩证法》和《反杜林论》：数学与哲学；数与形的统一：解析几何；坐标系：笛卡儿和费马引入.

对微分几何做出突出贡献的数学家：欧拉(Euler)，蒙日(Monge)，高斯(Gauss)，黎曼(Riemann). 克莱因(Klein)关于变换群的观点. E. Cartan的活动标架方法.

微分几何：微积分，拓扑学，高等代数与解析几何知识的综合运用. 内容简介

第一章：预备知识. 第二章：曲线论. 第三章至第五章：曲面论. 第六章：曲面上的曲线，非欧几何. 第七章*：活动标架和外微分.

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第一章 预备知识

本章内容：向量代数知识复习；正交标架；刚体运动；等距变换；向量函数 计划学时：3学时

难点：正交标架流形；刚体运动群；等距变换群

引言

为什么要研究向量函数？在数学分析中，我们知道一元函数y?f(x)的图像是xy平面上的一条曲线，二元函数z?f(x,y)的图像是空间中的一张曲面.

yy?f(x)z?f(x,y)z?x,f(x)??x,y,f(x,y)?Oxx(x,y)Oy 采用参数方程，空间一条曲线可以表示成

??r?r(t)??x(t),y(t),z(t)?.

这是一个向量函数，它的三个分量都是一元函数.

所有这些例子中，都是先取定了一个坐标系. 所以标架与坐标是建立“形”与“数”之间联系的桥梁.

§ 1.1 三维欧氏空间中的标架

一、向量代数复习 ??????向量即有向线段：AB，r，r. 向量相等的定义：大小和方向. 零向量：0，0. 反向量：

??a.

向量的线性运算. 加法：三角形法则，多边形法则. 向量的长度. 三角不等式. 数乘.

??????内积的定义：ab:?|a||b|cos?(a,b) 外积的定义.

??????????????????二重外积公式：(a?b)?c?(a?c)b?(b?c)a；a?(b?c)?(a?c)b?(a?b)c

??a?b?b?a 内积的基本性质：对称性，双线性，正定性. 外积的基本性质：反对称性，双线性.

2

二、标架

仿射标架O;OA,OB,OC. 定向标架.

?????????????????正交标架(即右手单位正交标架)：?O;i,j,k?. 笛卡尔直角坐标系. 坐标.

内积和外积在正交标架下的计算公式. 两点距离公式. 三维欧氏空间E3和R3.

三、正交标架流形

??????取定一个正交标架O;i,j,k(绝对坐标系). 则任意一个正交标架?P;e1,e2,e3?被P点的

???坐标和三个基向量?e1,e2,e3?的分量唯一确定：

????????OP?a1i?a2j?a3k,??????e1?a11i?a12j?a13k,? (1.6) ?????e2?a21i?a22j?a23k,??????e3?a31i?a32j?a33k.??其中a?(a1,a2,a3)可以随意取定，而aij(i,j?1,2,3)应满足

?ak?13ikajk??ij， (1.7)

即过渡矩阵A??aij?是正交矩阵. 又因为e1,e2,e3是右手系，detA?1，即矩阵

???a12a22a32?a11A??a21??a?31a13?a23??SO(3) (1.8, 1.9) ?a33??是行列式为1的正交矩阵. 我们有一一对应：

???{正交标架}??E3?SO(3)，?P;e1,e2,e3???(a,A).

所以正交标架的集合是一个6维流形.

四、正交坐标变换与刚体运动，等距变换

Q?k?j?e3?e2PO?i?e1

??????O;i,j,k和?P;e1,e2,e3?中的坐标分别为(x,y,z)和空间任意一点Q在两个正交标架

?? 3

?,y?,z?)，则两个坐标之间有正交坐标变换关系式： (x?11?ya?21?za?31,?x?a1?xa??12?ya?22?za?32, (1.10) ?y?a2?xa?z?a?xa?13?ya?23?za?33.?3如果一个物体在空间运动，不改变其形状和大小，仅改变其在空间中的位置，则该物体的这

种运动称为刚体运动.

???(Q)QQ?k?j?e3?e2P??(O)O?i33?e1

??????在刚体运动?:E?E下，若?将正交标架O;i,j,k变为?P;e1,e2,e3?，则空间任意

?????,y?,z?)(均为在O;i,j,k中的坐标)之间的关系式为 一点Q(x,y,z)和它的像点Q(x??????a1?xa11?ya21?za31,?x???a2?xa12?ya22?za32, (1.11) ?y?z???a3?xa13?ya23?za33.定理1.1 E3中的刚体运动把一个正交标架变成一个正交标架；反过来，对于E3中的任意两个正交标架，必有E3的一个刚体运动把其中的一个正交标架变成另一个正交标架.

空间E3到它自身的、保持任意两点之间的距离不变的变换?:E?E称为等距变换. 刚体运动是等距变换，但等距变换不一定是刚体运动. 一般来说，等距变换是一个刚体运动，或一个刚体运动与一个关于某平面的反射的合成(复合映射).

仿射坐标变换与仿射变换.

33§ 1.2 向量函数

所谓的向量函数是指从它的定义域D到R中的映射r:D?R:p?r(p). 设有定义在区间[a,b]上的向量函数

3?3?a?t?b.

?如果x(t),y(t),z(t)都是t的连续函数，则称向量函数r(t)是连续的；如果x(t),y(t),z(t)都是t??的连续可微函数，则称向量函数r(t)是连续可微的. 向量函数r(t)的导数和积分的定义与数值函

数的导数和积分的定义是相同的，即

?r(t)?(x(t),y(t),z(t)),???r(t0??t)?r(t0)dr?lim ?t?0dtt?t0?t4

?x(t??t)?x(t0)y(t0??t)?y(t0)z(t0??t)?z(t0)??lim?0,,? ?t?0?t?t?t????x?(t0),y?(t0),z?(t0)?，t0?(a,b)， (2.6)

?ban??r(t)dt?lim?r(ti?)?ti???0i?1??bax(t)dt,?y(t)dt,?z(t)dt， (2.7)

aabb?其中a?t0?t1???tn?b是区间[a,b]的任意一个分割，?ti?ti?1?ti，ti??[ti?1,ti]，并且

??max??ti|i?1,2,?,n?. (由向量加法和数乘的定义可以得到)

向量函数的求导和积分归结为它的分量函数的求导和积分，向量函数的可微性和可积性归结为它的分量函数的可微性和可积性.

由(1.6)可得

?????????a(t)?b(t)?a?(t)?b?(t),(t)????(t)a(t)??(t)a?(t). ??(t)a???定理2.1 (Leibniz法则) 假定a(t),b(t),c(t)是三个可微的向量函数，则它们的内积、外积、

??混合积的导数有下面的公式：

????????(1) ?a(t)?b(t)??a(t)?b(t)?a(t)?b?(t)；

???????(2) ?a(t)?b(t)??a?(t)?b(t)?a(t)?b?(t)；

?????????????(3) ?a(t),b(t),c(t)???a?(t),b(t),c(t)???a(t),b?(t),c(t)???a(t),b(t),c?(t)?.

定理2.2 设a(t)是一个处处非零的连续可微的向量函数，则

??????(2) 向量函数a(t)的方向不变当且仅当a(t)?a(t)?0.

??(3) 设a(t)是二阶连续可微的. 如果向量函数a(t)与某个固定的方向垂直，那么

??? ?a(t),a?(t),a??(t)??0.

????反过来，如果上式成立，并且处处有a(t)?a?(t)?0，那么向量函数a(t)必定与某个固定的方向垂直.

(1) 向量函数a(t)的长度是常数当且仅当a(t)?a?(t)?0.

??????a(t)?a?(t)?0.

2?证明 (1) 因为?|a(t)|???a(t)a(t)???2a(t)a?(t)，所以|a(t)|是常数?|a(t)|是常数

2???????????1????a(t). 则a(t)?f(t)b(t)，

?其中f(t)?|a(t)|连续可微. 于是

???????a(t)?a?(t)??f(t)b(t)???f?(t)b(t)?f(t)b?(t)??f2(t)b(t)?b?(t),?t.

???????????“?”由条件知b(t)?c是常向量，b(t)?c?0. 从而a(t)?a(t)?0.

??????“?”由条件得b(t)?b?(t)?0，所以b(t)，b?(t)处处线性相关. 因为b(t)是单位向量，

????????1处处非零，所以b?(t)??(t)b(t). 用b(t)作内积，得?(t)?b(t)?b?(t)?2b(t)?b(t)?0. 于????是b?(t)?0，b(t)?c是常向量.

????(3) 设向量函数a(t)与某个固定的方向垂直，那么有单位常向量e1使得a(t)?e1?0. 求导得

??????????到a?(t)?e1?0，a??(t)?e1?0. 从而a(t),a?(t),a??(t)共面，?a(t),a?(t),a??(t)??0.

(2) 因为a(t)处处非零，取a(t)方向的单位向量b(t)?|a(t)|?? 5

???b?(t)?a(t)?a??(t)连续. 根据二重外积公式，

??????b(t)?b?(t)??a(t)?a?(t)???a(t)?a??(t)???????????a(t),a(t),a??(t)?a?(t)??a?(t),a(t),a??(t)?a(t) ??????a(t),a?(t),a??(t)?a(t)?0.??????根据已经证明的(2)，b(t)的方向不变. 设这个方向为e1. 则b(t)?|b(t)|e1. 用a(t)作内积，得

????????|b(t)|a(t)?e1?a(t)?b(t)?a(t)??a(t)?a?(t)??0.

?????由于b(t)处处非零，得到a(t)?e1?0，即a(t)与固定方向e1垂直. □

课外作业： 1. 证明定理2.1.

反之，设?a(t),a?(t),a??(t)??0. 令b(t)?a(t)?a?(t). 由条件，b(t)处处非零. 且

???????????????????????体向量构成的向量空间. 定义映射A:R?R:AB??(A)?(B). 如果?(O)?O，证明A33332. 设?:E?E为等距变换. 在E3中取定一个正交标架O;i,j,k. 令R3为E3中全

?????是线性映射.

?????r(k)(t)?r(k?1)(t)处处非零. 试求?r(k)(t),r(k?1)(t),r(k?2)(t)??0的充要条件.

3. 设向量函数r(t)有任意阶导(函)数. 用r??(k)?(t)表示r(t)的k阶导数，并设

第二章 曲线论

本章内容：弧长，曲率，挠率；Frenet标架，Frenet公式；曲线论基本定理 计划学时：14学时，含习题课3学时. 难点：曲线论基本定理的证明

§ 2.1 参数曲线

三维欧氏空间E中的一条曲线C是一个连续映射p:[a,b]?E，称为参数曲线. 几何上，

参数曲线C是映射p的象.

33?????????取定正交标架O;i,j,k，则曲线上的点p(t)(t?[a,b])与它的位置向量Op(t)一一对应.

???????令r(t)?Op(t). 则

????r(t)?x(t)i?y(t)j?z(t)k?(x(t),y(t),z(t))，t?[a,b]， (1.3)

其中t为曲线的参数，(1.3)称为曲线的参数方程.

??由定义可知

1???r?(t)?lim?r(t??t)?r(t)???x?(t),y?(t),z?(t)?，t?(a,b). (1.4)

?t?0?t?如果坐标函数x(t),y(t),z(t)是连续可微的，则称曲线r(t)是连续可微的. 此概念与标架的取法

无关. (为什么？)

导数r?(t)的几何意义：割线的极限位置就是曲线的切线.

? 6

z?r(t)?r?(t)?r(t??t)???X(u)Oy图2-1 x???如果r?(t)?0，则r?(t)是该曲线在r(t)处的切线的方向向量，称为该曲线的切向量. 这样的点称为曲线的正则点. 曲线在正则点的切线方程为 ?????X(u)?r(t)?ur?(t)， (1.5) ???其中t是固定的，u是切线上点的参数，X(u)是切线上参数为u的点的位置向量.

?定义. 如果r(t)是至少三次以上的连续可微向量函数，并且处处是正则点，即对任意的t，

??r?(t)?0，则称曲线r(t)是正则参数曲线. 将参数增大的方向称为曲线的正向.

上述定义与E3中直角坐标系的选取无关. 正则曲线：正则参数曲线的等价类.

曲线的参数方程中参数的选择不是唯一的. 在进行参数变换时，要求参数变换t?t(u)满足：(1) t(u)是u的三次连续可微函数；(2) t?(u)处处不为零. 这样的参数变换称为可允许的参数变换. 当t?(u)?0时，称为保持定向的参数变换.

ddr(t(u))??dtr(t)?t?t(u)?t?(u). 根据复合函数的求导法则，du ??这种可允许的参数变换在所有正则参数曲线之间建立了一种等价关系. 等价的正则参数曲

?线看作是同一条曲线，称为一条正则曲线. 以下总假定r(t)是正则曲线.

如果一条正则参数曲线只允许作保持定向的参数变换，则这样的正则参数曲线的等价类被称为是一条有向正则曲线. (返回Frenet标架)

z????r(t)???Obtyt图2-2 AQx

7

例1.1 圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt),(t?R)，其中a,b是常数，a?0.

?????r?(t)???asint,acost,b?，|r?(t)|?a2?b2?0?r?(t)?0

所以圆柱螺线是正则曲线.

yxO图2-3 例1.2 半三次曲线r(t)?(t,t),(t?R). 这条曲线不是正则曲线.

连续可微性和曲线的正则性（光滑性）是不同的概念. （与数学分析中的结论比较） 平面曲线的一般方程y?f(x)和隐式方程F(x,y)?0. 空间曲线的一般方程

?32???r?(t)?(3t2,2t)，r?(0)?0.

y?f(x),和隐式方程

z?g(x) (1.6)

?F(x,y,z)?0, (1.8) ??G(x,y,z)?0.这些方程可以化为参数方程. (习题4：正则曲线总可以用一般方程表示)

曲线(1.8)的切线方向，正则性. 课外作业：习题2，5

§ 2.2 曲线的弧长

设E中一条正则曲线C的方程为r?r(t),t?[a,b]. 则

b?s??|r?(t)|dt (2.1)

a3??是该曲线的一个不变量，即它与正交标架的选取无关，也与曲线的可允许参数变换无关.

不变量s的几何意义是该曲线的弧长，因为

ns??2,?,n?. (为什么？)

ba?|r?(t)|dt?limmax|?ti|?0??|r(t)?r?i?1(ti)|.

i?1其中a?t0?t1???tn?b是区间[a,b]的任意一个分割，?ti?ti?1?ti，??max??ti|i?1,

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tn?btn?1?titi?1?t1a?t0图2-4 O 令

?s(t)??|r?(?)|d?. (2.4)

ta则s?s(t)是曲线C的保持定向的可允许参数变换，称为弧长参数. 它是由曲线本身确定的，至多相差一个常数，与曲线的坐标表示和参数选择都是无关的. 因此任何正则曲线都可以采用弧长s作为参数，当然，允许相差一个常数.

注意ds?|r?(t)|dt也是曲线的不变量，称为曲线的弧长元素(或称弧微分).

虽然理论上任何正则曲线都可以采用弧长参数s，但是具体的例子中，曲线都是用一般的参

?数t给出的. 由(2.4)，即使|r?(t)|是初等函数，s(t)也不一定是初等函数. 下面的定理给出了判别一般参数是否是弧长参数的方法.

?是|r?(t)|?1. 即t是弧长参数当且仅当(沿着曲线C)切向量场是单位切向量场.

证明. “?”由(2.4)可知，s?t?a. “?”如果t是弧长参数，则s?t，从而

?定理2.1 设r?r(t),t?[a,b]是E3中一条正则曲线，则t是它的弧长参数的充分必要条件

??ds?|r?(t)|??1. □

dt?????(s)，???,??r等等. 而“'”r(s)等等，或简记为r以下用“﹒”表示对弧长参数s的导数，如r则用来表示对一般参数t的导数.

课堂练习：4

课外作业：习题1，2(1)，3.

§ 2.3 曲线的曲率和Frenet标架

设曲线C的方程为r?r(s)，其中s是曲线的弧长参数. 令

???(s). (3.1) ?(s)?r??对于给定的s，令??是?(s)与?(s??s)之间的夹角，其中?s?0是s的增量.

?? 9

s?L?r(s)?(s)?r(s??s)??(s)????(s??s)??(s)???(s??s)s?0??(s??s)?O图2-5

???(s)|. (3.2) lim??|??s?s?0????d???1??|?证明. |??lim?lim?(s??s)??(s)? ?ds?s?0?s?s?0?s2sin??2??sin??2?????? ?lim， ?lim?lim???s?0?s?0?s?0?s|?s|?s2??因为???arccos[?(s)?(s??s)]，所以lim???0. □ ?s?0定理3.1 设?(s)是曲线r?r(s)的单位切向量场，s是弧长参数. 用??表示向量???(s??s)与?(s)之间的夹角，则 ?

???(s)|为曲线r?r(s)在s(即r(s))点处的曲率，称??(s)为该曲定义 称函数???(s):?|?线的曲率向量. 把曲线C的单位切向量?(s)平移到原点，其端点所描出的曲线称为曲线的切线象. 其方程就是

?????(s). (3.3)

例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆. ??????圆柱螺线?r(t)?(acost,asint,bt)?r?(t)?(?asint,acost,b)??(t)?212(?asint,acost,b)a?b??(32)??(?)???(?2)?(?2)??(?)?(0)???(32)??(0)??圆柱螺线的切线象当然，s不一定是切线象的弧长参数. 切线象???(s)的弧长元素为

10 ??

?(s)|ds??(s)ds. (3.4) ??|? ds所以

???ds?， (3.5) ?sds即曲率?是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比.

?????(s)?0. 所以曲率向量??(s)是曲线的一个法向量场. 如果在一点由|?(s)|?1可知?(s)???????(s)|?1??(s)???1(s)??(s)称为曲线在该点的主法向量场. 于是s处?(s)?0，则向量?(s)?|? ??在该点有

??? ?(s)??(s) (3.6) ?s(. )在?(s)?0处，令

?(s)??(s)??(s). (3.7)

它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场).

???????这样，在正则曲线上?(s)?0的点，有一个完全确定的正交标架r(s);?(s),?(s),?(s)，

??称为曲线在该点的Frenet标架(见图2-2). 它的确定不受曲线的保持定向的参数变换的影响.

注意. 如果在一点s0处?(s0)?0，则一般来说无法定义在该点的Frenet标架. 1. 若?(s)?0，则C是直线，可以定义它的Frenet标架.

???(s)??ss2. 若0是?的孤立零点, 则在0的两侧都有Frenet标架. 如果?0?(s0)，则可以将

Frenet标架延拓到s0点.

3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.

切线、主法线和次法线，法平面、从切平面和密切平面，以及它们的方程.

次法线从切平面 切线 ?(s)?(s)?(s)??法平面 ??r(s)密切平面 主法线

切线：?(u)?r(s)?u?(s)；主法线：?(u)?r(s)?u?(s)；次法线：?(u)?r(s)?u?(s) 法平面：[X?r(s)]?(s)?0；从切平面：[X?r(s)]?(s)?0；密切平面：[X?r(s)]?(s)?0

在一般参数t下，曲率?和Frenet标架的计算方法.

11

???????????????????????????|r?(t)?r??(t)|?r?(t)?，，???(t)???????|r?(t)|3|r?(t)|?????r?(t)?r??(t)，?????. (3.13) ??|r?(t)?r??(t)|证明. 设s?s(t)为弧长参数，t?t(s)为其反函数. 则由(2.4)，

s?(t)?故

ds??|r?(t)|. dt??dr(s(t))ds(t)?r?(t)?????. (3.12) r?(t)??|r?(t)|?(s(t))?(s??)(t),?(t):??(s(t))??dsdt|r?(t)|?????????由曲率?的定义，??|?|?0，可知主法向量???满足????. 上式再对t求导，得 ?||????d?d?ds????2r???s????s??s????s??s????s???.

dtdsdt于是

?????????23?????????r?r?(s?)?(s??s??)?s?????s?3???|r??r??|?s?3?. ??????|r?(t)?r??(t)||r?(t)?r??(t)|r?(t)?r??(t)?所以??. 代入上式得???. □ ???|r?(t)?r??(t)|s?3|r?(t)|3?例3.1 求圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt),(t?R)的曲率和Frenet标架，其中a?0.

解. r?(t)?(?asint,acost,b)，r??(t)??(acost,asint,0)，|r?(t)|?所以

???a2?b2，

????r??r???(absint,?abcost,a2)?a(bsint,?bcost,a)，|r??r??|?aa2?b2. ??1|r?(t)?r??(t)|a??(t)?(?asint,acost,b)， ，????22|r?(t)|3a2?b2a?b??1?r?(t)?r??(t)????(bsint,?bcost,a)， ?22|r?(t)?r??(t)|a?b?????????(?cost,?sint,0). □ 维维安尼(Viviani)曲线一般方程222??x?y?z?1,?22??x?y?x.z参数方程?x?cos2t,??y?costsint,t?[0,?]?z?sint.?xy 222??x?y?z?1,例3.2 求维维安尼(Viviani)曲线?2在(0,0,1)点处的曲率和Frenet标架. 2??x?y?x解法1. 将曲线写成参数方程，r(t)?(cost,costsint,sint)，t?R. 点(0,0,1)对应的参

12 ?2?2k?，其中k为整数. 不妨设t??/2.

?r?(t)?(?2sintcost,cos2t?sin2t,cost)?(?sin2t,cos2t,cost)，

?r??(t)?(?2cos2t,?2sin2t,?sint).

于是当t??/2时，

??????r?(0,0,1),r??(0,?1,0),r???(2,0,?1)，|r?|?1,r??r???(1,0,2)，

???1?1???(0,?1,0)，??5(1,0,2)，??????5(2,0,?1).

???所以在(0,0,1)点处的曲率??5，Frenet标架为r?(0,0,1)，??(0,?1,0)，??15(2,0,?1)，???15(1,0,2). □

数为t??2解法2. 设曲线的弧长参数方程为x?x(s),y?y(s),z?z(s)，s?(??,?)，点(0,0,1)应的参数为s?0. 则有 以及

对

?r(0)?(x(0),y(0),z(0))?(0,0,1)， (1)

?x2(s)?y2(s)?z2(s)?1,?22?x(s)?y(s)?x(s)?0,?s?(??,?). (3.14) ?2?(s)?y?2(s)?z?2(s)?1,?x求导得到

?(s)?y(s)y?(s)?z(s)z?(s)?0,?x(s)x??(s)?2y(s)y?(s)?x?(s)?0, (3.15) ?2x(s)x?x?(s)???(s)??x(s)?yy(s)?zz(s)?0.??(s)???(0)?z?(0)??1. 通过改变曲线的正方向，可设?(0)?0，y令s?0，由(1)和上述方程组得到x?(0)?1，于是 y??(0),y?(0),z?(0))?(0,1,0). (3.16) ?(0)?(x对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得

x(s)?y(s)??y(s)?z(s)??z(s)??1,?x(s)?? (3.17) ?22?(s)?2y(s)???(s)???x(s)?2xy(s)?2yx(s)?0.?2x(s)???(0)?0；由(1)和(3.17)第1式得??(0)??1；再由(3.17)第2式得令s?0，由(3.15)和(3.16)得?zy??x(0)?2. 所以

???(0)???(0)?(??(0),??(0),??(0))?(2,0,?1). ?rxyz????(0)|?5，Frenet标架为：r由此得r(0)?(0,0,1)处的曲率?(0)?|?(0)?(0,0,1)；

?????1?1??(0)?(0,1,0)，?(0)??(0)?(0)?5(2,0,?1)，?(0)??(0)??(0)?15(?1,0,?2). □

课外作业：习题1(2,4)，4，7

§ 2.4 曲线的挠率和Frenet公式

?|，它刻画了曲面偏离密切平面的程度，即曲线的扭曲程度. 密切平面对弧长s的变化率为|???????定义4.1 函数??????，即?(s)???(s)??(s)称为曲线的挠率.

??????????????注. 由????0，????????????(??)?0可知?//?. 因此可设 ??? ?????， (4.1)

??|，即挠率的绝对值刻画了曲线的扭曲程度. 从而|?|?|?

13

?定理4.1 设曲线C不是直线，则C是平面曲线的充分必要条件是它的挠率??0. 证明. 设曲线C的弧长参数方程为r?r(s)，s?[0,L]. 因为C不是直线，??0(见定理3.2 )，存在Frenet标架?r;?,?,??.

????????????“?” 设C是平面曲线，在平面?:(X?a)n?0上，其中a是平面上一个定点的位置向???量，n是平面的法向量，a和n均为常向量. 则有

???(r(s)?a)n?0,?s?[0,L].

求导得

??????(s)n?0,?(s)?(s)n?0??(s)n?0,?s.

???????????|?0. 即有于是?(s)//n, 由于|?(s)|?|n|?1，所以?(s)??n是常向量，从而??0，|?|?|???0.

???????“?”设??0. 由(4.1)得??????0. 所以?(s)?c?0是常向量. 由

d???????(s)c(r(s)c)?r??(s)?(s)?0 ds??????可知r(s)c是一个常数，即r(s)c?r(s0)c，其中s0?[0,L]是固定的. 于是曲线C上的点满足

?????平面方程[r(s)?r(s0)]c?0，其中r(s0)是平面上一个定点的位置向量，c是平面的法向量. □

设正则曲线C上存在Frenet标架. 对Frenet标架进行求导，得到Frenet公式

??????r,??????,??????? (4.8) ????,???????????????.??上式中的后三式可以写成矩阵的形式

??????0???????????????0?????????0?????0?????. (4.9)

????????0??????作为Frenet公式的一个应用，现在来证明

定理4.2 设曲线r?r(s)的曲率?(s)和挠率?(s)都不为零，s是弧长参数. 如果该曲线落

在一个球面上，则有

???1??1d?1??2????a， (4.10) ?????????ds????其中a为常数.

证明. 由条件，设曲线所在的球面半径是a，球心是r0，即有

22???(s)?r0??r求导得到

这说明r(s)?r0垂直于?(s)，可设 再求导，利用Frenet公式得

2?a2. (4.11)

?????(s)?r0??(s)?0. ?r????r(s)?r0??(s)?(s)??(s)?(s). (4.12)

??(s)?(s)??(s)[??(s)?(s)??(s)?(s)]???(s)?(s)??(s)?(s)?(s). ?(s)?????比较两边?,?,?的系数，得

14

??????????，??????， (4.13) ????1，?其中略去了自变量s. 所以

?1d??1d?1??????，?????. (4.14)

??ds?ds????1将(4.12)两边平方可得?????r?r0??a，再将(4.14)代入其中，即得(4.10). □

222??2注记 由证明过程中的(4.13)第3式还可得

?d?1d?1???????0. (4.16) ?ds??ds?????在一般参数下挠率的计算公式.

???(r?,r??,r???)????2. (4.18)

|r??r??|ds??|r?(t)|，利用Frenet公式，有 dt?dsdr??r?(t)??s?(t)?(s(t))，

dtds???2r??(t)?s??(t)?(s(t))?s?(t)?(s(t))?(s(t))，

?d?(s(t))???2r???(t)?s???(t)?(s(t))?3s?(t)s??(t)?(s(t))?(s(t))?s?(t)?(s(t)) dt???s?3(t)?(s(t))[??(s(t))?(s(t))??(s(t))?(s(t))].???3于是r?(t)?r??(t)?s?(t)?(s(t))?(s(t))，从而

?????????(t),r??(t),r???(t)??r?(t)?r??(t)?r???(t)?s?3(t)?(s(t))?(s(t))?r???(t)?r证明. 因为s?(t)??s?(t)?(s(t))?(s(t)).??622由(3.13)可知s?(t)?(s(t))?|r?(t)?r??(t)|，代入上式即得(4.18). □

?????定理4.3 曲线r?r(t)是平面曲线的充要条件是(r?,r??,r???)?0. □

?例 求圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt)的挠率.

解. r?(t)?(?asint,acost,b)，r??(t)??(acost,asint,0)，|r?(t)|?62

???a2?b2，

????r??r???(absint,?abcost,a2)?a(bsint,?bcost,a)，|r??r??|?aa2?b2. ?r???(t)?a(sint,?cost,0) b???2所以(r?,r??,r???)?ab，??2. □

a?b2课外作业：习题1(2, 4)，4，10

§ 2.5 曲线论基本定理

已经知道正则参数曲线的弧长、曲率、挠率是曲线的不变量，与坐标系取法及保持定向的参

数无关，都是曲线本身的内在不变量. 在空间的刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变(为什么？). 反之，这三个量也是曲线的完备不变量系统，对确定空间曲线的形状已经足够了，即有

3?r(s),C:r?r(s)定理5.1 (唯一性定理) 设C1:r是中两条以弧长s为参数的正则E11222????参数曲线，s?[0,l]. 如果它们的曲率处处不为零，且有相同的曲率函数和挠率函数，即

?1(s)??2(s)，?1(s)??2(s)，则有E3中的一个刚体运动?将C1变成C2.

15

????证明 选取E中的刚体运动?将C2在s?0处的Frenet标架r2(0);?2(0),?2(0),?2(0)变

????为C1在s?0处的Frenet标架r1(0);?1(0),?1(0),?1(0). 则这个刚体运动?将C2变为正则曲

??线C3. 设C3的弧长参数方程为r3?r3(s). 由于在刚体运动下，弧长、曲率、挠率保持不变，C13????与C3也有相同的曲率和挠率函数：

?1(s)??3(s)，?1(s)??3(s).

且在s?0处它们有相同的Frenet标架：

????????r1(0)?r3(0),?1(0)??3(0),?1(0)??3(0),?1(0)??3(0).

????????令?r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)?和?r3(s);?3(s),?3(s),?3(s)?分别为C1和C3的Frenet标架.

则它们都满足一阶线性常微分方程组初值问题

???r(0)?r1(0),????????,(0)???1(0), (5.6) (5.7) ????????????,??(0)??1(0),?????(0)???1(0).????.??根据解的唯一性(见附录定理1.1)，有r1(s)?r3(s)，即C1与C3重合. □

注 常微分方程组(5.6)中，共有12个未知函数：

???r??????????????????,??r(s)??x(s),y(s),z(s)?，?(s)???1(s),?2(s),?3(s)?， ???(s)???1(s),?2(s),?3(s)?，?(s)???1(s),?2(s),?3(s)?.

初始条件为：

?x(0),y(0),z(0)??r1(0)?(a1,a2,a3)，??1(0),?2(0),?3(0)??(a11,a12,a13)， ??1(0),?2(0),?3(0)??(a21,a22,a23)，??1(0),?2(0),?3(0)??(a31,a32,a33).

3?r(t),C:r?r(u)定理5.2设C1:r是中两条正则参数曲线，它们的曲率处处不为E11222?????零. 如果存在三次以上的连续可微函数u??(t)(t?[a,b])，??(t)?0，使得这两条曲线的弧长

函数、曲率函数和挠率函数之间满足

s1(t)?s2(?(t)),?1(t)??2(?(t)),?1(t)??2(?(t))， (5.4) 则有E3中的一个刚体运动?将C1变成C2.

证明 不妨设??(t)?0. 对C2作可允许参数变换u??(t)，可将C2的参数方程写成

t????r3(t)?r2(?(t)). 则C1的弧长为s1(t)??|r1(?)|d?，C2的弧长为 a?t?tdr?(t)?2??s3(t)??|r3(?)|d???|?(?)|d???r2?(?)d??s2(?(t)).

aa?(a)du由条件，可取s?s1(t)?s3(t)?s2??(t)作为C1和C2的弧长参数. 因为s1(t)?s3(t)有相同的反

函数t??(s)，即??s1?s3?(s2??)?1?1?1?1?1???1?s2，????s2. 于是

?1?1(s)??1?s1?1(s)??1??(s)??2?????(s)??2?s2(s)??2(s).

同理，?2(s)??1(s) 根据定理5.1，有E中的一个刚体运动?将C1变成C2. □

3s1[a,b]?1R[0,l]s2

??[a1,b1]16

?2

定理5.3 (存在性定理) 设?(s),?(s)是定义在区间[a,b]上的任意二个给定的连续可微函数，并且?(s)?0. 则除了相差一个刚体运动之外，存在唯一的E3中的正则曲线C:r?r(s)，s?[a,b]，使得s是C的弧长参数，且分别以给定的函数?(s)和?(s)为它的曲率和挠率.

证明 唯一性由定理5.1即得. 只要证明存在性.

考虑含有12个未知函数的一阶线性常微分方程组初值问题(5.6)，(5.7).：

????dr?ds???d??ds???d??ds??d???ds???,???r(0)?r0,?????,??(0)???0, (5.6) ??? (5.7)

????(0)??0,???????,????(0)???0.?????.?根据解的唯一存在定理(见附录定理1.1)，对任意给定的初始条件(5.7)，(5.6)都有定义在区间[a,b]上的解. 取(5.6)的满足初始条件

的解，其中?O;i,j,k?是一个正交标架(即右手单位直角标架). 为了使用求和号，记

???????????r(0)?0,?(0)?i,?(0)?j,?(0)?k (5.7)’

????????e1??,e2??,e3??,gij?eiej, (5.9)

?a11a12a13??0?0??a21a22a23?????0??. (5.5) ?aaa??0??0???313233??????????因为r,e1,e2,e3是(5.6)的解，所以r?r(s)是三阶连续可微的. 下面来证明r?r(s)就是所

要求的曲线. 由(5.6)可得

?dr??e1,ds首先来证明

?3dei???aijej,i?1,2,3 (5.6)’ dsj?1gij(s)??ij,i,j?1,2,3. (5.10)

由(5.6)得

??333dedei??j??????ej?ei??aikekej??ajkeiek??(aikgkj?ajkgki)， dsdsdsdsk?1k?1k?1??由初始条件(5.7)’可知有gij(0)?ei(0)ej(0)??ij，i,j?1,2,3. 这说明9个函数gij(s)满足一阶

dgij线性常微分方程组初值问题

??d(eiej)dFijds??(aikFkj?ajkFki)，Fij(0)??ij，i,j?1,2,3.

k?13另一方面由(5.5)可知aij??aji，i,j?1,2,3. 于是9个函数Fij(s)??ij也满足上面的一阶线性常微分方程组初值问题. 由解的唯一性，必有gij(s)?Fij(s)??ij.

因此e1(s),e2(s),e3(s)是两两正交的单位向量. 从而混合积?e1(s),e2(s),e3(s)???1. 但是函数f(s)??e?是连续的，并且由初始条件得f(0)??e1(0),e2(0),e3(0)??1. 1(s),e2(s),e3(s)所以e1(s),e2(s),e3(s)构成右手系.

17

????????????????dr?????现在，由(5.6)’可知?e1?1. 所以r?r(s)是正则曲线，并且s是C:r?r(s)的弧长

ds??参数，?(s)?e1(s)是C的单位切向量场. 由(5.6)第2式及?(s)?0可知C的曲率为?(s)，主

???????法向量场为?(s)?e2(s). 最后，因为e1(s),e2(s),e3(s)是右手单位正交基，所以?(s)?e3(s)是

???次法向量场. 再由(5.6)第3式可知C的挠率为??(s)?(s)??(s). □

例 求曲率和挠率分别是常数?0?0，?0的曲线C的参数方程.

解 我们已经知道圆柱螺线r(t)?(acost,asint,bt)的曲率和挠率都是常数，分别为

?abab和. 根据定理5.1，曲线一定是圆柱螺线. 由和????0解C022222222a?ba?ba?ba?b??出a?202，b?202. 因此所求曲线C的参数方程为

?0??0?0??01?r(t)?2?cost,?0sint,?0t?. 2?0?0??0t2222因为C的弧长参数s?a?bt?，将上式中的t换成?0??0s就可得到C的弧长

?02??02参数方程：

?r(s)?1?0cos22?0??0???02??02s,?0sin??22?02??02s,?0?0??0s. □

??课外作业：习题1，4，6

§ 2.6 曲线参数方程在一点的标准展开

对于定义在区间[a,b]上的n次连续可微的函数f(x)，可以在区间(a,b)内任意一点x0邻近展开为Taylor展式：

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?12!f??(x0)(x?x0)2???1n!f(n)(x0)(x?x0)n?o(x?x0)n.

同样，对于一条三次连续可微的弧长参数曲线r?r(s),s?(??,?)，可在s?0处展开为

??????(0)?r(s)?r(0)?sr其中o(s)是一个向量函数，满足

?12!???13???s2??r(0)?3!sr(0)?o(s3)， (6.1)

3?o(s3)?lim3?0. (6.2) s?0s?????????(0)???(0)??(0)?(0),???(0)???2(0)??(0)?(0)??(0)?(0)?(0) (6.3) r(0),?rr(0)??代入(6.1)得

由Frenet公式可得

?03????023??????????02?r(s)?r(0)??s?s??(0)??s?s??(0)?00s3?(0)?o(s3)，

6?6?6?2??0???(0),?0??(0). 其中?0??(0),?以s?0处的Frenet标架?r(0);?(0),?(0),?(0)?建立右手直角坐标系，则曲线C在s?0附近的参数方程为

???? 18

??0233x?s?s?o(s),1?6??03?02??3?y?s?s?o2(s), (6.4)

26??0?03?3z?s?o(s).3?6???上式称为曲线C:r?r(s)在s?0处的标准展开式.

????在标架?r(0);?(0),?(0),?(0)?下，考虑C的近似曲线

?02????????02?0?03??C1:r1(s)??s,s,s??r(0)?s?(0)?s?(0)?00s3?(0). (6.5)

626?2?????近似曲线C1与原曲线C在s?0处有相同的Frenet标架?r(0);?(0),?(0),?(0)?，有相同的曲率

???0和相同的挠率?0. 这是因为s是C1的一般参数，并且r1(0)?(0,0,0)?r(0)，

????????????r1(0)?(1,0,0)??(0)，r1(0)?(0,?0,0)??0?(0)，r(0)?(0,0,??)????10000(0)，

从而

??r1?(0)??????????(0)???0?(0)???0?(0)， r1?(0)?1，?1(0)????(0)，r1?(0)?r1?(0)r1?(0)?????r1?(0)?r1?(0)?r1?(0)?r1?(0)???????0，?1(0)?r1?(0)?r1?(0)???(0)???(0)， ，??01?3???r1(0)?r1(0)r1?(0)??????r1?(0)?r1??(0)?r1??(0)?02?0?????2??0. ?1(0)??1(0)??1(0)??(0)??(0)??(0)，?1(0)??2??0???r1(0)?r1(0)在s?0邻近，近似曲线C1的性状近似地反映了原曲线C的性状. 近似曲线C1的图形见下图，其在各坐标平面上的投影见书上图2-6.

?0?0??0?r(0)?0??0?

19

在密切平面上的投影是抛物线：x?s,y??02s2,z?0，在从切平面上的投影是三次曲线：

x?s,y?0,z??0?06s3，在法平面上的投影是半三次曲线：x?0,y??????02s2,z???????0?06s3. ?定义 设两条弧长参数曲线C1:r1(0)?r2(0). 1?r1(s),C2:r2?r2(s)相交于p0，Op0?rp0p1??p0p2??s. 若有正整数n使得 取p1?C1,p2?C2，使得?????|p1p2||r1(?s)?r2(?s)||r1(?s)?r2(?s)|lim?lim?0，lim?0， (6.9) ?s?0?sn?s?0?s?0?sn?sn?1则称C1与C2在p0处有n阶切触.

定理6.1 设两条弧长参数曲线C1:r1?r1(s),C2:r2?r2(s)在s?0处相交. 则它们在

????s?0处有n阶切触的充分必要条件是

????r1(k)(0)?r2(k)(0)，k?1,2,?,n，r1(n?1)(0)?r2(n?1)(0). (6.10)

证明 在s?0处，有?s?s?0?s. 因为C1,C2在s?0处相交，所以r1(0)?r2(0). 根据Taylor公式，

n?1s?(k)???n?2?(k)r1(s)?r2(s)????o(s). ?r(0)?r(0)12??k?1k!k??sn?1?(n?1)???n?2?(n?1)?o充分性. 由(6.10)，r1(s)?r2(s)???r(0)?r(0)2?(s)，所以

(n?1)!?1???1o(sn?2)|p1p2|r1(s)?r2(s)??(n?1)(n?1)lim?lim?lim|s|?n?1?0， ?r1(0)?r2(0)???nn?s?0s?0s?0(n?1)!s?ss?n?2??1o(s)|p1p2|r1(s)?r2(s)??(n?1)(n?1)lim?lim?lim?0. ???r(0)?r(0)12??n?1n?1?s?0?sn?1s?0s?0(n?1)!ss即C1,C2在s?0处有n阶切触.

??必要性. 由条件，C1,C2在s?0处有n阶切触，则n?1. 如果r1?(0)?r2?(0)，则

??|p1p2|r1(s)?r2(s)??lim?lim?r1?(0)?r2?(0)?0， ?s?0s?0?ss从而lim|p1p2|?0，矛盾. 设m?1是满足

?s?0?sn????r1(k)(0)?r2(k)(0)，k?1,2,?,m，r1(m?1)(0)?r2(m?1)(0)

n的正整数. 由充分性，C1,C2在s?0处有m阶切触. 由条件得m?n，故(6.10)成立. □ 推论 (1) 一条曲线与它在一点的Taylor展开式中的前n?1项之和(即略去(?s)的高阶无穷小)至少有n阶切触；与它在一点的切线至少有1阶切触；与它在一点的近似曲线至少有2阶切触.

(2) 两条相交曲线在交点处有二阶以上切触的充分必要条件是这两条曲线在该点处相切，且有相同的有向密切平面和相同的曲率.

曲率圆(密切圆)：在弧长参数曲线C:r?r(s)上一点r(s)处的密切平面上，以曲率中心

????1?1r(s)??(s)为圆心，以曲率半径R?为半径的圆. 它的方程是：

?(s)?(s)

20

??????1?1X(t)?r(s)??(s)?cost?(s)?sint?(s)?. ??(s)?(s)曲线与曲面的切触阶，密切球面，曲率轴. (略) 课外作业：习题2，3

§2.7 存在对应关系的曲线偶

??u?(t)?0. 对曲线C2作参数变换，可设C2:r2?r2(t)，从而C1,C2之间的一一对应就是参数相

同的点之间的一一对应.

定义7.1 如果两条互不重合的曲线C1,C2之间存在一个一一对应，使得它们在对应点有公共的主法线，则称这两条曲线为Bertrand曲线偶，其中每一条曲线称为另一条曲线的侣线，或共轭曲线.

设两条正则参数曲线C1:r1?r1(t),C2:r2?r2(u)之间存在一个一一对应关系t?u?(t)，

?????nC1C2C2?C1????注 在平面上，每一条正则曲线C:r?r(s)??x(s),y(s)?都有侣线，构成Bertrand曲线偶.

??(s),y?(s)?是C的单位切向量场，?(s)是C的曲率.证明 设s是C的弧长参数，?(s)??x??(s),x?(s)?. 取充分小的非零实数?使得|??(s)|?1,?s?[0,b]. 则 令n(s)???y???C1:r(s)?r(s)??n(s) 1是曲线C的侣线.

????. 于是C的曲率 ?//?. 设n??n. 因此nr??(s)|?|????(s)|?|?|. ?(s)?|?x2(s)???y2(s)?|nx(s),??y(s)?|???r当常数?充分小时，

???0，n??n. 另一方面由n??0可知?2?y?2?????1，所以nn事实上，因为n?n?x????????????????????r1(s)?[1???r(s)]?(s)?0，

所以C1是正则参数曲线. 因为??0，所以曲线C和C1不重合.

现在来证明在对应点C和C1有相同的主法线. 在相同的参数s点处，C的主法线l是过

??r(s)(的终)点且垂直于?(s)的直线，所以l的方程为

?????X(u)?r(s)?un(s)，u?R.

????r(s)//?(s)的直线. 所以(s)同理，在相同的参数s点处，C1的主法线l1是过r点且垂直于11??l//l1(因为它们都垂直于?(s)). 由定义可知r1(s)在直线l上，所以l与l1重合. □

21

下面考虑空间挠曲线，即挠率??0的曲线.

定理7.1 设C1和C2是Bertrand曲线偶. 则C1和C2在对应点的距离是常数，并且C1和C2在对应点的切线成定角.

??????证明 设曲线C1的弧长参数方程为r1?r1(s)，Frenet标架为?r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)?，曲

?率和挠率分别为?1(s)和?1(s). 因为C1和C2之间存在一一对应，设C2上与r1(s)对应的点是

??????r2?r2(s)，s是C2的一般参数，C2的Frenet标架为?r2(s);?2(s),?2(s),?2(s)?，曲率和挠率分

??s?(s). 别为?2(s)和?2(s). 再设C2的弧长参数为s???????X(u)?r(s)?u?(s)由条件，r2(s)在曲线C1上的点r处的主法线11(s)上，所以1?????//?(s)r(s)?r(s)?(s)???，并且?2?1112(s). 因此可设

?????r2(s)?r1(s)??(s)?1(s)，?2(s)???1(s)， (7.3)

???其中???1是常数，?(s)??1(s)?r2(s)?r1(s)?是可微函数. ???????? s(s)?2(s)??1(s)??(s)?1(s)??(s)[??(s)?1(s)??(s)?1(s)]

?????[1??(s)?(s)]?1(s)??(s)?1(s)??(s)?(s)?1(s). (7.4)

??以?2???1分别与上式两边作内积，可得??(s)?0，?(s)?c是常数. 再由(7.3)得

???|r2(s)?r1(s)|?|?(s)?1(s)|?|c|，

即C1和C2在对应点的距离是常数|c|(?0，因为C1和C2不重合).

设?(s)??(?1(s),?2(s))，则?1(s)?2(s)?cos??(s)?. 因为 将(7.3)两边对s求导，利用Frenet公式，得

????????d?????????1?2???1?2?2???2s???1?1?0， ??1?2???1?1?2??2sds所以cos??(s)?是常数，从而?(s)是常数. □

定理7.2 设正则曲线C的曲率?和挠率?都不为零. 则C是Bertrand曲线的充分必要条件是：存在常数?,?，且??0，使得??????1.

????????长参数. 如同定理7.1的证明过程一样，设?r(s);?(s),?(s),?(s)?和?r1(s);?1(s),?1(s),?1(s)?(7.4)分别成为

证明 必要性. 设曲线C有侣线C1，它们的参数方程分别是r(s)和r1(s)，其中s是C的弧

???是C1的弧长参数. 现在(7.3)和分别是C和C1的Frenet标架，?1,?1分别是C1的曲率和挠率，s?????r1(s)?r(s)???(s)，?1(s)???(s)， (7.3) ?????(s)?1(s)?[1???(s)]?(s)???(s)?(s). (7.5) s其中??0是常数. 因此由??0得

??(s)|?[1???(s)]2?[??(s)]2?0，s??(s)??1[1???(s)]2?[??(s)]2， |s其中?1??1也是一个常数.

由定理7.1，?(s)?1(s)?c是常数. 用?(s)与(7.5)两边作内积，得

???c?1[1???(s)]2?[??(s)]2?1???(s)?(1?c2)[1???(s)]2?c2[??(s)]2.

由??(s)?0可知(1?c)?0，从而

21???(s)??c?:??

2?(s)1?c是常数. 这就是说，存在常数??0,?，使得??????1.

22

充分性. 设正则弧长参数曲线C:r?r(s)的曲率?和挠率?满足??????1，其中?,?是常数，且??0. 令r1(s)?r(s)???(s)，则

????????????r(s)?[1???(s)]?(s)???(s)?(s)??(s)[??(s)???(s)]?0. 1??所以由参数方程r1?r1(s)定义的曲线C1是正则曲线，并且与曲线C不重合(因为??0).由于?r1??|?|?2??2，曲线C1的单位切向量场

????1(s)??[sin??(s)?cos??(s)]，

其中??arctan(?/?)是常数，满足

sin??????22，cos??????22.

??ds??d?1?1?1???(sin???cos??)?.

ds?ds?如果sin???cos???0，则有?1???，从而曲线C1是C的侣线，C1和C是Bertrand

??(s)曲线偶(在参数s相同的点，C1和C得主法线有相同方向，并且r在r(s)处的主法线上). 1如果sin???cos???0，则?????. 结合??????1可知?和?都是非零常数，C是

圆柱螺线，从而是Bertrand曲线. □

定义7.2 如果两条曲线C1,C2之间存在一个一一对应，使得曲线C1在任意一点的切线正好是C2在对应点的法线(即垂直于C2在该点的切线)，则称曲线C2是C1的渐伸线. 同时称曲线C1是C2的渐缩线.

?是C1的弧长参数，利用Frenet公式，有 设sC2s?0C1s?cs?l??定理7.3 设C:r?r(s)是正则弧长参数曲线. 则C的渐伸线的参数方程为

???r(s)?r(s)?(c?s)?(s). (7.7) 1证明 设渐伸线C1上与r(s)对应的点为r1(s). 则r1(s)在曲线C上r(s)点处的切线上，故有函数???(s)使得

????????????0?r(s)?(s)?[?(s)??(s)?(s)??(s)?(s)?(s)]?(s)?1???(s). 1由此得??(s)??1，?(s)?c?s. 代入(7.8)即得(7.7). □

23

?由渐伸线的定义，r1(s)??(s)，所以

?????r(s)?r(s)??(s)?(s). (7.8) 1曲线C的渐伸线可以看作是该曲线的切线族的一条正交轨线，位于C的切线曲面?上. 定理7.4设C:r?r(s)是正则弧长参数曲线. 则C的渐缩线的参数方程为

??1?1???r(s)?r(s)??(s)?tan??(s)ds?(s). (7.10) 1?(s)?(s)???证明 设渐缩线C1上与r(s)对应的点为r1(s)?r(s)]?r(s)??(s)，可设 1(s). 由定义，[r????r(s)?r(s)??(s)?(s)??(s)?(s). (7.11) 1求导得

????????????????r1(s)??(s)??(s)?(s)??(s)[??(s)?(s)??(s)?(s)]??(s)?(s)??(s)?(s)?(s)

??? ?[1??(s)?(s)]?(s)?[??(s)??(s)?(s)]?(s)?[??(s)??(s)?(s)]?(s).

??????????(s)//[r(s)?r(s)]??(s)?(s)??(s)?(s)r(s)?[?(s)?(s)??(s)?(s)]?0，因为r，所以111即有

?(s)?(s)?1，?(s)[??(s)??(s)?(s)]??(s)[??(s)??(s)?(s)]. (7.12)

所以?(s)?1/?(s)，且由(7.12)第2式得

????????????(???)?，??arctan????，??(s)???(s)tan??(s)ds.

???22??所以有(7.10). □

课外作业：习题4，8

§2.8 平面曲线

本节研究平面曲线的特殊性质.

一、平面曲线的Frenet标架

??在平面E上取定一个正交标架(右手直角标架)?O;i,j?. 则平面曲线C的弧长参数方程为

? r(s)?(x(s),y(s))， s?[a,b. ] (8.1)

2它的单位切向量为

?(s),y?(s)???cos(?(s)),sin(?(s))?， (8.2) ?(s)??x其中?(s)??(i,?(s))是由i到?(s)的有向角(允许相差2?的整数倍)，逆时针方向为正. 当区间[a,b]是闭区间时，函数?(s)可以成为定义在整个[a,b]上的连续可微函数.

????????将?(s)右旋?/2，得到与?(s)正交的单位向量?(s)， ?????(s)??cos(?(s)??2),sin(?(s)?2)????sin(?(s)),cos(?(s))????y(s),x(s)?. (8.3)

???这样，得到沿曲线C的(平面)Frenet标架?r(s);?(s),?(s)?.

yC?(s)?s?0s?lO

24

?i?x,f(x)???(s)x

二、平面曲线的Frenet公式

???????由于?(s)是单位切向量场，有????0，故?//?，可设

??? ?(s)??r(s)?(s)， (7.4)

其中

??(s)y?(s)x???(s),x?(s)??x(s),??y(s)????y ?r(s)??(s)??(s)???? (7.5)

??x(s)??y(s)称为曲线C的相对曲率. 曲线C的曲率为?(s)?|?r(s)|. ?r(s)的符号的几何意义见图2-8.

利用(7.4)得到平面曲线的Frenet公式

??????r,????? ????r?, (7.6)

???????????r.???1因此曲线C的曲率中心为r(s)??r(s)?(s)，这也是的渐缩线方程.

三、相对曲率的几何意义

由(7.2)，(7.3)和(7.4)可得

d?(s)d?(s)????r(s)?(s)??(s)???sin(?(s)),cos(?(s))???(s). dsds因此

?r(s)?即相对曲率是有向角?(s)对弧长的变化率.

?d?(s)， (7.7) ds四、平面曲线论基本定理

定理 (平面曲线论基本定理) 设?r(s)是区间[a,b]上的连续可微函数. 则在不计E2的一个刚体运动的情况下，存在唯一的平面曲线C:r?r(s)，s?[a,b]，它以s为弧长参数，以给定的函数?r(s)为相对曲率.

证明 存在性. 取s0?[a,b]. 令

???(s)???r(?)d?，s?[a,b].

s0s再令

x(s)??cos??(?)?d?，y(s)??sin??(?)?d?，s?[a,b].

s0s0?则平面曲线C:r(s)??x(s),y(s)?，s?[a,b]满足：以s为弧长参数，以?r(s)为相对曲率.

?????2曲率. 令?r1;?1,?1?为C1的Frenet标架，?1(s)??(i,?1(s)). 通过E的一个刚体运动，可设

唯一性. 设另有一条平面曲线C1:r1(s)??x1(s),y1(s)?也以s为弧长参数，以?r(s)为相对

ss??1(s0)?0，x1(s0)?0，y1(s0)?0.

?????????r11??cos?1,sin?1???cos?,sin????x,y??r.

????(s)?(0,0)?r(s)r(s)?r(s)，?s?[a,b]. □ 再由r得到1001

25

??????及?(s)?0??(s)可知?(s)??(s). 从而 由?1r1001五、旋转指标定理

??虽然有向角?(s)??(i,?(s))允许相差2?的整数倍，但是有向角的总变差?(b)??(a)是

??不变的. 事实上，若?(s)也是由i到?(s)的有向角，则?(s)??(s)?2k(s)?. 由于?(s)和?(s)都是连续函数，k?k(s)必为常数(因为闭区间[a,b]是连通的). 从而

?(b)??(a)??(b)??(a)，

即总变差与有向角函数?(s)连续分支的取法无关. 由(7.7)可知总变差为

?(b)??(a)???r(s)ds. (7.9)

ab光滑闭曲线，分段光滑曲线，简单闭曲线，旋转指标

定理7.2 (旋转指标定理) 若C是平面上一条连续可微的简单闭曲线，则它的旋转指标为i(C)??1.

若C是分段光滑的简单闭曲线，指标定理仍然成立. 但(7.9)右端要加上在各角点的外角和. 即若s1?s2???sn是曲线C的角点(不光滑点)，则

(2?)i(C)??(b)??(a)???r(s)ds???j， (7.11)

aj?ibn其中

?j???(sj?0),?(sj?0). (7.12)

课外作业：习题1(2, 4, 6)，3，5

?? 26

五、旋转指标定理

??虽然有向角?(s)??(i,?(s))允许相差2?的整数倍，但是有向角的总变差?(b)??(a)是

??不变的. 事实上，若?(s)也是由i到?(s)的有向角，则?(s)??(s)?2k(s)?. 由于?(s)和?(s)都是连续函数，k?k(s)必为常数(因为闭区间[a,b]是连通的). 从而

?(b)??(a)??(b)??(a)，

即总变差与有向角函数?(s)连续分支的取法无关. 由(7.7)可知总变差为

?(b)??(a)???r(s)ds. (7.9)

ab光滑闭曲线，分段光滑曲线，简单闭曲线，旋转指标

定理7.2 (旋转指标定理) 若C是平面上一条连续可微的简单闭曲线，则它的旋转指标为i(C)??1.

若C是分段光滑的简单闭曲线，指标定理仍然成立. 但(7.9)右端要加上在各角点的外角和. 即若s1?s2???sn是曲线C的角点(不光滑点)，则

(2?)i(C)??(b)??(a)???r(s)ds???j， (7.11)

aj?ibn其中

?j???(sj?0),?(sj?0). (7.12)

课外作业：习题1(2, 4, 6)，3，5

?? 26

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