2019届中考数学专题复习 相似模型（一）（讲义及答案）

相似模型（一）（讲义）

? 课前预习

1. 请证明以下结论：

①如图 1，在△ABC 中，DE∥BC，求证：△ADE∽△ABC． ②如图 2，在△ABC 中，∠B=∠AED，求证：△AED∽△ABC． ③如图 3，在△ABC 中，∠B=∠ACD，求证：△ACD∽△ABC． ④如图 4，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，且 AC∥BD，求证：△AOC∽△BOD． ⑤如图 5，直线 AB，CD 相交于点 O，连接 AC，BD，∠B= ∠C，求证：△AOC∽△DOB． ⑥如图 6，在 Rt△ABC 中，∠BAC=90°，AD⊥BC 于点 D， 求证：△ADB∽△CDA，△ADB∽△CAB．

A A D D B 图 1

A D B 图 3

B A

C E C

E B

图 2

C O C D O A B

C 图 4

A D 图 5

B D 图 6

C

1

? 知识点睛

1. 六种相似基本模型：

A A A

D D E E

D

B C B C B C DE∥BC ∠B=∠AED

∠B?∠ACD A 型 D B C B A

O O A C A D

B

D C

AC∥BD

∠B?∠C

AD 是 Rt△ABC 斜边上的高X 型 母子型

2. 相似、角相等、比例线段间的关系：

角相等判定 角相等

比例线段 相似 性质

比例线段

列方程（或表达边） 比的传递转移

相似往往与 等信息组合搭配起来使用．多个相似之间一般会通过 来转移条件．一般碰到不熟悉的线段间关系时，常需要还原成 来观察和分析． 3. 影子上墙：

、 、 是影子上墙时的三种常见处理方式，它们的实质是构造三角形相似．

D A

G

E F

B C

D D

D H G H

G

G

E F H E F E

F △DEH∽△ABC △DHG∽△ABC △HEF∽△ABC

2

当两个三角形相似且有公共边时， 借助对应边成比例往往可以得到 a2=bc 形式的关系． 例如：“母子型”中 △ABD∽△CBA→AB2=BC·BD △ACD∽△BCA→ △ADB∽△CDA→

? 精讲精练

1. 如图，在△ABC 中，EF∥DC，∠AFE=∠B，AE=6，ED=3，

CD ， ? ． AF=8，则 AC=

BC

A A B E D F E F C B 1 题图 第

C 2 题图 第

D 2. 如图，AB∥CD，线段 BC，AD 相交于点 F，点 E 是线段 AF

上一点且满足∠BEF=∠C，其中 AF=6，DF=3，CF=2，则AE= ．

3. 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，BD=2，

AD=8，则 CD= ，AC= ，BC= ．

A C

B A D

B F 第 3 题图 第 4 题图

4. 如图，在同一平面内，将两个全等的等腰直角三角形 ABC 和

AFG 摆放在一起，A 为公共顶点，∠BAC=∠AGF=90°，它们的斜边长为 2，若△ABC 固定不动，△AFG 绕点 A 旋转，AF， AG 与边 BC 的交点分别为 D，E（点 D 不与点 B 重合，点 E 不与点 C 重合）．

①请写出图中所有的相似三角形 ；

1

②若 BD ? ，则 CE= .

2 D E C G

3

5. 如图，M 为线段 AB 上一点，AE 与 BD 交于点 C，∠DME=

∠A=∠B=α，且 DM 交 AE 于点 F，ME 交 BD 于点 G． （1）写出图中的三对相似三角形；

（2）连接 FG，当 AM=MB 时，求证：△MFG∽△BMG．

A

M B G F C D

E

6. 如图，在矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 相交于点 O，E 为

AD 的中点，连接 BE 交 AC 于点 F，连接 FD．若∠BFA=90°， 给出以下三对三角形：①△BEA

A E D

与△ACD；②△FED 与△DEB；

F ③△CFD 与△ABO．其中相似的有 （填写序号）．

O

B

C 7. 如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，CE⊥AB 于点 E，D 在 AB

4 5 ，则 的延长线上，且∠DCB=∠A，BD:CD=1:2， AE ?

5 △BCD 的面积是（ ） 1 A． 3 B． 5 3

2 C． 3

2 5 D． 3 C

A E B D

4

8. 如图，在 Rt△ABD 中，过点 D 作 CD⊥BD，垂足为 D，连接

BC 交AD 于点E，过点E 作EF⊥BD 于点F，若AB=15，CD=10，则 BF:FD= ．

A

E C

A

N M D

B C D F E

第 8 题图 第 9 题图

9. 如图，在□ABCD 中，E 为 BC 的中点，连接 AE，AC，分别

交 BD 于 M，N，则 BM:DN= ． 10. 如图，直线 l1∥l2，若 AF:FB=2:3，BC:CD=2:1，则

CE:AE= ．

B E G A F B E l2 l1

A G F D C D B C 第 10 题图 第 11 题图

11. 如图，在□ABCD 中，E 是 BA 延长线上一点，CE 分别与 AD，

EG AG EF BF

BD 交于点 G，F．则下列结论：① ? ；② ? ；

GC GD FC FD

FC BF

③ ? ；④ CF 2 ? GF ? EF ．其中正确的是 ． GF FD 12. 如图所示，AB∥CD，AD，BC 交于点 E，过 E 作 EF∥AB 交

EF

BD 于点 F．则下列结论：①△EFD∽△ABD；② BF ? ； CD BD

1 1 1

EF EF FD BF ? 1 ；④ ? ? ．其中正确的 ③ ? ? ? AB CD BD BD AB CD EF

有 ．

A

C

E

B F

D

5

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