量子力学习题解答-第3章

第三章

形式理论

本章主要内容概要：

1. 力学量算符与其本征函数

量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足

?f(x)?Qg(x)d?x?*??Q(f)x?* dx(g)x?g?Q?fg，其中f(x),g(x)为任意满足平方可积条件的函数或者用狄拉克符号，fQ（在x???，f(x),g(x)为零）。

厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本

征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为?函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。

一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本

?,F?，不可能同时得到确征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量Q定值，它们的标准差满足不确定原理

22 ?Q?F?1???????Q,F?

????2i22. 广义统计诠释

?具有分离谱的正交归一本征函数系?f(x)?本征值为?q?，即 设力学量Qnn*?f(x)?qf(x Q),? mfnnn(xn)f(x?)d?xmn?, m?,n1?, 2,3,...或

?f?q Qnnfn, nfmfn??mn

这个本征函数系是完备的，即?fn用这个本征函数系展开

?(x,t)?展开系数为

cn(t)?fn???*n，任意一个波函数可以fn?1（恒等算符，封闭型）

?cnn 或fnx(),???nfnfn???cnnfn

f(x)?(x,t) dx2若?(x,t)是归一化的，cn也是归一化的，?cnn?1。广义统计诠释指出，对?(x,t)态

2测量力学量Q，得到的可能结果必是Q本征值中的一个，得到qn几率为cn。对系综测量力学量Q（具有大量相同?态系综中的每一个?进行测量）所得的平均值（期待值）为 Q?这与用Q??qnncn2

??*??dx计算方法等价。 Q?具有连续谱的本征函数系 如果力学量Q?(x)?qf(x), f*(x)f(x)dx??(q?q'), Qf'qq?qq任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为

?(x,t)??cqfqx(dq) 或??2?cqfndq

由于q连续变化的，展开系数cq是q的函数可以表示为c(q,t)，其归一化表示为

?。广义统计诠释指出，对?(x,t)态测量力学量Q，得到结果处于q到q?dqc(q,t)dq?122之间的几率为c(q,t)dq，即c(q,t)是几率密度。 3.表象理论

对任意一个物理态?可以用一个力学量的本征态展开，比如若用坐标的本征态x（连续谱） ????(x,t)xd，x ?(x,t)?x?

则展开系数?(x,t)称为坐标表象的波函数。我们可在坐标表象用波函数?(x,t)来研究这个态。若用动量的本征态p，则有

???C(p,t)pdp C(p,t)?p?

展开系数C(p,t)称为动量表象的波函数，我们可在动量表象用波函数C(p,t)来研究这个态。?的性质都是唯一确定的，无论用什么表象研究都是一样的。

?的本征态为分立谱f时， 当力学量Fn ???cnnfn, c n?fn?

?表象中，可以方便的用矩阵形式来表示各种量子力学的公式。这个表象的波函数（展在F?表示为一个方矩阵 开系数?c?可表示为一列矩阵，算符Gn?c1?c?2 Ψ?????cn?????G11??G??21? G??...????Gn1??...??波函数的归一化表示为

.?..?G22.........?.........? .G..mn??......Gnn?............??...?c1?c?2??????cn????????????G12...Gn1fm?Gfn??*f(m)x?G(f)x dxn1????????c1?*c2*?cn*?ncn2?1

G的平均值表示为

?G11?G?21???...??Gn1?...?GG.........1222...............Gn1......Gnn...?????G???c*G??G1c2*?cn*...??c??...c??...?????...??cn?...?????1??2? ????G的本征方程表示为

?G11?G?21 ?...??Gn1?...?..?.?a1????G22.........a2?????.........???...????......Gnn...a??n??...?.........?????G12G22G12...Gn1?a1???a2???? ???a?n??????解久期方程

G11??G21............G...nnGn1......??.........?0. ........??...

...Gn1.........可以得到本征值?n，把某一个本征值代入本征方程可以的到对应这个本征值的本征函数。

习题3.1：

（a） 证明，全体平方可积函数构成一个矢量空间（参考A.1节中的定义）。提示：要点是

证明两个平方可积函数之和也是平方可积的，利用3.7式。全体可归一化的函数构成一个矢量空间吗？

（b） 证明3.6式中的积分满足内积条件（A.2节）。 证明：（a）我们需要证明两个平方可积函数之和也是平方可积的。设为f,g为区域?a,b?上的任意两个平方可积函数，即

ff??baf?x?2dx??,gg??bag?x?dx??。

2设

h?f?g 则有

hh?f?gf?g?ff?gg?fg?gf，

其中

fg??baf*?x?g?x?dx, gf??bag*?x?f?x?dx?fg*。

由Schwarz不等式，若f,g皆平方可积，则

fg?gf?ffgg??。

因此，

f?gf?g?ff?gg?fg?gf??。

即f?g也是平方可积函数，因此特定区域上的全体平方可积函数构成矢量空间。

很容易证明全体可归一化函数不构成一个矢量空间：设f为任一可归一化函数，由于

?f?f?ff, ?f亦是可归一化函数，但f?(?f)?0不可归一化，另外

2f?f?f，但是2f2f?4，也不是归一化的，因此全体可归一化函数不构成一个矢

量空间。

（b） 对于不同的条件有不同的矢量内积定义，本题所指是通常意义下的线性空间两矢量

内积，即内积满足如下条件：

1. c1f1?c2f2g?c1f1g?c2f2g； 2. 3. 4.

fc1g1?c2g2?c1fg1?c2fg2；

fg?gf***；

ff是实数，且ff?0，仅当f(x)?0等号成立。

由3.6式定义的内积

fg??baf*?x?g?x?dx,

可验证： 1.

c1f1?c2f2g??c*1??cab1f1?c2f2?g?x?dx?c*2b**1?baf1*?x?g?x?dx?c?a*2*2bf2*?x?g?x?dx

?baf*1?x?g?x?dx?c?aba*f*2?x?g?x?dx?c*1f1g?cf2g 2.

fc1g1?c2g2??c1?fab*?f?x??c1g1?x??c2g2?x??dxb

?x?g1?x?dx?c2?aba*f*?x?g2?x?dx?c1*fg1?c2fg23.

fg??f?x?g?x?dx??a?x?2b?g?*?x?f?x???dx?gf*

4.

ff??bafdx?0，为实数，等号仅当f?0成立。

所以关于内积的四个条件都成立。

习题3.2：

v（a） v范围取什么值时，函数f(x)?x（0?x?1）是在希尔伯特空间中？假设v是实

数，但不必是正数。

（b） 对于特定情况v?1/2，f(x)在希尔伯特空间吗？xf(x)呢？?d/dx?f(x)呢？ 解：

（a）

ff???10?xx??x*?dx，

由于?为实数，因此

ff?102?dx?12??1x2??110

?12??12??1?0时，ff??；2??1?0时，ff显然（1）（2）

2??1?0（3）??；

时，ff?1?limx??。综上知，若要使f?x????2??12??1x?01x,?0?x?1?处于

?Hilbert空间中，必有2??1?0即????12。

（b）由（a）知，f?x??x,?0?x?1?处于Hilbert空间中的条件为???1/2，所以当

3???1/2时，f(x)?xddx1/2，xf?x??x ，

2ddxf?x??12x?12，因此，f?x?、xf?x?在

Hilbert空间中，

f?x?不在。

??h，那么，对?Qh*习题3.3 证明如果对于所有（希尔伯特空间中）的函数h都有 hQh??g（即，两种对于厄密算符的定义—等式3.16和3.17—?Qf于所有的f和g就有fQg是等价的）。提示：首先设h?f?g，然后令h?f?ig。 证明：

若对于Hilbert空间中任意函数h，都有

?h?Q?hh， hQ设

h(x)?f(x)?cg(x)，其中c是一任意常数（复数）

我们有

hQh??Qhh?(f?cg)?f?cgQ?ffQf?g?c*gQ?f?cfQ?fg?c*Q?gf?cQ?c?c2?g?gQ?ggQ?(f?cg)f?cg?Q?fQ2

?g?c*gQ?f?cfQ?fg?c*Q?gf?cQ上式对任意常数c都成立， 分别取c?1,i，有

?g?fQf?g?Qg?Qf??Qfg?Q?f?g??Qg fQ gfQf?g?两式相加得到所要结果

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