导数与微分25（综合题及答案）

高等数学

五、其它题型（共 121 小题，）

x?0,?cosx 1、讨论f(x)??点的可导性。 在 x?0　1 , x?0??sinx2，　　x?0?2、设f(x)??x，讨论f(x)在 x?0　处的可导性。

?0　　　，　x?0?1　，x?a，3、研究f(x)?.在 x?a点的可导性。 x?a　　　0　　　　　　，x?a2(x?a)　arctanarctanx2　　，x?04、讨论f(x)?，在 x?0处的可导性。 x　　0　　　，x?05、讨论f(x)?(x?6、

?2)cosx，在x??2处的可导性。

?2x?1　　，x?1，讨论　f(x)??在x?1处的可导性.

lnx?3　　，x?1，?7、

?ex　　，x?0，讨论　f(x)??在x?0处的可导性.

?x?1　，x?08、

?1?cosx　　，x?0，讨论　f(x)??在x?0处的可导性. 2　x　　　，x?0?9、

设f(x)??(x)??cost2dt02xx则x?0为f(x)的那一种类型的间断点?为什么?10、

，其中?(x)在x?0处可导且?(0)?0

讨论f(x)?sinx在x??处的可导性.

11、

设　?(x)在x?a处连续，讨论f(x)?x?a?(x)在x?a处的可导性．

12、

讨论　f(x)?x??sinx在x??处的可导性．

13、

讨论　f(x)?x??cosx　在x??处的连续性与可导性．

14、

设　f(x)?x?ag(x)，其中g(x)在x?a处连续且g(a)?0，讨论f(x)在x?a处的连续性与可导性．15、

(e2x?1)?g(x)?g(0)?　　设　f(x)?，x?0为该函数的可去间断点,2 x讨论g(x)在x?0处的可导性．16、

设f(x)在(??,??)上有定义,在此定义域上恒有f(x?1)?2f(x),且在[0，1]上有f(x)?x(1?x)．讨论f(x)在x?0处的可导性．17、

?(x?a)(b?x)2　，a?x?b，讨论　f(x)???　　0　　　　，x?(??，a)?(b，??)

在x?a与x?b处的可导性,其中a?b．18、

设奇函数f(x)在(??，?)有定义(??0),且在x?0(x?sinx)?f(x)处可导,问x?0是否为函数的可去间

x2断点,为什么?19、

讨论f(x)?ex在x?0点处的连续性与可导性．

20、

讨论　f(x)?arctanx在x?0点处的连续性与可导性．

21、

讨论f(x)?4?x在x?0点处的连续性与可导性．

22、

一质点,沿抛物线y?x(10?x)运动,其横坐标随着时间t的变化规律为x?tt(t的单位是秒,x的单位是米), 求该质点的纵坐标在点M(8，6)处的变化速率．23、

长方形的一边x?20米,另一边y?30米,若第一边以1米／秒的速度减少，而第二边以1..5米／秒的速度增加,问此长方形的面积以及对角线的变化速率多少?24、

一个半径R?30厘米,质量均为的球,由于受热膨胀,其半径以每分钟0.01厘米的速度增长,问球体积的增长率 是多少?25、

一个半径r?20厘米的金属圆盘,受热膨胀,其半径以0.1厘米／分的速率增长,问圆盘面积的增长率为多少?

26、一个等边三角形，其高以2厘米/秒的速增加，当高为8厘米时，面积的增长率为多少？

27、

金属圆环的内半径r以每秒0.1cm的速率减少,外半径R以每秒0.2cm的速率增长,当r?10cm,R?20cm时,环形面积的变化率为多少?增加还是减少?

28、

两只船Ａ和Ｂ从同一码头同时出发，Ａ船往北Ｂ船往东，若Ａ船的速度为30千米／小时,B船的速度为40千米／小时，问两船间的距离增加的速率如何？

29、一人在平地上散步，他以每小时2.5公里的速度沿射线方向离开高为30米的塔基，问当他离塔基40米时，他的脚离开塔顶的速率是多少？

30、某人以每秒3米的速度向高为100米的直立旗竿前进。当此人距竿脚50米时，此人脚与竿顶之距离之改变率为多少？

31、一人以3米/秒的速率走过一座离水面30米高的桥，某一时刻在此人的正下方有一船以2米/秒的速率沿与桥垂直方向前进，求此后第5秒末人与船的分离速率？

32、设有一个球体，其直径以0.02米/秒的速率在减少，当其直径为4米时，问其体积及表面积的变化率是多少？

33、

一个圆形铝盘加热时,随着温度的升高而膨胀,设该圆盘在温度为t0C时半径r?r0(1??t).其中r0,?为常 数,求在t0C时圆盘面积对温度t的变化律?34、

落在平静水面上的石头，使水面产生圆心的波纹。若最外一圈半径增大总是6米面面积的增长率为多少？35、

，问在2秒末被扰动水

秒　　有一个安置在铁架上的半径为20米的球形盛器,的速率将水注入其中,当水深为10米分

时,水表面中升的速率为多少?h[注：球缺体积V??h2(R?)，其中R为球半径,h为球缺深度]336、

若以50立方米　　设有一正球台,上,直底面半径别为R1和R2,球台高为的速率缩短分分为使体积V保持不变,当R1?5米,R2?8米，h?3米时,球122台的高h的变化速率如何?(球台体积V??h3(R1?R2)?h2 )637、

h,若R1以0.08米的速率增长,R2以0.03米

??　　一条东西向笔直的公路与某铁路的直线段正交于车站A,位于A正东300公里处一辆摩托车以每小时50公里的速度向车站A行驶,一列火车以每小时60公里的速度由 车站A向正北方向行驶,两车同时出发,问当2小是末两车相距的速率是多少?是在靠近还是分离?38、

一气球从距离观察员500米处离地匀速铅直上升，其速率为140米 ,当此气球上升到500米空中时,问观

分察员视线的倾角增长率为多少?39、

某气体储存器装有1000立方厘米的理想气体,其压力为每平方厘米10公斤,如果温度不变,压力以每小时0.05公斤的速率减小,那么体积的 增长率为多少?40、

一质点沿曲线y?3x3?2x运动,其横坐标随时间t的变化规律为x?et(t的单位是秒,x的单位是米),求质点在点M(2，20)处：?1?横坐标的变化速率,(2)纵坐标的变化速率,(3)运动速度大小.41、

地面上空2公里处有一架飞机以每小时200公里作水平飞行,机上观察员正在用摄影机瞄准前方矿山(矿山高度略而不计).因飞机位置在改变,必须转动摄影机,才能保持矿山在视域内,问当俯角为900时,摄影机转动的角速度是多少?42、

设有一金属丝弓形,其弦长b以0.02厘米分的速率缩短为保持圆心角?不变,问当弓高h?2米,弦长b?4米时,弓高h 的变化率如何?43、

有一个上下底半径为别为5米和10米，高为10米的正圆台形盛器，如果以每分钟10立方米的速率将水注入该盛器中则当水面高度为2米时，水表面上升的速率为多少？44、

　设有一顶点在下的正圆锥形容器,高15米,容器口的半径是2.5米,若以每分钟2立方米的速率将水注入容器内,当长率.45、

水面高度为6米时,求(1)水面上升的速率,(2)水表面面积的增

有一截面为正方形的倒置棱台形盛器，它上下底边的长分别为20米和10米，高为10米，如果将水以每分钟30立方米的速率注入盛器中，求当水面高为5米时：(1)水表面上升的速率；(2)水表面的面积的增长率[注:设梭台上下底的面积分别为S1与S2 ,高为h,则棱台体1积V?h(S1?S2?S1S2)]346、

的速率在缩小分为使其表面积A保持不变,问当锥高h?3米时,半径R?4米其高和体积的变化率如何?A????注：正圆锥体表面积?? 222?(R?RR?h)???47、

设有一正圆锥体，其半径R以0.02米　　一个半径为a的球渐渐沉入盛有部分水的半径为b的圆柱形容器中(a?b),如果球以匀速c下沉,证明当球浸没一半时,容器中水面上升的速a2c率是2b?a2h??2提示：球缺的体积V??h(a?),其中a为球的半径,h为球缺的高.??3??48、

有一个长度为5米的梯子贴靠在铅直的墙上,假设其下端沿地板以3米的速率离开墙脚而滑动,则秒(1)当其下端离开墙脚1.4米时,梯子的上端下滑之速率为多少? (2)何时梯子的上、下端能以相同的速率移动?(3)何时其上端下滑之速率为4米49、

秒?　　设有一正圆锥体,其底半径以1.5厘米3厘米50、

的速率减少,其高以秒的速率在增加，当半径为40厘米时，高为30厘米时，其 秒体积及表面积的变化率是多少？体积和表面积是增加还是减少？　　溶液自深为18厘米,顶直径12厘米的正圆锥形漏斗中漏入一个直径为10厘米的圆柱形筒中,开始时漏斗中盛满了溶液,已知当溶液在漏斗中的深为12厘米时.其水平面下落之速率为1厘米圆柱形筒中溶液之水平面上升的速率为多少？51、

分，问此时

一个上下底半径分别4米,8米,高为20米的正圆台形容器其中盛满了水,现以每分钟2立方米的速率将水抽出,问当水 面高度为5米时,水表面下降的速主率的多少?52、

设f(x)的一阶导数连续,试讨论?(x)?x2f(x)在x?0处的二阶导数是否存在?53、

设　?(x)的一阶导数连续,且?(0)?0试讨论f(x)?x?(x)在x?0点处的二阶可导性．54、

　　设　　f(x)?xsinx．求f?(x)，并讨论f(x)的二阶可导性．55、

1?2xarctg，x?0，?　　设　　f(x)??试讨论f(x)在x ?　　0　，x?0?x?0处的二阶导数的存在性.56、

?x2tanx，x?0，　　设　f(x)??试讨论f(x)在x?0 　0　，x?0，?处的二阶导数存在性．　57、

?xsin2x，　x?0，　　设　f(x)??讨论f(x)在x?0处的 　　0，　x?0?二阶导数是否存在．58、

?1　　,x?0?讨论函数f(x)??1?x2在x?0处是否可微?

?1?x2　　，x?0?59、

?sinx　　，x?0讨论函数y(x)??2在x?0处是否可微?

x?2x　，x?0?60、

?ln(1?x2)　　，x?1讨论函数f(x)??在x?0处是否可微?

?x?1?ln2　　，x?161、

?x　　　　,x?0讨论函数f(x)??在x?0处是否可微?

?ln(1?x)　，x?062、

?sinx　　x?0讨论f(x)??在x?0处是否可微?

?arctgx　x?063、

x?0?sinx　讨论函数f(x)?? , 在x?0处是否可微?

arctgx　　　 x?0?64、

1?2xcos , x?0?　　讨论函数f(x)?? ,在x?0 处是否可微? x? , x?0?0 65、

　设f(x)在x?a处连续,而y(x)?f(x)sin(x?a)试讨论y(x)在x?a处是否可微?66、

2

?x2e?x　　,当x?1?讨论函数f(x)??1在x?1处是否可微?

?　　　　，当x?1?e67、

?coswx　　，x?0讨论函数f(x)??2在x?0处是否可微?

?2x?1　　，x?068、

?13?(x?8)　　,x?1讨论函数f(x)??9在x?1处是否可微?

?3x　　　　　,x?1?69、

?12x?(e?1)　　，x?0讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

??2?sin2x　　　,x?070、

?ex?1　　，x?0?讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

?　1　　　，x?0?71、

?2x?1　　，x?0?讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

?　ln2　　，x?0?72、

?1?x?1　　　，x?0??x讨论函数f(x)??在x?0处是否可微?

?　　1　　　　，x?0?2?73、

??tanx　　，0?x??讨论函数f(x)??x2在x?0处是不可微?

??　1　　　，x?074、

?1?cosx　　，x?0?讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

??　0　　　　，x?075、

?sinx　　，x?0?讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

??　1　　　,x?076、

?ln(1?x)　，x?0?讨论函数f(x)??在x?0处是否可微? x??　　1　　，x?077、

?ex?1　　，x?0讨论函数f(x)??在x?0处是否可微?

?　x　　　，x?078、

?2x?1　　，x?0,讨论函数f(x)??在x?0处是否可微?

?　x　　　，x?,79、

?arcsinx　　，0?x?1，?讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

??　　0　　　，x?0，80、

?arctanx　　　，x?0?讨论函数f(x)??x在x?0处是否可微?

??　　1　　　　，x?081、

?b(1?sinx)?a?2　，x?0设函数f(x)??处处可微.,试确定常数ax 　　e?1　　　　，x?0?a.,b,的值82、

1?x?讨论函数f(x)??(1?x)　　，x?0在x?0处是否可微?

??　e　　　　，x?083、

?sin(x?1)　，x?1??x2?1讨论函数f(x)??在x?1处是否可微?

1?　　　　，x?1??284、

设球的半径是0.998m,试用微分,求球的表面积的近似值(设??3.14)85、

设球的半径为102.米,试用微分求球体积的近似值(??314.)

86、

设质点作直线运动的位移规律为S?t?arctant(单位,米.秒)试求从t?1秒至t?1.01秒时运动路程的近似值.87、

若e?2.718试用微分计算ln(2.7)的近似值.

88、

已知e?2.72试用微分计算以e为底的(2.73)2的对数值

89、

对半径为100cm圆心角??500的扇形,若圆心角减小

30?,则扇形面积减少多少?(??3.14)90、

有半径为100cm圆心角为??500的扇形,若半径增加05.cm求扇形面积增加多少?91、

用微分代替增量,求31.01的近似值.

limf(x)?f(?)x???x????x?limsin??x?0

f(xlimx)?f(?)???x???limsinx??x?0

?f(x)在x??处可导

13、

limx??f(x)?limx??x??cosx?0?f(?)

?f(x)在x??处连续．

limf(x)?f(?)x???x???(??x)cosxxlim???x???1

　xlimf(x)?f(?)(x??)cosx???x???limx??x????1

?f(x)在x??处不可导．

14、

limx?af(x)?limx?ax?ag(x)?0?f(a)

?f(x)在x?a处连续

　limf(x)?f(a)x?ax?a?limx?ax?ax?ag(x)?0 　?f(x)在x?a处可导．

15、

limf(x)?limg(x)?g(0)2xg(x)x?0x?0x?x?2lim?g(0)x?0x

该极限存在，?g(x)在x?0处可导．

16、

?1?x?0时f(x)?12f(x?1)?12(x?1)(?x) x)?f(0)xlimf(?0?x?x(1?x)xlim?0?x?1f(x)?f(0)?1?(x?1) xlim?0?x?xlim21?0?x??2?f(x)在x?0处不可导．

17、

4分 8分 10分

4分

10分

4分

10 分7分

10分

3分

10 分

在x?a处

f(x)?f(a)(x?a)(b?xx?a?x?a?xlim)2lim?a?x?a?(b?a)2 ?f(a)xlimf(x)?a?x?a?xlim?a?0?0 ?f(x)在x?a处不可导． 在x?b处

xlimf(x)?f(b)?b?x?b?xlim0?b?x?b?0 f(x)?f(b)(x?a)(b?x)2xlim?b?x?b?xlim?b?x?b?0 ?f(x)在x?b处可导．

18、

?f(x)为奇函数,且在x?0处连续

?f(0)?0 lim(x?sinx)f(x)sinxf(x)x?0x2?lim(x?01?x)?f(0)x ?2f?(x)存在

?x?0是该函数的可去间断点， 19、

limx?0ex?e0?1　f(x)在x?0处连续

f(x)?f(0)exxlim?0?x?xlim?1?0?x?1f(x?x xlim)?f(0)?0?x?xlime?1?0?x??1?f(x)在x?0处不可导．

20、

limx?0f(x)?limarctanx?0x?0?f(0)

?f(x)在x?0处连续

2分

4分 5分

7分

9分

10分2分

8分 10分3分

10分4分

limf(x)?f(0)?x?0?x?xlimarcatnx?0?x??1f(x)?f(0)arctanx

xlim?0?x?xlim?0?x?1?f(x)在x?0处不可导

21、

limx?0f(x)?limx?04?x?2?f(0)

?f(x)在x?0点连续

limf(x)?f(0)4?x?21x?0?x?xlim?0?x?4xlimf(x)?f(0)

?0?x?xlim4?x?2?0?x??14?f(x)在x?0处不可导．

22、

当　x?8时，t?4

1dx?3t2?3(米／秒)dt2 t?4t?4dy ??18(米／秒)dt?(10?2x)?dxdt x?8 x(t)?3答：质点的纵坐标在M(8，16)处的变化率为?18(米／秒)23、

长方形的面积A?xy(平方米)已知dxdt??1米／秒,dy dt?15.米／秒dAdt?ydxdt?xdydt?30?(?1)?20?15.?0 长方形对角线.l?x2?y2(米)dl?11dtx2?y2(xdxdydt?ydt)?400?900(?20?45) 10分

4分

10分

2分

4分

10分

4分

　?5213(米／秒)

答：面积不变,对角线以5213米／秒的速度增加。 24、

球体积V?43?R3 dVdt?4?R2dRdt 以R?30cm,dRdt?0.01cm／分代入得dV

dt?36?(cm3／分)答：球体积的增长率为36?(cm3／分)

25、

圆盘的面积A??r2

dAdt?2?rdrdt

以r?20.，drdt?01.代入上式得dAdt?4?(cm2／分) 答：圆盘的面积以每分钟4?平方厘米的速率增长26、

时刻t(秒)等边三角形的面积高为h(厘米)面积S?12 3h,dsdt?2hdh3dt，已知dhdt?2厘米／秒 dsdth?8?322／秒)

h'(t)?w3(厘米答：面积以

323cm2／秒的速率增长。 9分

10分

3分 6分

10分

2分

10分

3分

5分

10分

27、

S??(R2?r2)

dsdRdt?2?(Rdt?rdrdt) 以R?20cm，r?10cm，dRdt?0.2cm／秒drdt?0.1cm／秒代入上式得 dsdt?6?(cm2／秒)答：环形面积以每秒6?cm2速率增加

28、

设时刻t(小时)A船远距码头x(千米),B船远距码头y(千米)两船相距S(千米)S2?x2?y2

2sdsdt?2xdxdydt?2ydt 以x?30t(千米)，y?40t(千米)，s?50t(千米)dxdydt?30(千米小时)，dt?40(千米小时)代入上式得

ds?50(千米dt小时)答：两船间距离增加的速率为50(千米时)

29、

设时刻t,此人脚距塔基x(米),距塔项S(米)S2?302?x2 当x?40米时,s?50米,已知dxdt?2.5km小时

ds2xdxdt?2s?dtxs?x?40(t50)?2500

?2(km时)答：脚离开塔项的速率为2公里时

30、

2分 4分

10分3分 5分

10分3分

5分

10分

f?(x)???sinx?xcosx　　x?0(sinx?xcosx)　x?0

??f?(x)?f(0)xlim?0?x?sinx?xcosxxlim?0?x?2f?(x)?f(0)?

xlim?0?x?xlim(sinx?xcosx)?0?x??2?f(x)在x?0点二阶导数不存在

55、

f(x)?f(0)x2arctg1lim?xx?0xlimx?0x?0

?f?(0)?0?f?(x)???2xarctg1x2x??1?x2　　x?0 ?　　　　0　　　　　x?0limf?(x)?f?(0)x?0x?lim(11x?02arctgx?1?x2)极限不存在,?f(x)在x?0点二阶导数不存在56、

f(x)?f(0)x2xlim?0?x?xlimtgx?0?x?0xlimf(x)?f(0)?0?x?xlim0?0?x?0 ?f?(0)?0?2xtgx?x2f?(x)??sec2x　　x?00　　　　　x?0

?　　　f?(x)?f?(0)2xtgx?x2sec2xxlim?0?x?xlim?0?x?0xlimf?(x)?f?(0)

?0?x?xlim0?0?x?0?f(x)在x?0处二阶导数存在。

57、

5分

10分

3分

6分

10分

5分

10分

limf(x)?f(0)xsin2xx?0?x?xlim?0?x?0

xlimf(x)?f(0)?0?x?xlim0?0?x?0?f?(x)???sin2x?2xcosx　　x?0?　　　0　　　　　x?0 limf?(x)?f?(0)sin2x?2xcosx?0?x?xlimx?0?x?4f?(x)?xlimf?(0)0?0?x?xlim?0?x?0 ?f(x)在x?0处二阶导数不存在58、

f(x)在x?0处连续

f?2x??(0)?xlim?0?(1?x2)2?0　　f??(0)?xlim?0?(?2x)?0 故　f?(0)?0

f(x)在x?0处可导,故它在x?0处可微

59、

y(x)在x?0处连续

y??(0)?xlim?0?(sinx)??1y?2?(0)?lim(x?2x)?? x?0???2故y(x)在x?0处不可导,从而在x?0处不可微

60、

f(x)在x?1处连续

fx??(1)?lim2x?1?1?x2?1　　f??(1)?1 故f?(1)?1

f(x)在x?1处可导,故它在x?1处可微

61、

f(x)在x?0处连续,f???(0)?xlim(?0?x)??1，f??(0)?xlim?0??ln(1?x)??15分

10分2分

7分 10分2分

7分

10分2分

7分 10分

故f?(0)?1

f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

62、

f(x)在x?0处连续,f??(0)?xlim(sin?0?x)?1 f??(0)?xlim(?0?arctgx)??1．故f?(0)?1 f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

63、

f(x)在x?0处连续,f??(0)?xlim?0?(sinx)??1f??(0)?xlim?0?(arctgx)??1 故f?(0)?1 f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

64、

limf(x)?f(0)x?0x?0,即f?(0)存在.

f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?a处可微.

65、

y?(a)?limy(x)?y(a)f(x)sin(x?ax?a?limx?a)x?ax?a

?limx?af(x)limsin(x?a)x?ax?a?f(a)

y(x)在x?a处可导,故它在x?a处可微

66、

f(x)在x?1处连续,f?(1)?lim(x2?x2?x23?x2?x?1?e)?lim(x?1?2xe?2xe)?0f?(1)?lim(1??1?e)??0　　故f?(1)?0

xf(x)在x?1处可导,故f(x)在x?1处可微

67、

f(x)在x?0处连续,f)?2??(0xlim?0?(2x?1)??0 f??(0)?xlim(cos?0?wx)??0，即f?(0)?0 f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

7分 10分

7分 10分

7分

10分

7分 10分

3分 7分 10分

7分 10分

7分 10分

68、

x21f(x)在x?1处连续　　f??(1)?limx?1?3?3.

2f?1???(1)31xlim?1??3x?3　　　知f?(1)?13存在

f(x)在x?1处可导,故f(x)在x?1处可微

69、

f(x)在x?0处连续

f?(0)?e2x?1?2x?xlim?0?x2?2 f2?sin2x?2??(0)?xlim?0?x?2　　故f?(0)?2

f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

70、

因为limf(x)?f(0)ex?1?xex?11x?0x?limx?0x2?limx?02x?2

即f?(0)?12存在 f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

71、

因limf(x)?f(0)x?0x?lim2x?1?xln2x?0x2 ?lim2xln2?ln22x?ln2212x?02x?limx?02?2ln2 即　f?(0)?12ln22存在,故x?0处可微 72、

1?x?1?1因为ff(x)?f(0)??(0)?2xxlim?0?x?xlim?0?x2

11?lim2x?1?2x?0?2x??18，而f??(0)?0　　故f?(0)不存在7分

10分

2分

8分 10分

7分 10分

7分

10分

7分

f(x)在x?0处不可导,所以f(x)在x?0处不可微

73、

10分

f(x)?f(0)tanx?xsec2x?12sec2xtanx因lim?lim?lim?lim?02x?0xx?0xx?02xx?02即f?(0)?0存在

故f(x)在x?0处可微

74、

因为limf(x)?f(0)x?x?102，即f?(0)?12存在

f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

75、

因为limf(x)?f(0)sinx?xx?0x?limx?0x2?limcosx?1x?02x?0 即f?(0)存在

因f(x在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

76、

因为fx)?f(0)??(0)?limf(x?0?x?ln(1?xxlim)?x?0?x2 1?1?xlim1?x?0?2x??12，即f??(0)?0

故f(x)在x?0处不可导,所以f(x)在x?0处不可微

77、

exf(0)?lim?1??x?0x?1，f??(0)?1

故f?(0)?1存在

f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

78、

?(0)?lim2x因f?1?x?0x?ln2,而f??(0)?1

知f(x)在x?0处不可导

7分 10分

7分 10分

7分 10分

7分 10分

7分 10分

7分

故f(x)在x?0不可微

79、

因limf(x)?f(0)x?0x?limarcsinx?xx?0x2 1?lim1?x2?1x?02x?0　　即f?(x)?0存在

f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

80、

因limf(x)?f(0)x?0x?limarctanx?xx?0x2

1?1?lim1?x2x?02x?0　　即f?(0)?0存在 f(x)在x?0处可导,故f(x)在x?0处可微

81、

f(x)可微则f(x)连续且可导 由f(0?0)?f(0?0),得0?b?a?2 由f??(0)?f??(0)　得a?b 故a?b??1

82、

1f0)?(1?x)x?e??(xlim?0?x?e2

f??(0)?0　　即f?(0)不存在

因f(x)在x?0处不可导,故f(x)在x?0处不可微83、

sin(x?1)?1(x2?1limf(x)?f(1)2)x?1x?1?limx?1(x?1)2(x?1) ??14　　，即f?(1)??14存在

f(x)在x?1处可导,故f(x)在x?1处可微

10分

7分

10分

7分 10分

2分 4分 8分 10分

5分 8分 10分

8分 10分

84、

S?4?r2，在r?1,?r??0.002处的微分为dS?8??(?0.002)在r?1的面积为S 0?4?故　　S?4??8??0.002?4?(1?0.004)?12.51(m2)(注：答案为12.51?0.01都不扣分) 85、

V?43?r3　　　t?1，?r?0.02 dV?4??0.02

V?4??4??0.02?4??1.06?4.44(米333) (答案为4.44?0.01不扣分)86、

S?t?arctgt，t?1，?t?001.

dS?(1?12)?0.01?0.015(米)

87、

由　f(x)?lnx

得f(x)?f(e)?1e?x　　　?1?1e(0.018)

　?0.993488、

证　f(x)?2lnx　　f(x)?2lne?2e(x?e)?f(2.73)?2?2e?0.01?2.0074 (答案为2.0074?0.0001都不扣分)89、

S?12R2?　　ds?12R2?? ?s?ds?10.52?1002?180??43.6(cm2)

90、

4分

10分

4分

4分 10分

4分

10分

4分 10分

S?12R2?　　ds?R????R ?s?ds?100?50??180?0.5?43.6(cm2)

91、

f(x)?3x,x0?1,?x?0.01

f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)

3101.?f(101.)?1?13(0.01)?1003.

92、

f(x)?sinx，x??6，?x??0.5180? sin29030??sin??1576?(cos6)?.180　　　　?0.5?0.0076 　　　　?0.492493、

f(x)?cosx．x00?150?56?，?x?10??180 f(1510)?cos1500?(sin1500)??180　　　??3

2??360??0.874794、

f(x)?arctanx，x0?1．?x?002.

arctan(102.)?arctan1?0.021?12??4?0.01?0.79595、

令　f(x)?x，x0?121，?x??1

120?11?122?10.955 96、

由　210?1024

令　f(x)?10x．x0?1024．?x??24

101000?2?2410.2?2?3640?19953. 4分 10分

4分 10分

4分

10分

4分

10分

4分 10分

4分 10分

4分

10分

97、

f(1)?1df(1)?(2x?1)ex2?x??x x?1??x故　ex2?xx?1.2?1?0.2?12.

98、

f(x)?x2．x0?25.，?x??004.

绝对误差,?y?5?004.?02.(米2)

相对误差,?y?0.22.5?2.5?3.2%

99、

令　f(x)?3x，x?27．?x??1

326?3?13.32?2.963 100、

f(x)?x3，x0?2，?x??0.002f?(x?12

0)故f(x0??x)?8?(2?0002.)?8?0.024 绝对误差?V?0.024(米3)相对误差?V?0.024 8?0.31、

f?(x)?sinxx f(x)?f(x0)?f?(x0)(x?x0)?2?0.01?sinttdt?0?1???0.01?0.0064

22102、

令f(x)??x0e?x2dx，x0?0，?x?0.01，f?(0)?1?0.01?x20edx?f?(0)?0.01?0.01

103、

y?lgx

6分

10分

4分 8分 10分

4分 10分

6分

10分 6分

10分

3分 10分

4分

?y??xxln(10)?1ln10?(??lge)

104、

S?4sin?t，在平衡位置时刻可不妨设t?0，?t?0.1

ds?4??0.1?1.26(米)

105、

S?4sin?t，S?23不妨设t?13，?t?01. ds?4??12?01.?0.628(米)

106、

v??r2l?4?r2，t?0.15，?r?0.001

?V?8?r，?r?0.0012?(cm3)

所需铜条为　　h??v0.01?012.???0.38(cm) 107、

V?a3dV?3a2?a由?a?1，dV?12 得3a2?12，a?2(cm)

108、

V?43?r3，r?5，?r?01. ?v?dV?4?r2?r?10?一个小银球的体积为V?43?(01.)3?43(0.001)? ?要银球的个数为　　　　10??34?1000 ??7500(个)109、

V?43?r3，r?5 dV?4?r2??r?100???r?0.3??r?0.003(cm)

10分

5分 10分

5分 10分

4分 8分

10分

6分

10分

6分

10分

4分

10分

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