补充

第一章

1细杆绕端点O在平面内匀角速旋转，角速度为?，杆上套一小环相对杆做匀速运动，相对速度为?。设小环可视为质点，且t?0时小环位于端点O。试求小环任意时刻的速度和加速度。

解：

??r??tr?? ， 或 ??????t速度

ω ? O θ r ???r?drdt，即 ??????r?则小环的合速度

??r?? ?????t??22V??r2?????2????t???1??2t2 加速度

2?d2r?d??2?ar?2?r???????????t?dt?dt? ?2d?drd??a?r?2?2???2?dtdtdt?则小环的合加速度

2a?ar2?a????4??2t2

2 宽L的河流，流速与离岸的距离成正比，两岸处流速为0，河中心处流速为?0。今有一小船以恒定的相对速度?r垂直于河流从此岸驶向彼岸。在离岸0.25L处因故突然调头，以相对速度0.5?r垂直于河流驶回原岸。试求小船的运动轨迹和返回点与出发点的距离。

解：水流速度沿x方向，可写成

?小船相对水的速度 ?r??rj

??2??u?0yi

L?dx2?0?y???dt?2?0?L小船相对岸的速度 ?? yi??rj， 或 ?dyL???r??dt消去dt，得

dx2?0?y dyL?rL4?2积分得 x?0y

L?r即

y x x1 x?0L?x?1?16?r? ??y?L1??4返程

O 4?0dx???ydy?L?rx1L4x?x1??xy

或

2?022?0Ly? L?r16?r2?3?Lx??0y2?0

L?r16?r

得

3?0L?x??216?r ??y?0?0

33 质点以初速度?0做直线运动，加速度a??k?，其中常数k?0。求该质点运动速度随

位置的变化关系。

d?d?dxd???k?3 ???k?3 ??k?2 dtdxdtdx?xd?11d???kdx??kdx???kx 22????0???00?0??

kx?0?1第二章

1 在固定的圆柱体上饶有绳索，绳两端挂大小两桶，如题图2.5，质量分别为M=1000kg

和m=10kg，绳河圆柱体之间的摩擦系数??0.050，绳的质量可以忽略。试问欲使两桶静止不动，绳之少需绕多少圈。 解：参见示力图

d?T?dT?Tsin?dN ??????2d?T?dT?Tcos??dN ??????2M m 题图2.5

即

?2T?dT?sind??dN 2d?dTcos??dN

2d??1 2近似

sin得

d?Td??dT?dN

2dT??dN

d?d??,22cosT+dT d? 2dN 忽略高阶无穷小量，得

Td??dN dT??dN

d? ? d? 2T 则

dT??d? T积分

Tmg?dT?T???d?

0m 得

T?mg?e??

由题意

Mg?mg?e??2n?

式中n是圈数。

n?12??lnMln100??14.7 m0.1?至少绕15圈。

2 质量为m线轴大小半径分别为R和r，对质心轴的转动惯量为I，线轴置于水平桌面上，

其摩擦系数为?。今以力F拉轴上绕线的一端，拉力方向与水平面夹角为?，如题图2.9。试讨论线轴的运动情况。 解：参见示力图

按质心运动定律

N?Fsin??mg?0 (2.9.1) Fcos??f?mac (2.9.3)

r F? 对质心轴按转动定律

fR?Fr?I? (2.9.3)

R ? 摩擦力

f??N (2.9.4)

题图2.9

解得

ac??1m???mg?F??sin??cos???? N ??RI???mg?F??sin??rR??? F? N?mg?Fsin?

? f???mg?Fsin??

f 几种不同运动情况： mg 一． 静止

当 Fcos????mg?Fsin??

f?Fcos?

且 Fr?fR 线轴静止，既不平动，也不转动，此时有

cos??rR 二． 匀速直线运动 当 Fcos????mg?Fsi?n? 且

Fr???mg?sFin?? R线轴可做匀速直线运动，此时也有

cos??rR 三． 纯滚动

由方程式(2.9.1)、(2.9.2)和(2.9.3)和纯滚动条件

ac?R? 可解得

aRcos??r?c?R?I?mR2F

??Rcos??rI?mR2F

f?mRr?Icos?I?mR2F

N?mg?Fsin?

讨论：

(2.9.5)

⑴ 必须满足N?0，即mg?Fsin?；

⑵ 因此可得f?0，即摩擦力的方向确定如图向左； ⑶ 当cos?? 当cos??r时，ac?0，??0， Rr时，ac?0，??0； R⑷ 纯滚动的条件是摩擦系数足够大，即

f??N

即

mRr?Icos?F???mg?Fsin??

I?mR2则 ???mRr?Icos??F ?I?mR2??mg?Fsin??即最小摩擦系数 ?0?四． 滚动和滑动

?mRr?Icos??F

?I?mR2??mg?Fsin??当???0时，既滚动又滑动，方程即为式(2.9.1)至(2.9.4)，

ac?0

当 sin??mg?r时，

F?R当 sin??mg?r时， F?R

o3 在倾角??30的斜面上，质量m1?8kg、半径r?5cm的圆柱体磙子的转轴经轻绳与

??0 ??0

（顺时针） （逆时针）

质量m2?4kg的木块相连，如题图2.13所示。已知斜面的摩擦系数??0.2，轴承处的摩擦力可以忽略。试求圆柱体磙子的加速度a，讨论加速度a、张力T和圆柱体磙子所受摩擦力f随斜面倾角?的变化。 解：对圆柱体磙子

m1gsin???m1gcos??T?m1a

?m1grcos??m1r2?

对木块

12m2 ? m1 r ? m2gsin???m2gcos??T?m2a

纯滚动时 a?r? 解得

a?讨论：

题图2.13

22gsin???9.8?sin30o?3.27m?s-2 33

⑴ f??m1gcos?，摩擦力随?增大而减小； ⑵ T?0 ⑶ a?2gsin?，加速度a随?增大而增大。 3第三章

1 半径为R，质量为M，表面光滑的半球放在光滑水平面上，在其正上方置一质量为m的

小滑块。当小滑块从顶端无初速度地下滑后，在示?角位置处开始脱离半径。已知cos??0.7，

m m R 图求

Mm??

解：水平方向动量守恒，设到达?角位置处m的速度为?，M的速度为V, 则

? 题图4.4 M 相对M

m???cos??V??MV?0

按机械能守恒

mgR?1?cos???脱离半径时满足

111m?V??cos??2?m??sin??2?MV2 222mgcos??m解得

?2R

M?2.43 m2 质量为M 的均匀细杆长l ，可绕过一端的水平轴自由转动，如题图4.5。今自水平位置由静止开始自由下摆，至铅直位置时，杆的下端与水平台面上一质量为m 的静止物体发生完全非弹性碰撞。求碰撞后

⑴． 细杆上摆最大的位置；

⑵． 物体滑行的最大距离（设摩擦力与速率成正比，比例系数k>0 ）。

解：细杆下摆过程中，细杆和地球系统机械能守恒。 设碰撞前角速度为?，则有

题图4.5

11?1?Mgl??Ml2??2 22?3?碰撞过程M和m系统对转轴的角动量守恒，设碰撞后细杆M的角速度为?0，物体m的速度为?0，则有

121Ml??m?0l?Ml2?0 33且

?0?l?0

解得

?0?M3glM3gl，?0?

3m?M?3m?M?l⑴ 细杆上摆过程中，细杆和地球系统机械能守恒，设上摆最大角度为?，则

1?12?21?Ml??0?Mgl?1?cos?? 2?32?解得

??M?2???arccos?1????

??3m?M??⑵ 物体滑行过程

f??k? m?d???k? dtt?0?d?k???dt ?m0???0e滑行的距离

?k?tm

S???dt???0e0k?tmdt?m?0 k即

S?

mM3gl k?3m?M?3长l质量M的均匀细杆平置于水平桌面上，一半长度探出桌沿外，如题图4.15。一质量为m的弹性小球自杆外端正上方由静止自由下落。试问，小球碰撞杆外端后他们的运动状态如何？

解：

?1?2gh ll1?m?2?Ml2? 221212121m?1?m?2?Ml2?2 2224m?1解得

m h l 0.5l 题图4.15

M 12m2gh??

3m?Ml???2?讨论： 当3m当3m3m?M3m?M2gh ?M，?2?0，碰撞后速度为0； ?M，?2?0，碰撞后速度向下； M，?2?0，碰撞后速度向上。

当3m?第四章

1如题图3.6所示，质量为m的均匀刚性柔绳长l，与水平桌面的摩擦系数为?，自桌面边缘挂下的一段长度为a。今由静止开始下落，试求该绳刚离开桌面时的下落速度。

解：设下挂长度为y时，再下落dy，

a mgy???l?y??dy ???ldA?l题图3.6

mg12y??l?ydy?m? ???????l2a解得 ??

2质点自球面的顶端从静止开始下滑，球面的半径为R，参见题图3.8。设球面与质点间的摩擦可以忽略，试求质点离开顶端的高度h为多大时开始脱离球面。

解：脱离球面时正压力为零，即

g?222??l?a??l?a?????l?g ??l?a??l?a??l??a????lR?h?2mg?m

RR12机械能守恒 mgh?m?

2R解得 h?

3

h R 题图3.8

3 细线吊着质量为M的大圆环，质量均为m的两小圆环套在大圆环上，可以自由滑动，如题图3.9所示。若两小圆环同时自大圆环顶端由静止开始沿相反方向下滑，试求下滑过程中?角为何值时大圆环刚好能升起。

解：设大圆环的半径为R，则

m m mgR?1?cos???1m?2 2θ θ mgcos??N?m?2R

M 题图3.9

2Ncos??Mg

得 6mcos??4mcos??M?0 则

21?1?cos??即

33M2m

12m?3M cos???318m取

1?3M113M 或 cos???1?1?cos???1?3?2m332m?讨论：上式中只取正号，且1?3M2m?0，即M?2m3

??? ?第五章

1 质量为m的陀螺绕对称轴高速旋转，角速度为?，对转轴的转动惯量为I，质心到转轴

下端的距离为lC，在重力矩作用下，陀螺将绕竖直轴作缓慢进动，参见题图4.17。试求进动角速度的近似值。

若轴下端与桌面是面接触，并受摩擦力作用。试解释在摩擦力作用下，转轴将产生趋向于竖直轴的附加运动，并估算从倾斜?角到竖直位置所需的时间。

解：(1) 如图，受重力矩

设dt时间内，角动量增量为dL，其大小

?M?mglcsin? dL?Lsin?d?

角动量定理

d? Mdt?dL

又三式可得

mglcsin?dt?Lsin?d?

则进动角速度

?dL ?L ??

C d?mglcmglc??dtLI?O

θ mg 题图4.17

(2) 参见下图，摩擦力和摩擦力矩如图所示，其大小

Mf??mglc

dL??Ld??Mfdt

即

?Ld???mglcdt

则进动角速度

??dM dL

?L ?dθ ?

C ?mglcd???dtI?向，并画出示意图。

解：炮弹自旋角速度?，外力

θ lc

f 2 炮弹飞行中自转角速度方向沿其对称轴指向后方，请推导出旋进（即进动）角速度的方

??质心至力心之矢径r，所以

?f，

?f 则进动角速度?L的方向如图所示。

????L?r?f??t ????r?L ?第六章

1 在重力作用下，某种液体在半径为R的竖直圆管中向下作定常层流。已知液体的密度为

?，测的管口处的体积流量为Q，试求

(1) (2)

液体的粘滞系数?； 圆管轴心线处的流速。

解：

(1) w??gh

p1, S1 p2, S2 Q?w?R2 8?hh ??(2) ??r???g8Q??R2

题图5.3

w?R2?r2? 4?h2?gQ?r2???r???1?2?

??R?2?gQ??0??

?2 如图所示，文丘里(Venturi)流量计的两种管径的截面积分别为S1和S2，流体的密度为?，

并由U形管液柱高度差h已计算出压强差为?p，试证明流体的体积流量

QV?S1S2证： p1?2?p

22??S1?S2?2??2??12?2?21212??1?p2???222?2?p?

?1S1??2S2?2S1??1S2?S12??122S22?2??12 ?22S1?S2?1?2?S1S2?2?2??122S12?S2?S1S2?2?p 22??S1?S2?QV??1S1??2S2?S1S22?p 22??S1?S2?3 如图所示，皮托（Pitot）管的U形管压差计测出的压强差?p体的密度为?，试证明气体的流速可近似为

?pA?pB。设被测气

??证：按伯努利方程

2?p? pB?12??B?pA 2A B 题图5.5

?B?近似

2?pA?pB??

??2?p? 4 一圆筒盛有密度?o?1.26g?cm-3的甘油，今由密度??2.56g?cm-3、直径d?6.0mm的小玻璃球在圆筒中自静止开始下落。如果测得小球的恒定速度??3.1cm?s，试计算甘油的粘滞系数。 解：

-1?d36????0?g?ff?6??r?

?0

d2??????0?g18???6.0?10?3?2?218?3.1?10?0.82?Pa?s??2.56?1.26??103?9.8

第七章

1斜放的直尺以速度V相对于惯性系K沿x方向运动，它的固有长度为l0。在与之共动的惯性系K?中它与x?轴的夹角为??。试证明：对于K系的观测者来说，其长度l和与x轴的夹角?分别为

l?l0??V22?1?2cos????sin??

c??tan?? tan??2V1?2c2证：惯性系K?中，?x??l0cos??，?y??l0sin??，K系中

V2V2?x??x?1?2?l01?2cos??，?y??y??l0sin??

cc2??22Vl???x????y??l0?1??sin2?? ?cos??c2???ytan?? tan???2?xV1?2c22

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