第九知识块 统计、概率（第1课时-第3课时）(2)

第2课时 总体分布的估计、总体特征数的估计

一、填空题

1．(南京市高三调研)某学校为了解该校600名男生的百米成绩(单位：秒)随机选择了50名

学生进行调查．如图是这50名学生百米成绩的频率分布直方图．根据样本的频率分布，估计这600名学生中成绩在[13,15)(单位：秒)内的人数大约 .

解析：因为在50名学生中成绩在[13,15)内的频率为1×(0.02+0.18)=0.2，所以这600名 学生中成绩在[13,15)内的学生大约有600×0.2=120(人)． 答案：120人

2．(苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查)某中学部分学生参加市高中数学竞赛取得

了优异成绩，指导老师统计了所有参赛同学的成绩(成绩都为整数，试题满分120分)， 并且绘制了“频数分布直方图”(如图)，如果90分以上(含90分)获奖，那么该校参赛 学生的获奖率为________．

解析：由题意得获奖率P＝

7 16

7＋5＋2147＝＝. 4＋6＋8＋7＋5＋23216

答案：

3．(江苏省高考名校联考信息优化卷)

如图是根据2008年北京奥运会上甲、乙两名蓝球运动员每场比赛的得分情况制作成的 茎叶图，则甲、乙两名运动员中发挥得比较稳定的一名运动员是 .

解析：根据平均数和方差公式可求得，甲的平均数为33，方差为127.23；乙的平均数 为27，方差为148.92，故甲运动员发挥比较稳定． 答案：甲

4．(江苏省高考名校联考信息优化卷)一个容量为40的样本数据，分组后的组距与频数

如下：[10,20)，x；[20,30),3；[30,40),4；[40,50),5；[50,60),4；[60,70)，y.又知在[10,30) 上的频率为0.25，则y的值为________．

解析：由于[10,30)的频数为x＋3＝40×0.25＝10，得x＝7，又因为 x＋3＋4＋5＋4＋y＝40，得y＝17.

答案：17

5． (江苏省高考命题研究专家原创卷)

某校从参加高三年级期中考试的学生中抽出60名学生，并统计了他们的物理成绩(成绩 均为整数且满分为100分)，把其中不低于50分的分成五段[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90)，[90,100]后画出如图所示的部分频率分布直方图．则物理成绩低于50分的学生 人数与及格的学生的物理平均成绩分别为 和 .

解析：因为各组的频率和等于1，所以由频率分布直方图得低于50分的频率为 f1=1-(0.015×2+0.03+0.025+0.005)×10=0.1.又抽出的学生共有60名，所以成绩低于

50分的人数为60×0.1=6(人)．由题意得[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]四组的人

数分别为9,18,15,3.又四组的组中值分别为65,75,85,95，所以及格的学生的物理平均 成绩约为 答案：677.7

6. (2010·山东济南模拟)甲、乙两位同学某学科的连续五次考试成绩用茎叶图表示如上图，

则平均分数较高的是________，成绩较为稳定的是________．

68＋69＋70＋71＋72

解析：甲同学的成绩为68,69,70,71,72，x甲＝＝70；

5乙同学的成绩为63,68,69,69,71，x乙＝

63＋68＋69＋69＋71

＝68.

5

∴x甲＞x乙，甲平均分数较高，从茎叶图看甲同学的成绩集中于平均值附近，而乙同 学的成绩与平均值差距较大，故甲成绩较为稳定． 答案：甲 甲

7． (江苏省高考名校信优化卷)某地区为了解中学生的日平均睡眠时间(单位：h)，随机

选择了n位中学生进行调查，根据所得数据画出样本的频率分布直方图如图所示，且 从左到右的第1个、第4个、第2个、第3个小长方形的面积依次构成公差为0.1的等 差数列，又第一小组的频数是10，则n＝________.

解析：设第1个小长方形的面积为S，则4个小长方形的面积之和为4S＋

4×3

×0.1＝1， 2

4×3

×0.1， 2

由题意知，4S＋

10

∴S＝0.1，又＝0.1，∴n＝100.

n答案：100

二、解答题

8． (改编题)在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月

1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频率分布直方图(如图)，已知从左到右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12，请解答下列问题：

(1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数最多？有多少件？

(3)经过评比，第四组和第六组分别有10件，2件作品获奖，问这两组哪组获奖率较高？ 解：(1)依题意知第三组的频率为

41

＝，

2＋3＋4＋6＋4＋15

12

＝60(件)． 15

又∵第三组的频数为12，∴本次活动的参评作品数为

(2)根据频率分布直方图，可以看出第四组上交的作品数量最多，共有 60×6

＝18(件)．

2＋3＋4＋6＋4＋1

1051

(3)第四组的获奖率是＝，第六组上交的作品数量为60×＝3(件)

1892＋3＋4＋6＋4＋126

∴第六组的获奖率为＝，显然第六组的获奖率较高．

39

9． 某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分情况如下：

甲的得分：12,15,24,25,31,31,36,36,37,39,44,49,50； 乙的得分：8,13,14,16,23,26,28,33,38,39,59. (1)制作茎叶图，并对两名运动员的成绩进行比较；

(2)计算上述两组数据的平均数和方差，并比较两名运动员的成绩和稳定性；

(3)能否说明甲的成绩一定比乙好，为什么？ 解：(1)制作茎叶图如下：

从茎叶图上可看出，甲运动员发挥比较稳定，总体得分情况比乙好． (2)x甲＝33，s2甲≈127.23，x乙＝27，s2乙≈199.09，∴x甲>x乙，s2甲

(3)不能说甲的水平一定比乙好，因为上述是甲、乙某赛季的得分情况，用样本估计总体也有一定的偶然性，并不能说一定准确反映总体情况．

10．从高三学生中抽取50名同学参加数学竞赛，成绩的分组及各组的频数如下：(单位：分)

[40,50),2；[50,60),3；[60,70),10；[70,80),15；[80,90),12；[90,100]，8. (1)列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布直方图； (3)估计成绩在[60,90)分的学生比例；

(4)估计成绩在85分以下的学生比例． 解：(1)频率分布表如下：

成绩分组 [40,50) [50,60) [60,70) [70,80) 频数 2 3 10 15 频率 0.04 0.06 0.20 0.30 [80,90) [90,100] 合 计 12 8 50 0.24 0.16 1.00

(2)频率分布直方图如上图所示：

(3)成绩在[60,90)的学生比例即为学生成绩在[60,90)的频率， 即为(0.20+0.30+0.24)×100%=74%.

(4)成绩在85分以下的学生比例即为学生成绩不足85分的频率．设相应的频率为b. 由 ，故b=0.72. 估计成绩在85分以下的学生约占72%.

1． 容量为100的样本拆分为10组，若前7组频率之和为0.79，而剩下的三组的频数成

等比数列，且其公比不为1，则剩下的三组频数最大的一组的频率是________．

解析：设这三组频数依次为a，ap，ap2(a，p∈N*且p≠1)， 由题意得a＋ap＋ap2＝21，∴1＋p＋p2是21大于3的约数， ∴1＋p＋p2＝21或1＋p＋p2＝7，得p＝4或p＝2.

当p＝4时，频数最大值为16，频率为0.16.当p＝2时，频数最大值为12，频率为0.12. 答案：0.12或0.16

2． 为了了解高一学生的体能情况，某校抽取部分学生进行一分钟跳绳次数测试，将所得

数据整理后，画出频率分布直方图(如图所示)，图中从左到右各小长方形面积之比为2∶4∶17∶15∶9∶3，第二小组频数为12.

(1)第二小组的频率是多少？样本容量是多少？

(2)若次数在110以上(含110次)为达标，试估计该学校全体高一学生的达标率是多少？ (3)在这次测试中，学生跳绳次数的中位数落在哪个小组内？请说明理由．

解：(1)由于频率分布直方图以面积的形式反映了数据落在各小组内的频率大小，因此第二小组的频率为：

4

＝0.08.

2＋4＋17＋15＋9＋3

第二小组频数第二小组频数12

又因为频率＝，所以样本容量＝＝＝150.

样本容量第二小组频率0.0817＋15＋9＋3

(2)由图可估计该学校高一学生的达标率约为×100%＝88%.

2＋4＋17＋15＋9＋3(3)由已知可得各小组的频数依次为6,12,51,45,27,9，所以前三组的频数之和为69，前四组的频数之和为114，所以跳绳次数的中位数落在第四小组内．

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