高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系数

高一数学衔接班第4课——一元二次方程的根与系数

高一数学衔接班第4课 ——一元二次方程的根与系数

一、学习目标：

1、掌握一元二次方程的根的判别式，并能运用根的判别式判断方程解的个数。 2、掌握一元二次方程的根与系数的关系，即韦达定理，并能运用韦达定理处理一些简单问题。

二、学习重点：

一元二次方程的根与系数的关系

三、课程精讲： 1、旧知回顾：

一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的两个根为：

x1

b

2

2a

2、新知探秘：

x2

b 2a

对于一元二次方程ax bx c 0 (a 0)，有没有实数根的关键因素是什么？ 知识点一：一元二次方程的根的判别式

一元二次方程ax bx c 0 (a

0)2

（1）当b 4ac 02

2

（2）当b 4ac 0（3）当b 4ac 02

2

2

由于可以用b 4ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况．因此，把b 4ac叫做一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的根的判别式，表示为： b 4ac 【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个数：

2

2

（1）2x 3x 1 0 （2）4y 9 12y （3）5(x 3) 6x 0 思路导航：可以用根的判别式来判断一元二次方程解的个数

2

2

2

2

解：（1） ( 3) 4 2 1 1 0，∴ 原方程有两个不相等的实数根． （2）原方程可化为：4y 12y 9 0

( 12) 4 4 9 0，∴ 原方程有两个相等的实数根．

2

2

2

（3）原方程可化为：5x 6x 15 0

2

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( 6) 4 5 15 264 0，∴ 原方程没有实数根．

2

点津：在使用判别式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一般形式．

【例2】已知关于x的一元二次方程3x 2x k 0，根据下列条件，分别求出k的取值范围：

（1）方程有两个不相等的实数根； （2）方程有两个相等的实数根 思路导航：已知一元二次方程解的个数则可知判别式的值与零的大小关系，从而求出k的取值范围。

解： ( 2) 4 3 k 4 12k

3； （1）

仿练：（3）方程有实数根；

4 12k 0 k

1

4 12k 0 k

1

2

2

（2）

（4）方程无实数根．

4 12k 0 k

13； 1

3； 3． 解：（3）（4）

点津：求待定字母的取值范围，有时应考虑“一元二次方程”这个隐含条件，即方程中

4 12k 0 k

的二次项不能为0。若本题的一元二次方程改为：kx 2x 3 0，k的取值范围将分别是什么呢？

知识点二：一元二次方程的根与系数的关系

一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的两个根为：

x1

2ax1 x2

2

2

x2

2a

2a

2

2a

所以：

ba，

2

x1 x2

b

b

( b) 2

4

ac2

ca

说明：一元二次方程的根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为“韦达定理”。上述定理成立的前提是 0。

【例3】若x1,x2是方程x 2x 2007 0的两个根，试求下列各式的值：

2

1

（4）|x1 x2|．

思路导航：本例若直接用求根公式求出方程的两根，再代入求值，将会出现复杂的计（1）x1 x2； （2）x1

算．本例可利用韦达定理来解答．

解：由题意，根据根与系数的关系得：x1 x2 2,x1x2 2007 （1）

x1 x2 (x1 x2) 2x1x2 ( 2) 2( 2007) 4018

2

2

2

2

22

1

x2； （3）(x1 5)(x2 5)；

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1

（2）x1

1x2

x1 x2x1x2

2 2007

22007

（3）(x1 5)(x2 5) x1x2 5(x1 x2) 25 2007 5( 2) 25 1972 （4

）

点津：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形：

1

x1 x2 (x1 x2) 2x1x2，x1

2

2

2

|x1 x2|

1x2

2

x1 x2x1x2

2

，(x1 x2) (x1 x2) 4x1x2，

22

|x1 x2|

3

3

3

x1x2 x1x2 x1x2(x1 x2)，

x1 x2 (x1 x2) 3x1x2(x1 x2)等等．韦达定理体现了整体思想．

【例4】已知关于x的方程

x (k 1)x

2

14

k 1 0

2

，根据下列条件，分别求出k的值．

（1）方程两实根的积为5；（2）方程的两实根x1,x2满足|x1| x2．

思路导航：（1）由方程两实根的积为5，用韦达定理即可求解；（2）有两种可能，一是

x1 x2 0，二是 x1 x2，所以要分类讨论．

解：（1）∵方程两实根的积为5

12 2

[ (k 1)] 4(k 1) 0 3 4

k ,k 4

123 xx k2 1 5

k ,且k 412

42∴ 所以，当k 4时，方程两实根的积为5．

（2）由|x1| x2得知： ①当②当

x1 0x1 0

时，x1 x2，所以方程有两相等实数根，故

0 k

32；

时， x1 x2 x1 x2 0 k 1 0 k 1，由于

3

2，故k 1不合题意，舍去． 3

0 k

2时，方程的两实根x1,x2满足|x1| x2． 综上可得，

点津：根据一元二次方程两实根满足的条件，求待定字母的值，务必要注意方程有两实

k

根的条件，即所求的字母应满足 0．

【直击高中】

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系在高中数学中应用非常广泛，它在二次函数、不等式、解析几何等方面都有非常广泛的应用，下面让我们一起来感受一下它的作用。 【例5】已知实数x、y满足x y xy 2x y 1 0，试求x、y的值．

思路导航：已知条件中由于只给出了关于x，y的一个关系式，所以并不能用普通的解方程组的方法求x，y，应考虑关系式的特殊性。

2

2

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解：可以把所给方程看作关于x的方程，整理得： 由于x是实数，所以上述方程有实数根，因此：

2

2

2

x (y 2)x y y 1 0

22

[ (y 2)] 4(y y 1) 3y 0 y 0，

代入原方程得：x 2x 1 0 x 1．

综上知：x 1,y 0

点津：转化的思想是高中数学的一个基本思想，可以把复杂问题简单化，也可以把不常见的问题转化成常见的问题，解题时要注意转化思想的运用。

【例6】（1）判断直线y 2x 1与抛物线y x 3x 1的交点的个数； （2）若直线y 2x b与抛物线y x有两个不同的交点，求b的取值范围 y 2x 1

2y x 3x 1 思路导航：求直线与抛物线交点的个数，第（1）小题可以转化为方程组 y 2x b

2y x的解的个数；第（2）小题可以转化成方程组 有两个不同的解时，求b的取值范

围。

2

2

2

y 2x 1 2y x 3x 1，消元得，x2 5x 0，此时 解：（1）依题意，联立方程组

( 5) 4 1 0 25 ，故方程组有两个不同的解，即有两个不同的交点。0

2

y 2x

2y x （2）由

2

b

得x 2x b，即x 2x b 0依题意知，

22

( 2) 4 1 ( b) 0， b 1

点津：判断两曲线交点个数的常用方法有直接求解法、判别式法及图像法。其中判别式法是把图像交点个数的判断转化为判断方程组的解的个数，体现出解析几何的思想——用代

数的方法研究几何问题。

【例7】已知x1,x2是一元二次方程4kx 4kx k 1 0的两个实数根．

2

（1）是否存在实数k，使不存在，请您说明理由．

x1

(2x1 x2)(x1 2x2)

3

2成立？若存在，求出k的值；若

的值为整数的实数k的整数值．

思路导航：对于存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在．

解：（1）假设存在实数k，使

2

（2）求使x2

x2x1

2

(2x1 x2)(x1 2x2)

32成立．

∵ 一元二次方程4kx 4kx k 1 0有两个实数根

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4k 0

k 0 2

∴ ( 4k) 4 4k(k 1) 16k 0，

又x1,x2是一元二次方程4kx 4kx k 1 0的两个实数根

2

x1 x2 1

k 1xx 12

4k ∴

222

∴ (2x1 x2)(x1 2x2) 2(x1 x2) 5x1x2 2(x1 x2) 9x1x2

k 94k

32

k

9

5，但k 0．

32成立．

2

∴不存在实数k，使

x1

(2x1 x2)(x1 2x2)

（2） ∵ x2

x1

x2

x2x1

2

x1 x2

x1x2

22

2

(x1 x2)x1x2

4

4kk 1

4

4k 1

∴ 要使其值是整数，只需k 1能被4整除，故k 1 1, 2, 4，注意到k 0， 2

xx1故使2的值为整数的实数k的整数值为 2, 3, 5． 点津：（1）对于存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则

说明存在，否则即不存在．

4

（2）本题综合性较强，要学会对k 1为整数情况的分析方法．

四、知识提炼导图：

五、目标期望：

现行初中数学教材主要要求学生掌握一元二次方程的概念、解法及应用，而一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系，在高中教材中的二次函数、不等式及解析几何等章节中有广泛的应用．希望通过本节课的学习，同学们能够熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系，并能在学习函数、不等式以及解析几何时进行合理的运用。

六、下节课预告：

下节课我们将学习《不等式》，该内容主要涉及一元二次不等式、分式不等式等知识，虽然关于不等式的诸多内容在高中阶段将会比较系统地得以学习，但是为了更顺利地完成高中各模块的学习任务，有必要对一元二次不等式、分式不等式等基本知识先作学习和掌握。

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【同步练习】（答题时间：45分钟） （一）选择题

1. 一元二次方程(1 k)x 2x 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）

A. k 2 C. k 2

B. k 2,且k 1 D. k 2,且k 1

1

2

2. 若x1,x2是方程2x 6x 3 0的两个根，则x1

2

1

x2的值为（ ）

9

1

A. 2 B. 2 C. 2 D. 2

3. 已知菱形ABCD的边长为5，两条对角线交于O点，且OA、OB的长分别是关于x的方程x (2m 1)x m 3 0的根，则m等于（ ）

A. 3

2

2

2

B. 5

2

C. 5或 3 D. 5或3

2

4. 若t是一元二次方程ax bx c 0 (a 0)的根，则判别式 b 4ac和完全平

方式M (2at b)的关系是（ ）

A. M

B. M

2

C. M

2

D. 大小关系不能确定

b 1

a 1b 1的

5. 若实数a b，且a,b满足a 8a 5 0,b 8b 5 0，则代数式a 1值为（ ） A. 20

（二）填空题

B. 2

C. 2或 20

D. 2或20

0两根相等，则a,b,c之间的关系是 6. 如果方程(b c)x (c a)x (a b) 的

______。

2

7. 已知一个直角三角形的两条直角边的长恰是方程2x 8x 7 0的两个根，则这个直角三角形的斜边长是 _______。

8. 若方程2x (k 1)x k 3 0的两根之差为1，则k的值是 _____。

2

x,xx px q 0的两实根，x1 1,x2 1是关于x的方程129. 设是方程2

2

2

x qx

p 0的两实根，则p= _____ ，q= _____。

2

10. 已知实数a,b,c满足a 6 b,c ab 9，则a= _____ ，b= _____ ，c= _____。

（三）解答题

11. 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．

（1）x2－3x＋3＝0； （2）x2－ax－1＝0；

（3）x－ax＋（a－1）＝0； （4）x－2x＋a＝0．

12. 关于x的方程x＋4x＋m＝0的两根为x1，x2，满足| x1－x2|＝2，求实数m的值． 13. 已知关于x的方程x2＋2（m－2）x＋m2＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21，求m的值．

2

2

2

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【试题答案】

1. B 2. A 3. A 4. A 5. A 6. a c 2b,且b c

7. 3 8. 9或 3 9. －1, 3 10. 3，3，0

2

11. 解：（1）∵Δ＝3－4×1×3＝－3＜0，∴原方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝a－4×1×（－1）＝a＋4＞0，所以原方程一定有两个不等的实数根：

x1

2

22

2，

（3）由于该方程的根的判别式为

2

2

x2

．

2

Δ＝a－4×1×（a－1）＝a－4a＋4＝（a－2）， 所以，

①当a＝2时，Δ＝0，所以原方程有两个相等的实数根 x1＝x2＝1；

②当a≠2时，Δ＞0，所以原方程有两个不相等的实数根 x1＝1，x2＝a－1．

（4）由于该方程的根的判别式为 Δ＝22－4×1×a＝4－4a＝4（1－a）， 所以

①当Δ＞0，即4（1－a） ＞0，即a＜1时，原方程有两个不相等的实数根

x1 1

x2 1

②当Δ＝0，即a＝1时，原方程有两个相等的实数根

x1＝x2＝1；

③当Δ＜0，即a＞1时，原方程没有实数根．

12. 解：∵| x1－x2|

2，∴m＝3．把m＝3代入原方程，Δ＞0，满足题意，∴m＝3．

13. 解：设x1，x2是方程的两根，由韦达定理，得 x1＋x2＝－2（m－2），x1·x2＝m2＋4． ∵x12＋x22－x1·x2＝21，

2

∴（x1＋x2）－3 x1·x2＝21，

即 [－2（m－2）]2－3（m2＋4）＝21， 化简，得 m2－16m－17＝0， 解得 m＝－1，或m＝17．

当m＝－1时，方程为x2－6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意； 当m＝17时，方程为x2＋30x＋293＝0，Δ＝302－4×1×293＜0，不合题意，舍去． 综上，m＝－1．

本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w521.html