必修五--不等式的知识点归纳和习题训练

必修五：不等式

知识点一：不等式关系与不等式

一、不等式的主要性质： (1)对称性：a?b?b?a (2)传递性：a?b,b?c?a?c (3)加法法则：a?b?a?c?b?c； a?b,c?d?a?c?b?d (4)乘法法则：a?b,c?0?ac?bc； a?b,c?0?ac?bc a?b?0,c?d?0?ac?b (5)倒数法则：a?b,ab?0?1?1ab

(6)乘方法则：a?b?0?an?bn(n?N*且n?1) (7)开方法则：a?b?0?na?nb(n?N*且n?1) 【典型例题】

1.已知a，b为非零实数，且a

A．a2

2.如果a?0，b?0，则下列不等式中正确的是（ ）

A．

122a?1b B．?a?b C．a?b D．a?b3. 已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：

（1）若ab>0，bc－ad>0，则ca－db>0；(2)若ab>0，ca－db>0，则bc－ad>0；

(3)若bc－ad>0，ca－db>0，则ab>0，其中正确命题的个数是( )

A．0 B．1 C．2 D．3

4. 设a、b、c、d∈R，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是( )

A. a＋c>b＋d B．a－c>b－d C．ac>bd D.ad>bc

【习题训练】

1：已知a?b，c?d，且c、d不为0，那么下列不等式成立的是（ ） A．ad?bc B．ac?bc C．a???cbd D．a???cbd 2:下列命题中正确的是（ ）

A．若a?b，则ac2?bc2 B．若a?b，c?d，则a???cbd C．若ab?0，a?b，则

1a?1b D．若a?b，c?d，则ac?bd 3. 下列命题中正确命题的个数是（ ）

①若x?y?z，则xy?yz；②a?b，c?d，abcd?0，则ac?bd； ③若

11bb?a?b?0，则ab?b2；④若a?b，则1a?a?1． A．1 B．2 C．3

D．4

4. 如果a?R，且a2?a?0，那么a，a2，?a，?a2的大小关系是（ ） A．a2?a???a2?a B．?aa?2???a2a

C．?aa?2?a??a2 D．a2??aa???a2

1

cc________． abcd6.已知a，b，c，d均为实数，且ab?0，???，则下列不等式中成立的是（ ）

abababA．bB．bC．? D．? c?ad c?ad

cdcd7. 已知实数a和b均为非负数，下面表达正确的是（ ）

A．a?0且b?0 B．a?0或b?0 C．a?0或b?0 D．a?0且b?0 8．已知?，则2a+3b的取值范围是（ ） 1?a?b?3且2?a?b?41317711713913A (?,) B (?,) C (?,) D (?,)

222222225.用“?”“?”号填空：如果a，那么?b?0?c二、含有绝对值的不等式

1．绝对值的几何意义：|x|是指数轴上点x到原点的距离；|x1?x2|是指数轴上x1,x2两点间的距离 2、如果 a?0,则不 | |x|?a???x?a或x??ax|?a????a?x?a | | x|?a???x?a或x??ax|?a????a?x?a3．当c?0时， |或a， x?b??cax?b|?c?ax?b?c； |ax?b|?c??c?ax?b?c 当c?0时，|，|． ax?bc|??xR?ax?bc|??x??

4、解含有绝对值不等式的主要方法：

①解含绝对值的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，将其等价转化为一元一次（二次）不等式（组）进行求解；

②去掉绝对值的主要方法有： （1）公式法：||，|或x??a． x?a (a?0)??a?x?ax|?a (a?0)?x?a（2）定义法：零点分段法； （3）平方法：不等式两边都是非负时，两边同时平方． 【典型例题】

??ac?bc??ba?b?b?a?b；③a1. 给出下列命题：①ab；②a；④

22a?b?a?b．其中正确的命题是（ ）

222233A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 2. 设a，b∈R，若a－|b|>0，则下列不等式中正确的是( )

A．b－a>0 B．a3＋b3<0 C．a2－b2<0 D．b＋a>0

?5?2x?93.不等式3的解集为（ ）（运用公式法）

A．[ B．( C．(2 D．( ?2,1)[4,7)?2,1](4,7]??,1][4,7)?2,1][4,7)4. 求解不等式：|．（运用零点分段发） 2x?1|??|x2|?4

?x?4?x?65.函数y的最小值为（ ） （零点分段法） A．2 B．2 C．4 D．6

【习题训练】 1.解不等式|x |?|x??1|32.若不等式|对x?R恒成立，则实数a的取值范围为______。 3x??2||2xa?|三、其他常见不等式形式总结：

①分式不等式的解法：先移项通分标准化，则

2

f(x)g(x)0??(x)f(x) f ?0?f(x)g(x)0?;?0?g(x)g(x)?g(x)0??②指数不等式：转化为代数不等式

f(x)g(x)f(x)g(x)a?a(1a?)?f(x)?g(xa);?a(0?a?1)?f(x)?g(x)

f(x)a?b(0a?,b?0)?f(x)?lga?lgb③对数不等式：转化为代数不等式

f(x)?0f(x)?0????logf(x)?logg(x)(a?1)?g(x)?0;logf(x)?logg(x)(0?a?1)?g(x)?0 ??aaaa??f(x)?g(x)f(x)?g(x)??2例1 .不等式l的解集是____________. g(x?1)?11x22x?(a?1)x?3例3. 解关于x的不等式?1. 2x?ax例4. 不等式5?x≥x?1的解集是（ ）

(A){x|?4≤x≤1}(B){x|x≤?1} (C){x|x≤1} (D){x|?1≤x≤1}

例2. 解不等式lg(x?)?0.

四、三角不等式： | a|-|b|?|a?b|?|a|?|b|五、不等式证明的几种常用方法 比较法（做差法、做商法）、综合法、分析法、换元法、反证法、放缩法。 【典型例题】

221.若?，?，则（ ） ?3x??x1?2x?xA．??? B．??? C．??? D．???

222.若x?2或y??1，?，???5，则?与?的大小关系是（ ） ????xy4x2yA．?B．?C．?D．??? ?? ?? ??

abb?ma?n3.若a，则, , , 按由小到大的顺序排列为 ?b?0,mn?0,?0baa?mb?n4.若a＝ln 22，b＝ln 33，c＝ln 55则a，b，c按从小到大排列应是________．

5.设a＝2－5，b＝5－2，c＝5－25，则a、b、c之间的大小关系为________． 6.下列各式中，对任何实数x都成立的一个式子是（ ）

A．l B．x?1?2x C．gx?1?lg2x7. 若a、b是任意实数，且a?b，则（ ）

?2?211 D．?1x??2

x2?1xabb?1??1?22lgbA．a?b B．?1 C．?a???0 D．?????

a?2??2?ee?b?0d?08. 已知a?，c?，e?0，求证：． a?cb?d【习题训练】

2?2ab?ab?b?2ab??11. 不等式①a?，②a，③a?恒成立的个数是（ ） ??22222A．0 B．1 C．2

?b?02. 已知a，b?0，那么a，b，?a，?b的大小关系是（ ） ???b??a??b??ab?A．ab B．a ??bb???a???a??bC．a D．ab

D．3

3

3. 若f?x??3x2??x1，gx???2x2??x1，则f?x?，g?x?的大小关系是（ ） A．f?x??g?x? B．f?x??g?x? C．f?x??g?x?

D．随x值的变化而变化

4. 已知a、b?R?，且a?b，比较a5?b5与a3b2?ab23的大小．

六、数轴穿跟法: 奇穿，偶不穿

例题：不等式(x2?3x?2)(x?4)2x?3?0的解为（ ） A．－1

C．x=4或－3

知识点二：一元二次不等式及其解法

二、一元二次不等式ax2?bx?c?0和ax2?bx?c?0(a?0)及其解法 ??0 ??0 ??0 二次函数 y?ax2?bx?cy?ax2?bx?cy?ax2?bx?cy?ax2?bx?c ?a(x?x?a(x?x1)(x?x2)1)(x?x2) （a?0）的图 象 一元二次方程 ax2?bx?c?0 ?a?0?的根 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 ax2?bx?c?0(a?0)的解集 顺口溜：在二次项系数为正的前提下：大于型取两边，小于型取中间 分式不等式f(x)f(x)g(x)?0? ,分式不等式g(x)?0? .【典型例题】

1.集合A={x|x2?5x?4?0},B={x|x2?5x?6?0},则A?B等于( ) A.{x|1?x?2或3?x?4} B. {x|1?x?2且3?x?4} C. {1，2，3，4} D. {x|?1?x??4或2?x?3} 2.设二次不等式ax2?bx?1?0的解集为{x|?1?x?13},则ab的值为( )

A.-6 B.-5 C.6 D.5

3.已知函数y?ax2?2x?3,若x的取值范围是全体实数,则实数a的取值范围是( )

4

111 C. a? D. 0?a? 33324.若不等式ax的解集为?,则( ) ?bx?c?0(a?0)A.a?0 B. a?A. a B. a C. a D. a ?0,b?4ac?0?0,b?4ac?0?0,b?4ac?0?0,b?4ac?05.若关于实数x的方程x有一正根和一负根,则实数a的取值范围?ax?a?1?0是 .

例1. 已知关于x的不等式(的解集是???,?a?b)x?(2a?3b)?0的解集. (a?3b)x?(b?2a)?0例2 :解关于x的不等式ax. ?2(a?1)x?4?0(a?R)例3 已知不等式ax的解集为?,求不等式cx的解集. ??,?(0????)?bx?c?0?bx?a?022222222??1??,求关于x的不等式3?2例4.解关于x的不等式:x ?(a?a)x?a?02231[ ] 例5 不等式1x＋＞的解集为1?xA．{x|x＞0}

C．{x|x＞1}

B．{x|x≥1}

D．{x|x＞1或x＝0}

x?3[ ] 例6 与不等式≥0同解的不等式是2?xA．(x－3)(2－x)≥0 B．0＜x－2≤1 C．ax[ ] 例7 不等式＜1的解为{x|x＜1或x＞2}a，则的值为x?111A．＜a B．＞a2211C．＝a D．＝a－22

3x?7例8 解不等式≥2．2x?2x?3

例9 已知集合A＝{x|x2－5x＋4≤0}与B＝{x|x2－2ax＋a＋2≤0}B，若?A，求a的范围．例10 解关于x的不等式(x－2)(ax－2)＞0． 例11 不等式|x2－3x|＞4的解集是________．

2?x≥0D．(x－3)(2－x)≤0 x?3

x 例12 解关于x的不等式：＜1－a(a∈R)．x?1

【提高训练】

21.设集合P,则下列关系中成?{m|?1?m?0},Q?{m?R|mx?4mx?4?0对任意x恒成}立的是( )

A.P?Q B. Q?P C. P?Q D. P?Q?? 2.不等式x的解集是( ) ?|x|?2?0(x?R)2??????A.??2,2? B. ? C. ??1,1? D. ? ??,?2?2,????,?1?1,??3.若a>0,b>0，则不等式?a?1?b的解集是（ ） x5

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