【名校精品解析系列】2015年1月名校试题精品解析分类汇编第三期：G单元 立体几何

G 单元 立体几何

目录

G 单元 立体几何 (1)

G1 空间几何体的结构 (1)

G2 空间几何体的三视图和直观图 (2)

G3 平面的基本性质、空间两条直线 (18)

G4 空间中的平行关系 (18)

G5 空间中的垂直关系 (30)

G6 三垂线定理 (59)

G7 棱柱与棱锥 (60)

G8 多面体与球 (62)

G9 空间向量及运算 (67)

G10 空间向量解决线面位置关系 (68)

G11 空间角与距离的求法 (72)

G12 单元综合 (90)

G1 空间几何体的结构

【数学（文）卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】6.如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A BC D -中，E 是棱BC 上的一点，则三棱锥111D B C E -的体积等于

A. 13

B. 12

C. 6

D. 16 【知识点】锥体的体积求法. G1 【答案】【解析】D 解析：111111111211111113326D B C E E B C D B C D V V S CC --?==

?=???=, 故选D.

【思路点拨】由等体积转化法求解.

【数学卷·2015届江苏省盐城中学高三1月月考（201501）】6.已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为 ▲ ．

【知识点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积.G1

【答案】【解析】π2 解析：根据题意，圆柱的底面半径r=1，母线长l=2r=2 ∴圆柱的体积为V=Sl=πr 2l=π×12

×2=2π．

故答案为：2π．

【思路点拨】根据题意，求出圆柱的母线长l ，再求圆柱的体积V ．

G2 空间几何体的三视图和直观图

【数学（理）卷·2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】6．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为

A

．3π2B

．πC ．3π2 D

．5π2

【知识点】三视图G2

【答案】【解析】A

解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为211122

ππ?=

，侧面面积为21222ππ?+=

3π2，则选A. 【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.

【数学（理）卷·2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】6．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积和体积分别是 第6题图

A ．24+26和40

B ．24+26和72

C ．64+26和40

D ．50+26和72

【知识点】三视图 G2

【答案】【解析】C 解析：由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，所以其体积为1

234344403

??+???=，表面积为：(

)1111324224434354642222

?+??+??+??+????=+ C. 【思路点拨】由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，即可求得其体积以及表面积.

【数学（理）卷·2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考 （201501）】4．右图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积

为

, 则该几何体的表面积是 （ ）

A ．

2 0+8 B ．

2 4+8 C ．8 D ．16

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2

【答案】A

俯视图 正视图 侧视图

【数学（文）卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】9.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体最长的棱长等于

A. B. C. D.

【知识点】几何体的三视图的应用. G2

【答案】【解析】C 解析：由三视图可知此几何体的直观图如下：

所以其最长的棱长DB= C.

【思路点拨】由几何体的三视图得此几何体的直观图及相关数据，从而该多面体最长的棱长.

【数学（文）卷·2015届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（201501）word版】7若某多面体的三视图如右图所示，则此外接球的表面积是

A．6 B

C．2πD．3π

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2

【答案】D

【解析】三视图复原几何体如图：

是正方体去掉一个角后的几何体，

它的外接球就是展开为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度， 体对角线的长度为：

， 所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3π． 【思路点拨】画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体，如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积．

【数学（文）卷·2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】15．某几何体的三视图如图所示，其中俯视图是半圆，则该几何体的表面积为 ▲ ．

【知识点】三视图G2

【答案】

【解析】3π2

解析：由三视图可知该几何体为半个圆锥，其底面面积为211122

ππ

?=，侧面面积为第15题图

212224

ππ?+=

3π2. 【思路点拨】由三视图求表面积与体积时，可先通过三视图分析原几何体的特征，再进行求值.

【数学（文）卷·2015届湖北省武汉市武昌区高三元月调考（201501）】3．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为

A ．12

B ．24

C ．40

D ．72

【知识点】三视图 G2

【答案】【解析】C 解析：由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，所以其体积为1234344403??+???=.所以选C.

【思路点拨】由三视图可得该几何体是底面为边长分别为2,3,4的正方体，上面为底面边长为3,4高为4的四棱锥，即可求得其体积.

【数学（文）卷·2015届河北省衡水中学高三上学期第四次联考 （201501）】4．右图是一个几何体的正（ 主） 视图和侧（ 左） 视图, 其俯视图是面积

为

, 则该几何体的表面积是 （ ）

A ．

2 0+8 B ．

2 4+8

C ．8

D ．16 俯视图

正视图 侧视图

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2

12.【数学理卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版(自动保存的)】三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .

【知识点】三视图的应用. G2

【答案】【解析】3 解析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长

2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于1

2133 2

创?.

【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积.

13.【数学理卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）word版(自动保存的)】

三棱柱的三视图如图所示，则该棱柱的体积等于 .

【知识点】三视图的应用. G2

【答案】【解析】3 解析：由三视图可知，此三棱柱是直三棱柱，其高为3，底面是底边长2，底边上的高为1的等腰三角形，所以该棱柱的体积等于1

21332创?.

【思路点拨】由三视图得此三棱柱是直三棱柱，且三棱柱的高和底面等腰三角形的底边长及高的值，从而求得此三棱柱的体积.

【数学理卷·2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word 版】7．已知三棱锥

的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为

A ．

43 B ．23 C ．43 D ．1

【知识点】三视图 G2

【答案】C 【解析】解析：边长为1

1324=.故选择C.

【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案．

【数学理卷·2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word 版】7．已知三棱锥

的底面是边长为1的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为

A ．

43 B ．23 C ．43 D ．1

【知识点】三视图 G2

【答案】C 【解析】解析：边长为1

13224

?=.故选择C. 【思路点拨】由题意可得侧视图为三角形，且边长为边长为1的正三角形的高线，高等于正视图的高，分别求解代入三角形的面积公式可得答案．

【数学理卷·2015届湖北省襄阳市高三第一次调研考试（201501）word 版】6．若某多面体的三视图如右图所示，则此多面体外接球的表面积是

A ．6

B ．4

1418+ C ．2π D ．3π

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2

【答案】D

【解析】三视图复原几何体如图：

是正方体去掉一个角后的几何体，

它的外接球就是展开为正方体的外接球，外接球的直径就是正方体的体对角线的长度，

体对角线的长度为：，

所以外接球的半径为：；所以外接球的表面积为：=3π．

【思路点拨】画出三视图复原后几何体是正方体去掉一个角后的几何体，如图，推断出几何体的外接球的直径，直接求出几何体的外接球的表面积．

【数学理卷·2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】4、已知某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是（） A、48cm3 B、78cm3 C、88cm3 D、98cm3

【知识点】三视图G2

【答案】【解析】D

解析：由三视图可知几何体为一个长方体截取一个角后剩余的几何体，所以其体积为

6×3×6-11

453

32

????=98cm，所以选D.

.

【思路点拨】由三视图求体积，通常先判断结合体特征再计算.

【数学理卷·2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】4、已知某几何体的三视图（单位：cm ）如图所示，则该几何体的体积是 （ ）

A 、48cm 3

B 、78cm 3

C 、88cm 3

D 、98cm

3

【知识点】三视图G2

【答案】【解析】D

解析：由三视图可知几何体为一个长方体截取一个角后剩余的几何体，所以其体积为 6×3×6-11

45332

????=98cm ，所以选D. .

【思路点拨】由三视图求体积，通常先判断结合体特征再计算.

【数学理卷·2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】9. 如图为某几何体的三视图，则该几何体的表面积为

A ．510+ B. 210+ C. 6226++ D. 626++

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C

【解析】根据三视图还原几何体S= (12)2

2

+?

+

1

22

2

??+

1

21

2

??

+

1

2

2

?

+

1

2

?=6

2

2

6+

+。

【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学理卷·2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】10．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（）

A.

3

160

B.160

C.2

32

64+ D.60

【知识点】三视图G2

【答案】【解析】A解析：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故8432

V=?=

直三棱柱

，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，

【数学文卷·2015届湖南省长郡中学高三第五次月考（201501）word版】4．已知某几何（第9题图）

正视图侧视图

俯视图

体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积是

A．108 cm B．100 cm3C．92 cm3D．84 cm3

【知识点】三视图 G2

【答案】B【解析】解析：如图所示，原几何体为：

一个长宽高分别为636

，，的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，

高为4．因此该几何体的体积

11

3663441088100

32

=??-????=-=

.故选择B.

【思路点拨】如图所示，原几何体为：一个长宽高分别为6，3，6的长方体砍去一个三棱锥，底面为直角边分别为3，4直角三角形，高为4．利用长方体与三棱锥的体积计算公式就看得出．

【数学文卷·2015届河北省衡水市冀州中学高三上学期第四次月考（201501）】14．如图是一个无盖器皿的三视图，正视图、侧视图和俯视图

中的正方形边长为2，正视图、侧视图中的虚线都是半圆，

则该器皿的表面积是

【知识点】三视图G2

【答案】【解析】24

π+

解析：该器皿的表面积可分为两部分：去掉一个圆的正方体的表面积1s 和半球的表面积2s ，

21622124s ππ=??-?=- 2214122

s ππ=??= ，故1224s s s π=+=+ 【思路点拨】由三视图求表面积与体积，关键是正确分析原图形的几何特征.

【数学文卷·2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A ．510+ B. 210+ C.6226++ D. 626++

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2

【答案】C

【解析】根据三视图还原几何体S= (12)22+?+ 1222??+1212??

+122

?

+ 12

?=6226++。 【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积 再求和。

【数学文卷·2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A ．510+ B. 210+ C.6226++ D. 626++ （第9题图） 正视图 侧视图

俯视图

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C

【解析】根据三视图还原几何体S= (12)2

2

+?

+

1

22

2

??+

1

21

2

??

+

1

2

2

?

+

1

2

?=6

2

2

6+

+。

【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学文卷·2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．5

10+ B. 2

10+

C.6

2

2

6+

+ D. 6

2

6+

+

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2

【答案】C

【解析】根据三视图还原几何体S=

(12)2

2

+?

+

1

22

2

??+

1

21

2

??

+

1

2

2

?+

（第9题图）

正视图侧视图

俯视图

（第9题图）

正视图侧视图

俯视图

12

?=6226++。 【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积 再求和。

【数学文卷·2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A ．510+ B. 210+ C.6226++ D. 626++

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2

【答案】C

【解析】根据三视图还原几何体S= (12)22+?+ 1222??+1212??

+122

?

+ 12

?=6226++。 【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积 再求和。

【数学文卷·2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A ．510+ B. 210+ C.6226++ D. 626++ （第9题图） 正视图 侧视图

俯视图

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2【答案】C

【解析】根据三视图还原几何体S= (12)2

2

+?

+

1

22

2

??+

1

21

2

??

+

1

2

2

?

+

1

2

?=6

2

2

6+

+。

【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积再求和。

【数学文卷·2015届山西省康杰中学等四校高三第二次联考（201501）】11. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为

A．5

10+ B. 2

10+

C.6

2

2

6+

+ D. 6

2

6+

+

【知识点】空间几何体的三视图和直观图G2

【答案】C

【解析】根据三视图还原几何体S=

(12)2

2

+?

+

1

22

2

??+

1

21

2

??

+

1

2

2

?+

（第9题图）

正视图侧视图

俯视图

（第9题图）

正视图侧视图

俯视图

12

?=6226++。 【思路点拨】先还原几何体再分别求出各个面的面积 再求和。

【数学文卷·2015届云南省部分名校高三1月份统一考试（201501）】9．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积等于（ ）

A. B. C. D.

【知识点】三视图G2 【答案】【解析】A 解析：由已知中的三视图，我们可以判断该几何体是由一个直三棱柱和一个四棱锥组成，三棱柱的底面是一个直角边长为4的直角三角形，高为4，四棱锥的底面是一个以4为边长的正方形，高为4，分别求出棱柱和棱锥的体积，其中直三棱的底面为左视图，高为8-4=4，故8432V =?=直三棱柱，四棱锥的底面为边长为4的正方形，高为4，

G3 平面的基本性质、空间两条直线

G4 空间中的平行关系

【数学（理）卷·2015届湖北省荆门市高三元月调研考试（201501）】18．（本小题满分12分）

如图，在四棱锥S ABCD -中，底面ABCD 是正方形，SA ⊥底面ABCD ，SA AB =, 点M 是SD 的中点，AN SC ⊥，且交SC 于点N ．

（Ⅰ）求证://SB 平面ACM ； 3160323233523

（Ⅱ）求证：平面SAC ⊥平面AMN ；

（Ⅲ）求二面角D AC M --的余弦值．

【知识点】平行关系 垂直关系 二面角G4 G5 G11

【答案】【解析】

解析：方法一：（Ⅰ）证明：连结BD 交AC 于E ，连结ME ．

ABCD Q 是正方形，∴ E 是BD 的中点．

M Q 是SD 的中点，∴ME 是△DSB 的中位线．

∴//ME SB ． ………………………2分 又ME ?平面ACM ，SB ?平面ACM ，

∴SB //平面ACM ． ………………………4分 （Ⅱ）证明：由条件有,,DC SA DC DA ⊥⊥

∴ DC ⊥平面SAD ，且AM ?平面,SAD ∴.AM DC ⊥

又∵ ,SA AD M =是SD 的中点，∴.AM SD ⊥

∴AM ⊥平面.SDC SC ?平面,SDC ∴.SC AM ⊥ ……………6分

由已知SC AN ⊥ ∴SC ⊥平面.AMN

又SC ?平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面.AMN ……………………8分 （Ⅲ）取AD 中点F ，则MF //SA ．作FQ AC ⊥于Q ，连结MQ ．

∵SA ⊥底面ABCD ，∴MF ⊥底面ABCD ．

∴FQ 为MQ 在平面ABCD 内的射影．

∵FQ AC ⊥,∴MQ ⊥AC ． ∴FQM ∠为二面角D AC M --的平面角． ………………………10分

设SA AB a ==，在Rt MFQ ?

中，11,2224

a MF SA FQ DE a ====，

∴tan 4a

FQM ∠== 第18题图

∴ 二面角D AC M --

的余弦的大小为3． ………………………12分

方法二：（II ）如图，以A 为坐标原点，建立空间直角坐标系O xyz -，

由SA AB =,可设1AB AD AS ===，则

11(0,0,0),(0,1,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(,0,)22A B C D S M ． Q 11(,0,)22AM =uuu r ， ()1,1,1CS =--uu r ， 11022

AM CS ∴?=-+=uuu r uu r AM CS ∴⊥uuu r uu r ,即有SC AM ⊥…6分 又SC AN ⊥且AN AM A =．

SC ∴⊥平面AMN ． 又SC ?平面,SAC ∴平面SAC ⊥平面AMN ． ………………………8分

（Ⅲ） Q SA ⊥底面ABCD ，∴AS uu r

是平面ABCD 的一个法向量，(0,0,1)AS =u u r ．

设平面ACM 的法向量为(,,)n x y z =, 11(1,1,0),(,0,)22AC AM ==uur uuu r

, 则0,0.AC AM n n ??=???=??r uur r uuu r 即00,1100.22x y x z ++=???++=??, ∴,.y x z x =-??=-? 令1x =-,则(1,1,1)n =-． ……………………10分

cos ,3

||||AS AS AS n n n <>===?uu r r uu r r g uu r r 由作图可知二面角D AC M --为锐二面角 ∴二面角D AC M --

的余弦值为3

． ………………………12分 【思路点拨】证明线面平行于面面垂直通常结合其判定定理进行证明，求二面角时可通过寻求二面角的平面角解答也可以建立空间直角坐标系用空间向量解答.

【数学（文）卷·2015届福建省厦门市高三上学期质检检测（201501）】20.（12分） 如图平面ABCD ⊥平面BCE ，四边形ABCD 为矩形，BC=CE ，点F 为CE 中点.

(1) 证明：AE ∥平面BDF ；

（2）点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PM⊥BE? 若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.

【知识点】空间点，线，面位置关系；线面平行及线面垂直的证明. G4 G5

【答案】【解析】（1）证明：见解析；（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，证明：见解析. 解析：(1)连接AC交BD于O，连接OF.

在△ACE中，∵四边形ABCD 是矩形，∴O为AC中点，又F为EC中点，

∴OF∥AE，

又OFì平面BDF，AE?平面BDF，∴AE∥平面BDF.

（2）当P为AE中点时，有PM⊥BE，以下给予证明.

取BE中点H，连接DP，PH，CH，

∵P为AE中点，H为BE中点，

∴PH∥AB，又AB∥CD，

∴PH∥CD，

∴P、H、C、D四点共面.

∵平面ABCD⊥平面BCE，且平面ABCD I平面BCE=BC，CD⊥BC

∴CD⊥平面BCE，又BEì平面BCE ，

∴CD⊥BE，∵BC=CE，且H为BE中点，∴CH⊥BE

∵CH I CD=C，∴BE⊥平面DPHC，

又PMì平面DPHC，∴BH⊥PM，即PM⊥BE.

【思路点拨】(1)取BD中点O,证明OF∥AE即可；（2）要使PM⊥BE，只需BE⊥平面DCP，

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w63q.html