2012年7月线性代数考前练习题及答案(试卷)
更新时间:2024-04-23 05:11:01 阅读量: 综合文库 文档下载
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全国2012年7月高等教育自学考试考前练习题
线性代数试题
(课程代码:02198)
说明:在本卷中,AT表示矩阵A的转置矩阵,aT表示向量a的转置,E表示单位矩阵,
det(A)表示方阵A的行列式A表示矩阵A的逆矩阵,A表示矩阵A的伴随矩阵,
-1
*
A表示方阵A的行列式,R(A)表示矩阵A的秩,a表示a的长度。
一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的,请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1. 对任意n阶方阵A、B总有( )
A. AB?BA B. AB?BA C. (AB)T?ATBT D. (AB)2?A2B2 2. 设矩阵
?1??3 A. ?0??0???100??020A=???,则???003?A-1等于( )
??1?B. ?0???0??0??0??1??3?0120?0??0??1???
0120
?1?00??3? C. ? 010??1???00?2??
?1??2D. ?0??0???00??1?03?01???
3. 设A,B是同阶正交矩阵,则下列命题错误的是( ) ..
A. A?1也是正交矩阵 B. A*也是正交矩阵 C. AB也是正交矩阵 D. A?B也是正交矩阵
4. 设n阶方阵A满足A2?0,则必有( )
A. A?E不可逆 B. A?E可逆 C. A可逆 D. A?0 5. 设有m维向量组(I):a1,a2,?,an,则 ( ) A. 当m?n时,(I)一定线性相关 B. 当m?n时,(I)一定线性相关 C. 当m?n时,(I)一定线性无关 D. 当m?n时,(I)一定线性无关
6. 若向量组(Ⅰ):?1,?2,?,?r可由向量组(Ⅱ):?1,?2,?,?s线性表示,则必有( )A. 秩(Ⅰ)≤秩(Ⅱ) B. 秩(Ⅰ)>秩(Ⅱ) C. r≤s D. r>s
7. 设A是实对称矩阵,C是实可逆矩阵,B=CTAC. 则( ) A. A与B相似 B. A与B不等价 C. A与B有相同的特征值 D. A与B合同
8. 设n阶可逆矩阵A有一个特征值为2,对应的特征向量为x,则下列等式中不正确的
是( )
A. Ax?2x B. A?1x?1?x 2C. A?1x?2x D. A2x?4x 9. 设A是n阶正定矩阵,则二次型xT(-A)x( )
A. 是不定的 B. 当n为奇数时是正定的
C. 当n为偶数时是正定的 D. 是负定的 10. 下列矩阵中是正定矩阵的为( ) A. ??23???34? B. ??34???26?
?100?? C. ??02?3????0?35?
?111??D. ??120????102?
二、填空题(本大题共10小题,每小题2分,共20分)
请在每小题的空格中填上正确答案,错填、不填均无分。
11. 已知A,B为n阶矩阵,A=2,B=-3,则ATB?1=_________________. 12. 设A为2阶方阵,且|A|=1,则|2A*|=___________.
213. 设2阶方阵A?[?1,?],B?[?2,?],其中?1,?2,?均为2维列向量,且
A?B?1,则A?B?___________。
14. 设??(2,1,?2)),??(1,2,3),则2??3??________。
15. 设m?n矩阵A的,m个行向量线性无关,则矩阵AT的秩为________。 16. 设?1??1,2,2,?1?T,?2??1,1,?5,3?T,则?1与?2的内积 (?1,?2)=________________.
?x1?2x3?t17. 方程组??x2?x3?0 有解的充分必要条件是
?x?2x?12?1t=_____________.
?001??,则A的全部特征值为_______. 01018. 设矩阵A??????100??19. 设n阶矩阵A的n个列向量两两正交且均为单位向量,则ATA=_____________. 20. 设实二次型f(x1,x2,x3,x4,x5)的秩为4,正惯性指数为3,则其规范形为 . 三、计算题(本大题共6小题,每小题9分,共54分)
2121. 计算行列式D?00121001210012.
?101??,矩阵X满足方程AX?E?A2?X求矩阵X. 02022. 设A??????101??23. 设矩阵
?1?2?1??242A=??2?10??3332??6?6?. 23??34?0求:(1)秩(A);
(2)A的列向量组的一个最大线性无关组。
?x1?x2?x3?x4?0,24. 给定齐次线性方程组??x1??x2?x3?x4?0,
?x?x??x?x?0.234?1(1)当λ满足什么条件时,方程组的基础解系中只含有一个解向量? (2)当λ=1时,求方程组的通解. 25. 设矩阵
?0?22??A=???2?34???4?3??2的全部特征值为1,1和-8. 求正交矩阵T和对角矩阵D,
使T-1AT=D.
2226. 已知二次型f(x1,x2,x3)=5x1?5x22?cx3?2x1x2?6x1x3?6x2x3的秩为2,求参数c
及二次型经正交变换化成的标准形(不必写出正交变换). 四、证明题(本大题共1小题,6分) 27. 设矩阵A可逆,证明(A*)?1?A?1A
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