高中数学奥赛系列辅导资料:三垂线法作二面角的平面角的技巧1
更新时间:2023-04-11 23:58:01 阅读量: 实用文档 文档下载
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三垂线法作二面角的平面角的技巧
求二面角的大小是考试中经常出现的问题,而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法,许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角,使得解题受阻.
我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法,其作图模型为:
如图1,在二面角α—l 一β中,过平面α内一点A 作AO ⊥平面β,垂足为O ,过点O 作OB ⊥l 于B (过A 点作AB ⊥于B ),连结AB (或OB ),由三垂线定理(或逆定理)知AB ⊥l (或OB ⊥l ),则∠ABO 为二面角。α—l —β的平面角.
作图过程中,作出了两条垂线AO 与OB (或AB ),后连结AB 两点(或OB 两点),这一过程可简记为“两垂一连”,其中AO 为“第一垂线”.“第一垂线”能否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键,在具体解题过程中要注意以下几点:
1.善于利用图中已有的“第一垂线”
例1 已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1中,∠BCA =90°,AC =BC ,A 1在底面ABC 的射影恰为AC 的中点M ,又知AA 1与底面ABC 所成的角为60°.
(1)求证:BC ⊥平面AA 1CC 1;
(2)求二面角B 一AA 1—C 的大小.
剖析:注意该题的第(1)问,事实上本题已经暗示了BC 就是我们要寻求的“第一垂线”.
略解2 A 1A 与底面AB 成的角为60°,所以∠A 1AC =60°,又M 是AC 中点,所以△AA 1C 是正三角形,作CN ⊥AA 1于N ,点N 为A 1A 的中点,连结BN ,由BC ⊥平面AA 1CC 1,BN ⊥AA 1,则∠BNC 为二面角B 一AA 1一C 的平面角.设AC =BC =a ,正△AA 1C 的边长为a ,所以a CN 2
3=,在Rt △BNC 中,tan ∠BNC =3
322
3==a a NC BC ,即∠BNC 332arctan =. 例2 如图3,在底面是直角梯形的四棱锥S —ABCD 中,∠ABC =90°,SA ⊥面ABCD ,SA =AB =BC =1,AD =
21 (1)求四棱锥S —ABCD 的体积;
(2)求面SCD 与面SBA 所成的二面角的正切值.
剖析:由SA ⊥面ABCD 及∠ABC =90°,不难发现,BC 即为“第一垂线”,但是,本题要作二面角的平面角,还需首先作出二面角的棱.
略解2 延长BA 、CD 相交于点E ,连结SE ,则SE 是所求二面角的棱,因为AD ∥BC ,BC =2AD ,所以EA =AB =SA ,所以SE ⊥SB ,因为SA ⊥面ABCD ,得面SEB ⊥面EBC ,EB 是交线,又BC ⊥EB ,所以BC
⊥面SEB ,故SB 是CS 在面SEB 上的射影,所以CS ⊥SE ,所以∠BSC 是所求二面角的平面角,因为222=+=AB SA SB ,BC =1,BC ⊥SB ,因为tan ∠BSC =22==SB BC ,即所求二面角的正切值为2
2.
2.借助第三个平面,作“第一垂线”
例3 如图4,正三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底边长为a ,侧棱长为a 2
2,若经过对角线AB 1且与对角线BC 1平行的平面交上底面一边A 1C 1于点D .
(1)确定点D 的位置,并证明你的结论;
(2)求二面角A 1—AB 1—D 的大小.
剖析:由线面平行的性质定理及三角形中位线性质,易知D 是A 1C 1中点.二面角A 1—AB 1一D 的放置属于非常规位置的图形,但是,容易发现,平面A 1B 1C 1过点D 且与平面A 1AB 1垂直,这样的平面相对于二面角的两个平面而言,我们称为第三个平面.过D 作DF ⊥A 1B 1,由面面垂直的性质知,DF ⊥面A 1AB 1,即DF 为我们要作的“第一垂线”.
略解2 在平面A 1B 1C 1内,作CF ⊥A 1B 1于F ,连DC ,由三垂线定理可证AB 1⊥DG ,∠DGF 就是二面角A 1—AB 1一D 的平面角,在正△A 1B 1C 1中,因为D 是A 1C 1中点,A 1B 1=a ,所以a F B 431=,a DF 4
3=,在Rt △DFG ,可求得∠DCF =45°.
3.利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”
例4 已知:Rt △ABC 的斜边BC 在平面α内,AB 、AC 分别与平面。成30°和45°角,求平面α与△ABC 所在平面所成二面角的大小.
剖析:本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助,但是,我们注意到AB 、AC 与平面α所成的角均已给出,只要过A 作AO ⊥α于O ,就可以同时找到AB 、AC 在平面α内的射影,无疑这样得到的“第一垂线"AO 有着非常特殊的位置,有利于二面角大小的计算.
解:作AO ⊥α于O ,OD ⊥BC 于D ,连OB ,AD ,OC ,由三垂线定理得:AD ⊥BC ,所以∠ADO 是二面角A —BC —O 的平面角,令AO =x ,在Rt △AOB 中,∠ABO =30°,所以AB =2x ,在Rt △AOC 中,∠ACO =45°,所以x AC 2=,因为∠BAC =90°,所以x BC 6=,所以x x x
x AD 3
32622=?=。
在Rt △AOD 中,sin ∠ADO 2
3==AD AO ,所以∠ADO =60°,所以三角形ABC 与面α成60°或120°的二面角.
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