函数的单调性与最值教案

函数的单调性与最值

一、函数单调性的定义 增函数 减函数 定义 设函数f(x)的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2 当x1

设f(x)在某个区间(a，b)内有导数，若f(x)在区间(a，b)内，总有f′(x)>0[f′(x)<0]，则f(x)在区间(a，b)上为增函数(减函数)；反之，若f(x)在区间(a，b)内为增函数(减函数)，则f′(x)≥0[f′(x)≤0]．请注意两者的区别所在．

1．下列函数在其定义域上是增函数的是( )

A．y＝tan x

B．y＝－3x C．y＝3x

D．y＝ln |x|

自左向右看图象是________ 解析：y＝tan x只在其周期内单调递增，y＝－3x在R上单调递减，y＝3x在R上单调递增，y＝ln |x|在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

答案：C

2．(2013·海淀区一模)已知a＞0，下列函数中，在区间(0，a)上一定是减函数的是( )

A．f(x)＝ax＋b B．f(x)＝x2－2ax＋1 C．f(x)＝ax D．f(x)＝logax

解析：a＞0时，函数f(x)＝ax＋b，为增函数；对于函数f(x)＝ax，当0＜a＜1时，在R上为减函数，当a＞1时，在R上为增函数；对于f(x)＝logax,0＜a＜1时，在(0，＋∞)上为减函数；当a＞1时在(0，＋∞)上为增函数；对于函数f(x)＝x2－2ax＋1，图象是开口向上的抛物线，对称轴为x＝a，所以该函数在区间(0，a)上一定是减函数，所以选项B对. 故选B.

答案：B

3．若函数f(x)＝x2－2x＋m在[3，＋∞)上的最小值为1，则实数m的值为____________．

解析：∵f(x)＝(x－1)2＋m－1在[3，＋∞)上为单调增函数，且f(x)在[3，＋∞)上的最小值为1， ∴f(3)＝1，即22＋m－1＝1，m＝－2. 答案：－2

1

1

3，?.其中可作为(l，S)取4．一个矩形的周长为l，面积为S，给出：①(4，1)，②(8,6)，③(10,8)，④??2?得的实数对的序号是__________．

?l－2x?xl

解析：设矩形一边长为x，则S＝＝－x2＋x＝

22lll

x －?2＋?0

检验知，①④满足． 答案：①④

5．y＝?3－a??a＋6? (－6≤a≤3)的最大值为( )

9A．9 B.

2

C．3

32D. 2

2

解析：因为y＝?3－a??a＋6?＝18－3a－a2＝

38139a＋?2＋，所以当a＝－时，y＝?3－a??a＋6?的值最大，最大值为. －??2?422

答案：B

11

，＋∞?是增函数，则a的取值范围是( ) 6．若函数f(x)＝x2＋ax＋在??x?2

A．[－1,0]

1111

，＋∞?上恒成立，即a≥2－2x在? ，＋∞?上恒成立，由于y解析： f′(x)＝2x＋a－2≥0在??2??2?xx

11

，＋∞?上单调递减，所以y<3，故只要a≥3. ＝2－2x在??2?x

答案：D

7．已知函数f(x)＝－x2＋4x在区间[m，n]上的值域是[－5,4]，则m＋n的取值范围是( )

A．[1,7]

B． [1,6]

C．[－1,1]

D．[0,6]

B．[－1，＋∞) C．[0,3]

D．[3，＋∞)

解析：f(x)＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4， ∴f(2)＝4.

又由f(x)＝－5，得x＝－1或5. 由f(x)的图象知：－1≤m≤2,2≤n≤5. 因此1≤m＋n≤7. 答案：A

8．已知f(x)是定义在实数集R上的增函数，且f(1)＝0，函数g(x)在(－∞，1]上为增函数，在[1，＋∞)

上为减函数，且g(4)＝g(0)＝0，则集合{x|f(x)g(x)≥0}＝( )

A．{x|x≤0或1≤x≤4} B．{x|0≤x≤4} C．{x|x≤4} D．{x|0≤x≤1或x≥4} 解析：由题，结合函数性质可得x＞1时，f(x)＞0；x＜0时，f(x)＜0；x＜0或x＞4时，g(x)＜0；0

2

＜x＜4时，g(x)＞0，故f(x)g(x)≥0的解集为{x|x≤0或1≤x≤4}．故选A.

答案：A

函数的奇偶性与周期性

一、函数的奇偶性

1．函数奇偶性的定义及简单性质.

2.若f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)＝f(|x|)，反之，也成立． 3．若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)＝0. 4．判断函数的奇偶性有时可以用定义的等价形式． 在定义域关于原点对称的情况下，

f?x?

(1)若f (x)－f(－x)＝0或＝1[f(－x)≠0]，则f(x)为偶函数；

f?－x?f?x?

(2)若f (x)＋f(－x)＝0或＝－1[f(－x)≠0]，则f(x)为奇函数．

f?－x?5．设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域上： 奇＋奇＝奇，偶＋偶＝偶，偶×偶＝偶，奇×奇＝偶，奇×偶＝奇． 二、函数的周期性

1．周期函数定义：若T为非零常数，对于定义域内的任意x，使得f(x＋T)＝f(x)恒成立，则f(x)叫做________，T叫做这个函数的________．

2．周期函数的性质：(1)若T是函数f(x)的一个周期，则kT(k∈Z，k≠0)也是它的一个周期； TTx＋?＝f?x－?； (2)f(x＋T)＝ f(x)常写作f??2??2?(3)若f(x)的周期中，存在一个最小的正数，则称它为f(x)的最小正周期； 1．(2013·肇庆二模)下列函数为奇函数的是( ) A．y＝|sin x| B．y＝|x| C．y＝x3＋x－1

3

D．y＝ln

1＋x

1－x

解析：由|sin(－x)|＝|sin x|，得y＝|sin x|为偶函数，排除A； 由|－x|＝|x|，得y＝|x|为偶函数，排除B；

y＝x3＋x－1的定义域为R，但其图象不过原点，故y＝x3＋x－1不为奇函数，排除C； 由

1＋x1＋x

＞0得－1＜x＜1，所以函数y＝ln的定义域为(－1,1)，关于原点对称， 1－x1－x

1－x?1＋x?－1＝－ln 1＋x，故y＝ln 1＋x为奇函数，故选D.

＝ln??1＋x1－x1－x?1－x?

且ln

答案：D

1

2．函数f(x)＝＋x的图象关于( )

xA．y轴对称 B．直线y＝－x对称 C．坐标原点对称 D．直线y＝x对称

1

解析：可判断f(x)＝＋x为奇函数，所以图象关于原点对称．故选C.

x答案：C

3．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f(x)＝2x－3，则f(－2)＝( ) A．1 答案：B

4．若偶函数f(x)是以4为周期的函数，f(x)在区间[－6，－4]上是减函数，则f(x)在[0,2]上的单调性是________．

解析：∵T＝4，且在[－6，－4]上单调递减，

∴函数在[－2,0]上也单调递减．又f(x)为偶函数，故f(x)的图象关于y轴对称， 由对称性知f(x)在[0,2]上单调递增． 答案：单调递增

4

B．－1

1111C．－ D.

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1．设函数f(x)和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是( ) A．f(x)＋|g(x)|是偶函数 B．f(x)－|g(x)|是奇函数 C．|f(x)|＋g(x)是偶函数 D．|f(x)|－ g(x)是奇函数

解析：因为g(x)是R上的奇函数，所以|g(x)|是R上的偶函数，从而f(x)＋|g(x)|是偶函数．故选A. 答案：A

1

2．(2013·山东卷)已知函数f(x)为奇函数，且当x＞0时，f(x)＝x2＋，则f(－1)＝( )

xA．－2

解析：因为f(x)为奇函数，所以f(－1)＝－f(1)＝－(1＋1)＝－2.故选A. 答案：A

3．(2013·江苏卷)已知f(x)是定义在R上的奇函数．当x＞0时，f(x)＝x2－4x，则不等式f(x)＞x的

解集用区间表示为________

解析：因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以易知x≤0时，f(x)＝－x2－4x解不等式得到f(x)＞x的解集用区间表示为(－5,0)∪(5，＋∞)．

答案： (－5,0)∪(5，＋∞)

B．0

C．1

D．2

1．(2013·增城下学期调研)已知函数f(x)＝x2，则( )

－

A．f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递增

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