电大复变函数形成性考核册参考答案

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

复变函数习题总汇与参考答案

第1章 复数与复变函数

一、单项选择题

1、若Z1=（a, b）,Z2=(c, d),则Z1〃Z2=（C） A （ac+bd, a） B (ac-bd, b) C （ac-bd, ac+bd） D (ac+bd, bc-ad) 2、若R>0，则N（∞，R）={ z：（D）} A |z|<R B 0<|z|<R C R<|z|<+∞ D |z|>R 3、若z=x+iy, 则y=(D)

z 2z z z 22i2i(4 i)(1 i)

(4 i)(1 i)4、若A= ，则 |A|=（C）

A 3 B 0 C 1 D 2

二、填空题

1、若z=x+iy, w=z2=u+iv, 则v=（ 2xy ）

2、复平面上满足Rez=4的点集为（ {z=x+iy|x=4} ） 3、（ 设E为点集，若它是开集，且是连通的，则E ）称为区域。 4、设z0=x0+iy0, zn=xn+iyn(n=1,2,……)，则{zn}以zo为极限的

n

lim

n

lim

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

充分必要条件是 xn=x0，且 yn=y0。

三、计算题

1、求复数-1-i的实部、虚部、模与主辐角。

( 1) ( 1) 2解：|-1-i|=

2、写出复数-i的三角式。

33

i cos isin

22解：

1 i在第三象限 ary( 1, i) arctan|

15

| 14

3、写出复数 的代数式。 解： 1 ii

1 ii

11

i i 1 22

31 i 22

i(1 i)(1 i)i

(1 i)(1 i)i i

i1 i

1 ii

4 的值。

解： 27 3

27

arg( 27)

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

四、证明题

1x yi

x yi

a bi

证明： x yix yi a bi

|a bi| a2 b2

而

x yix2 y2x yi

x2

y

2

1

a2 b2 1

a2 b2

1

，则a2+b2=1。|a bi| |

x yi

x yi

|

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

3

z1 z2

22

z1 z2 2Re(z1 2)

22

证明： z1 z2 (z1 z2)(z1 z2) (z1 z2)(1 2)

z11 z22 z12 z21

z1 z2 z12 z21设z1 a bi则1 a biz2 x yi则2 x yi

z12 z21 (a bi)(x yi) (x yi)(a bi) ax by (bx ay)i ax by (bx ay)i 2(ax by) 2Re(z1z2)

z1 z2

2

2

2

22

z1 z2 2Re(z1 2)

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

第2章 解析函数

一、单项选择题

1．若f(z)= x2-y2+2xyi,则 f (z) (D)

2、若f(z)=u(x, y)+iv(x,y), 则柯西—黎曼条件为（D）

u u v v u u v v 且 且 x y x y

x

y

x

y

u v u v 且

y x x x

u v u v

且 x y y x

3、若f(z)=z+1, 则f(z)在复平面上（C） A 仅在点z=0解析 B 无处解析

C 处处解析 D 在z=0不解析且在z≠0解析 4、若f（z）在复平面解析，g(z)在复平面上连续，则f(z)+g(z)在复平面上（C）

A解析 B 可导 C连续 D 不连续 二、填空题

1、若f(z)在点a不解析，则称a为f(z)的奇点。 2、若f(z)在点z=1的邻域可导，则f(z)在点z=1解析。 3、若f(z)=z2+2z+1，则 f (z) 2z 2

7

f (1) 不存在。 f(z) 4、若，则 (z 1)(z 2)

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

三、计算题：

lim

f(0 ) f(0)

z 0

1、设f(z)=zRe(z), 求 Re( )

f(0 ) f(0)limlim z 0解： z 0

limRe( ) 0 z 0

f (z)2、设f(z)=excosy+iexsiny,求

解：f(z)=excosy+iexsiny=ez,z=x+iy u=excosy v=exsiny f(z)=u+iv

f (z) excosy ie

xf =e(z)∴f(z)在复平面解析，且cosy+iexsiny

u v

excosy x y u v

exsiny y y

3、设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=x3-3xy2， f(i)=0,试求f(z)。

解：依C-R条件有Vy=ux=3x2-3y2

v (3x2 3y2)dy 3x2y y3 Q(x) vx 6xy Q (x) uy 6xy Q(x) c

则V（x1y）=3x2y-y3+c(c为常数)

故f(z)=x3-3xy2+i(3x2y-y3+c)=x3-3xy2+i(cx2y-y3)+ic =z3+ic，为使f(i)=0, 当x=0,y=1时， f(i)=0, 有f(0)=-i+ic=0

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

∴c=1 ∴f(z)=Z3+i

4、设f(z)=u+iv在区域G内为解析函数，且满足u=2(x-1)y, f(2)=-i,试求f(z)。 解：依C-R条件有Vy=ux=2y

∴V= =y 2ydy2+

(x) ∴ (xVx= ) uy 2x z∴ (x)= ( 2x 2)dx x2 2x c

V=y2-x2+2x+c(c为常数) ∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x+c)

为使f(z)=-i,当x=2 y=0时,f(2)=ci=-i ∴f(z)=2(x-1)y+i(y2-x2+2x-1) =-(z-1)2i 四、证明题

1、试在复平面讨论f(z)=iz的解析性。 解：令f(z)=u+iv z=x+iy 则iz=i(x+iy)=-y+ix ∴u=-y v=x 于是ux=0 uy=-1 Vx=1 Vy=0

∵ux、uy、vx在复平面内处处连接 又Ux=Vy Uy=-Vx。

c=-1 ∴

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

∴f(z)=iz在复平面解析。

2、试证：若函数f(z)在区域G内为解析函数，且满足条件f （z）=0，z∈G，则f(z)在G内为常数。

证：设f(z)=u+iv,z=x+iy,z∈G ∵f(z)在G内解析， Ux=Vy, Uy=-Vx

又f （z）=0, f （z）=Ux+iVx Ux=0 Vx=0 Uy=-Vx=0 Ux=Vy=0

U为实常数C1，V也为实常数C2， f(z)=C1+iC2=Z0 f(z)在G内为常数。

复变函数课程作业参考解答2

第3章 初等函数

一、单项选择题

w z的支点. 1. z = ( A ) 是根式函数

(A) 0 (B) 1 (C) (D) i 2. z = ( D ) 是函数w lnz的支点. (A) i (B) 2i (C) -1 (D) 0 3. ei =( B ).

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

(A) e-1+e (B) cos1+isin1 (C) sin1 (D) cos1 4. sin1= ( A )

ei e iei e i

(A) 2i (B) 2i e e 1e e 1

(C) 2 (D) 2

二、填空题

e 1 e

1. cosi = 2

1 ie2. = e(cos1+isin1)

3. lni =2

1

Ln2 i( 2k )

44. ln(1+i) = 2k为整数.

i

三、计算题 1. 设z=x+iy，计算

ez

2

.

2222

z (x iy) x y 2xyi 解:

zx2

e e y i 2xy ∴

22

exp[(x y)[cos(2xy) isin(2xy)]]

22

∴

ez

2

x y

=e x

= e

2

22

exp(z2)

y2

1z

2. 设z = x+iy, 计算Re(e). 解: ∵ z = x+iy

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

11xy 2 i222zx iyx yx y ∴

1

z

xyy

isin)x2 y2x2 y2x2 y2

x

2

∴ e ∴

e

12

Re(e) ex

y2

cos

y

x2 y2

3. 求方程2lnz i的解. 解: ∵ lnz =i /2

∴ 由对数函数的定义有: Z=

ei /2 cos

2

isin

2

i

∴ 所给方程的解为z = i

z

4. 求方程e 1 3i的解.

解: ∵

ez 1 3i 2(cos

isin)33

=

eLn2(cos

isin)

33

根据指数函数的定义有: z=n2+i /3 或z=n(1+i)

四、证明题

1. 试证: sin2z 2sinz cosz.

证明：根据正弦函数及余弦正数定义有：

e2iz e 2iz

sin2z

2i

eiz izeiz e iz

2sinzcosz 2

2i2

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

e2 iz e 2 iz

2i

∴ sin2z=2sinz〃cosz

sin

sinx sin2x sinnx

n 1

x

n sinx

2sin2.

2. 证明:

证明: 令A=1 cosx cos2x cosnx B=sinx+sin2x+…sinnx

ixi2xinx

∴ A Bi 1 e e e

1 e1 eix

i(n 1)x

1 eiz

n 1

xi2x2

1 e

n 1

x2

n 1

xinx e2sin2

n 1i

2isinxe

xxi 2

2isine

2

sin

sin

=

n 1x

nn(cosx isinx)

22sin2

sin

n 1

x

nsinx

2sin2

sinx sin2x sinx

∴

第4章 解析函数的积分理论

一、单项选择题

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

1. c

2dz

( D ) , c为起点在0 , 终点在1+i的直线段.

(A) 0 (B) 1 (C) 2i (D) 2(1+i) 2. z 1

sinzdz (A)

.

(A) 0 (B) 10 i

3i 1

(C) i (D) 2

5

dz (B)zz 5

3.

(A) i (B) 10 i (C) 10i (D) 0

2sinz2z 3(z )

2=( A ). 4.

4 i cos

3

2 (B) 4 i

(A)

(C) 2 i (D) 2 i 二、填空题

1. 若f(z)与g(x)沿曲线c可积，则c

[f(z) g(z)]dz f(z)dz g(z)dz

c

c

.

2. 设L为曲线c的长度, 若f(z)沿c可积, 且在c上满足f(z) M,则3. i

1

f(z)dz c

.

7zdz

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

4.

2i coszdz e 1 e

i

三、计算题 1.计算积分c

Imzdz

,其中c为自0到2+i的直线段.

解: c的方程为: z z(t) (z i)t(0 t 1) 其次由x yi z z(t) (2 i)t得 Imz t dz z (t)dt (2 i)dt ∴

Imzdz (2 i)tdt

c

1

=

(2 i) tdt

1

11 i

=2

ez sinz

dz22z 10z 12z 1

2. 计算积分 解:

.

ez sinz

dz22z 10z 12z 1

=

ez sinz

dz2(z 2)(z 3)z 1

作区域D:z 1积分途径在D内被积函数的奇点Z=2与Z=3均不在D内,所以被积函数在D内解析. 由定理4.2得:

ez sinz

dz22z 10z 12z 1

=0

11

dz,c:z 23 (z 1)(z 1)4. 3. 计算积分c

1

dz23

解: c(z 1)(z 1)

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

∵ 奇点z=1和z=-1不在区域D,z 1内

3

z 1 0的三个根zk e

ik2 3

,k 0,1,2也不在D内

∴ 由定理4.2 得

1

dz23

c(z 1)(z 1)=0

ez

dz5 zc

4. 计算积分

, c:z 5.

解: 由定理4.6得

ez2 iz(4)

dz [(e)]z 05 z4!c

i

12

四、证明题

1dzz 2z 1

1. 计算积分 证明：∵

，并由此证明 0

n

1 2cos

0

5 4cos .

f(z)

1

z 2在圆域

|z|≤1内解析

1dzz 2z 1

1

dz 0z 2z 1

∴=

另一方面,在圆|z|=1 (cos isin )(z 2)

1

dzz 2z 1

∴

1

d(cos isin ) cos sin 2=(实部和虚部为0)

=

sin icos c sin icos [(2 cos ) isin ]

d d

[(2 cos ) isin ][(2 cos ) isin ]cos sin 2

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

2sin i(2cos 1)

4 4cos cos sin =

2sin i(1 2cos ) 5 4cos =

1 2cos 2sin

i 5 4cos 5 4cos =

∵

1dzz 2z 1

2sin

d 0 5 4cos =0 ∴

1 2cos

0 5 4cos ∴ 1 2cos

而5 4cos 为偶函数 1 2cos

5 4cos ∴0=

=

2

1 2cos

5 4cos

∴ 0

1 2cos

0

5 4cos

复变函数课程作业参考解答3

第5章 解析函数的幂级数表示

一、单项选择题 1. 幂级数n 0

z

n

的收敛半径等于( B )

( A ) 0 (B) 1 ( C ) 2 (D) 3 2. 点z=-1是f(z)=5z

2

10z 5r ( B )级零点.

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

( A ) 1 (B)2 (C)3 (D)5 3. 级数n 0

z

n

的收敛圆为( D ).

(A) | z-1|< 3 (B) |z|<3 (C) |z-1| >1 (D) |z| <1

4. 设f(z)在点a解析, 点b是f(z)的奇点中离点a最近的奇点,于是,使f(z)=n 0

c

n

(z a)n

成立的收敛圆的半径等于( C ).

(A) a+b+1 (B) b-a+1 (C) |a-b| (D) |a+b| 二、填空题

z2zn

n!1.级数1+z+2!的收敛圆R=+ ．即整个复平面．

2.若f(z)= k sinz(k为常数),则z=m (m=0, 1, 2……)为f(z)的 1 级零点. 3.幂有数n 0

n!z

n

的收敛半径等于 0 .

4.z=0是f(z)=ez-1的 1 级零点. 三、计算题

1.将函数f(z)= z 1 z 2 在点z=0展开幂级数.

1

解

11 11111 n11 1

z

zz 1z 1 z 1z 2 31 z32 z3 6n 0

1 2 f(z)=

:

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

1 n1

z 3n 06

=-

11 n1 z

z

3n 06n 0 2 z

1 2 z 1

n

2.将函数f(z)=(1-z)-2在点z=0展开成幂级数. 解： f(z) 1 z

(1 z)

2

2

1

zn 1

1 z 而(1-z)-1=1 zn 0

1 z

1

( (z)) nz

n

n 0

n 0

n 1

=n 0

(n 1)z

n

z 1

3．将函数f(z)=(z+2)-1在点z=1展开成幂级数.

1111

2 z3 z 13 (z 1)1 3 解：f(z)=(z+2)-1=

n

1 (z 1) 1 n(z 1) ( 1) 3 3n 03n z 3 =3n 0

n

4．将函数f(z)=ez在点z=1展开成幂级数.

(n)

1 e f 解： f(z)=e f=e

z(n)z

f(z) ez

n 0

f(n)

(z 1)n

n!

(1)

e

(z 1)n

＝n 0n!

四、证明题

1．证明:1-ei2z=-2isinzeiz 证：eiz=cosz+isinz

e=cos-isinz

-iz

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

eiz-e-iz=2isinz -2isinz=-( eiz-e-iz) = eiz-e-iz

-2isinz e

iz

=( e-iz- eiz) eiz

=e0- e2iz=1- e2iz

2．试用解析函数的唯一性定理证明等式: cos2z= cos2z-sin2z

证①f1(z)=cos2z,则f1(z)复平面G解析

设f2(z)＝cosz－sin2ｚ，则f2(z)也在整个复平面G解析 ②取E=K为实数轴,则E在G内有聚点.

③当E为实数时,知cos2z=cos2z-sin2z,即f1(z)= f2(z)

由解析函数唯一性定理,由以上三条知

f1(z)= f2(z) Z G成立 即cos2z= cos2z-sin2z Z G

第6章 解析函数的罗朗级数表示

一、单项选择题

1

1．函数f(z)=z 3z 2在点z=2的去心邻域( D ) 内可展成罗朗级数.

(A) 0<z 3 (B) 0<z 1 5 (C) 1<z 1 3 (D) 0<Z 2 1

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

2．设点 为f(z)的孤立奇点，若的( C ).

Iimf(z)

z

=c ，则点 为f(z)

(A) 本性奇点 (B) 极点 (C) 可去奇点 (D) 解析点

3．若点 为函数f(z)的孤立奇点，则点 为f(z)的极点的充分必要条件是( D ). (A) (C)

Iimf

z

f(z)=c( ) (B) z f(z)=

Iim

Iim

Iim

z

f(z)=c( ) (D) z f(z)=

4．若点 为函数f(z)的孤立奇点，则点 为f(z)的本性奇点的充要条件是（ B ）. (A)

Iim

z

f(z)= c( ) (B) z f(z)不存在

Iim

Iim

(C) z f(z)=c( ) (D) z f(Z)= 二、填空题 1．设n

Iim

c

n

(z )

n

为函数f(z)在点 的罗朗级数,称n

c

1

n

(z a)n

为

该级数的主要部分.

2.设点 为函数f(z)的奇点,若f(z)在点 的某个 某个去心邻域z 内解析,则称点 为f(z)的孤立奇点.

4

3.若f(z)=1 ez，则点z=0为f(z)的 0 级极点. 不是极点,4

若f(z)= 1 ez则z=0为f(z)的一个极点.

1

4.若f(z)=(sin2)-1,则点z＝0为f(z)非孤立 奇点.

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

三、计算题

1．将函数f(z)=(z-2)-1在点z=0的去心邻域展成罗朗级数.

n

111 z1 nz ( ) ( 1)n

11z22n 022n 02

1 2解: f(z)=z 2 = - 2 z= -

n

z2

2．将函数f(z)＝z 1在点ｚ＝１的去心邻域展成罗朗级数. z2z2 1 1(z 1)(z 1) 111

z 1 2 z 1

z 1z 1z 1z 1 解: f(z)=z 1

3．试求函数f(z)=z-3〃sinz3的有限奇点,并判定奇点的类别. 解: sinz解析,无奇点, f(z)的有限奇点为z=0. 并且为3阶极点.

4．试求函数f(z)=[z 1 z ]

2

3

-1

的有限奇点，并判定奇点的类别.

1

f(z)的阶零点,而

解: f(z)的m阶奇点即

1

z(1 z2) z(1 z)(1 z)f(z)零点为z=0，z=1，z=-1，且均为1阶

零点。

f(z) z(1 z2)

1

的有限奇点为z=0，z=1,z=-1且均为1阶极点.

四、证明题

1．设f(z)=8z(e 1),试证z=0为f(z)的6级极点.

31

8z3(ezg1)

证:要证z=0为f(z)的6级极点,只需证z=0为f(z)的

3

z3

1

6阶零点即可.

1、若Z1=(a, b),Z2=(c, d),则Z1•Z2=(C)A (ac+bd, a) B (ac-bd, b)C (ac-bd, ac+bd) D (ac+bd, bc-ad)2、若R>0,则N(∞,R)={ z：(D)}A |z|R3、若z=x+iy, 则y=(D)A B C D

1(z3)2(z3)3(z3)33z33 3

8z(e 1) 8z 1 z 1

2！3！n！ 而f(z)

3(Z3)2

z 32! =8z

z3（z3）2 （z3）n 11

62！3!n! =8z

z3（z3）2

（z） 1

2！3！ 令

1

则 （0） 0 z 0为f(z)的6阶零点

z=0 为f(z)的6级极点.

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