研究二元函数(多元函数)的思想方法

研究二元函数(多元函数)的思想方法

一、研究二元函数（多元函数）的思想方法，总的说来有两种：一种称为多重法，用这种方法研究二元函数就是使两个自变量同时变化，一般来说，凡涉及多元函数的一些重要概念和理论多采用多重法，例如多元函数的极限、连续、可微、极值等概念就是如此；另一种是暂时令其中某一个自变量变化，其余的自变量都视为常数，即将二元函数（多元函数）化为一元函数来研究，这种方法称为转化法或单一法。一般来说，凡计算二元函数的某些量多采用此法，例如二元函数的累次极限、偏导数等。

二、二元函数是一元函数的推广，所以必然保留一些与一元函数类似的性质，如一元函数的极限、连续的运算性质可以类比的推广到二元函数，在学习中大家要注意这种类比的方法。 我们既要领会二元函数与一元函数的共性，更要注意它们的差别：例如， z

x就是一个

整体记号，而不是 z与 x的商，可导（偏导数存在）不一定连续，可微与可导不等价等等，这些差别需要我们尤其注意。

一元函数与多元函数的不同从方法论上可以这样理解：一元函数中的重要性质或理论，如果在多元函数中涉及到且以多重法给出，那么这种性质或理论就仍可保持；反之，如果在多元函数中涉及的概念既有用多重法又有用单一法给出，则这种性质或理论就不再保持。举例来说，偏导数的概念是用单一法给出的，而连续是用多重法给出的，因此一元函数中的“可导必连续”的性质在多元函数中就不再成立。

三、本章的概念较多，建议大家在记忆其定义式的同时多从几何直观上认识它们，这对理解概念是很有好处的。例如结合教材上册第七章的知识，我们很清楚函数z f(x,y)的图形是一个曲面；偏导数、全微分的定义在表达式上并不非常抽象，借助于其几何意义我们会更深刻的理解和体会它们。

四、理解、掌握概念，还要清楚概念间的联系与区别，例如下面的关系式是需要非常清楚的：

重极限存在 连续 可导（偏导数存在）

方向导数存在 可微

偏导数连续

研究二元函数(多元函数)的思想方法

上面的关系图中，需着重理解连续、可导、可微之间的关系。有些关系教材中已有说明，下面我们再做一补充说明。看下面的三个函数：

z f(x,y) 0,xy 0

1,xy 0， （1）

z f(x,y) x y22， （2）

1 2222(x y)si,x y 0 22 z f(x,y) 。 （3） x y

22 0, x y 0

容易证明，函数（1）中，fx(0,0) fy(0,0) 0，但在(0,0)点函数不连续进而不可微；函数（2）在(0,0)点连续，但在(0,0)点两个偏导数均不存在，就更谈不上可微了；函数（3）可微但其偏导数在(0,0)点不连续（大家自己证明一下）。

五、多元复合函数的求导是本章的重点之一，务必熟练掌握。教材中给出了多元复合函数求导的链式法则，该法则对不同情形下复合函数求导的方式、项数、每一项的具体表现形式都明确给出，大家要结合教材中的例题认真分析、领会。尤其使对抽象函数更要格外注意，不仅在求导本身，而且在记号上（尤其是高阶偏导数）都要重视。例如对函数

z 2yf(

则

z

x

2x2y,3y)， 2y[f1 2xy f2 0] 4xf1 ， 2

2 z x y ( 4x[f11xy ]。 ) 3f12

教材中给出的记号简洁明了，表达时一目了然且不易出错，大家应该习惯。

六、多元函数微分学的应用。

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