2001～2010成考数学试题（文史类）分类题解

成考数学试卷(文史类)题型分类

本人讲授“成考《数学》”时，为使学生更有重点地复习而查阅近十年的成考试题，发现此期间的试题的侧重点变化不是很大，故整理成word文档，提供给学生练习，效果不错。愿本文档对准备成考的学生有所帮助。文档中有阴影的选项是正确答案，稍难的题还在选项下边附有解题提示。

一、集合与简易逻辑

2001年

(1) 设全集M={1,2,3,4,5}，N={2,4,6}，T={4,5,6}，则(M?T)?N是（ ）

(A) {2,4,5,6} (B) {4,5,6} (C) {1,2,3,4,5,6} (D) {2,4,6}

(2) 命题甲：A=B，命题乙：sinA=sinB. 则（ ）

(A) 甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； (B) 甲是乙的充分必要条件；

(C) 甲是乙的必要条件但不是充分条件； (D) 甲是乙的充分条件但不是必要条件。 2002年

（1） 设集合A?{1,2}，集合B?{2,3,5}，则A?B等于（ ）

（A）{2} （B）{1,2,3,5} （C）{1,3} （D）{2,5}

（2） 设甲：x?3，乙：x?5，则（ ）

（A）甲是乙的充分条件但不是必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2003年

（1）设集合M?(x,y)x?y?1，集合N?(x,y)x?y?2，则集合M与N的关系是

（A）M?N=M （B）M?N=? （C）N?M （D）M?N

（9）设甲：k?1，且 b?1；乙：直线y?kx?b与y?x平行。则

（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2004年

（1）设集合M??a,b,c,d?，N??a,b,c?，则集合M?N=

（A）?a,b,c? （B）?d? （C）?a,b,c,d? （D）?

（2）设甲：四边形ABCD是平行四边形 ；乙：四边形ABCD是平行正方，则

（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲是乙的充分必要条件； （D）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件. 2005年

?22??22?2，3，4,5?，Q=?2,4,6,8,10?，则集合P?Q= （1）设集合P=?1，2,3,4,5,6,8,10? （C）?2? （D）?4? 4? （B）?1，（A）?2，（7）设命题甲：k?1，命题乙：直线y?kx与直线y?x?1平行，则

（A）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2006年

0，1，2?，N=?1，2，3?，则集合M?N= （1）设集合M=??1，1? （B）?0，0，1? （D）??1，0，1，2，3? 1，2? （C）??1，（A）?0，（5）设甲：x?1；乙：x?x?0.

1

2

（A）甲是乙的充分条件但不是乙的必要条件； （B）甲是乙的必要条件但不是乙的充分条件； （C）甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2007年

（8）若x、y为实数，设甲：x?y?0；乙：x?0，y?0。则

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2008年

224，6?，B=?1，2，3?，则A?B= （1）设集合A=?2，（A）?4? （B）?1,2,3,4,5,6? （C）?2,4,6? （D）?1,2,3?

（4）设甲：x??6, 乙:sinx?1，则 2（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。 2009年

(1)设集合M={1，2，3}， N={1，3，5}，则M∩N=

(A)φ (B) {1，3} (C) {5} (D) {1，2，3，5} (3)a，b为实数，则a2>b2的充分必要条件为 (A)|a| >|b| (B)a>b (C)a-b 2010年

(1) 设集合M=?x|x??3?， N=?x|x?1?，则M∩N=

(A)R (B) ???,?3]?[1,??) (C) [-3，1] (D) φ (5) 设甲：x??2, 乙:sinx?1，则

（A）甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件； （B）甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件； （C）甲不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件； （D）甲是乙的充分必要条件。

二、不等式和不等式组

2001年

(4) 不等式x?3?5的解集是（ ）

(A) {x|x?2} (B) {x|x??8??或 x?2} (C) {x|x?0} (D) {x|x?2}

?x?3?5?????5>x?3?5???8>x?2????x??8??或 x?2?

2002年

（14） 二次不等式x?3x?2?0的解集为（ ）

（A）{x|x?0} （B）{x|1?x?2}（C）{x|?1?x?2} （D）{x|x?0}

2003年

（5）、不等式|x?1|?2的解集为（ ）

（A）{x|x??3或x?1} （ B）{x|?3?x?1} （C）{x|x??3} （D）{x|x?1}

2004年

（5）不等式x?12?3的解集为

2

2

（A）x12?x?15 （B）x?12?x?12 （C）x9?x?15 （D）xx?15 2005年 （2）不等式

?????????3x?2?7的解集为

4?5x??21（A）(??,3)?(5,+?) （B）(??,3)?[5,+?) （C）(3,5) （D）[3,5)

?3x?2?73x?9?0?x1?3???(3x?9)(5x?25)?0??x?5? ?4?5x??215x?25?0?2??2006年

（2）不等式x?3?1的解集是 （A）x?4?x??2（B）xx??2（C）x2?x?4（D）xx?4

（9）设a,b?R，且a?b，则下列不等式中，一定成立的是

（A）a?b （B）ac?bc(c?0) （C）

2007年

（9）不等式3x?1?1的解集是

22??????????11? （D）a?b?0 ab2?2???（A）R （B）?xx?0???或 x??? （C）?xx?? （D）?x0?x?3?3????2008年

（10）不等式x?2?3的解集是

2?? 3?（A）xx??5或x?1 （B）x?5?x?1 （C）xx??1或x?5 ?（D）x?1?x?5 (由x?2?3??3?x?2?3??1?x?5)

2009年

(5)不等式x2-1>0的解集为

(A) ?x|x?1? (B)?x|x??1? (C)?x|x??1或x?1? (D)?x|?1?x?1?

????????三、指数与对数

2001年

(6) 设a?log0.56.7，b?log24.3，c?log25.6， 则a,b,c的大小关系为（ ） (A) b?c?a (B) a?c?b (C) a?b?c (D) c?a?b

bb?log2xbcxab?log0.5x(a?log0.5x是减函数,x>1时,a为负；b?log2x是增函数，x>1时a为正.故log0.56.7

（6） 设log32?a，则log29等于（ ）

（A）

12 （B） aa3222log392log332??log9??? （C） （D）aa ?2?log2aa233??

3

（10） 已知f(2x)?log24x?10，则f(1)等于（ ） 3141（A）log2 （B） （C）1 （D）2

324x/2?10?log2x?10，f(1)?log2?1?10?log4?2

f(x)?log2222333??（16） 函数y?2003年

2x?1?x1??1的定义域是?xx??1?。?2??0?x?log22?x??1?

22??（2）函数y?5?1的反函数为 （??-??x???）（A）y?log5(1?x), (x?1) （B）y?5 （C）y?log5(x?1), (x?1) （D）y?5x?1x, (???x???) ?1, (???x???)

1?x?y?5x?1??5x?y?1?xlog55?log5(y?1)?x?log5(y?1)??? 按习惯自变量和因变量分别用x和y表示?y?log5(x?1)；定义域：x?1?0,???x?1????????????????（6）设0?x?1，则下列不等式成立的是

2x22（A）log0.5x?log0.5x （B）2x?2 （C）sinx?sinx （D）x?x

2

yy?2xy?2x2y?sinx2y?sinxy?log0.5Xx??y?2x2为增函数?0?x?1?值域(0,2)x2???2>2x，排除（B）；??y?2x为增函数?????值域(1,2)????22?0?x?1?x?x,sinx

5lg255544[logx22=log（?logx2??， lgx?lg2， lgx?lg2，x?2 ] x2?2）lgx4444414542004年

1= 12 （16）64?log2162005年

232?2?133?42364?log?4?log2?4?4?12 ??22??16??（12）设m?0且m?1，如果logm81?2，那么logm3?

4

（A）2006年

121111?111?4 （B） （C） （D） log3?log3?log81??2???mm?m?4442233??（7）下列函数中为偶函数的是

（A）y?2 （B）y?2x （C）y?log2x （D）y?2cosx

（13）对于函数y?3，当x?0时，y的取值范围是

（A）y?1 （B）0?y?1 （C）y?3 （D）0?y?3?

（14）函数f(x)?log3(3x?x)的定义域是

（A）(??,0)?(3,+?) （B）(??,?3)?(0,+?) （C）(0,3) （D）(?3,0)

2xx?3x?x>0?x22?3x<0?0?x?3?

1?2?16?（19）log28?16=?1 ?log28?12l2o3g?2?4?3?log?2?4??3? 42?12007年

（1）函数y?lg的定义域为 （x-1）（A）R （B）xx?0 （C）xx?2 （D）xx?1 ???????1?（2）lg48?lg42???=

?4?031??1?31?2（A）3 （B）2 （C）1 ?lg48?lg42???=lg44?lg442?1=??1=1? （D）0

22?4?????0（5）y?2的图像过点 （A）(?3,) （B）(?3,（15）设a?b?1，则

（A）loga2?logb2 （B）log2a?log2b （C）log0.5a?log0.5b （D）logb0.5?loga0.5

2008年

（3）log24?()0=

（A）9 （B）3 （C）2 （D）1?log24?()0=log222?1=2?1=1?

5

x181) （C）(?3,?8) （D）(?3,??) 6yy?log1.3x①同底异真对数值大小比较： 增函数真(数)大对(数)大，减函数真大对小如.log30.5?log30.4, log0.34?log0.35; ②异底同真对数值大小比较：y?log2x 同性时：左边[点(1,0)的左边]底大对也大，右边[点(1,0)的右边]底大对却小. 异性时：左边减(函数)大而增(函数)小，右边减小而增大. 如log0.40.5>log0.30.5, log0.45log30.5, log45

（6）下列函数中为奇函数的是

（A）y?log3x （B）y?3 （C）y?3x （D）y?3sinx （7）下列函数中，函数值恒大于零的是

（A）y?x ?（B）y?2 （C）y?log2x （D）y?cosx （9）函数y?lgx?3-x的定义域是

（A）（0，∞） （B）（3，∞） （C）(0，3] （D）（?∞，3] [由lgx得x>0，由3-x得x?3，xx?0?xx?3=x0

（11）若a?1，则

（A）log1a?0 （B）log2a?0 （C）a2y???1?a?1分析①：设y?loga????a，???y?0，故选（A）??1??2??2??

?分析②：y?loga?是减函数，由y?loga?的图像知在点（1,0）右边, y?0，故选（A）?11??22??x22x???????1?0 （D）a2?1?0

2009年

(15)设a>b>1，则

(A)0.3a>0.3b (B) 3a <3b (C) log3alog3b

2010年 (4)27?log82?

(A)12 (B) 6 (C) 3 (D) 1 (6)下列函数中,为奇函数的是

1()1x(A) y??x (B) y?x?2 (C) y?() (D)y?log22

23323(16)设0

ab(A) log?log (B) log?log (C)a?b (D) ()?() 2a2ba2b212121212

四、函数

2001年

(3) 已知抛物线y?x?ax?2的对称轴方程为x?1,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）

(A) (1,?3) (B) (1,?1) (C) (1,0) (D) (?1,?3)

2???x0?1, ???ax??=1?a??2?0? 2??a2?4?(?2)(?2)2?4?(?2)????3?? y0???44?

6

(7) 如果指数函数y??a的图像过点(3,?)，则a的值为（ ）

(A) 2 (B) ?2 (C) ?2x1811 (D) 22(10) 使函数y?log2(2x?x)为增函数的区间是（ ）

(A) [1,??) (B) [1,2) (C) (0,1] (D) (??,1]

?2x?x2?0?x2?2x?0?0?x?2???2∵ y?2x?x开口向下，对称轴为：??? x??b??2??1??2a2?(?1)??1]为y?log2(2x?x2)的增区间.??∴(0，yxy=2x?x2y?log2(2x?x2)5x?5?x?6x(13)函数f(x)?是（ ）

2(A) 是奇函数 (B) 是偶函数

(C) 既是奇函数又是偶函数 (D) 既不是奇函数又不是偶函数

(16) 函数y?

(21) (本小题11分) 假设两个二次函数的图像关于直线x?1对称，其中一个函数的表达式为

减函数，真数须在(0,1]之间，对数才为正?log1(4x?3)?0???????????????????3?3?0<4x?3?1?3<4x?4??x?1??4?log1(4x?3)的定义域为____________。

3yxy?x2?2x?1,求另一个函数的表达式。

解法一 函数y?x?2x?1的对称轴为x??1，

2?22?4?1?(?1)顶点坐标:x0=?1，y0??????2

4a4?122 设函数y?x?b?x?c?与函数y?x?2x?1关于x?1对称，则

2函数y??x?b?x?c?的对称轴x??3

???2 ?=3，y0顶点坐标: x0b????2?1?3??6， ???得：b???2ax0 由x02a4ay0?b?24?(?2)?62b?2?4ac???? 由y0?y0得：c???7

4a4a42 所以，所求函数的表达式为y??x?6x?7

解法二 函数y?x?2x?1的对称轴为x??1，所求函数与函数y?x?2x?1关于x?1对称，则

所求函数由函数y?x?2x?1向x轴正向平移4个长度单位而得。

设M(x0,y0)是函数y?x?2x?1上的一点，点N(x,y)是点M(x0,y0)的对称点，则

2222 7

y0?x0?2x0?1，?22?x0?x?4?x?x?42，将?0代入y0?x0?2x0?1

?y0?y?y0?y得:y?x?6x?7.即为所求。

(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量

将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1?x0.5x)元/本，售量为b(1?)本。设此时销售总金额为y，则： 1001000.5xx0.5x0.5x0.5x2y=a(1?)b(1?)=ab(1??)，令y?=ab(?)=0，得x?50

1001001001000010010000所以，x?50时，销售总金额最大。

2002年

（9） 若函数y?f(x)在[a,b]上单调，则使得y?f(x?3)必为单调函数的区间是（ ）

A．[a,b?3] B．[a?3,b?3] C．[a?3,b?3] D．[a?3,b]

? 因y?f(x)与y?f(x?3)对应关系相同，故它们的图像相同；因y?f(x)与y?f(x?3)的??自变量不同，故它们的图像位置不同，f(x?3)的图像比y?f(x)左移3个长度单位.??? 因f(a)?f(x?3)时，必有x?3?a，即x?a-3;?? ?????????????f(b)?f(x?3)时，必有x?3?b，即x?b-3.???????????所以，y?f(x?3)的单调区间是[a?3,b?3]????4x?10（10） 已知f(2x)?log2，则f(1)等于（ ）

3141（A）log2 （B） （C）1 （D）2

324x/2?10?log2x?10, f(1)?log2?1?10?log4?2?，

?f(x)?log2222??333??（13） 下列函数中为偶函数的是（ ）

（A）y?cos(x?1) （B）y?3 （C）y?(x?1) （D）y?sinx

（21）（本小题12分） 已知二次函数y为2，求b的值。

解 设两个交点的横坐标分别为x1和x2，则x1和x2是方程x2得：x1?x2x22?x2?bx?3的图像与x轴有两个交点，且这两个交点间的距离

?bx?3=0的两个根，

??b，x1?x2?3

又得：x1?x2??x1?x2?2??x1?x2?2?4x1?x2?b2?12?2，b=?4

（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造

价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy?4001600 ?400，y?x4400400u?40xy?20?4(2x?2y)?40?400?20?4(2x?2?)?16000?160(x?)

xx??202?)?40? x? ?16000?160?(x?故当x?

20x?0，即当x?20时，池壁与池底的造价之和最低且等于：

8

u?16000?160?(x?400400)?16000?160?(20?)?22400(元) x20 答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年

（3）下列函数中，偶函数是

（A）y?3?3 （B）y?3x?x （C）y?1?sinx （D）y?tanx

（10）函数y?2x?x?1在x?1处的导数为

（A）5 （B）2 （C）3 （D）4 ??y?（11）y?x?1x?x2332?(6x2?2x)x?1?6?2?4??

lg(x2?x?1)的定义域是

（A）xx??1 （B）xx?2 （C）xx??1或x?2 （D）?

???????lg(x2?x?1)?0?x2?x?1?1?x2?x?2?0?x??1或x?2??xx??1??或 x?2????

y

（17）设函数f(t-1)?t2?2t?2，则函数f(x)?x2?1 （20）（本小题11分） 设f(x)?ax，g(x)?解 依题意得：

xb111，f(2)?g()=?8，f()?g(3)=，求 a、b的值. x233?f(2)?g(1)?2a?2b??8 ?a?b??2 ①?a1?2 ?a2??1 ?2即 解得 ，???? ， ，?1??ab1b??1 b?2 a?b?1 ②?1?2??f()?g(3)??? 333?3（21）（本小题12分） 设f(x)??x?2ax?a满足f(2)?f(a)，求此函数的最大值.

解 依题意得：

22?4?4a?a2??a2?2a2?a2，即a2?a?4?0，得：a1?a2?2 f(x)??x2?4x?4??(x2?4x?4)??(x?2)2?8，

可见，该函数的最大值是8（当x?2时） 2004年

（10）函数f(x)?sinx?x

（A）是偶函数 （B）是奇函数 （C）既是奇函数又是偶函数 （D）既不是奇函数也又是偶函数 （15）f(x)?x?3，则f?(3)=

（A）27 （B）18 （C）16 （D）12

（17）y?5sinx?12cosx?????13 335?y?13(5sinx?12cosx)?13(sinxcos??cosxsin?)=sin（x??），cos?=?，

?131313???（20）（本小题满分11分） 设函数y?f(x)为一次函数，f(1)=8，f(?2)=?1，求f(11) 解 依题意设y?f(x)?kx?b，得

?f(1)?k?b?8k?3，得，f(x)?3x?5，f(11)=38

f(?2)??2k?b??1b?59

?

（22）（本小题满分12分） 在某块地上种葡萄，若种50株，每株产葡萄70kg；若多种一株，每株减产1kg。

试问这块地种多少株葡萄才能使产量达到最大值，并求出这个最大值. 解 设种x（x?50）株葡萄时产量为S，依题意得 S?x?70-(x-5?0?)21x2?0x，x0??b120???60，S0=120?60?602=3600(kg) 2a2?（?1） 所以，种60株葡萄时产量达到最大值，这个最大值为3600kg. 2005年

（3）设函数f(x)?x?1，则f(x?2)?

（A）x?4x?5 （B）x?4x?3 （C）x?2x?5 （D）x?2x?3

（6）函数y?22222x?1的定义域是

（A）xx?1 （B）xx?1 （C）xx?1 （D）xx??1或x?1 ?????????x?1?0?x?1??1?x?1，即：x??1 或 x?1?

（9）下列选项中正确的是

（A）y?x?sinx 是偶函数 （B）y?x?sinx 是奇函数 （C）y?x?sinx 是偶函数 （D）y?x?sinx 是奇函数 （18）设函数f(x)?ax?b，且f(1)?5，f(2)?4，则f(4)的值为 7 253??33?f(1)?a?b??a?注：?2?????????2????????f(x)?x?1????????f(4)??4?1?7

22??f(2)?2a?b?4b?1??（23）（本小题满分12分）

）已知函数y1?x?2x?5的图像交y轴于A点，它的对称轴为l；函数y2?a（a?1的图像交y轴

于B点，且交l于C. （Ⅰ）求?ABC的面积 （Ⅱ）设a?3，求AC的长

解（Ⅰ）y1?x?2x?5的对称轴方程为：x??22xylAy2?3xy1?x2?2x?5b?2???1 2a2BC依题意可知A、B、C各点的坐标为A(0,5)、B(0,1)、C(1,a) 得：AB=(0?0)?(5?1)=4

在?ABC中，AB边上的高为1（x?1），因此，S?ABC=22x1?4?1=2 222（Ⅱ）当a?3时，点C的坐标为C（1，3），故AC=(0??)?(5??)=5 2006年

（4）函数y?x?2x?3的一个单调区间是

（A）?0,??? （B）?1,??? （C）???,2? （D）???,3?

（7）下列函数中为偶函数的是

（A）y?2 （B）y?2x （C）y?log2x （D）y?2cosx

10

x2

（8）设一次函数的图像过点（1，1）和（?2，0），则该函数的解析式为

（A）y?1212x? （B）y?x? （C）y?2x?1 （D）y?x?2 3333y?11?0112??y?y1y1?y2 ?????3(y?1)?x?1?y?x???x?xx?xx?11?(?2)333?112?（10）已知二次函数的图像交x轴于（?1，0）和（5，0）两点，则该图像的对称轴方程为

（A）x?1 （B）x?2 （C）x?3 （D）x?4

（17）已知P为曲线y?x上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是

（A）3x?y?2?0 （B）3x?y?4?0 （C）3x?y?2?0 （D）3x?y?2?0

3?k?y??2?3x??x?1x?1?3, P点的坐标：(1,1), y?1?3(x?1)?3x?y?2?0?

??（20）直线y?3x?2的倾斜角的度数为60 ????180

（1）函数y?lg的定义域为 （x-1）???3x?2?3,??arctan3?60??

??（A）R （B）xx?0 （C）xx?2 （D）xx?1 （5）y?2的图像过点 x??????11) （C）(?3,?8) （D）(?3,??)

862（6）二次函数y?x?4x?5图像的对称轴方程为

（A）(?3,) （B）(?3,（A）x?2 （B）x?1 （C）x?0 （D）x??1

（7）下列函数中，既不是奇函数又不是偶函数的是

（A）f(x)?1x22f(x)?x?x （B） （C） （D） f(x)?cosf(x)?1?x23x???f(x)??(x2?x)?22?(B) f(?x)?(?x)?(?x)?x?x??f(x)?

???（10）已知二次函数y?x?px?q的图像过原点和点(?4，0)，则该二次函数的最小值为

（A）－8 （B）－4 （C）0 （D）12

2???q?022函数图像过(0,0)和(?4,0)??y?x?4x?(x?2)?4?y??4??? min16?4p?0?p?4???（18）函数y?x?x在点(1,2)处的切线方程为 y?3x?1 2??k?y?（21）设f()?2008年

x?1?(2x?1)x?1?3,??y?2?k(x?1)?y?3x?1??

x212x?x，则f(x)?x2?2x421??22f(x)?(2x)?2x?x?2x ??4??（5）二次函数y?x?2x?2图像的对称轴方程为

（A）x??1 （B）x?0 （C）x?1 （D）x?2

（6）下列函数中为奇函数的是

11

（A）y?log3x （B）y?3 （C）y?3x （D）y?3sinx

（7）下列函数中，函数值恒大于零的是

（A）y?x （B）y?2 （C）y?log2x （D）y?cosx

（8）曲线y?x?1与直线y?kx只有一个公共点，则k= （A）?2或2 （B）0或4 （C）?1或1 （D）3或7

y?2x?222xx2y??????y?x2?1的切线y??2x就与y?x2?1只有一个公共点，???2?y?x?1y???2??y??2x?y?2x??x??1,k?y??2???2xy?2x????xy??2x（9）函数y?lgx?3-x的定义域是

（A）（0，∞） （B）（3，∞） ?（C）(0，3] （D）（?∞，3] [由lgx得x>0，由3-x得x?3，xx?0?xx?3=x0

（13）过函数y???????6上的一点P作x轴的垂线PQ，Q为垂足，O为坐标原点，则?OPQ的面积为 x（A）6 （B）3 （C）12 （D）1 [设Q点的坐标为x，则S?OPQ?116yx??x?3] 22x2009年

(10)下列函数中，在其定义域上为增函数的是

(A) y=|x| (B)y=x2 (C)y=x3 (D)y=x4 (17)函数

上的图像在

(A)第一、二象限 (B)第一、三象限 (C)第三、四象限 (D)第二、四象限 (19)函数f(x)=x3+3x+1的极小值为______

(21)二次函数f(x)=x2+2ax+3图像的对称轴为x=1，则a=______ (23)(本小题满分12分) 设函数f(x)=x4-2x2+3.

(1)求曲线f=x4-2x2+3.在点(2，11)处的切线方程； (11)求函数f(x)的单调区间． 2010年

(6)下列函数中，为奇函数的是

1()1x (A) y??x (B) y?x?2 (C) y?() (D)y?log22

233 12

（8）设函数f(x)?2ax2?ax，且f(2)??6，则a?

（A）?1 （B）?3 （C）1 （D）4 4（9）如果函数y?kx?b的图像经过A（1，7）和B（0，2），则k?

（A）?5 （B）1 （C）2 （D）5 （13）函数y?4?x的定义域是

（A） （B） （C）（-?，-4）?（4，+?）（-?，-2）?（2，+?）??4，4? （D）??2，2? （15）设函数f(x)?x2?(m?3)x?3是偶函数，则m?

（A）?3 （B）1 （C）3 （D）5

（16）设0?a?b?1，则

?1??1?（A）log2a?log2b （B）log2a?log2b （C）a?b （D）????? ?2??2?1212

ab（20）如果二次函数的图像经过原点和点（?4，0），则该二次函数的图像的对称轴方程为x??2 （y?0时，x1?0，x2??4，x?x1?x2??2） 2五、数列

2001年

(11) 在等差数列?an?中，a5?8，前5项之和为10，前10项之和等于（ ）

(A) 95 (B) 125 (C) 175 (D) 70

5(a1?a5)5(a5?4d?a5)5(8?4d?8)===10，d=3 2225(a10?a6)5(a5?5d?a5+d)5(2a5?6d)5(2?8?6?3) S10=S5?=S5?=S5?=10?=95

2222?an?1?2an?3bn(23) (本小题11分) 设数列?an?，?bn?满足a1?1，b1?0且?n?1,2,3,......。

?bn?1?an?2bn注：S5= (i)求证an?3bn和an?3bn都是等比数列并求其公比； (ii)求?an?，?bn?的通项公式。

?????1，，， 2 7 29， ???， 2an?1?3bn?1??an?：证(i) ?

0，，， 1 4 43???， an-1?2bn-1???bn?：， 2?3， 7?43， 29?153， ???， an?3bn an?3bn:1?a ???3b?:1， 2?3， 7?43， 29?153， ???， a?3b a?3b?与?a?3b?的各项都不为0. 可见?a?3b=2a?3b?3a?23b=?2+3?a??3?23?b=?2+3??a?3b? a?3bq==?2+3?， 所以，?a?3b?是等比数列且其公比为q=2+3 ?a?3b?a?3b=2a?3b?3a?23b=?2?3?a??3?23?b=?2?3??a?3b?

nnnnnnnnn?1n?1nnnnnnnnn?1nn?1nnnn?1n?1nnnnnnnn 13

an?1?3bn?1an?3bn(ii) 由an?a1qn?1=2?3 所以，an?3bn是等比数列且其公比为q=2?3

得

n?1??1??n?1n?1?a=(2?3)?(2?3)n?????an?3bn=(2?3) 2， 得： ??n?13??b=?(2?3)n?1?(2?3)n?1??an?3bn=(2?3) ??n6?2002年

（12） 设等比数列{an}的公比q?2，且a2?a4?8，则a1?a7等于（ ）

（A）8 B．16 （C）32 （D）64

（a1?a7?a2 ?a4q3?a2a4q2?8?22?32）q（24）（本小题12分）数列{an}和数列{xn}的通项公式分别是an?21?2n?1，2n?2n?2xn?(n?1)2?1?a1a2???an。

（Ⅰ）求证{xn}是等比数列；

（Ⅱ）记Sn?x1?x2???xn，求Sn的表达式。

证（Ⅰ）因an>0，(n?1)2?1?>?，故{xn}为正数列。当n>2时

(n?1)2?1?a1a2???an(n?1)2?1?(n?1)2?1?xn2n?1==an=21?2xn?1n?2n?2n2?1?a1a2???an?1n2?1?n2?1?=2(n?1)?1?n2?1?2 n?1=2n2?2n?22 可见{xn}的公比是常数2，故{xn}是等比数列。

x3（Ⅱ）由x1?5?2?1??2，q?n?2得：5xn?1a1(1?qn)2(1?2n)Sn?x1?x2?????xn???2(2n?1)(2?1)?(2n?1) (23?2)1?q 1?2?2n?3?2n?2?23?2?(2)n?3?(2)n?2?22?22003年

（23）已知数列?an?的前n项和Sn?2an?3. （Ⅰ）求?an?的通项公式， （Ⅱ）设bn?nan，求数列?bn?的前n项和. n2解（Ⅰ）当n?1时，a1?S1?2a1?3，故a1?3，

当n?2时，an?Sn?Sn-1?2an?3?(2an?1?3)?2an?2an?1， 故an?2an?1，q?an2a?n?1?2，所以，an?a1qn?1?3?2n?1 an?1an?1nann?3?2n?13n（Ⅱ）bn?n??， n2223nbnn2??∵q? ，∴?bn?不是等比数列 bn?13(n?1)n?12

14

∵d?bn?bn?1?3n3(n?1)3??， ∴?bn?是等差数列 22233(?n)n3n(b1?bn)?n22??(n?1) ?bn?的前n项和：Sn?2242004年

（7）设?an?为等差数列，a5?9，a15?39，则a10?

（A）?? （B）?? （C）?? （D）??

1?? a?a?9d,??a?a?2a?18d?2a,??a是a和a的等差中项，a?(a?a)?241015151101051510515??2??（23）（本小题满分12分） 设?an?为等差数列且公差d为正数，a2?a3?a4?15，a2，a3?1，a4成

等比数列，求a1和d.

解 由a2?a3?a4?3a3?15，得a3?5， a2?a4?10???????①

a4?(a3?1)?(5?1)?16 ② 由a2，a3?1，a4成等比数列，得a2?由?2005年

（13）在等差数列?an?中，a3?1，a8?11，则a13?

（A）?? （B）?? （C）?? （D）?22

22??a2?a4?10????????①?a21??2???????d?a3?a2?5?2?3，得?，?

a?a?d?2?3??12??a2?a4?16 ②?a22?8(大于a3,舍去) ?1?a8?a3?(8?3)d?1?5d?11, d?2, a13?a3?(13?3)d?1?10d?1?10?2?21? ??或者这样解：a是a和a的等差中项，2a=a+a，a=2a?a=2?11?1=21831381331383??（22）（本小题满分12分） 已知等比数列?an?的各项都是正数，a1?2，前3项和为14。求：

（Ⅰ）数列?an?的通项公式；

（Ⅱ）设bn?log2an，求数列?bn?的前20项之和。

a1(1?q3)2(1?q3)2(1?q)(1?q?q2)???14， 解（Ⅰ）S3?1?q1?q1?q得q?q?6，?2?q1?2n?1n?1n，所以，an?a1q?2?2?2

?q2??3(不合题意,舍去)n（Ⅱ）bn?log2an?log22?n，

数列?bn?的前20项的和为S20?1?2?3???20?2006年

（6）在等差数列?an?中，a3?1，a5??7，则a7?

（A）?11 （B）?13 （C）?15 （D）?17

(1?20)?20?210

2?a5?a3?(7?3)d?1?2d??7, d??4, a7?a5?2d??7?2?(?4)=?15?

1（22）（本小题12分） 已知等比数列?an?中，a3?16，公比q?。求：

2（Ⅰ）数列?an?的通项公式； （Ⅱ）数列?an?的前7项的和。

15

?1??1?n?12解（Ⅰ）a3?a1q，a1???=16，a1=64，an?a1q?64????2??2?2n?1?27?n?26?21?n?27?n

??1?7?64?1????n??1?7?a1(1?q)1???2?????（Ⅱ）S7???128?1????=128?1???127 11?q?128????2???1?22007年

（13）设等比数列?an?的各项都为正数，a1?1，a3?9，则公比q?

（A）3 （B）2 （C）－2 （D）－3

（23）（本小题满分12分） 已知数列?an?的前n项和为Sn?n(2n?1),

（Ⅰ）求该数列的通项公式； （Ⅱ）判断an?39是该数列的第几项.

解（Ⅰ） 当n?2时，an?Sn?Sn-1?n(2n?1)?(n?1)?2(n?1)?1??4n?1

当n?1时，a1?S1?1?(2?1?1)?3，满足an?4n?1， 所以，an?4n?1

（Ⅱ） an?4n?1?39，得n?10. 2008年

（15）在等比数列?an?中, a2=6，a4=24，a6= 2??a42422??96? （D）384 （A）8 （B）24 （C）96 ?a2a6?a4?a6?a26??（22）已知等差数列?an?中，a1?9，a3?a8?0

（Ⅰ）求等差数列的通项公式

（Ⅱ）当n为何值时，数列?an?的前n项和Sn取得最大值，并求该最大值 解（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，则

a3?a1?2d，a8?a1?7d，a3?a8?a1?2d?a1?7d?2a1?9d?0

将a1?9代入2a1?9d?0得：d??2，

该等差数列的通项公式为an?a1?(n-1)d?9?(n-1)?(?2)?11?2n

（Ⅱ）数列?an?的前n项之和

n(a1?an)n(9?11?2n)??10n?n2 22??10?2n?0，n?5，Snmax?(10n?n2)令SnSn?

2009年

(7)公比为2的等比数列{an}中， a1+a2+a3=7，则a1=

（A）? （B）1 （C）(22)(本小题满分12分)

n?5?25

373 （D）7 7 面积为6的直角三角形三边的长由小到大成等差数列，公差为d．

16

(1)求d的值：

(II)在以最短边的长为首项，公差为d的等差数列中，102为第几项?

解：(I)由已知条件可设直角三角形的三边长分别为a-d，a，a+d，其中a>0，d>0， 则（a+d）2=a2 +（a-d）2，a=4d 三边长分别为3d,4d,5d.

故三角形的三边长分别为3，4，5，公差d=1． ??6分 (II)以3为首项，1为公差的等差数列通项为

an=3+（n-1）, 3+(n-1)=102, n=100, 故第100项为102， ??12分 2010年

（12）已知一个等差数列的第五项等于10，前三项的和等于3，那么这个等差数列的公差为

1（A）3 ?3 （B）1 （C）?1 （D）3 ?a?a?4d?101?5??S=3a?3d?3??（23）（本小题12分）已知数列?an?中，a1?2，an?1?1an

2（Ⅰ）求数列?an?的通项公式 （Ⅱ）求数列?an?的前5项的和S5

an?1解（Ⅰ）由已知an?1?1an 得：q?n?1?1，an?a1q?212an225??121??2?a1?1?q5????31 （Ⅱ）S5??1?q81?12??n?11 ?2?1?nn?122?2??

六、导数

2001年

(22) (本小题11分) 某种图书定价为每本a元时，售出总量为b本。如果售价上涨x%，预计售出总量

将减少0.5x%，问x为何值时这种书的销售总金额最大。 解 涨价后单价为a(1?x0.5x)元/本，售量为b(1?)本。设此时销售总金额为y，则： 100100x0.5x0.5x0.5x20.5xy=a(1?)b(1?)=ab(1??), 令y?=ab(?)=0，得x?50

1001001001000010010000所以，x?50时，销售总金额最大。

12x?x?3的最小值是 217

2002年 （7） 函数y?

（A）?57 （B）? （C）?3 （D）?4 2211217??? y?2x?1,x??,y?2?（?）?（?）?3??min??2222??（22）（本小题12分） 计划建造一个深为4m，容积为1600m3的长方体蓄水池，若池壁每平方米的造

价为20元，池底每平方米的造价为40元，问池壁与池底造价之和最低为多少元？ 解 设池底边长为x、y，池壁与池底造价的造价之和为u，则xy?4001600 ?400，y?x4400400u?40xy?20?4(2x?2y)?40?400?160(x?y)?16000?160(x?)， u?=160(1?2)xx

400令u?=0，得1?2?0，x?20(x??20舍去)x?400?x?20 umin??16000?160?(x?)?x???16000?160?(20?400)?22400(元) 20答：池壁与池底的最低造价之和为22400元 2003年

（10）函数y?2x?x?1在x?1处的导数为 32?（A）5 （B）2 （C）3 （D）4??y2004年

（15）f(x)?x?3，则f?(3)=

（A）27

2005年

（17）函数y?x(x?1)在x?2处的导数值为 5 ??y?3x?2x?1?(6x2?2x)x?1?4??

3?f?(3)?3x2x?3?27? （B）18 （C）16 （D）12

?(2x?1)x?2?5??

（21）求函数y?x?3x在区间[0,2]的最大值和最小值（本小题满分12分）

解 令y??3x?3?3(x?1)?3(x?1)(x?1)?0，得x1?1，x2??1（不在区间[0,2]内，舍去）

22y2006年

x?0?0, y可知函数y?x?3x在区间[0,2]的最大值为2，最小值为?2.

（17）已知P为曲线y?x上的一点，且P点的横坐标为1，则该曲线在点P处的切线方程是 （A）3x?y?2?0 （B）3x?y?4?0 （C）3x?y?2?0 （D）3x?y?2?0

3x?13?13?3?1??2, yx?2?23?3?2?2

?k?y??2007年

2x?1??3x2?x?1?3, P点的坐标：(1,1), y?1?3(x?1)?3x?y?2?0?

?（12）已知抛物线y?4x上一点P到该抛物线的准线的距离为5，则过点P和原点的直线的斜率为

（A）或?45455 （B）或? （C）1或?1 （D）3或?3 5441y?2?2由y?2px和y?4x得p=2, x?p?5???x?4 ?y??4????k???1?? 2x??（18）函数y?x?x在点（1，2）处的切线方程为 y?3x?1 ［k?y?x?1?(2x?1)x?1?3，y?2?k(x?1)，即y?3x?1］

18

2

2008年

（8）曲线y?x?1与直线y?kx只有一个公共点，则k? （A）?2或2 （B）0或4 （C）?1或1 （D）3或7

y?2x?22y??????y?x2?1的切线y??2x就与y?x2?1只有一个公共点，???2?y?x?1y???2??y??2x?y?2x??x??1,??k?y??2???2x??y?2x??xy??2x?2）（25）已知函数（fx）?x4?mx2?5，且f（?24

（Ⅰ）求m的值

2?上的最大值和最小值 （Ⅱ）求（在区间??2，fx）?x）?2）?4x?2mx，f（?4?2?2m?2?24，m??2 解（Ⅰ）f（?x）?4x3?2mx=4x3?4x?0，得：x1?0，x2??1，x3?1 （Ⅱ）令f（33（f0）=5，（f?1）=1?2?5=4，（f1）=1?2?5=4，（f-2）=16?8?5=13，（f2）=16?8?5=13 2?上的最大值为13，最小值为4. 所以，（在区间??2，fx）2009年

(19)函数f(x)=x+3x+1的极小值为______-1 (23)(本小题满分12分) 设函数f(x)=x-2x+3.

(1)求曲线f=x-2x+3.在点(2，11)处的切线方程；

(11)求函数f(x)的单调区间．

解（Ⅰ）f?(x)?4x3?4x，f?(2)?4?23?4?2=24，得： 即所求方程为24x?y?37?0

（Ⅱ）令f?(x)?4x3?4x?0，解得：x1??1，x2?0，x3?1。

4

2

4

2

3

y?11?24，24x?y?37?0 x?2x变化时，f?(x)、f(x)的变化情况如下表： x f?(x) f(x) 2010年

（19）曲线y?2x3?1在点（1，3）的切线方程是 6x?y?3?0（y?(1)?6x2?6，

3(??，?1) ? ?1 0 2 （-1，0）0 0 3 （0，1）1 0 2 （1，+?）? ? ? ? ? ? ? y?3?6） x?1（25）（本小题13分）设f(x)?4x?ax?2，函数f(x)在点（0，2）处切线低利率为?12，求

（Ⅰ）a的值；

2?的最大值与最小值。 （Ⅱ）函数f(x)在区间??3，解（Ⅰ）f?(x)?12x?a，f?(0)?a??12

19

2

（Ⅱ）f(x)?4x?12x?2，f?(x)?12x?12，令f?(x)?0，得x??1

32?f(?3)?4?(?3)3?12?(?3)?2??70??f(2)?4?23?12?2?2?102?的最大值是10，最小值是?70 ，所以f(x)在区间??3，?3f(?1)?4?(?1)?12?(?1)?2??10?3??f(1)?4?1?12?1?2??6七、平面向量

2001年

(18)过点(2,1)且垂直于向量a?(?1,2)的直线方程为x?2y?0。 ?a?(?1,2)所在直线的斜率k??2，与a垂直的直线的斜率k??2002年

??1?，所求直线y?1?k?(x?2)? 2???????（17）已知向量a?(3,4)，向量b与a方向相反，并且|b|?10，则b等于b?(?6,?8)。

???34 解 设b?(x,y)，因向量b与a方向相反（一种平行），故?，即4x?3y ①，

xy????a?b?3x?4y?|a||b|cos180???32?42?10??50??????②

??4x?3y ①?x??6 将①与②组成方程组： ?，解得：?，故b?(?6,?8)

y??83x?4y=?50?????②?? 也可这样简单分析求解：

????????因|a|?5，|b|?10，|b|是|a|的二倍，b与a方向相反，故b??2a=?2?(3,4)=(?6,?8)

2003年

(13)已知向量a、b满足|a|=4，|b|=3，?a,b?=30，则a?b=

?（A）3 （B）63 ?a?b=a?bcos?a,b?=4?3cos30=63? （C）6 （D）12

???2004年

（14）如果向量a?(3,?2)，b?(?1,2)，则(2a+b)?(a-b)等于

（A）28 （B）20 （C）24 （D）10

?2a=2(3,?2)=(6,?4), 2a+b=(6,?4)+(?1,2)=(5,?2)，a?b=(3,?2)?(?1,2)=(4,?4)??(2a+b)?(a?b)=(5,?2)?? (4,?4)=28??2005年

?（14）已知向量a,b满足a?3，b?4，且a和b的夹角为120，则a?b?

（A）63 （B）?63 （C）? （D）?6

2006年

（3）若平面向量a?(3,x)，b?(4,?3)，a?b，则x的值等于

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4?3?4?(?3x)?0, x?4?

2007年

????????????（3）已知平面向量AB=(2,?4)，AC=(?1,2)，则BC=

（A）(3,?6) （B）(1,?2) （C）(?3,6)?(?1,2)?(2,?4)=(?3,6)? （D）(?2,?8) 2008年

20

（Ⅱ）?ABC的面积S?ABC=2008年

（20）在?ABC中，若sinA=1?2?1=1 21?，?C=150，BC=4，则AB= 3??A??BC?ABBCsinC4sin150?, AB???6? ?1sinA?sinAsinC?3????BC（23）如图，塔PO与地平线AO垂直，在A点测得塔顶P的仰角?PAO?45，沿AO方向前进至B点，测得仰角?PBO?60，A、B相距44m，求塔高PO。（精确到0.1m）

解 由已知条件得：?BPO?30，AO?PO，BO?POtan?BPO?POtan30???3PO 3PAB?AO?BO?PO?BO?PO?3PO?44 3PO?4431?3?104.1(m)

ABO2009年

（11）在?ABC中，AB=3，B=60，BC=2，则AC=

?（A）7 （B）10 （C）4 （D）19 （24）（本小题为12分）在?ABC中，A=45?，B=60?，AB=2，求?ABC的面积（精确到0.01）

解 由正弦定理得：AC?=?sin602，

sin(180?60??45?)?2?32AC=2sin60??=?sin75sin(45?30?)?43(2?6)3??3(6?2)

2?6(2?6)(2?6)4 S=1AC?A?Bsi?n?415223?(6?2?)22?2?3(?3 1)1.272010年

（22）（本小题为12分）在锐角三角形ABC中，AC=8，BC=7，sinB=43，求AB

7?43?1解 cosB=1?sin2B=1???=7 7??22AC2?AB2?BC2?2AB?BC?cosB， 8?AB?7?22AB?7?1 7

2AB?2AB?15=0，AB1?5，AB2??（3不合理，舍去）2十二、直线

2001年

26

(18)过点且垂直于向量a?(?1,2)的直线方程 。 （2，1）(2?x,1?y)(?1,2)=0，x?2y?0??设在所求直线上取点(x,y)，得向量b?(2?x,1?y)，则a?b，即：2002年

（4）点P(3,2)关于y轴的对称点的坐标为（ ）

（A）(3,?2) （B）(?3,2) （C）(0,2) （D）(?3,?2)

（18）在x轴上截距为3且垂直于直线x?2y?0的直线方程为 。

11??????2，所求直线的方程：y?2(x?2) x?2y?0的斜率k??,所求直线的斜率为k??2k??2003年

（16）点P(1，2)到直线y?2x?1的距离为

?Ax0?By0?C2?1?(?1)?2?15????d??

22225??A?B2?(?1)??2004年

（4）到两定点A(?1,1)和B(3,5)距离相等的点的轨迹方程为 .

（A）x?y?4?0 （B）x?y?5?0 （C）x?y?5?0 （D）x?y?2?0

2222??(x?1)?(y?1)?(x?3)?(y?5)，x?y?4?0??

（12）通过点(3,1)且与直线x?y?1垂直的直线方程是 .

（A）x?y?2?0 （B）3x?y?8?0 （C）x?3y?2?0 （D）x?y?2?0 （20）（本小题满分11分） 设函数y?f(x)为一次函数，f(1)=8，f(?2)=?1，求f(11) 解 依题意设y?f(x)?kx?b，得2005年

（16）过点且与直线y?x?1垂直的直线方程为y??x?3 （2，1）2006年

（8）设一次函数的图像过点(1,1)）和(?2,1)，则该函数的解析式为

（A）y??f(1)?k?b?8k?3，得，f(x)?3x?5，f(11)=38

f(?2)??2k?b??1b?5?1212x? （B）y?x? （C）y?2x?1 （D）y?x?2 3333?（20）直线y?3x?2的倾斜角的度数为602008年

???arctan3?60?

?（14）过点(1,1)且与直线x?2y?1?0垂直的直线方程为

（A） 2x?y?1?0 （B）2x?y?3?0 （C）x?2y?3?0 （D）x?2y?1?0 ［直线x?2y?1?0的斜率为k??1，所求直线的斜率为k??2，由点斜式方程可知应选（A）］ 23?3???tan???1, ????0,??arctan(?1)?145?=44??? ?（19）若?是直线y??x?2的倾斜角，则?=2009年

（12）过点且与直线2x?y-3?0平行的直线方程为 （1，2）

27

（A）2x?y?5?0 （B）2y?x?3?0 （C）2x?y?4?0 （D）2x?y?0 2010年

（9）如果函数y?kx?b的图像经过A（1，7）和B（0，2），则k?

（A）?5 （B）1 （C）2 （D）5

十三、圆

2006年

（24）（本小题12分）

已知圆o的圆心位于坐标原点, 圆o与x轴的正半轴交于A，与y轴的正半轴交于B，AB=22 （Ⅰ）求圆o的方程；

（Ⅱ）设P为圆o上的一点，且OP//AB，求点P的坐标。

2解（Ⅰ）依题设得2r=AB，r=2AB22??222?2y?2，

P2B故?o的方程：x?y?4

（Ⅱ）因为A(2,0)，B(0,2)，所以AB的斜率为?1。

过o且平行于AB的直线方程为y??x. 由?A22xP1?y??x22?x?y?4得：???x1?2??y1??2，???x2??2??y2?2

所以，点P的坐标为(2,?2)或(?2,2)

2008年

x2y2（24）已知一个圆的圆心为双曲线??1的右焦点，并且此圆过原点.

412（Ⅰ）求该圆的方程； （Ⅱ）求直线y?解（Ⅰ）c?3x被该圆截得的弦长.

yAy?3xa2?b2?4?12?4，

x2y2双曲线， ??1的右焦点坐为 （4，0）412O??4，圆心坐标O（，圆半径为r?4。 0）（x?4）?y?16 圆的方程为

（Ⅱ）因直线y?22Bx2（x?4）?y2?163x的倾角为60?，

?故OA=OBcos?AOB=2?4cos60=4 所以，直线y?2009年

（14）圆x?y?a与直线x?y?2?0相切，则a?

22x2y2??14123x被该圆截得的弦长为4

（A）4 （B）2 （圆的半径为a，a?2，a?2） （C）2 （D）1 2010年

28

（18）圆x2?y2?25的圆心到x?y?1?0的距离为

2 [点（0，0）到直线x?y?1?0的距离] 2十四、圆锥曲线

2001年

(3) 已知抛物线y?x?ax?2的对称轴方程为x?1,则这条抛物线的顶点坐标为（ ）

(A) (1,?3) (B) (1,?1) (C) (1,0) (D) (?1,?3)

2a??2 x???1, a??2, y?x?ax?2?1?(?2)?1?2??30000??2??22(8) 点P为椭圆25x?9y?225上一点，F1和F2是焦点，则PF1?PF2的值为（ ）

(A) 6 (B) 5 (C) 10 (D) 3

?25x2?9y2?225?a?5,??PF1?PF2?2a?2?5?10?

x2y2(9) 过双曲线??1的左焦点F1的直线与这双曲线交于A,B两点，且AB?3，F2是右焦点，则

369AF2?BF2的值为（ ）

(A) 21 (B) 30 (C) 15 (D) 27 ，

AF1yF2xB?AB?AF1?BF1=3????????AF1?AF2=2a=12???AF2?BF2?3=24?????AF2?BF2=27?????BF1?BF2=2a=12?????x2y2(24) (本小题11分) 已知椭圆2?2?1和点P(a,0)，设该椭圆有一关于x 轴对称的内接正三角形，

ab使得P为其一个顶点。求该正三角形的边长。

解 设椭圆的关于x 轴对称的内接正三角形为?PAB，A?x,y?，则：

?a?x??3y2??a?x?x2(a?x)2a?x?1， ，，2??3，3yy2a3b2?3b2?23b2x22(a?2ax?x)?2?3b,?????1?2?x?2ax?a2?3b2?0

aa??2222?3b2?2a4??a2?3b2??a2?3b2?2222a?4a?4?1?2??a?3b?2a?2?a?3b2a?a?x1?2?a2 x? ??a?3b??3b2??a2?3b2??x?a2?1?2?2??2?2aa????a2?3b2a 由于?a?x?a，所以，x?2a?3b2a-xa-x?3，y?因，AB=2y，于是?PAB的边长为 y32 29

AB=2y?2 2002年

a-x2a?x?2a?a2?3b2?2aa2?3b2?a2?3b243ab2?==2 ?1?2?1???2?a2?3b2a?3b233?a?3?a?3b?3ybA(x,y)yA(x,y)b?a?baPx?aaPxBB?b（8） 平面上到两定点F1(?7,0)，F2(7,0)距离之差的绝对值等于10的点的轨迹方程为（ ）

x2y2x2y2x2y2x2y2（A）??1 （B）??1 （C）??1 （D）??1 1001610049252425242?点的轨迹为双曲线，排除(C);2a?10，a?5，a?25，排除(A)、(B)???

x2y2（23）（本小题12分） 设椭圆?2?1(??0)的焦点在x轴上，O为坐标原点，P、Q为椭圆上两

6?点，使得OP所在直线的斜率为1，OP?OQ，若?POQ的面积恰为

?32?，求该椭圆的焦距。 4解 设P(x1,y1)、Q(x2,y2)，因OP?OQ，故?POQ=90.又因OP所在直线的斜率为1，故

S?POQ?21112322222OPOQ?x1?y12?x2?y2?x12?y12?x2?y2??。 2242132x2y2将x?y??代入?2?1(??0)，得：

46?32?32??1(??0)，即?2?42??6=0， 244?解得：?由a2003年

（14）焦点(?5，0)、(5，0)且过点(3，0)的双曲线的标准方程为

2yQ2.5P0.50.50.50.5x???1=2

222???2=32(?2=b=18>a=6,舍去)22?2.5=6，b=?=?2?=2得该椭圆的焦距：2c?22a2?b2?26?2?4

22y2x2y2x2x2yx2y（A）??1 （B）??1 （C）??1 （D）??1 16994916916?(D)；c?5, a?3, b2?52?32?16, 排除(B),选(C)??焦点在x轴，排除(A)、?

2x2y（15）椭圆??1与圆(x?4)2?y2?2的公共点的个数是

49（A）4 （B）2 （C）1 （D）0

30

解法二 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有P3种取法； 第二步：从剩下的三个数字中任取一个排在第二位，有P3种取法；

第三步：从剩下的二个数字中任取一个排在第三位，有P2种取法； 第四步：从剩下的一个数字中任取一个排在第四位，有P1种取法. 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P3P3P2P1个。

1111P3P3P2P1=3?3?2?1=18（个）.

11111111解法三 第一步：从1，2，3这三个数字中任取一个排在第一位，有P3种取法； 第二步：把剩下的三个数字分别排在百位、十位、个位，有P3种取法；

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P3P3个。

13P3P3=3?3?2?1=18（个）

1313解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3排在千位、百位、十位的排法有P3； 第二类：把0固定在十位上，1，2，3排在千位、百位、个位的排法有P3； 第三类：把0固定在百位上，1，2，3排在千位、十位、个位的排法有P3；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的四位数的个数共有：

333P33?P33?P33=3P33=3?3?2?1=18（个）

2003年

（7）用0，1，2，3，4组成的没有重复数字的不同3位数共有

（A）64个 （B）16个 （C）48个 （D）12个

解法一 ①从0，1，2，3，4这五个数字中取出三个数字的总排列数为P5； ②将0排在首位的排列数为P4，而0不能排在首位；

总排列数P5减去0排在首位的排列数P4即为所求。因此，用0，1，2，3可组成没有重复数

字的四位数的个数为P53?P42=5?4?3?4?3=48（个）

解法二 第一步：.从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有P4种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取一个排在第二位，有P4种取法；

第三步：从剩下的三个数字中任取一个排在第三位，有P3种取法； 根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P4P4P3个。

111P4P4P3=4?4?3=48（个）.

3232111111解法三 第一步：从1，2，3，4这四个数字中任取一个排在第一位，有P4种取法； 第二步：从剩下的四个数字（含0）中任取二个排在十位、个位，有P4种取法；

根据分步计数原理，可组成没有重复数字的四位数共有P4P4个。

12P4P4=4?4?3=48（个）

1212解法四 第一类：把0固定在个位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、十位的排法有P4；

第二类：把0固定在十位上，1，2，3，4中任取二个排在百位、个位的排法有P4； 第三类：0不参加排列，1，2，3，4中任取三个的排法有P4；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：

3222P42?P43=2?4?3+4?3?2=48（个）

解法五 列举法(麻烦且容易漏列，但直接明了)

第一类：1排在百位的数是102，103，104，120，123，124，130，132，134，140，142，143，共12个； 第二类：2排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个； 第三类：3排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个； 第四类：4排在百位，与1排在百位同理，2排在百位的数也是12个；

根据分类计数原理，可组成没有重复数字的三位数的个数共有：12?4=48个。

36

2004年

（8）十位同学互赠贺卡，每人给其他同学各寄出贺卡一张，那么他们共寄出贺卡的张数是

（A）50 （B）100 （C）10 （D）90（2C10）

2005年

（11）从4本不同的书中任意选出2本，不同的选法共有

（A）12种 （B）8种 （C）6种 （C4） （D）4种

2006年

（11）4 个人排成一行，其中甲、乙两人总排在一起，则不同的排法有

（A）?种 （B）?种 （C）??种 （P3?P2） （D）??种

2007年

（16）在一次共有20人参加的老同学聚会上，如果每二人握手一次，那么这次聚会共握手多少次？

（A）400 （B）380 （C）240 （D）190C20

2008年

（12）某学生从6门课程中选修3门，其中甲课程必选修，则不同的选课方案共有

（A）4种 （B）8种 （C）10种 （D）20种

322102??2Pnmn(n-1)…(n-m?1)5?4??10） （甲课程必选，从其他5门课程任选2门的组合数为C?m?Pmm!2252009年

（8）正六边形中，由任意三个顶点连线构成的三角形的个数为

（A）6 （B）20 （C）120 （D）720 2010年

（17）用0，1，2，3这四个数，组成的没有重复数字的四位数的共有

（A）24个 （B）18个（1，2，3分别排头，各6个） （C）12个 （D）10个

十六、概率与统计初步

2001年

(15)任意抛掷三枚相同的硬币，恰有一枚国徽朝上的概率是（ ）

(A)

2002年

（15） 袋中装有3只黑球，2只白球，一次取出2只球，恰好黑白各一只的概率是（ ）

1133113?1P(1)?C?0.5?(1?0.5)?3/8? (B) (C) (D) ? 33??43481323?P31P21?（A） （B） （C） （D） ? 2?51055?C5?（19）设离散型随机变量?的概率分布列是 ? p －2 0．3 0 0．2 1 0．1 2 0．4 则?的数学期望是 0.3 （?0.2?0.3+0?0.2+1?0.1+2?0.4）。 2003年

（12）从3个男生和3个女生中选出二个学生参加文艺汇演，选出的全是女生的概率是

37

1（A） 5?C32?111?2? （B） （C） （D）

3104?C6?（18）某篮球队参加全国甲级联赛，任选该队参赛的10场比赛，其得分情况如下

99， 104， 87， 88， 96， 94， 100， 92， 108， 110

则该篮球队得分的样本方差为 56.16 2004年

（11）掷两枚硬币，它们的币值面都朝上的概率是

（A）

1111 （B） （C） （D）

3824180， 188， 200， 195， 187

（19）从篮球队中随机选出5名队员，他们的身高分别为（单位cm） 则身高的样本方差为 47.6 2005年

（15）8名选手在8条跑道的运动场上进行百米赛跑，其中有2名中国选手。按随机抽签的方式决定选手的跑道，2名中国选手在相邻的跑道上的概率为

11?2P77?11（A） （B） ?8? （C） （D）

24?P8?816（19）从一批袋装食品中抽取5袋分别称重，结果（单位：g）如下：

98.6，100.1，101.4，99.5，102.2

该样品的方差为 1.7 （g）（精确到0.1g）

列表求解如下： 22xi 98.6 100.1 101.4 99.5 102.2 x xi?x ?1.76 3.0976 21(98.6+100.1+101.4+99.5+102.2)=100.36 5?0.26 0.0676 1.04 1.0816 ?0.86 0.7396 1.84 3.3856 2?x?x? is2 2006年

1n1s??(xi?x)2?(3.0976?0.0676?1.0816?0.7396?3.3856)?1.7 ni?1n（16）两个盒子内各有三个同样的小球，每个盒子内的小球分别标有1，2，3这三个数字，从两个盒子中分别任意取出一个小球，则取出的两个球上所标示数字的和为3的概率是

（A）

111212 （B）(P??) （C） （D）

339933（21）任意测量一批相同型号的制作轴承用的滚球8个，它们的外径分别是（单位mm）

13.7 12.9 14.5 13.8 13.3 12.7 13.5 13.6

则该样本的方差为 0.2725 2007年

（17）已知甲打中靶心的概率为0.8，乙打中靶心的概率为0.9，两人各打靶一次，则两人都打不中的概率为

（A）0.01 （B）0.02 ?(1?0.8)(1?0.9)? （C）0.28 （D）0.72

38

（20）经验表明，某种药物的固定剂量会使人心率增加，现有8个病人服用同一剂量的这种药物，心率增加的次数分别为13 15 14 10 8 12 13 11

则该样本的方差为 4.5

（16）5个人排成一行，则甲排在中间的概率是

（A）

1211 （B） （C） （D） 25510（21）用一仪器对一物体的长度重复测量5次，得结果(单位:cm)如下:

1004 1001 998 999 1003

则该样本的样本方差为 5.2 cm2

2009年

（16）某人打靶，每枪命中目标的概率0.9，则四枪中恰有二枪命中目标的概率为

（A）0.0486 （B）0.81 （C）0.5 （D）0.0081

（20）从某种植物中随机抽取6株，其花期（单位：天）分别为19，23，16，25，21，则其样本方差为

9.2（精确到0.1） 2010年

（14）从甲口袋内摸出一个球是红球的概率是0.2，从乙口袋内摸出一个球是红球的概率是0.3。从甲、乙

口袋内各摸出一个球，这两个球都是红球的概率是

（A）0.94 （B）0.56 （C）0.38 （D）0.06

（21）某中学五学生跳高成绩（单位：米）分别为1.68，1.53，1.50，1.72，a，他们的平均成绩为1.61

米，则a? 1.62 ?a?5?1.61?(1.68?1.53?1.50?1.72)?

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