平行四边形中考集锦

中考集锦

20．(2013福建龙岩，20，10分)如图，四边形ABCD是平行四边形，E、F是对角线AC上的

两点，∠1＝∠2．

(1)求证：AE＝CF；

(2)求证：四边形EBFD是平行四边形．

【答案】(1)证明：

(法一)如图①：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD＝BC，AD // BC，∠3＝∠4，

∵∠1＝∠3＋∠5，∠2＝∠4＋∠6，

∠1＝∠2，

∴∠5＝∠6，

∴△ADE ≌△CBF，

∴AE ＝CF；

图① 图②

(法二)如图②，连接BD交AC于点O，

在平行四边形ABCD中，

OA＝OC，OB＝OD，

∵∠1＝∠2，∠7＝∠8，

∴△BOF ≌△DOE，

∴OE＝OF，

∴OA－OE ＝OC－OF，

即：AE＝CF．

(2)证明：

(法一)如图①，

∵∠1＝∠2，

∴DE // BF，

∵△ADE ≌△CBF，

∴DE＝BF，

∴四边形EBFD是平行四边形．

(法二)如图②

∵OE＝OF，OB＝OD，

∴四边形EBFD是平行四边形．

15.（2013福建泉州，15，4分）如图，顺次连结四边形 ABCD 四边的中点 E、F、G、H，则四边形 EFGH 的形状一定是 .

【答案】 平行四边形

16.（2013福建泉州，16，4分） 如图，菱形ABCD

的周长为AC和BD相交于点O，AC：BD = 1：2，则AO：BO= ，菱形ABCD的面积S = .

【答案】1:2；16

12．（2013福建省三明市，12，4分）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，请你添加一个条件，使得四边形ABCD成为平行四边形，你添加的条件是 ．

【答案】答案不唯一，如：AB＝CD或AD∥BC或∠A＝∠C或∠B＝∠D或∠A＋∠B＝180°或∠C＋∠D＝180°等

21．（2013福建省三明市，21，10分）(本题潇分10分）

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE＝PB．

(1)求证：△BCP≌△DCP；(4分)

(2)求证：∠DPE＝∠ABC；(4分)

(3)把正方形ABCD改为菱形，其它条件不变(如图②)，若∠ABC＝58°，则∠DPE＝ 度．(2分)

【答案】(1)证明：在正方形ABCD中，

BC＝DC，∠BCP＝∠DCP＝45°，

∵PC＝PC，

∴△BCP≌△DCP．

(2)证明：由(1)知△BCP≌△DCP．

∴∠CBP＝∠CDP．

∵PE＝PB

∴∠CBP＝∠E．

∴∠CDP＝∠E．

又∵∠1＝∠2．

∴180°－∠1－∠CDP＝180°－∠2－∠E．

即∠DPE＝∠DCE．

∵AB∥CD

∴∠DCE＝∠ABC．

∴∠DPE＝∠ABC

(3)58．

26．（10分）（2013 白银）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．

（1）BD与CD有什么数量关系，并说明理由；

（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．

21．本题满分8分．

（为方便答题，可在答题卡上画出你认为必要的图形）

（2013广东梅州，21，8分）如图，在四边形ABFC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线EF交于点D，交AB于点E，且CF=AE．

（1）求证：四边形BECF是菱形；

（2）若四边形BECF为正方形，求∠A的度数．

【解】（1）∵BC的垂直平分线EF交于点D，∴BF=FC，BE=EC.又∵∠ACB=90°，∴EF//AC. ∴BE：AB=DB：BC，∵D为BC中点，∴DB：BC=1：2，∴BE：AB=1：2，∴E为AB中点，即BE=AE，∵CF=AE，∴CF=BE，∴CF=FB=BE=CE，∴四边形BECF是菱形．

（2）如图，∵四边形BECF为正方形，∴∠BEC=90°.又AE=CE，∴∠A=45°.

22.如题22图，矩形ABCD中,以对角线BD为一边构造一个矩形BDEF,使得另一边EF过原矩形的顶点C.

(1)设Rt△CBD的面积为S1, Rt△BFC的面积为S2, Rt△DCE的面积为S3 ,

则S1______ S2+ S3(用“>”、“=”、“<”填空)；

（2）写出题22图中的三对相似三角形，并选择其中一对进行证明.

22.（1） S1= S2+ S3；

（2）△BCF∽△DBC∽△CDE;

选△BCF∽△CDE

证明:在矩形ABCD中,∠BCD=90°且点C在边EF上,∴∠BCF+∠DCE=90°

在矩形BDEF中,∠F=∠E=90°,∴在Rt△BCF中，∠CBF+∠BCF=90°

∴∠CBF=∠DCE,∴△BCF∽△CDE.

18．（本小题满分9分）

（2013年广州市）如图8，四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O,AB=5,AO=4,求BD的长

.

分析：根据菱形的性质得出AC⊥BD，再利用勾股定理求出BO的长，即可得出答案 解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC与BD相交于O，

∴AC⊥BD，DO=BO，

∵AB=5，AO=4，

∴BO==3，

∴BD=2BO=2×3=6．

点评：此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理，根据已知得出BO的长是解题关键

20.如图4，在等腰梯形ABCD中，已知AD//BC，AB=DC，AC与BD交于点O，廷长BC到E，使得CE=AD，连接DE。

（1）求证：BD=DE。

（2）若AC⊥BD，AD=3，SABCD=16，求AB的长。

解析：

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