怎样培养学生列方程解题的的能力--毕业论文

【标题】怎样培养学生列方程解题的的能力

【正文】 1.引言

方程就是将众多实际问题“数学化”的一个重要模型。众所周知用列方程处理某些问题与算术法相比较具有一定的优越性。在列方程解题时，首先找出题目中的已知数、未知数和表示题目中全部含义的相等关系，再根据这一相等关系用字母代替未知数，列出需要的代数式和方程，然后解这个方程求出未知数的值。这样的步骤反映了方程解法从一开始就抓住既包含已知数，也包含未知数的整体，在这个整体中未知数和已知数是平等的，我们通过等式变形改变已知数和未知数的关系，最后使未知数也成为一个已知数。而算术解法往往是从已知开始，一步步向前探索，到解题基本结束，才能找出未知数与已知数的关系，这样的解法是从把未知数排斥在外的局部出发的，因此未知数对已知数来说其地位是特殊的。因此与算术法相比，方程解法具有居高临下、省时省力的优点。但列方程解应用题的教学效果总不够理想。据统计，历年来列方程解应用题的单项考核，学生掌握其要领的还不到70%[6]。近几年来，一些数学教育者对方程思想的研究已取得了许多重要的进展。他们已经把方程思想用在几何、三角函数、数列等问题上。而最近有的数学教育者更是把方程思想和函数的联系做了深入研究,方程思想理论已经逐渐成熟。但是教学上方程思想与现实教育脱节, 阻碍了数学课程改革的进程。当前全面启动教育现代化，来研究，探讨一下如何整体提高学生列方程解应用的能力，是非常有意义的。 2.方程思想

2.1.什么是方程思想

在解决数学问题时，有一种从未知转化为已知的手段就是通过设元,寻找已知与未知之间的等量关系,构造方程或方程组然后求解方程完成未知向已知的转化。这种解决问题的思想称为方程思想。

2.2.方程解题对学生的基本能力的要求 （1）正确列出方程的能力

有些数学问题需要利用方程解决,而正确列出方程是关键,因此要善于根据已知条件，寻找等量关系列方程。

（2）具备用方程思想解题的意识

有些几何问题表面上看起来与代数问题无关，但是要利用代数方法——列方程来解决，因此要善于挖掘隐含条件。要具有方程的思想意识、还有一些综合问题需要通过构造方程来解决。在平时的学习中,应该不断积累用方程思想解题的方法.。 （3）掌握运用方程思想解决问题的要点

除了代数的计算问题要使用方程或方程思想以外，经常需要用到方程思想的还有一元二次方程根的判别式、根与系数关系、函数、几何等内容。在解决与这些内容有关的问题时要注意方程思想的应用。

2.3. 学生列方程解题中出现的问题和对策

在未接触列方程解题以前学生已经习惯了算术解题。初学列方程解题时，学生的主要困难在

于： （1）掌握不好用方程的思想方法分析问题，而习惯于算术解法[1] （2）在列方程解题时不容易找出题目中的等量关系[1] （3）在找出等量关系后不会列方程[1] 针对学生出现的问题，在方程教学时解每个例题都应该先写一段“分析”；当讲到复杂一些的例题时还可以用方程和算术两种方法进行求解。让学生体会列方程解题的优越性；在讲解例题时要加强分析，充分启发学生思考；通过提问等手段让学生找出题目中的相等关系，避免采用注入式的教学方法。在列代数式的教学的时候教师要有意识的为以后的方程教学作一些准备。此外在列方程时，要求学生会写出相等关系所涉及的的代数式，特别是在初学时对这一步的要求决不能打折扣。不能采取设了未知数以后就立即列方程的做法。只有在学生相当熟练后，列代数式这一步可以简化。 3.如何培养学生列方程解应用题的能力

列方程解题与算术方法思路上有着很大不同，学生在开始学习时往往感到困难。为了帮助学生解决这个问题，在讲解例题的时候作一些必要的简化和假设，运用适当的数学工具，并通过数学语言表达一个数学结构。方程的建模思想就是把数学中有待解决或未解决的问题从方程的角度发现问题、提出问题、理解问题、通过转化过程，归结为一类已经解决或较易解决的问题中去。

3.1.牢固地掌握基本的数量关系是解答应用题的基础

应用题的特点是用语言或文字叙述日常生活和生产中一件完整的事情，由已知条件和问题两部分组成，其中涉及到一些数量关系。解答方程问题的过程就是分析数量之间的关系，进行推理，由已知求得未知的过程。学生解答应用题时，只有对题目中的数量之间的关系一清二楚，才有可能把题目正确地解答出来。换一个角度来说，如果学生对题目中的某一种数量关系不够清楚，那么也不可能把题目正确地解答出来。因此，牢固地掌握基本的数量关系是解答应用题的基础。[6]

（1）什么是基本的数量关系呢？根据加法、减法、乘法、除法的意义决定了加、减、乘、除法的应用范围，应用范围里涉及到的内容就是基本的数量关系。例如：加法的应用范围是：求两个数的和用加法计算；求比一个数多几的数用加法计算。这两个问题就是加法中的基本数量关系。

（2） 怎样使学生掌握好基本的数量关系呢？

首先要加强概念、性质、法则、公式等基础知识的教学。举例来说，如果学生对乘法的意义不够理解，那么在掌握“单价×数量=总价”这个数量关系式时就有困难。

其次，基本的数量关系往往是通过一步应用题的教学来完成的。人们常说，一步应用题是基础，道理也就在于此。研究怎样使学生掌握好基本的数量关系，就要注重对一步应用题教学的研究。学生学习一步应用题是在低、中年级，这时学生年龄小，他们容易接受直观的东西，而不容易接受抽象的东西。所以在教学中，教师要充分运用直观教学，通过学生动手、动口、动脑，在获得大量感性知识的基础上，再通过抽象、概括上升到理性认识。

如果在建立每一种数量关系时，都能使学生透彻地理解，牢固地掌握，那么就为多步应用题的教学打下良好的基础。

此外，人们在工作和学习中，把一些常见的数量关系概括成关系式，如：单价×数量=总价、速度×时间=路程、工作效率×工作时间=工作总量、亩产量×亩数=总产量，应使学生在理解的基础上熟记，这对学生掌握数量关系及寻找应用题的解题线索都是有好处的。 再有，对一些名词术语的含意也要使学生很好地掌握。如：和、差、积、商的意义，提高、提高到、提高了、增加、减少、扩大、缩小等的意义。否则会在分析数量关系时造成错误。

3.2掌握方程问题的分析方法是解题的关键

学生掌握了基本的数量关系后，能否顺利地解答问题，关键在于是否掌握了方程问题的分析方法。可以这样说，方程问题教学成败的标志也在于此。 （一）常用的分析方法 1.综合法[9]

综合法的解题思路是由已知条件出发转向问题的分析方法。其分析方法是：选择两个已知数量，提出可以解决的问题；再选择两个已知数量（所求出的数量这时就成为已知数量），又提出可以解决的问题；这样逐步推导，直到求出题目的问题为止。 2.分析法[9]

分析法的解题思路是从应用题的问题入手，根据数量关系，找出解这个问题所需要的条件。这些条件中有的可能是已知的，有的是未知的，再把未知的条件做为中间问题，找出解这个中间问题所需要的条件，这样逐步推理，直到所需要的条件都能从题目中找到为止。 （二）应用实例

以上这两种分析方法不是孤立的，而是相互关联的。由条件入手分析时，要考虑题目的问题，否则推理会失去方向；由问题入手分析时，要考虑已知条件，否则提出的问题不能用题目中的已知条件来求得。在分析应用题时，往往是这两种方法结合使用，从已知找到可知，从问题找到需知，这样逐步使问题与已知条件建立起联系，从而达到顺利解题的目的。以下面这道应用题的分析为例，就可以看出两种分析方法结合运用的过程。[10]

例1 小青买4节五号电池，付出8.5元，找回了0.1元．每节五号电池价钱是多少元？ 学生读题后，让他们说出哪些量是已知的，哪个量是未知的，要把哪个量设为x（把每节电池的价钱设为x），它们有什么样的等量关系，在启发学生说出数量间的相等关系后，教师把它板书出来．即：

付出的钱数－买电池的钱数＝找回的钱数 然后教师和学生一起分析：

“这个等量关系中哪些量是已知的？”（在下边注出来．）

“买电池的钱数知道吗？怎么办？”启发学生说出因为买4节电池，每节电池的价钱是x元，所以买电池的钱数就是4x，并注出来，如下： 付出的钱数－买电池的钱数＝找回的钱数

8.5 4x 0.1 然后让学生按照上面找出的数量间的相等关系列出方程： 8.5－4x＝0.1

并解出来，让学生着重说一说在解的过程中要把2x看作一个整体，解完之后再进行检验． 之后，教师提出：

“这道题除了根据上面的等量关系列方程外，还可以找出什么样的相等关系来列方程？” 教师根据学生的回答，板书出：

买电池的钱数＋找回的钱数＝付出的钱数 付出的钱数－找回的钱数＝买电池的钱数

例2 商店原来有一些饺子粉，每袋5千克，卖出7袋以后，还剩40千克．这个商店原来有多少千克饺子粉？

让学生读题后，教师说明：“在前面列方程解简单应用题时，都是先把未知数设为x，再按照题意找出数量间的相等关系，然后列出含有未知数x的等式．下面我们就来找改编后的这道例题的等量关系．我们先来看看例题和复习题在数量关系上有什么不同．”（引导学生说出例题中卖出饺子粉的重量没有直接给出，要用“每袋的重量×卖出的袋数”来表示．） 随着学生的回答，教师把复习题的等量关系改成： 原有的重量－每袋的重量×卖出的袋数＝剩下的重量

然后，让学生说出这个等量关系中哪些量是已知的，哪个量是未知的，把未知数设为x，并列出方程：x－5×7＝40．

让学生解答．解答之后，提问：

“用方程解答后，怎么知道答案是否正确呢？”

说明用方程解答应用题也要检验答案对不对，检验时，要先检查方程是不是符合题意，然后再把解得的x的值代入原方程，看解得对不对之后，让学生用上面的方法检验例1的答案对不对，并指名说一说怎样检验的。

然后引导学生将这三个表示数量关系的等式进行比较，使学生明确前两个的思路比较顺；第三个和算术解法的思路是一样的，不太顺． 3.2.解决方程问题的一些技巧 3.21.巧设未知数

未知数是列方程解应用题的重要一环。如果未知数设得巧妙。解决题方便快捷，如果未知数设得不好解题运算就会变得复杂 （1）间接设未知数[4]

例1 国家规定存款利息的纳税率是：利息税=利息×20%，储户取款时由银行代扣代收。若银行一年定期存储的年利率为2.25%。某储户一年取出一年到期的本金和利息时，扣除了利息税36元。则银行向该储户付的现金是多少元？ 分析：本题间接设未知数容易列出方程

设：该储户付的的本金为x元，根据题意可得 ×20%x=36 解得x=8000

则银行向该储户付的现金为8000(1+2.25%)-36=8144(元) (2) 少设未知数[4]

例2. 某公司购进新款服装200件,以每件143元的价格卖出500件.利润率为30%.因为季节关系.剩余的以进价的60%卖出.则这200件衣服共获利多少钱?

分析:先卖出的服装获利多少元和后卖出的服装亏本多少元是两个未知数,只设一个未知数容易解答.

设:这种服装每件进价为x元.根据题意可得 150×143-150x=150x×

解得x=110

故先卖出的150件共获利150×110×0.3=49509(元),后卖的50件亏本150×110×(1-160%)=2200(元).合计获利49509-2200=2750(元) (3)分步设未知数

例3.正在修建的某段高速公路要罩标,现在有甲,乙两个工程队.若两队合作此项工程24天可以完成.需要用费120万元.若甲单独做了20天后,剩下的工程由乙队做,还需要40天才完成.这样需用费110万元,问:

(1) 甲,乙两队单独完成此项工程,各需要多少天? (2) 甲,乙两队单独完成此项工程,各需要多少万元? 分析:按天数和费用分步设未知数容易获解。

设： 甲、乙两队单独完成次向工程分别需要x天、y天。根据题意得方程组： + =1 + =1 解得x=30 y=120

(2)甲，乙两队单独完成此项工程，分别需费用m万元、n万元。根据题意得方程组：

+ ×24=120 ×20+ ×40=110 解得m=150 n=60

3.22. 寻找等量关系的技巧

列方程解应用题的关键是确定等量关系。那么，解题时应如何寻找等量关系呢？下面告诉同学们几种常见的方法

1．从题中反映的基本数量关系确定等量关系。 任何一道应用题，都可以根据条件和问题写出一个基本数量关系式，这个基本数量关系式就是题中的等量关系。

如“商店原来有一些饺子粉，又运来12袋，每袋5千克，卖出7袋以后，还剩40千克。这个商店原来有多少千克饺子粉？”根据题目叙述顺序我们很容易写出：原有的重量＋运来的重量－卖出的重量＝剩下的重量。

2．紧扣几何形体周长、面积和体积公式确定等量关系。 同学们在学习几何知识时，已经掌握了平面图形的周长和面积的计算公式以及立体图形的表面积和体积的计算公式。这些公式，是等量关系的具体化。

如“一个三角形的面积是100平方厘米，它的底是25厘米，高是多少厘米？”我们可以根据三角形面积计算公式直接列出方程。 3．根据常见的数量关系确定等量关系。

在三年级的时候，同学们已经学习了乘、除法应用题中常见的数量关系。如，单价×数量＝总价，单产量×数量＝总产量，速度×时间＝路程，工效×时间＝工作总量等。这些常见的基本数量关系，就是等量关系。 4．抓住关键句子确定等量关系。

好多应用题都有体现数量关系的句子。解题时只要找出这种关键语句，正确理解关键语句的含义，就能确定等量关系。 如，根据“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”可知：舞蹈队的人数×3＋15＝合唱队的人数。根据“果园里桃树和杏树一共有180棵”可知：桃树的棵数＋杏树的棵树＝180棵。 5．借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化，使隐蔽的数量关系明朗化。对于较复杂的题目，同学们可借助线段图找等量关系。

如“有两袋大米，甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍。如果再往乙袋里装5千克大米，两袋就一样重了。原来两袋大米各有多少千克？” 根据题意，可以画出下面的线段图。

从图中很容易得出：甲袋重量－乙袋重量＝5千克。 4.培养学生列方程解决几何、函数等问题 4.1.方程思想在几何问题中的应用

方程是解决数学问题的重要工具，几何计算、几何证明也常通过方程解决。现就构建方程解几何问题举例如下。

1．如图，已知在RtΔABC中，∠C=90o,AD是ΔABC的角平分线，点E在AB上，DE∥CA，如果CD=12，BD=15，求AE、BE的长。[8] 解：设AE=X，BE=Y

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2，

又DE∥AC，∴∠1=3，∴∠2=∠3，∴DE=AE=X ∵ED∥AC，∠C=90o，∴∠EDB=90o，∴ED2=DE2=EB2 即X2+152=Y2 ①

又∵ED∥AC，∴ = ，∴ = ② 解①②组成的方程组，得 X=20

Y=25 ∴AE=20，EB=25 评注：借助“勾股定理”和“平行线分线段成比例定理”，建立方程组，是解决本例的关键。 例5．如图，已知：ΔABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB， P在AC上，Q点在BC上。 （1）当ΔPQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长。 （2）当ΔPQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长。

（3）试问：在AB上是否存在点M，使得ΔPQM为等腰直角三角形？若不存在，说明理由；若存在请求出PQ的长。(福州市中考)

C

P Q

A B 解：(1)∵S△PQC=S四边形PABQ， ∴S△PQC ：S△ABC=1：2

∵PQ∥AB ，∴△PQC∽△ABC，∴S△PQC ：S△ABC=(PC：AC)2=1：2 ∴ PC2=42× ∴PC=2√ 2

(2)∵C△PQC=C四边形PABQ，∴PC+CQ=PA+AB+QB= C△ABC=6， ∵PQ∥AB，∴ = 即 = ∴CP=

(3)当∠MPQ=90゜，PM=PQ时，如图(a)，由勾股定理逆定理得∠C=90゜ ∴△ABC的AB上的高为 。设PM=PQ=X

∵PQ∥AB，∴△CPQ∽△CAB，∴ = ,得X= 即PQ=

同理，当∠M′QP=90°,QP=QM′时，PQ=

当∠PMQ=90°，MP=MQ时，如图(b)，由等腰三角直角三角形得M到PQ的距离为1/2PQ，设PQ=X，∵PQ∥AB ∴△CPQ∽△CAB， ∴ = 解得X= ，即PQ=

评注：运用相似三角形的性质建立方程(组)是常用的一种方法。 4.2.函数与方程的思想方法

函数的思想,是运用运动和变化的观点,结合对应的思想,去分析和研究数学问题中的数量关系,建立函数关系和构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题得到解决.

方程的思想与函数的思想密切相关。对于函数y=f(x),当y= 时,就转化为方程f(x)=0,也可以把函数看作二元方程,函数与方程的这种转化关系十分重要.[5]

例1 某旅游点有50 辆自行车供游客租赁使用,管理这些自行车的费用为每日

115 元。 根据经验,若每辆自行车的日租金不超过6 元,则自行车可以全部租出,若超过6 元,则每超过1 元,租不出去的自行车就增加3 辆. 为了便于计算,每辆自行车的日租金x(元) 只取整数,并且要求出租自行车一日总收入必须高于这一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净收入( 即一日中出租自行车的总收入减去管理费用的所得) （1）求函数y=f(x)的解析式及其定义域,

（2）试问当每辆自行车的日租金定为多少元时，才能使一日的净收入最多？ 解：( 1) 当x≤6 时,y=50x- 115

由y>0及x为整数可知： 3≤x≤6,x∈N

当x>6时,y= [50- 3 ( x- 6)]x- 115, 令[50- 3( x- 6)x]x- 115>0, 有3x2- 68x+115<0

此不等式的整数解为2≤x≤20( x∈N) ∴ 6 故

定义域为{x| 3≤x≤20,x∈N}

( 2) 对于y=50x- 115( 3≤x≤6,x∈N), 显然当x=6时, ymax =185(元)

对于y=- 3x2+68x-115=- ( x- ) 2+ ( 6

当x=11 时,y=270 (元) 当x=12 时,y=269 （元）

综上所述当每辆自行车日租金定在11元时,才能使一日的净收入最高。 与函数概念有密切联系的是方程。因此，方程的思想与函数的思想也是密切相关的如果变量的函数关系是解析式的形式表示出来的，那么则可把解析式看作是一个方程，通过解方程的手段，或对方程本身的研究，使问题得到解决，这种思想便是方程的思想。 例2 抛物线y=8x2+2kx+n-2的顶点P在x轴上，与y轴交于点Q，且PQ= 求此抛物线的函数解析式及其顶点坐标

分析： 本题需构造关于k、n的方程组是显然的，但题中顶点P在x轴上，与y轴交于点Q的等量关系是隐藏的，应转化为令y=0，得到一元二次方程根的判别式等于零.由草图易联想到等量关系OP2+OQ2=PQ2,但如何用含k、n的代数式表示OP、OQ是本题难点，由抛物线的常数项为n-2知，抛物线与y轴交于点Q的纵坐标为n-2(n-2>0),推出OQ=n-2.由抛物线顶点P横坐标为 ，得OP= ，再由这两个代数式可根据勾股定理列方程. 解：根据题意得

消去k2得8(n-2)2+(n-2)-34解得

∴抛物线为y=8x2+8x+2，顶点为（- ,0），或抛物线为y=8x2-8x+2,顶点为（ ,0） 因此，函数与方程是中学数学的重要内容，也是处理许多数学问题时经常要用的基本思想方法! 函数思想，就是对于客观事物运动变化过程中各个变量之间的相互关系，通过函数的形式把它们表示出来并加以研究，从而使问题获得解决! 运用方程思想解题，就是把问题转化为利用方程或方程组求解的方

法。其中的关键是利用相等关系构造方程，经过数学变换，把非方程的问题转化为方程的形

式，并通过解方程的手段或对方程有关性质的确定，使原问题得到解决，这就是“方程思想”。方程思想在中学数学中应用广泛，使用方程思想分析处理问题，思路清晰，灵活简便 方程教学作为一个难点，教师不要急于求成，要牢抓基础，帮助学生牢固地掌握基本的数量关系，有了这个基础我们才可以有效的分析方程问题，才可以有效的找出里面的等量关系解决方程问题[7]。对水平不一的的学生我们应该选择不同的教学方法。教学形式更应该讲究。可以通过分层次教学，分组教学，个别化教学。充分调动学生的学习主动性，创造良好的课堂教学氛围，形成成功的激励机制，确保每一个学生都有所进步。

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