2014年全国高中数学联赛模拟卷(3)（一试+二试 - 附详细解答）

2014年全国高中数学联赛模拟卷(3)第一试

(考试时间：80分钟 满分：120分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分） 1．函数 y?5x?1?10?2x的最大值是 _______

2．青蛙在正六边形ABCDEF上A点处，每次向相邻顶点跳跃.到达D点或者跳满五次则停止.不同跳跃 方式有____________种. 3．设f(x)?ax2?bx?c,f(0)?1,f(1)?1,f(?1)?1,则f(2)的最大值为 ___________ 4．设数列{an}的前n项和Sn满足：Sn?an?x2y2

5．已知椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)与直线x?y?1交于M, N两点, 且OM?ON(O为原点), 当椭圆的离

ab32

心率e∈[, ]时, 椭圆长轴长的取值范围是 __________ 32

6．对于每个大于等于2的整数n，令f(n)表示sinnx?sinx在区间[0,?]上不同解的个数，

n?1，n?1,2,n(n?1)，则通项an= ______

g(n)表示cosnx?cosx在区间[0,?]上不同解的个数，则?(g(n)?f(n))=____________

n?220077．在平面直角坐标系中，定义点P(x1, y1), Q(x2, y2)之间的“直角距离”为d(P, Q)=|x1－x2|＋|y1－y2|

若C(x, y)到点A(1, 3), B(6, 9)的“直角距离”相等，其中实数x, y满足0≤x≤10, 0≤y≤10， 则所有满足条件的点C的轨迹的长度之和为 _________

8．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为46的正四面体容器内可向各个方向自由运动， 则该小球永远不可能接触到的容器内壁的面积是

二、解答题（本大题共3小题，第9题16分，第10、11题20分，共56分）

a?b?c2)?0，求证：－1与1中至少有9．已知a,b,c是实数, 二次函数f(x)?ax?bx?c满足f(2a一个是f(x)?0的根.

10．设b?0，数列{an}满足a1?b，an?nban?1(n?2)．

an?1?2n?2bn?1（1）求数列{an}的通项公式； （2）证明：对于一切正整数n，an?n?1?1．

2

x2?y2?1，过定点C(1,0)两条互相垂直的动直线分别椭交圆于P,Q两点。F1,F2分别 11．已知椭圆2为左右焦点，O为坐标原点。 （1）求向量|PF1?PF2|的最小值；

（2）当向量PF1?PF2与QF1?QF2互相垂直时，求P,Q两点所在直线的斜率。

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2014年全国高中数学联赛模拟卷(3)加试

(考试时间：150分钟 满分：180分)

姓名：_____________考试号：______________得分：____________

一、（本题满分40分）如图，C为半圆弧的中点，点P为直径BA延长线上一点，过P作半圆的切

线PD，D为切点，?BPD的平分线分别交AC,BC于点E,F．

C求证：以EF为直径的圆过半圆的圆心Ｏ．

DFEPAOB

二、（本题满分40分）已知m，n为正整数.

(2) 对于n≥6，已知(1?(1) 用数学归纳法证明：当x＞－1时，(1＋x)m≥1＋mx；

(3) 求出满足等式3n＋4n＋?＋(n＋2)n＝(n＋3)n的所有正整数n.

1n1mn1)?，求证：(1?)?()m(m=1, 2, 3, ?, n)； n?32n?32

nn三、（本题满分50分）（1）证明：存在无穷多个正整数n，使3?2与5?2同时为合数.

（2）试判断是否存在正整数p和q，使得对于任意n≥2007，总有p?3?2与 q?5?2之一为素数？

并证明你的结论。

nn 四、（本题满分50分）现有一根由n颗珠子串成的项链（环行线串成）。每颗珠子上都标着一个整数，

且它们的和为n?1，求证：我们可以把这串项链绳从某处截断，使它成为一根线段上串着n颗珠

子的珠串，它们的相继标号顺次为x1,x2,?,xn，且对一切k?1,2,?n恒有

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?xi?1ki?k?1成立。

2014年全国高中数学联赛模拟卷(3)答案

1、函数的定义域为[1, 5]，且y＞0, y?5x?1?2?5?x ?52?(2)2?(x?1)2?(5?x)2?27?4?63

127

当且仅当2?x?1?55?x，等号成立，即x＝时函数取最大值63

27

2、 跳5步共有32种，其中包含3步跳到D的两种情形，应减去8种，

所以满足条件的5步跳有24种。在加上2种3步跳，共26种。

3、f?2??4a?2b?c?3?a?b?c???a?b?c??3c?3f?1??f??1??3f?0??3f?1??f??1??3f?0?

?3?1?3?7, 当f?x???2x2?1时, f?2??7

nn?1n?2?2114.an?1?Sn?1?Sn??an?1??an，即 2an?1????an

(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)(n?2)n?1n(n?1)

?2111 =，由此得 2(an?1?． ?an?)?an?(n?1)(n?2)n(n?1)(n?1)(n?2)n(n?1)令bn?an?1111111，b1?a1?? (a1?0)，有bn?1?bn，故bn?n，所以an?n?．

2222n(n?1)n(n?1)2?x2y2?1??22222225.由?a2b2,可得(a?b)x?2ax?a?ab?0 ① ??x?y?12a2由OM?ON得x1x2?y1y2?0, 即2x1x2?(x1?x2)?1?0, 将x1?x2??2, 2a?ba2?a2b211113c2??2?2?x1x2?2代入得, 即, 因为, 得 ??22222abbaa?b3a21b211b2231?1?2?, 得?2?, 有?a2?(2?2)?2, 解得5?2a?6. 2a3a22a32k?12k? 或x??，6、由sinnx?sinx得：nx?2k??x或2k????x，即x?又x?[0,?]， n?1n?1nn?12k?12m???，则0?k?或0?k?；但两组取值可能重复。若讨论得：n?4t?1,t?N*

22n?1n?12k2kn?1n?1?或x??，0?k?时重复一组。同理对于cosnx?cosx，x?或0?k?， n?1n?122n?1为公共部分，n为奇数时， n?2t?1,t?N*时重复一组。比较两种解的取值知，0?k?2n?1n*0?k?比0?k?多一组解，但g(n)当n?2t?1,t?N时重复一组。

22** f(n)只当n?4t?1,t?N时重复一组。实质只有当n?4t?1,t?N时，g(n)比f(n)多1个解，

20072005?5?1?501。 其余情况解相同。所以?(g(n)?f(n))=

4n?27. 由条件得|x?1|?|y?3|?|x?6|?|y?9| --------①

当y≥9时，①化为|x?1|?6?|x?6|，无解； 当y≤3时，①化为|x?1|?6?|x?6|，无解； 当3≤y≤9时，①化为2y?12?|x?6|?|x?1| -------②

若x≤1，则y＝8.5，线段长度为１；若1≤x≤6，则x＋y＝9.5，线段长度为52；若x≥6，

则y＝3.5，线段长度为４．综上可知，点C的轨迹的构成的线段长度之和为1＋52＋4＝5(2＋1)

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8. 如答图1，考虑小球挤在一个角时的情况，记小球半径为r，作平面 A1B1C1//平面ABC，与小球相切于点D，则小球球心O为正四面体 ，垂足D为A1B1C1的中心． P?A1B1C1的中心，PO?面A1BC1111因VP?ABC?S?ABC?PD?4?VO?ABC?4??S?ABC?OD，

11133故PD?4OD?4r，从而PO?PD?OD?4r?r?3r． 记此时小球与面PAB的切点为P1，连接OP，则 111111111122PP(3r)2?r2?22r． 1?PO?OP1?考虑小球与正四面体的一个面(不妨取为PAB)相切时的情况， 易知小球在面PAB上最靠近边的切点的轨迹仍为正三角形，

答图1

记为PEF，如答图2．记正四面体的棱长为a，过P1作PM?PA于M． 11 因?MPP1?3?6r，

62故小三角形的边长PE?PA?2PM?a?26r． 1小球与面PAB不能接触到的部分的面积为（如答图2中阴影部分）

3222． ?32ar?63rS?PAB?S?PEF?(a?(a?26r))14又r?1，a?46，所以S?PAB?S?PEF?243?63?183．

，有PM?PP1?cosMPP1?22r?1?

由对称性，且正四面体共4个面，所以小球不能接触到的容器内壁的面积共为723 答图2

a?b?c)?0知二次函数f(x)?ax2?bx?c有零点，若二次函数f(x)?ax2?bx?c只有唯2aa?b?cb22??，一的零点，则这个零点就是抛物线的顶点，有解得a?c，由?0，有b?4a?0，2a2ab2a??1，则b??2a，故抛物线的顶点横坐标为x??所以?1与1中至少有一个是f(x)?0的根。 2a2a2若二次函数f(x)?ax?bx?c有两个不同的零点，因为：

9、由f(?2b?a?b?c??4ac?a?b?c? f????c?24a4a2a?2a?22a?b?c??a?b?c?2b??4aca?c??b2?4aca?c??b2???? ? ?

4a4a4a?a?b?c??a?b?C??f??1?f?1??0? ，所以f??1??0或f?1??0

4a4a故?1与1中至少有一个是f?x??0的根。

nban?1aban?1n2n?1110、解：∵an?，∴n?，∴???

nan?1?2n?2anban?1ban?1?2n?2nn?11n11① 当b?2时，??，∴??(n?1)?，即an?2

anan?12an22n12n?11n12② 当b?0且b?2时， ??(?)，当n?1时，??an2?bban?12?ban2?bb(2?b)22n112n1∴{?为首项，为公比的等比数列， ∴}是以???()n

bb(2?b)an2?b2?bban2?ba?a?b?c?2b?a?b?c??a?b?c? ?22014模拟卷（3） 第 4 页 共 7页

n(2?b)bnn2n12n?bn∴，∴an? ???nnnn2?ban(2?b)b2?b(2?b)b?n(2?b)bn综上所述a??2n?bn,　b?0且b?2

?n?2，　 　b?2　　　?bn?1（2）方法一：证明：① 当b?2时，an?n?1?1?2；

2② 当b?0且b?2时，2n?bn?(2?b)(2n?1?2n?2b??2bn?2?bn?1)

n?bnan?n?1n?2?n?2n?12?2b??2b?bnn21?2??2bn?12nn?12n?bn?(n?1)?b1?2??(n?1)?nbn2n(n?1)2?bn(n?1)2

?b2n?12n?12?bn?12n?1?bbn?1?2n?12bn?1?2n?1bn?1?2n?1bn?1????n?1?1

22n?12n?12n?1bn?1∴对于一切正整数n，an?n?1?1．

2bn?1方法二：证明：① 当b?2时，an?n?1?1?2；

2bn?1nbn(2?b)bn?1?n?1?1， ② 当b?0且b?2时，要证an?n?1?1，只需证

2n?bn22n(2?b)b1nb1????即证n，即证

2?bn2n?1bn2n?1?2n?2b??2bn?2?bn?12n?1bnb1n?1n?2n?2n?1即证(n?1?n)(2?2b??2b?b)?n

2bbb2bn?1bn2n?12n?221即证(2?3??n?n?1)?(n?n?1??2?)?n

2222bbbbbb2bn?1bn2n?12n?221∵(2?3??n?n?1)?(n?n?1??2?)

2222bbbbb1b22bn?12n?2bn2n?1?(2?)?(3?2)??(n?n?1)?(n?1?n) 2b2b2b2bbn?12n?2bn2n?1?2?n?1?2n?1?n?n， n2b2bbn?1∴原不等式成立。∴对于一切正整数n，an?n?1?1．

22b?2. 11、解：（1）PF1?PF2?2PO，所以|PF1?PF2|=2|PO|.即最小值为

当P点位于短轴上顶点时，取等号.

（2）PF1?PF2?2PO，QF1?QF2?2QO，所以PO与QO互相垂直，则线段PQ为直角?POQ 与直角?PCQ公共斜边。设线段PQ中点为M，则MC?MO，即xP?xQ?2xM?xC?1 ①

b1b22?22??23?2?2b2bx2?y2?1联立得： 设直线PQ方程为y?kx?b，与2(1?2k2)x2?4kbx?2b2?2?0，由①得：1?2k2?4kb?0 ②

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