02-09 热应力计算

§2-9 热应力计算

● 当物体温度发生变化时，物体将由于膨胀而产生线应变?T，其中

◎ ?为材料的线膨胀系数；

◎ T表示弹性体内任意点的温度改变值(从整个物体处于初始均匀温度状态算起)。

☆ 在平面问题中，它是坐标x,y及时间t的函数。

● 如果物体各部分的热应变均匀且不受任何约束，则虽有变形却不会引起应力。

● 如果物体各部分的温度不均匀，或表面与其他物体相联系，即受到一定的约束，热变形不

能自由地进行，就将产生应力。

? 这种由于温度变化而引起的应力称为“热应力”或“温度应力”。

● 热应力问题与一般应力分析问题相比较，主要是应力-应变关系上稍有差别。

考虑热应力问题的应力-应变关系是：

{?}?[D]({?}?{?0}) (2-59) ? 相当于有一个初应变。（图示）

其中负号是因为热应变对其它应变起抵消作用。 将(2-15)式代入即可写成：

{?}?[D]([B]{?}?{?0}) (2-60) e● 对于平面应力问题，其中

{?0}??T?110? (2-61) T（各个方向自由一致，厚度方向的应变不受限制，所以对应力没有作用。） ● 对于平面应变问题，其中

{?0}?(1??)?T?110? (2-62) T（各个方向自由一致，厚度方向的应变受限制，在平面方向的反映为波桑效应。） ● 于是，如果考虑到热应力，弹性体内应力的虚功将为

??{?}[D]([B]{?}?{?0})tdxdy

1

*Te({?})(??[B][D][B]{?}tdxdy?*TTeT[B][D]{?0}tdxdy (2-63) ??代替(2-27)式，应当是

{F}?e??[B][D][B]tdxdy{?}?TeT[B][D]{?0}tdxdy (2-64) ??也就是

{F}?eTe (2-65) [B][D]{?}tdxdy?[k]{?}0??● 上式左边第二项是由于考虑温度变化而增添出来的，它在(2-65)式中是处于节点力的地

位，相当于考虑温度变化而施加于节点的一个假想的等效节点力，称为热载荷

{H}?e??[B][D]?T{?t0}tdxdy (2-66) ? 对于平面应力问题将(2-61)式代入得

{H}?e??[B][D]?T?1t10?tdxdy (2-67) T将(2-17)式和平面应力弹性矩阵[D]代入上式，得

e{H}?E?t2(1??)??bicibjcjbmcm???TdxdyT (2-68) 如果温度T的分布函数为已知时，上式中的积分总可用数值积分求得。特别是当T是x,y 的多项式时，则容易写出精确积分的表达式。对于Ｔ为线性分布时（在单元内常这样处理），则有

??Tdxdy?13(Ti?Tj?Tm)? (2-69) 其中Ti、Tj、Tm分别为节点i,j,m处的温度。在此情况下，热应力的等效节点载荷列阵为

E?(Ti?Tj?Tm)t6(1??){H}?e?bicibjcjbmcm?T (2-70) 根据节点位移计算单元应力就有

{?}?[D][B]{?}?eE?(Ti?Tj?Tm)3(1??)?110? (2-71) T● （由(2-60)和（2-69）式，以平均温度代替随机温度） ? 对于平面应变问题

只要在平面应力问题的公式中用E/(1??)代替E,?/(1??)代替?以及(1??)?代

2

2替?便可得到。经过这样的替换以后，等效节点热载荷的公式为

E?(Ti?Tj?Tm)t6(1?2?){H}?e?bicibjcjbmcm?T (2-72) 应力的公式为

e{?}?[S]{?}?E?(Ti?Tj?Tm)3(1?2?)?110? (2-73)

T

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