初三数学导学案（2018修改）

更新时间：2024-06-28 20:54:01 阅读量：综合文库文档下载

说明：文章内容仅供预览，部分内容可能不全。下载后的文档，内容与下面显示的完全一致。下载之前请确认下面内容是否您想要的，是否完整无缺。

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第二十一章《一元二次方程》教学案第1课时 21.1. 一元二次方程

教学目标

1、会根据具体问题列出一元二次方程，体会方程的模型思想，提高归纳、分析的能力。 2、理解一元二次方程的概念,知道一元二次方程的一般形式,掌握一元二次方程的根。教学重点：认识一元二次方程

教学难点：一元二次方程的各项及其系数教学过程一、知识链接

（1) 多项式3x-2x-1是次项式,其中最高次项是 ,二次项系数为 , 一次项系数为 ,常数项为。

（2）我们已学过的方程类型有。二、解答问题

1.教材P1页章前引言问题：设雕像下部高为xcm，则上身表示为，表示题目的相等关系为，可列方程为，

方程化简为。 ①

2.教材P2页问题1：设正方形边长为xcm，则盒底长可以表示为，表示题目的相等关系为，可列方程为，

方程化简为。 ②

3.教材P2页问题2：设应邀请x个对参赛，则每个队参赛场，全部比赛共场，表示题目的相等关系为，可列方程为，

方程化简为。 ③ 4.以上方程①②③有什么共同特点？（1）方程两边都是；（整式、分式）（2）方程都是含个未知数；（3）未知数的最高次数是。

归纳：（1）一元二次方程的定义：等号两边都是，只含有个未知数，并且未知数的最高次数是的方程，叫做一元二次方程。

（2）一元二次方程的一般形式：一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如形式： (a≠0)，这种形式叫做一元二次方程的一般形式。其中

是二次项，是二次项系数，是一次项，是一次项系数，是常数项。 (3)能使方程左右两边的未知数的值，叫做方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的。

【注意】

①方程ax+bx+c=0只有当a≠0时才叫一元二次方程，如果a=0，b≠0时就是方程了。所以在一般形式中，必须包含a≠0这个条件。 ②二次项、二次项系数、一次项、一次项系数、常数项都包括前面的符号。 5.自学教材P3例题，解答：

① 一元二次方程4x?2x2?5x?1化为一般形式是：；其二次项是：；

第 1 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

一次项是：；常数项是： .

②把方程?2y?1??2y?1??1化为一般形式为：；其二次项系数是；一次项系数是；常数项是 .

三、巩固练习

1.下列方程是一元二次方程的是有：（1）（5）

，（2）(x+1)(x-1)=0，（3）

，（4）2x2?1?1?0， x，（6）2x2?3y?5?0 （7）ax2?bx?c?0 （8）x2?2x?x2?1

2.若(m?3)xn?2?3nx?3?0是关于x的一元二次方程，则（）.

A m≠0，n=3 B m≠3，n=4 C m≠0，n=4 D m≠3，n≠0 3．（2016·山东省菏泽）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣3=0的一个根，则2m2﹣4m= ． 4.(2013四川宜宾)已知x=2是一元二次方程x2+mx+2=0的一个解，则m的值为________．

5.(2013黑龙江)已知关于x的一元二次方程ax2+bx+5=0(a≠0)的解是x=1，则2013-a-b的值等于_______．

6.（2016·四川）受“减少税收，适当补贴”政策的影响，某市居民购房热情大幅提高．据调查，2016年1月该市宏鑫房地产公司的住房销售量为100套，3月份的住房销售量为169套．假设该公司这两个月住房销售量的增长率为x，根据题意所列方程为．

7.如图所示，在一幅长为80cm，宽为50cm的矩形风景画的四周镶一条相同宽度的金色纸边，制成一幅

矩形挂图，如果要使整个挂图的面积是5400cm2，设金色纸边的宽为xcm，那么x满足的方程是（） A．x2?130x?1400?0 C．x2?130x?1400?0

第 2 页共 156 页

B．x2?65x?350?0 D．x2?65x?350?0

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第2课时 21.2解一元二次方程

21.2.1. 直接开平方法

教学目标

会用直接开平方法解一元二次方程，理解一元二次方程“降次”的转化思想。教学重点：灵活运用直接开平方法解一元二次方程教学难点：理解转化思想教学过程一、自主学习

自学教材P5页问题1

问题中设一个盒子的棱长为x,则10个正方体的表面积为 , 表示题目中的等量关系是 , 由此列方程为 . 整理得: ,

方程的解为: , 方程的解都满足实际问题吗？为什么？

∴盒子的棱长为 . 二、解答问题

1.一般地,对于方程x2?p可利用平方根的定义用开平方的方法直接求解，这种解方程的方法叫做直接开平方法。

(1)当p>0时, 方程x2?p有两个的实数根是 ; (2)当p=0时, 方程x2?p有两个的实数根是 ; (3)当p<0时, 方程x2?p 实数根. 2.思考：如何解方程(x+3)2=5?

方程(x+3)2=5左边是一个整式的平方，右边是一个非负数，根据平方根的意义，可将方程变形为

x?3?__________，即将方程变为x?3? 和x?3?______两个一元一次方程，

从而得到方程(x+3)=5的两个解为x1=___________，x2=___________。

3.归纳：直接开平方法解一元二次方程实质上是把一个一元二次方程“降次”，转化为两个，从而求得一元二次方程的解。

4. 用直接开平方法解一元二次方程：

(1) (x?5)2?25?0 (2) ) 2(x-1)2-6=0

第 3 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

5.归纳：一般地,对于形如(x?n)2?p的一元二次方程：

(1)当p>0时, 方程(x?n)2?p有两个的实数根是 ; (2)当p=0时, 方程(x?n)2?p有两个的实数根是 ; (3)当p<0时, 方程(x?n)2?p 实数根. 三．巩固练习： 1.用配方法解下列方程：

(1)2x2-8=0；（2）9x2-5=3.

(3) )x2-4x+4=5；

(5)3(x-1)2-6=0；

（4）(x?6)2?9?0；（6）3(x?6)2?9?0 第 4 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第3课时 21.2解一元二次方程

21.2.1. 配方法

教学目标

会用配方法解一元二次方程，理解一元二次方程“降次”的转化思想。教学重点：配方法解一元二次方程教学难点：配方教学过程一、知识链接

解一元二次方程：4(x+2)-12=0

二、解答问题

1.怎样解方程x2+6x+4=0?能用直接开平方法求解吗？为什么？

2.能否将方程 x2+6x+4=0转化为直接降次的形式求解呢? x2+6x+4=0 移项

x2+6x=（）配方

x2+6x+( )=-4+( ) 左边写成完全平方式（）2=（）降次（）=（）解一元一次方程 x1=( ), x2=( )

3.归纳：

（1）通过把一元二次方程的左边配成，再用直接开平方法解一元二次方程的方法，叫做配方法。

（2）配方是为了，把一个一元二次方程化为两个方程来解。 4.自学课本P7-8例1，通过自学归纳总结配方法解一元二次方程的一般方法和步骤。配方法解一元二次方程的一般步骤:

第 5 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

①把方程化为一般形式； ②把方程的项通过移项移到方程的右边； ③化系数为1；

④方程两边同时加上； ⑤把方程的左边写成，

⑥如果方程右边是数，两边直接开平方求解，如果方程右边是，则原方程无解。三．巩固练习

1. （2015湖北滨州）用配方法解一元二次方程x2?6x?10?0时，下列变形正确的为（） A.（x?3)2?1 B.（x?3)2?1 C.（x?3)2?19 D.（x?3)2?19 2.（2013四川宜宾）将代数式x2+6x+2化成?x?p?2?q的形式为（）A．?x?3?2?11 B．?x?3?2?7 C．?x?3?2?11 D3.用配方法解下列方程：

(1)x2+10x+9=0；（2）x2?x?74?0；

（3）3x2+6x-4＝0; (4)2x2-6x-1=0.

(5)x2+4x-9=2x-11; (6)x(x+4)=8x+12.

第 6 页共 156 页

．?x?2?2?4

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第4课时 21.2解一元二次方程 21.2.2. 公式法

教学目标

会用公式法解简单系数的一元二次方程,不解方程能判定一元二次方程根的情况. 教学重点：熟练运用公式法解一元二次方程教学难点：公式的推导过程教学过程一、知识链接

用配方法解方程4x2 -6x -3=0

二、解答问题

1.用配方法解方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）

解：移项，得，

二次项系数化为1，得，

配方，

方程左边写成平方式， ∵a≠0,∴4a2 0,有以下三种情况：

（1）当b2-4ac>0时，x1? ； x2? 。（2）当b2-4ac=0时，x1?x2? 。

（3）b2-4ac<0时，方程根的情况为。

2.由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定，因此：

（1）式子b2?4ac叫做方程ax2＋bx＋c = 0（a≠0）根的，通常用字母 “△” 表示。当△ 0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数根；当△ 0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0) 实数根。

（2）解一元二次方程时，可以先将方程化为一般形式ax2＋bx＋c = 0，当b2?4ac≥0时，?将a、b、c代入式子x? 就得到方程的根．这个式子叫做一元二次方程的求根公式，

利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．

【注意】①公式法是解一元二次方程的一般方法.② 公式法是配方法的一般化和格式化。配方法是公式法的基础，通过配方法得出了求根公式；公式法是直接利用求根公式，它省略了具体的配方过程。③用公式法解一元二次方程时，必须注意两点：将a、b、c的值代入公式时，一定要注意符号不能出错；式子b-4ac≥0是公式的一部分。

3.公式法解一元二次方程(仔细阅读课本P11-12页例2解答过程，思考如何用公式法解一元二次方程？)

解一元二次方程的步骤：

第 7 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

（1）；（2）；（3）；（4）。三、巩固练习

1. （2016·云南省昆明）一元二次方程x2﹣4x+4=0的根的情况是（） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定

2．（2016·广西桂林）若关于x的一元二次方程方程（k﹣1）x2+4x+1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（）

A．k＜5 B．k＜5，且k≠1 C．k≤5，且k≠1 D．k＞5

3．（2016·四川泸州）若关于x的一元二次方程x2+2（k﹣1）x+k2﹣1=0有实数根，则k的取值范围是（）

A．k≥1 B．k＞1 C．k＜1 D．k≤1

4. （2015?四川宜宾）关于x的一元一次方程x2–x+m=0没有实数根，则m的取值范围是 . 5.解下列方程：

（1）x2+x-6=0; (2)x2-3x-

(4)4x2-6x=0 ; (5)x2+4x+8=4x+11; (6) x(2x-4)=5-8x.

四、课外作业

（2014年广东汕尾）已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0 （1）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根；（2）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．

第 8 页共 156 页

1=0; (3)3x2-6x-2=0; 4 人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第5课时 21.2解一元二次方程

21.2.3. 因式法解法

教学目标

1.理解用因式分解法解一元二次方程的基本思想，会用因式分解法解某些一元二次方程。 2.会根据目的具体情况，灵活运用适当方法解一元二次议程，提高分析问题和解决问题的能力。教学重点：因式分解法解一元二次方程教学难点：，灵活运用适当方法解一元二次议程教学过程一、知识链接

把下列各式因式分解.

（1）x2－4x=____ __ （2）x＋3－x（x＋3）=___ ___ （3）（2x－1）2－x2 =________ ______ 二、自主学习

1.自学教材P12—13，回答以下问题。

（1）对于一元二次方程，先因式分解使方程化为________________________________的形式，

再使______________________，从而实现__________，这种解法叫做_______________。（2）如果a?b?0，那么_____________________，这是因式分解法的根据。如：如果

(x?1)(x?1)?0，那么x?1?0或______________，即x??1或_______________。

（3）仔细阅读教材例3．归纳总结用因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①通过___________把一元二次方程右边化为0； ②将方程左边分解为两个一次因式的______;

③令每个因式分别为______，得到两个一元一次方程; ④解，它们的解就是原方程的解。注意：

（1）因式分解法是解一元二次方程最简单的方法，但只适用于左边能进行因式分解而右边是0的一元二次方程。

（2）因式分解法的根据是：如果a?b?0，那么a?0或b?0。据此把一元二次方程化为两个一元一次方程来解，达到降次的目的。．．

（3）用因式分解法解一元二次方程时，要根据情况灵活选用学过的因式分解的几种方法，不能出现失根的情况。如解方程x2-3x=0时，方程两边同除以x得x-3=0，解得x=3，这样就失掉了x=0这一个根。 2.知识应用

用因式分解法解下列方程：

（1）x2+3x=0 (2) 4x2-121=0；

（3）3x(2x+1)=4x+2；（4）(x?4)2?(5?2x)2;

第 9 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

三、解答问题

1. 什么样的一元二次方程能用直接开平方法求解？

2. 什么样的一元二次方程能用因式分解法求解？

3.在一元二次方程的解法中法和法适用于所有一元二次方程，

解一元二次方程时一般考虑选择方法的顺序是：_______法、_______法、_____法或_____法四、巩固练习

选择适当的方法解下列方程: （1）12(x+3)2-2=0； (2) x

(4) (x+3)2=(2x-5)2;;

（7）(x-2)(x-3)=6;

2+2x=0; (3) x5）(2x-1)2=4x-2；（8）x2?25x?10?0. 第 10 页共 156 页

2＋2x－8＝0；（6）3x2＝4x－1；（

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第6课时 21.2.4. 一元二次方程根与系数的关系

教学目标：了解根与系数的关系，会运用根与系数关系解决有关问题。教学重点：一元二次方程根与系数的关系的运用教学难点：探究一元二次方程根与系数的关系教学过程一、自主学习

解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表中x1+x2，x1·x2的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？

一元二次方程 x1 x2 x1+x2 x1·x2

x2+6x-16=0 x2-2x-5=0 2x2-3x+1=0 5x2+4x-1=0 二、解答问题

1．若x1、x2为方程x2+px+q=0的两个根，结合上表，说明两根之和x1+x2与两根之积x1·x2与系数p和q有何关系？请你写出关系式

2．若x1、x2为方程ax+bx+c=0（a≠0）的两个根，结合上表，说明两根之和两根之积x1+x2与x1·x2与系数a、b、c有何关系？请你写出关系式

3.请用文字语言概括一元二次方程的两个解的和、积与原来的方程有什么联系？

4.如何证明以上结论？请证明．

归纳：

1．如果方程x+px+q=0（p、q为已知常数，p－4ｑ≥0）的两个根是x1，x2，那么x1+x2=_____，x1x2=________；

2．韦达定理：如果一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根是x1，x2，那么

x1+x2=__ __， x1x2=__ __．

第 11 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

注意：根与系数的关系使用的前提条件___________________________ 三、巩固练习

1. （2016·江西）设α、β是一元二次方程x2+2x﹣1=0的两个根，则αβ的值是（） A．2 B．1 C．﹣2 D．﹣1

2．（2016·四川攀枝花）设x1、x2是方程5x2﹣3x﹣2=0的两个实数根，则

的值为．

3. （2016·山东德州）方程2x2﹣3x﹣1=0的两根为x1，x2，则x12+x22= ．

4. （2016·湖北黄石）关于x的一元二次方程x+2x﹣2m+1=0的两实数根之积为负，则实数m的取值范围是．

5．（2016·四川南充）已知关于x的一元二次方程x﹣6x+（2m+1）=0有实数根．（1）求m的取值范围；

（2）如果方程的两个实数根为x1，x2，且2x1x2+x1+x2≥20，求m的取值范围．

第 12 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第7课时 21.3. 实际问题与一元二次方程

①倍数关系问题

教学目标

掌握用“倍数关系”建立数学模型，并利用它解决一些具体问题．教学重点：建立方程模型解决实际问题教学难点：分析实际问题中的数量关系教学过程

一、知识链接

1.列方程解应用题的步骤：

① .② . ③ . ④ . ⑤ . ⑥ . 2. 据调查，初春是流感盛行的季节，

（1）经研究流感在每轮传染中平均一个人传染10人，请问:一人患流感一轮传染后共有人患了流

感；经过两轮传染后共有人患了流感。

（2）如果设流感在每轮传染中平均一个人传染x人，请问:一人患流感一轮传染后共有人患了

流感；经过两轮传染后共有人患了流感。二、解答问题

有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人? 分析: 设每轮传染中平均一个人传染了x个人,

则第一轮传染后共有人患了流感，第二轮传染后共有人患了流感. , 列方程得：。

解方程,得。

检验：。答: . 归纳：解一元二次方程应用题的一般步骤：（1）审：；（2）设：；（3）列：；（4）解：；（5）验：；（6）答：。

三、巩固练习

1．(2014年天津市)要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请x个队参赛，则x满足的关系式为（）

A．

x（x+1）=28 B．

x（x﹣1）=28 C． x（x+1）=28 D． x（x﹣1）=28

2.一个小组若干人，新年互送贺卡，若全组共送贺卡72张，则这个小组共多少人？

第 13 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干,支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?

4.要组织一场篮球联赛, 每两队之间都赛2场,计划安排90场比赛,应邀请多少个球队参加比赛?

第 14 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第8课时 21.3. 实际问题与一元二次方程

②增长率问题

教学目标：掌握增长率问题中的数量关系，会列出一元二次方程解决增长率问题教学重点：建立方程模型解决实际问题教学难点：分析实际问题中的数量关系教学过程

一、解答问题

（一）1.某厂今年一月份的总产量为100吨，平均每月增长20%，则:

二月份总产量列式为；三月份总产量列式为。

2.某厂今年一月份的总产量为500吨，设平均每月增长率是x ，则：

二月份总产量列式为；三月份总产量列式为。

3.某种商品原价是100元，平均每次降价10%，则：

第一次降价后的价格列式为____ ____；第二次降价后的价格列式为__ _____。

4.某种商品原价是100元，平均每次降价的百分率为x，则：

第一次降价后的价格列式为_____ ___；第二次降价后的价格列式为____ ___。归纳：平均增长率（或平均降低率）问题：（n为相距时间）

原数（1 ＋平均增长率）n= 。

原数（1 －平均下降率）n= 。（二）教材P19探究2

问题1：若设甲种药品成本的平均下降率为x ，请填下表

两年前1吨一年后甲种两年后甲种根据题意列出一元二次方程甲种药品成本药品成本药品成本甲种药品 ① 问题3：请解出方程①，得x1= ；x2= 。

问题4：对问题3的结果你还有什么见解吗？

。

问题5：根据下表请求出乙种药品的年平均下降率，比较两种药品哪个的年平均下降率大。

两年前1吨乙种药品成本一年后乙种药品成本两年后乙种药品成本根据题意列出一元二次方程 ② 乙种药品请解出②，得x1= ；x2= 。

问题6：种药品的下降率较大。

注意：关于量的变化率问题，不管是增加还是减少，都是变化前的数据为基础，每次按相同的百分数变化，若原始数据为a，设平均变化率为x，经第一次变化后数据为a(1?x)；经第二次变化后数据为a(1?x)2，增长为加、降低为减。在依题意列出方程并解得x值后，还要依据0?x?1的条件，做符合题意的解答。二、巩固练习

3. （2016·辽宁丹东）某公司今年4月份营业额为60万元，6月份营业额达到100万元，设该公司5、6两个月营业额的月均增长率为x，则可列方程为．

第 15 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

2.（2016贵州毕节）为进一步发展基础教育，自2014年以来，某县加大了教育经费的投入，2014年该县投入教育经费6000万元．2016年投入教育经费8640万元．假设该县这两年投入教育经费的年平均增长率相同．

（1）求这两年该县投入教育经费的年平均增长率；

（2）若该县教育经费的投入还将保持相同的年平均增长率，请你预算2017年该县投入教育经费多少万元．

3．（2016·山东省济宁）某地2014年为做好“精准扶贫”，授入资金1280万元用于一滴安置，并规划投入资金逐年增加，2016年在2014年的基础上增加投入资金1600万元．（1）从2014年到2016年，该地投入异地安置资金的年平均增长率为多少？

（2）在2016年异地安置的具体实施中，该地计划投入资金不低于500万元用于优先搬迁租房奖励，规定前1000户（含第1000户）每户每天奖励8元，1000户以后每户每天补助5元，按租房400天计算，试求今年该地至少有多少户享受到优先搬迁租房奖励？

第 16 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第9课时 21.3. 实际问题与一元二次方程

③面积、体积问题

教学目标：会用列一元二次方程的方法解有关面积、体积方面的应用问题．教学重点：建立方程模型解决实际问题教学难点：分析实际问题中的数量关系教学过程一、自主学习

如下图，要设计一本书的封面，封面长 27 cm，宽 21 cm，正中央是一个矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下、左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度？

若设边衬宽为x则可列方程为

二、解答问题

如右上图，要设计一本书的封面，封面长27cm，宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上、下边衬等宽，左、右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（结果保留小数点后一位）？分析：这本书的长宽之比是9:7,依题知正中央的矩形两边之比也

为9:7，设正中央的矩形两边分别为，因为四周的彩色边衬所点面积是封面面积的四分之一，则中央矩形的面积是封面面积的四分之三，从而得方程为。解：

第 17 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

]三、巩固练习 1. （2015?四川自贡）利用一面墙（墙的长度不限），另三边用58m长的篱笆围成一个面积为200m2的矩形场地.求矩形的长和宽.

2.（第1题变式）利用一面墙（墙的长度不限），用58m长的篱笆能否围成一个面积为500m2的矩形场地，若能，求出矩形的长和宽，若不能，说明理由。

3.某校为了美化校园,准备在一块长32米,宽20米的长方形场地上修筑若干条道路,余下部分作草坪,并请全校同学参与设计,现在有两位学生各设计了一种方案(如图),若要使图(1),(2)的草坪面积为540米2.求图中道路的宽分别是多少?

第 18 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第二十二章《二次函数》教学案

第10课时 22.1.1 二次函数

【教学目标】了解二次函数的有关概念．会确定实际问题中表示二次函数的关系式。【教学重点】认识二次函数

【教学难点】用二次函数表示实际问题【教学过程】一、知识链接

1.一元二次方程的一般形式是

2.若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的，x叫做。

形如y?___________（k?0)的函数是一次函数，当______?0时，它是函数.

二、自主学习(阅读教材28-29页完成下列问题)

1. 正方体六个面是全等的正方形，设正方体棱长为 x ，表面积为 y ，则 y 关于x 的关系式为 2. n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛．写出比赛的场次数m与球队数n之间的关系式_______________________．

3. 某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量.如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y将随计划所定的x的值而确定，y与x之间的关系式为 .

4.观察上述3个函数解析式有哪些共同特征？

5.归纳：一般地，形如，（a,b,c是常数，且a ）的函数为二次函数。其中x是自变量，a是__________，b是___________，c是_____________．三、解答问题

（1）二次项系数a为什么不等于0？

。（2）一次项系数b和常数项c可以为0吗？

四、巩固练习

1．观察：①y?6x2； ②y??3x2?5； ③y＝200x2＋400x＋200； ④y?x3?2x； ⑤y?x2?12?3； ⑥y??x?1??x2． x2这六个式子中二次函数有。（只填序号） 2.y?(m?1)xm?m?3x?1 是二次函数，则m的值为______________．

3.若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为s?5t2?2t，则当t＝4秒时，该物体所经过的路程为。 4.教材29页练习

(1)函数关系式为 (2)函数关系式为

第 19 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

5.为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）．若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2．求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

第 20 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第11课时 22.1.2二次函数y＝ax2的图象与性质

【教学目标】会画二次函数y＝ax2的图象，掌握二次函数y＝ax2的性质，并会灵活应用．

2y【教学重点】掌握二次函数y＝ax的性质

8【教学难点】灵活应用二次函数y＝ax2的性质

7【教学过程】

6一、知识链接

5一次函数图象的形状是。

4画函数图象的一般过程是① ；② ；③ 。

3二、解答问题

2（一）在图（1）中画出二次函数y＝x2的图象． 1xx … －3 －2 －1 0 1 2 3 … … O1234?4?3?2??11?2图（1） y＝x2 … 归纳： ① 由图象可知二次函数y?x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做线；

②抛物线y?x2是轴对称图形，对称轴是；③y?x2的图象开口_______； ④ 与的交点叫做抛物线的顶点。抛物线y?x2的顶点坐标是；它是抛物线的最点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最值等于0. ⑤在对称轴的左侧，图象从左向右，即x<0时，y随x的增大而，在对称轴的右侧，图象从左向右， x>0时，y随x的增大而。（二）例1在图（2）中，画出函数y?解：列表： x … －4 1 y?x2 … 12x，y?x2，y?2x2的图象． 2－1 0 1 2 3 4 … … 1.5 －3 －2 2x y=2x2 … －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 2 … 10987654321yx… … O12345?5?4?3?2??11?2?3?4?5?6?7?8?9?10归纳：抛物线y?12x，y?x2，y?2x2的图象的形状都是； 2顶点都是__________；对称轴都是_____ ____；二次项系数a_______0，开口都；顶点都是抛物线的最_________点（填“高”或“低”），对称轴左侧y随x的增大而，对称轴右侧y随x的增大而，图（2）第 21 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

例2 请在图（2）中画出函数y??x … … … … -4 －3 12x，y??x2，y??2x2的图象．列表： 2-2 －1 -1 0 0 1 1 2 2 3 4 … … -3 －2 y??x 12x 23 … … y??x2 x … … y??2x2 －2 -1.5 －1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 … … 归纳：抛物线y??12x，y??x2，y??2x2的的图象的形状都是，顶点都是_________； 2对称轴都是______ ___；二次项系数a___0；开口都；顶点都是抛物线的最_____点（填“高”或“低”），对称轴左侧y随x的增大而，对称轴右侧y随x的增大而。归纳：1.抛物线y?ax2的图像及性质： a值图象（草图）开口顶点方向对称轴有最高或最低点最值增减性 a＞0 当x＝____时，yx<0时，y随x有最____值，是的增大而 ______． x>0时，y随x的增大而当x＝____时，yx<0时，y随x有最____值，是的增大而 ______． x>0时，y随x的增大而 a＜0 2．当a＞0时，a越大，抛物线的开口越_______；当a＜0时，a 越大，抛物线的开口越______；因此，a越大，抛物线的开口越________。三、巩固练习 1．抛物线y?32x的顶点是____，对称轴是____，开口向___，当x＝___时，有最___值是__． 72. 抛物线y??6x2的顶点是_ __，对称轴是____，开口向___，当x＝__时，有最__值是_ _． 3. 二次函数y??m?3?x2的图象开口向下，则m___________．

6．若二次函数y?ax2的图象过点（1，－2），则a的值是___________．

7.抛物线①y??5x2②y??2x2 ③y?5x2④y?7x2 开口从小到大排列是______________；（只填序号）其中关于x轴对称的两条抛物线是和。

第 22 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第12课时 22.1.3二次函数y＝ax2＋k的图象与性质

【教学目标】掌握二次函数y＝ax2＋k的图象和性质，并会应用。

【教学重点】掌握二次函数y＝ax＋k的性质【教学难点】灵活应用二次函数y＝ax2＋k的性质【教学过程】一、知识链接

1.直线y?2x?1可以看做是由直线y?2x 平移个单位得到的。 2.抛物线y??x2的图象顶点是_____，对称轴是______，开口向___，当x＝___时，有最___值是_______．二、解答问题

（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数y?2x2，y?2x2?1，y?2x2?1的图象．

x … … … -2 －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 2 … … … 13y?2x2?1 y?2x2?1

归纳 1.填表：二次函数 y＝2x2 y＝2x2+1 y＝2x2-1 开口方向顶点坐标对称轴有最高（低）点最值当x＝___时，y有最____值为____；当x＝___时，y有最____值为____；当x＝__时，y有最____值为_____；第 23 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

2．抛物线y?2x2，y?2x2?1，y?2x2?1的形状_____,开口大小相同,把抛物线y?2x2向____平移____个单位，就得到抛物线y?2x2?1；把抛物线y?2x2向___平移___个单位，就得到抛物线

y?2x2?1.

（二）归纳

（1）抛物线y?ax2?k的图象和性质：

项目开口方向顶点坐标对称轴有最高（低）点最值 y＝ax2＋k a＞0时， a＜0时, a＞0时， a＜0时, a＞0时，当x＝_____时， y有最____值为________； a＜0时，当x＝_____时， y有最____值为________． a＞0时，在对称轴左侧，及x 时，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而； a＜0时，在对称轴左侧，及x 时，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而。增减性（2）a的正负决定开口的；a决定开口的，即a不变，则抛物线的形状。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线a值。（3）次函数y?ax2?k的图象平移规律是：三、巩固练习

1. 抛物线y?2x2?1的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；当x 时，函数有最值为，当x 时，y随x 的增大而增大。

2.抛物线y??2x2?1的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；当x 时，函数有最值为，当x 时，y随x 的增大而减小。

3..抛物线y?2x2向上平移3个单位，就得到抛物线__________________， 4．抛物线y??3x2向下平移3个单位后的解析式为，

5. 写出一个顶点坐标为（0，－3），开口方向与抛物线y??x2的方向相反，形状相同的抛物线解析式____________________________．

6. 抛物线y?4x2?1关于x轴对称的抛物线解析式为______________________．

第 24 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第13课时 22.1.3二次函数y＝a(x-h)2的图象与性质

【教学目标】掌握二次函数y＝a(x-h)2的性质，并会应用。

【教学重点】掌握二次函数y＝a(x-h)的性质【教学难点】灵活应用二次函数y＝a(x-h)2的性质【教学过程】一、知识链接

1. 抛物线y??3x2?1的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______；当x 时，函数有最值为，当x 时，y随x 的增大而增大。

2.将抛物线y??4x2?1的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为。二、解答问题

1.在同一坐标系中画出二次函数y??1211x,y??(x?1)2，y??(x?1)2的图象； 222－3 －2 －1 0 1 2 3 4 … … … x 1y??(x?1)2 21y??(x?1)2 2… … … －4

归纳（1）填表：

函数开口顶点方向坐标对称轴

最值增减性 1y??(x?1)2 2 1y??(x?1)2 2当x＝____时，y有最对称轴左侧，y随____值，是______ x的增大而对称轴右侧，y随x的增大而当x＝____时，y有最对称轴左侧，y随____值，是______ x的增大而对称轴右侧，y随x的增大而第 25 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

（2）抛物线y??1211x,y??(x?1)2，y??(x?1)2的形状、大小_______． 22211把抛物线y??x2向平移____个单位，就得到抛物线y??(x?1)2；

2211把抛物线y??x2向平移____个单位，就得到抛物线y??(x?1)2 。

222.归纳

（1）抛物线y?a(x?h)2的图像及性质：

开口方向顶点坐标对称轴 a＞0时， a＜0时, 有最高（低）点 a＞0时， a＜0时, 最值 a＞0时，当x＝__ ___时，y有最_ ___值为____ ____； a＜0时，当x＝___ __时，y有最___ 值为________． a＞0时，在对称轴左侧，及x 时，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而； a＜0时，在对称轴左侧，及x 时，y随x的增大而；在对称轴右侧，y随x的增大而。增减性图象平移规律三、巩固练习 1．抛物线y?2?x?3?的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；

当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大。

2. 抛物线y??2(x?1)2的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y随x的增大而减小；当x 时，y随x的增大而增大。 4.抛物线y?5x2向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 5. 抛物线y??4x2向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 6．将抛物线y??212?x?2?向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为__________． 327．抛物线y?4?x?2?与y轴的交点坐标是_______，与x轴的交点坐标为________．

第 26 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第14课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质

【教学目标】会画二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象，掌握二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质。

【教学重点】掌握二次函数y＝a(x－h)＋k的性质【教学难点】灵活应用二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质【教学过程】一、知识链接

1.将二次函数y?-5x2的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为。 2.将抛物线y??x2的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为。二、解答问题在图画出y??12112x,y??x2?1,y???x?1??1的图象.(提示:利用抛物线的对称性描点) 222

1．由图象归纳：函数开口方向顶点坐标对称轴最值增减性 y??12?x?1??1 2当x＝____时，当x 时y随xy有最____值，是___ _ 的增大而当x 时y随x的增大而 112（填“相同”或“不同”） ?x?1??1和y??x2的形状，位置。2212123. 抛物线y???x?1??1是由y??x如何平移得到的？

222. 抛物线y?? . 归纳（一）抛物线y?a(x?h)2+k的特征：

函数顶点坐标对称轴开口方向 a>0 向 a<0 向最值当x＝____时， y有最____值，是_ _ 当x＝____时， y有最____值，是_ _ 增减性当x 时，y随x的增大而增大当x 时，y随x的增大而减小当x 时，y随x的增大而增大当x 时，y随x的增大而减小 y＝a(x-h)2+k 第 27 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

注：二次函数y?a(x?h)2+k很容易确定抛物线的顶点坐标，所以y?a(x?h)2+k叫做二次函数顶点式。

（二）二次函数y?a(x?h)2+k的图象平移规律是：。三、巩固练习

1.（2013泰安）对于抛物线y=﹣（x+1）2+3，下列结论：

①抛物线的开口向下；②对称轴为直线x=1；③顶点坐标为（﹣1，3）；④x＞1时，y随x的增大而减小，其中正确结论的个数为（） A．1 B．2 C．3 D．4

2．（2014?新疆）对于二次函数y=（x﹣1）+2的图象，下列说法正确的是（） A．开口向下 2

B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2） D．与x轴有两个交点 3.（2013山东泰安）设A(?2,y1),B(1,y2),C(2,y3)是抛物线y??(x?1)2?m上的三点，则y1,y2,y3的大小关系为（）

A.y1?y2?y3 B.y1?y3?y2 C.y3?y2?y1 D.y2?y1?y3

4.（2016·黑龙江哈尔滨）二次函数y=2（x﹣3）2﹣4的最小值为． 5.（2014?毕节）抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y? A． C．开口向下都有最低点 12x 共有的性质是（） 2B． D．对称轴是y轴 y随x的增大而减小 6. （2013山东泰安）将抛物线y=3x2向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（）

A. y?3(x?2)2?3 B.y?3(x?2)2?3 C.y?3(x?2)2?3 D.y?3(x?2)2?3 7.（2013?雅安）将抛物线y=（x﹣1）2+3向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得抛物线的解析式为（） A． y=（x﹣2）2 B． y=（x﹣2）2+6 C． y=x2+6 D． y=x2 8.(2013年深圳)已知二次函数y?a(x?1)2?c的图像如图所示，则一次函数y?ax?c的大致图像可能是（）

第 28 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第15课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质应用

【教学目标】会用二次函数y?a?x?h??k的性质解决问题；

2【教学重点】建立函数模型解决实际问题【教学难点】建立函数模型解决实际问题【教学过程】一、知识链接：

抛物线y??2(x+1)2?3开口向，顶点坐标是，对称轴是，当x＝时，y有最值为。当x 时，y随x的增大而增大.

二、解答问题

1.抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？

分析：由已知条件可设抛物线的解析式为。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定个点的坐标即可，这个点是。写出完整的解题过程。

2.仔细阅读课本第10页例解答问题：

分析：由题意可知：池中心是，水管是，点是喷头，线段的长度是1米，线段的长度是3米。

由已知条件可设抛物线的解析式为。抛物线的解析式中有一个待定系数，所以只需再确定个点的坐标即可，这个点是。求水管的长就是通过求点的坐标。解：

第 29 页共 156 页

3A21yBD?1O?112Cx3 人教版义务教育教科书九年级数学教学案

三、巩固练习

1. 某广场有一喷水池，水从地面喷出，如图，以水平地面为轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y= -(x-2)2+4（单位：

y (米) 米）的一部分，则水喷出的最大高度是( ) A．4米 B．3米 C．2米 D．1米

x (米)

2. （2013安徽）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。

（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。

第 30 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第16课时 22.1.4二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质

【教学目标】

1.通过配方把y?ax2?bx?c化成y?a(x?h)2+k形式，确定开口方向、对称轴和顶点坐标。 2．熟记y?ax2?bx?c的顶点坐标公式，会画二次函数一般式y?ax2?bx?c的图象．【教学过程】一、知识链接：

抛物线y?2?x?3??1的顶点坐标是；对称轴是直线；当x= 时y有最值是；当x 时，y随x的增大而增大；当x 时，y随x的增大而减小。二、自主学习：仔细阅读教材37-38页解答下列问题。

1. 学习二次函数一般形式的的图象和性质时是将二次函数用的方法转化为式从而直接得到它的图像性质. 2.将二次函数y?212x?6x?21转化为一般式转化为顶点式为 2它的的顶点坐标是，对称轴是，图象有最点，即x= 时，y有最值是，当x 时，y随x的增大而增大；x 时y随x的增大而减小。三、解答问题

1.用上面的方法讨论二次函数y??2x2?4x?1的图像和性质。

（1）二次函数y??2x2?4x?1的顶点式为。（2）y??2x2?4x?1的顶点坐标是，对称轴是 . (3)画出函数图像. 在图中画图.观察并归纳：图象有最点，即x= 时，

y有最值是；

x 时，y随x的增大而增大； x 时，随x的增大而减小。

2. 用配方法将二次函数的一般式y?ax2?bx?c 转化成顶点式.

第 31 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

3.归纳

二次函数的一般形式y?ax2?bx?c可以用配方法转化成顶点式：，函数顶点坐标对称轴开口方向最值增减性 a>0 当x＝____时，向 y有最____值，当x 时y随x的增大而增大当x 时y随x的增大而减小是___ a<0 当x＝____时，向 y有最____值，当x 时y随x的增大而增大当x 时y随x的增大而减小是___ y?ax2?bx?c

四、巩固练习

1.（2016·四川南充）抛物线y=x2+2x+3的对称轴是（） A．直线x=1

B．直线x=﹣1

C．直线x=﹣2

D．直线x=2

2.（2015湖南邵阳第）抛物线y=x2+2x+3的顶点坐标是． 3 （2015?四川乐山）二次函数

A．3 B．4 C．5 D．6

4.（2015湖北荆州）将抛物线y=x2﹣2x+3向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后，得到的抛物线的解析式为（）

A． y=（x﹣1）2+4 B． y=（x﹣4）2+4 C． y=（x+2）2+6 5 （2015?四川凉山）二次函数②当④

时，

，③若（

，

（）、（

，

D． y=（x﹣4）2+6

，，

的最大值为（）

）的图象如图所示，下列说法：①）在函数图象上，当

时，

，其中正确的是（）

A．①②④ B．①④ C．①②③ D．③④

第 32 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第17课时用待定系数法求二次函数的解析式

学习目标:会用待定系数法求二次函数的解析式。教学重难点待定系数法求二次函数的解析式【学习过程】一、自主学习

.已知抛物线的顶点坐标为（-1，2），且经过点（0,4）求该函数的解析式. 解：

二、解答问题

一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。

分析：如何设函数解析式？顶点式还是一般式？答：；所设解析式中有个待定系数，它们分别是，所以一般需要个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：

归纳待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：

1．已知抛物线过三点，通常设函数解析式为； 2．已知抛物线顶点坐标及其余一点，通常设函数解析式为。三、巩固练习

1.（2013?牡丹江）如图，已知二次函数y=x2+bx+c过点A（1，0），C（0，﹣3）（1）求此二次函数的解析式；

（2）在抛物线上存在一点P使△ABP的面积为10，请直接写出点P的坐标．

第 33 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

2.（2013山东省）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣2，﹣4），O（0，0），B（2，0）三点．

（1）求抛物线y=ax+bx+c的解析式；

（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AM+OM的最小值．

3.（2013?宁夏）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交C点，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，3）它的对称轴是直线x=

（1）求抛物线的解析式；

（2）M是线段AB上的任意一点，当△MBC为等腰三角形时，求M点的坐标．

第 34 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第18课时 22.2二次函数与一元二次方程

【学习目标】理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。【教学重点】掌握二次函数与一元二次方程的关系【教学难点】探究二次函数与一元二次方程的关系【学习过程】一、知识链接

已知函数y??2x?6的图象如图，根据图象回答：

⑴当x= 时，y=0，即方程?2x?6?0的解为 ⑵当x 时，y＞0，即不等式?2x?6＞0的解集为

⑶当x 时，y＜6，即不等式?2x?6＜6的解集为二、解答问题

1、问题：如图，以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系：

h?20t?5t2。

考虑以下问题：

⑴ 球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？ ⑵ 球的飞行高度能否达到20m？如能，需要

多少飞行时间？ ⑶ 球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？ ⑷ 球从飞出到落地需要多少时间？

2．已知二次函数y＝－x2＋4x的函数值为3，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程__________________．反之，解一元二次方程－x2＋4x＝3又可以看作已知二次函数y=－x2＋4x的函数值为时的自变量x的值．

归纳：(1)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为0，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程________________；反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为______的自变量x的值。抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点的横坐标就是一元二次方程___________ _____的两个根。

(2) 一般地：已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m，求自变量x的值，可以看作解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m．反之，解一元二次方程ax2＋bx＋c＝m又可以看作已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值为m的自变量x的值．

第 35 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

3．如下图，观察图象：

（1）一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式△__ 0,方程的两个根为

二次函数y＝x＋x－2的图象与x轴有____个交点，交点坐标为____ ___ 。

（2）一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式△__ 0；方程的根为，二次函数y＝x2－6x＋9的图像与x轴有__ _个交点，交点坐标为___ ___。

（3）一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式△____ 0．方程根的情况为，二次函数y＝x2－x＋1的图象与x轴交点。

归纳: 二次函数y＝ax2＋bx＋c与一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的关系：

1.（1）当△＝b2－4ac＞0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有交点；（2）当△＝b2－4ac＝0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴有交点；（3）当△＝b2－4ac＜0时抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交点． 2.一元二次方程ax2?bx?c?0的根就是对应的二次函数y?ax2?bx?c与x轴交点的坐标 y＝x2－x+1 y＝x2－6x+9 y＝x2+x-2

三、巩固练习

1.（2013甘肃兰州）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列说法不正确的是（）

A．b﹣4ac＞0

B．a＞0 C．c＞0 D．

2.（2013?巴中）已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图，则下列结论中正确的是（） A. ac＞0 B. 当x＞1时，y随x的增大而减小

C. b﹣2a=0 D. x=3是关于x的方程ax2+bx+c=0（a≠0）的一个根

3.（2013?苏州）已知二次函数y=x2﹣3x+m（m为常数）的图象与x轴的一个交点为（1，0），则关于x的一元二次方程x2﹣3x+m=0的两实数根是（） A． x1=1，x2=﹣1 B． x1=1，x2=2 C． x1=1，x2=0 D． x1=1，x2=3 4. (2014?山东)若函数y=mx2+（m+2）x+ A．0

B．0或2

1m+1的图象与x轴只有一个交点，那么m的值为（） 22或﹣2

D． 0，2或﹣2

C．

第 36 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第19课时二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质

【教学目标】

1. 能根据图象判断二次函数a、b、c的符号；

2.能根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。【教学重点】根据图象判断二次函数a、b、c的符号

【教学难点】根据图象判断一些特殊方程或不等式是否成立。【学习过程】一、自主学习：

抛物线y?x2?2x?3与y轴的交点坐标分别是 ,与x轴的交点坐标是。抛物线y?ax2?bx?c与y轴的交点坐标是 . 二、解答问题

1.已知抛物线y?ax2?bx?c的图象如图所示 ① 图象开口向上，所以可以判断a 。

② 对称轴是直线x= ，由图象可知对称轴在y轴的右侧，则x>0，即 >0，

当a 0时，可以判断 b 0.

③ 因为抛物线与y轴交于正半轴，所以c 0.

④ 抛物线y?ax2?bx?c与x轴有两个交点，所以b2?4ac 0；归纳：二次函数y=ax+bx+c的图象和性质 ⑴a的符号由决定： ①开口向 ? a 0； ②开口向 ? a 0.

⑵c的符号由决定： ①点（0，c）在y轴正半轴 ?c 0； ②点（0，c）在原点 ?c 0； ③点（0，c）在y轴负半轴 ?c 0. ⑶b的符号由决定： ① 在y轴的左侧 ?a、b ； ② 在y轴的右侧 ?a、b ； ③ 是y轴 ?b 0.

⑷b2?4ac的符号由决定：

①抛物线与x轴有交点? b2?4ac 0 ?方程有实数根； ②抛物线与x轴有交点?b2?4ac 0 ?方程有实数根； ③抛物线与x轴有交点?b2?4ac 0 ?方程实数根； ④特别的，当抛物线与x轴只有一个交点时，这个交点就是抛物线的点. 2.抛物线y?ax2?bx?c如图所示,看图填空：（1）2a?b=_____；（2）a?b?c?????；（3）a?b?c?????；（4）4a?2b?c?????；（5）4a?2b?c?????；（6）9a?3b?c????0。

第 37 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

三、巩固练习

1.（2013?广安）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：

①abc＞O，②2a+b=O，③b﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O 其中正确的是（） A． ①② B． ①③ C． ②④ D． ②③④

2.（2013济宁）二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则下列结论中正确的是（） A．a＞0 B．当﹣1＜x＜3时，y＞0 C．c＜0 D．当x≥1时，y随x的增大而增大

3.（2013?烟台）如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，其对称轴为x=﹣1，且过点（﹣3，0）．下列说法：①abc＜0；②2a﹣b=0；③4a+2b+c＜0；④若（﹣5，y1），（2，y2）是抛物线上两点，则y1＞y2．其中说法正确的是（） A． ①② B． ②③ C． ①②④ D． ②③④

4.（2016·黑龙江）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点坐标为（﹣1，0），其部分图象如图所示，下列结论： ①4ac＜b2；

②方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=﹣1，x2=3； ③3a+c＞0

④当y＞0时，x的取值范围是﹣1≤x＜3 ⑤当x＜0时，y随x增大而增大其中结论正确的个数是（）

A．4个 B．3个 C．2个 D．1个

5.（2016贵州毕节）一次函数y=ax+b（a≠0）与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）

A． B． C． D．

第 38 页共 156 页

人教版义务教育教科书九年级数学教学案

第20课时 22.3实际问题与二次函数 (一)

最大面积问题

教学目标：

1．会结合二次函数的图象分析问题、解决问题。 2．在运用中体会二次函数的实际意义。重难点：