圆锥曲线中的最值和范围问题

圆锥曲线专题：圆锥曲线中的最值和范围问题

热点透析

与圆锥曲线有关的最值和范围问题的讨论常用以下方法解决：

（1）结合定义利用图形中几何量之间的大小关系；典型例题:<<考一本>>

（2）不等式（组）求解法：利用题意结合图形（如点在曲线内等）列出所讨论的参数适合的不等式（组），通过解不等式组得出参数的变化范围；

（3）函数值域求解法：把所讨论的参数作为一个函数、一个适当的参数作为自变量来表示这个函数，通过讨论函数的值域来求参数的变化范围。

（4）利用代数基本不等式。代数基本不等式的应用，往往需要创造条件，并进行巧妙的构思； （5）利用三角函数的有界性及其变形公式来帮助求解诸如最值、范围等问题；

（6）构造一个二次方程，利用判别式??0。 突破重难点

x2?y2?1上移动,试求|PQ|的最大值。 【例1】已知P点在圆x+(y-4)=1上移动，Q点在椭圆92

2

解：先让Q点在椭圆上固定，显然当PQ通过圆心O1时|PQ|最大，因此要求|PQ|的最大值，只要求|O1Q|

222

的最大值.设Q(x，y)，则|O1Q|= x+(y-4) ①

22

因Q在椭圆上,则x=9(1-y) ②

1??将②代入①得|O1Q|= 9(1-y)+(y-4) ??8?y???27

2??1

因为Q在椭圆上移动，所以-1?y?1，故当y?时，O1Qmax?33 2

此时PQmax?33?1

2

2

2

2

【点睛】1.与圆有关的最值问题往往与圆心有关；

2.函数法是我们探求解析几何最值问题的首选方法，其中所涉及到的函数最常见的有二次函数等，值得注意的是函数自变量取值范围的考察不能被忽视。 ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

x2y2??1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，练习:（2010福建）11．若点O和点F分别为椭圆43????????则OP?FP的最大值为

A．2 【答案】C

B．3 C．6

D．8

x02y02x022??1,解得y0?3(1?)， 【解析】由题意，F（-1，0），设点P(x0,y0)，则有434????????????????因为FP?(x0?1,y0)，OP?(x0,y0)，所以OP?FP?x0(x0?1)?y02

????????x02x02)=?x0?3，求之 =OP?FP?x0(x0?1)?3(1?44

【例2】已知椭圆方程x?直线x??212y?1,是否存在直线l，使l与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN恰被91平分，若存在，求出l的倾斜角的范围；若不存在，请说明理由。 222a2922?c??22?（1）解：依题意e ?，? 3c441

∴a＝3，c＝22，b＝1，

又F1(0，－22)，对应的准线方程为y?? ∴椭圆中心在原点，所求方程为x?292 412y?1 91平分 2 (2)假设存在直线l，依题意l交椭圆所得弦MN被x??∴直线l的斜率存在。 设直线l：y＝kx＋m ?y?kx?m?222由?2y2消去y，整理得 (k＋9)x＋2kmx＋m－9＝0 ?1?x?9?∵l与椭圆交于不同的两点M、N， 222222

∴Δ＝4km－4(k＋9)(m－9)＞0 即m－k－9＜0

①

x1?x2?km1k2?9?2?? ?m?设 M(x1,y1),N(x2,y2) ? ② 2k?922k(k2?9)22?(k?9)?0， 把②代入①式中得24k∴k＞3或k＜－3 ???2?∴直线l倾斜角??(，)?(，)

3223 练习:

???????? 长度为a（a?0）的线段AB的两个端点A、点P在线段AB上，且AP?2PB B分别在x轴和y轴上滑动，（1）求点P的轨迹方程C； （2）已知直线l1与原点O的距离为

a，且直线l1与轨迹C有公共点，求直线l1的斜率k的取值范围． 2答案：(1)设P(x,y)、A(x0,0)、B(0,y0)，则

?x0?(1??)x?????????x?x0???x?222AP??PB????1??，由此及|AB|?a?x0?y0?a，得

y?y??(y0?y)?y0???xy??1????y2?a?22，即 把??2代入得：??1 x??y?a?(1??)x????????222?1???a4a??????222229（2）设直线l1的方程：y?kx?h，据题意有

9h1?k2?aa1?k2． ，即h?22?y?kx?hk22992?9(1?)x?khx?h?a2?0． 由?292得 24249x?y?a?4?因为直线l1与椭圆9x?292y?a2有公共点，所以??9(4?k2)a2?81h2?0, 42

又把h?a735351?k2代入上式得 ：k2?,??． ?k?2555【例3】椭圆E的中心在原点O，焦点在x轴上，其离心率e?2, 过点C（－1,0）的直线l与椭圆E3相交于A、B两点，AC?2CB

（1）用直线l的斜率k ( k≠0 ) 表示△OAB的面积；（2）当△OAB的面积最大时，求椭圆E的方程。

解：（1）设椭圆E的方程为x2y2c2a2?b2?1( a＞b＞0 )，由e =a?3

∴a2

=3b2

故椭圆方程x2

+ 3y2

= 3b2

设A(x?x1?1??2(x2?1)1,y1)、B(x2,y2),可知:??y1??2y

2由??x2?3y2?3b2消去y整理并化简得 (3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2

=0 ?y?k(x?1)由直线l与椭圆E相交于A（x1,y1）, B(x2,y2)两点得：

?????0恒成立??x?6k2③

?1?x2?3k2?1

??xx3k2?3b2 ?12?3k2?1④ 而S

△OAB?12|y12?y3331?y2|?|?2y22|?2|y2|?2|k(x2?1)|?2|k||x2?1|得:x23|k|2+1=－3k2?1，代入⑤得：S△OAB = 3k2?1(k?0) （2）因S3|k|3△OAB=

3k2?1?3|k|?1?323?32, |k|当且仅当k??33,S△OAB取得最大值 此时 xx1 + x2 =－1, 又∵

1?2x23 =－1 ∴x1=1,x2 =－2 将x1,x2

12 2及k= 3代入④得3b= 5 ∴椭圆方程x2 + 3y2

= 5

3

⑤ ????????x2y2【例4】设直线l过点P（0，3），和椭圆??1顺次交于A、B两点，若AP??BP试求?的取值范

94围.

解：若直线l与y轴重合,此时??1. 5x2y2若直线l与y轴不重合，设直线l的方程y?kx?3，代入椭圆方程为??1,消去y得

94(9k2?4)x2?54kx?45?0,由??0得k2?设M(x1,y1),N(x2,y2),5 9|MP|x1???,所以x1??x2 |NP|x254k, ①

9k2?4所以，x1?x2?(1??)x2??2x1x2??x2?459k?42,②

①、②两式消去x2得

(1??)2??4?1(54k)2324k2324?????59k2?4545(9k2?4)???2?36,5149?2k,1???1 5? 综上，

1????15

解法2:当直线l垂直于x轴时，可求得??1; 5当l与x轴不垂直时，设A?x1,y1?,B(x2，y2)，直线l的方程为：y?kx?3，代入椭圆方程，消去y得 9k?4x?54kx?45?0

?2?2解之得 x1,2?27k?69k2?5?. 29k?4因为椭圆关于y轴对称，点P在y轴上，所以只需考虑k?0的情形.

?27k?69k2?5?27k?69k2?5当k?0时，x1?，x2?，

9k2?49k2?4所以 ??18x1＝???＝x29?29?5?1. k24

由 ??(?54k)2?1809k2?4?0， 解得 k?所以

??25， 9118?59?29?5?1?1， k2综上

1???1 5【例5】已知P(?3,0),点R在y轴上，点Q在x的正半轴上，点M在直线RQ上，且

3PR?RM?0,RM??MQ.

2（1）当R在y轴上移动时，求M点轨迹C；

（2）若曲线C的准线交x轴于N，过N的直线交曲线C于两点AB，又AB的中垂线交x轴于点E，

求E横坐标取值范围 解：(1) y2?4x??????????4分 (2)由(1)知N（－1，0）设得：y?k(x?1)

?y2?4x.由?得k2x2?2(k2?2)x?k2?0 ?y?k(x?1)由??0得k?1且k?0 设A(x1,y1),B(x2,y2)

22k?k2对x1?x2?k2y1?y2?k(x1?x2?2)?4 k2?k22,) ∴AB的中点为(k2k212?k2) ∴AB的中点为y???(x?2kkk令y?0得x0?即x0＞3.

2?1?3 k23x2y21

练习: 已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)过点(1,)，且离心率e＝. 22ab（Ⅰ）求椭圆方程；

（Ⅱ）若直线l:y?kx?m(k?0)与椭圆交于不同的两点M、N，且线段MN的垂直平分线过定点

5

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