江苏省苏州市高新区2014-2015学年九年级上期末数学试卷

2014-2015学年江苏省苏州市高新区九年级（上）期末数学试卷

一、选择题（本大题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将每题的选项代号填涂在答题卡相应位置） 1．下列式子结果为负数的是（ ）

A． （﹣3） B． ﹣|﹣3| C． （﹣3） D． （﹣3） 2．的值是（ ）

A． ±5 B． 5 C． ﹣5 D． 625

3．x?x=（ ）

5689

A． x B． x C． x D． x

4．计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（ ） A． 4 B． 4 C． 5 D． 5

5．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（ ）

A． 15m B． 60m C． 20m D． 10m

6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A． （﹣2，3） B． （﹣1，4） C． （1，4） D． （4，3）

7．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax+8x+b的图象可能是（ ）

2

2

2

3

0

2

﹣2

A． B． C．

D．

8．将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：

①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；

②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；

③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE． 根据上述过程，长方形纸片的长宽之比

的值为（ ）

A． B．

C．

D．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案填在答题卡相应位置上） 9．分解因式：xy﹣y= ．

10．若锐角α满足2sin（α﹣15°）﹣1=0，则tanα= ．

11．（3分）（2014?长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，的面积为 ．

=，△ADE的面积是8，则△ABC

2

3

12．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为 ．

13．小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 米．

14．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a﹣3a+b，如：3★5=3﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ．

15．某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达108分以上，据此估计该校九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有 名学生．

2

2

16．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 米．

17．若抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），（m+6，Bn），则n= ．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）在x轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x轴交于另一点A2．请继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x轴交于另一点A3；将C3绕点A2旋转180°得C4，与x轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C2，…，Cn，…则Cn的顶点坐标为 （n为正整数，用含n的代数式表示）．

2

三、解答题（本大题共9题，共76分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．（1）计算：（）+（π﹣2015）+sin60°+|

﹣2

0

﹣2|．

（2）先化简，再求值：（1﹣

20．解方程：

（1）x（x+3）=7（x+3） （2）

﹣

=2．

）÷，其中x=3．

21．已知关于x的方程mx﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．

2

22．为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了右侧两个不完整的统计图：

克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？ A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督 B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志 C．签订“永不酒驾”保证书 D．希望交警加大检查力度

E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任

根据以上信息解答下列问题：

（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m= ； （2）该市支持选项B的司机大约有多少人？

（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？

23．4张相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面向上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． （1）求这两个数的差为0的概率；

（2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜，你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请说明理由． 24．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）． （2）已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

25．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论： （1）当（2）当（3）当… 猜想：当

=

时，

=？并说明理由．

=时，=时，=时，

=； =； =；

26．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元/件） 每天销量（件） 1≤x＜50 x+40 200﹣2x 50≤x≤90 90 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． （1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC=CE?CA． （1）求证：BC=CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2，求⊙O的半径．

2

28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：（0，﹣1），抛物线

与x轴、y轴分别交于点A和点B

经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．

2014-2015学年江苏省苏州市高新区九年级（上）期末数

学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题8小题，每小题3分，共24分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将每题的选项代号填涂在答题卡相应位置） 1．下列式子结果为负数的是（ ）

A． （﹣3） B． ﹣|﹣3| C． （﹣3） D． （﹣3）

考点： 负整数指数幂；绝对值；有理数的乘方；零指数幂． 专题： 计算题．

分析： 根据零指数幂、绝对值、有理数的乘方、负整数指数幂等知识点分别计算各个选项的判断．

解答： 解：A、（﹣3）=1＞0；

2

C、（﹣3）=9＞0； D、（﹣3）=＞0；

B、﹣|﹣3|=﹣3＜0． 故选B．

点评： 本题考查零指数幂、负整数的指数幂、绝对值等知识点，熟练掌握各知识点是解答的关键． 2．的值是（ ）

A． ±5 B． 5 C． ﹣5 D． 625

考点： 算术平方根．

分析： 根据算术平方根的定义即可求解． 解答： 解：=5． 故选：B．

点评： 本题考查了算术平方根的定义，理解定义是关键．

3．x?x=（ ）

5689

A． x B． x C． x D． x

考点： 同底数幂的乘法．

分析： 根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a?a=a计算即可．

解答： 解：x?x=x=x． 故选：A．

点评： 主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．

2

3

2+3

5

m

n

m+n

2

3﹣2

0

0

2

﹣2

4．计算6tan45°﹣2cos60°的结果是（ ） A． 4 B． 4 C． 5 D． 5

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 根据特殊角三角函数值，可得实数的运算，根据实数的运算，可得答案． 解答： 解：原式=6×1﹣2×

=6﹣1 =5．

故选：C．

点评： 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键．

5．已知一棵树的影长是30m，同一时刻一根长1.5m的标杆的影长为3m，则这棵树的高度是（ ）

A． 15m B． 60m C． 20m D． 10m

考点： 相似三角形的应用．

分析： 在同一时刻，物体的实际高度和影长成比例，据此列方程即可解答．

解答： 解：设这棵树的高度为xm，根据在同一时刻同一地点任何物体的高与其影子的比值是相同的得：∴x=

=15

，

∴这棵树的高度是15m． 故选A．

点评： 解题关键是知道在同一时刻同一地点任何物体的高与其影长的比值是相同的．

6．在平面直角坐标系中，若将抛物线y=2x﹣4x+3先向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，则经过这两次平移后所得抛物线的顶点坐标是（ ） A． （﹣2，3） B． （﹣1，4） C． （1，4） D． （4，3）

考点： 二次函数图象与几何变换． 专题： 压轴题；探究型．

分析： 先把抛物线y=2x﹣4x+3化为顶点式的形式，再根据函数图象平移的法则求出向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式，求出其顶点坐标即可． 解答： 解：∵抛物线y=2x﹣4x+3化为y=2（x﹣1）+1，

∴函数图象向右平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度所得抛物线的解析式为：y=2（x﹣1﹣3）+1+2，即y=2（x﹣4）+3， ∴其顶点坐标为：（4，3）． 故选D．

点评： 本题考查的是二次函数的图象与几何变换，先把原抛物线的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．

7．在同一坐标系内，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax+8x+b的图象可能是（ ）

2

2

2

2

2

2

2

A． B． C．

D．

考点： 二次函数的图象；一次函数的图象．

分析： 令x=0，求出两个函数图象在y轴上相交于同一点，再根据抛物线开口方向向上确定出a＞0，然后确定出一次函数图象经过第一三象限，从而得解． 解答： 解：x=0时，两个函数的函数值y=b，

所以，两个函数图象与y轴相交于同一点，故B、D选项错误； 由A、C选项可知，抛物线开口方向向上， 所以，a＞0，

所以，一次函数y=ax+b经过第一三象限， 所以，A选项错误，C选项正确． 故选C．

点评： 本题考查了二次函数图象，一次函数的图象，应该熟记一次函数y=kx+b在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等．

8．将一张长方形纸片按照图示的方式进行折叠：

①翻折纸片，使A与DC边的中点M重合，折痕为EF；

②翻折纸片，使C落在ME上，点C的对应点为H，折痕为MG；

③翻折纸片，使B落在ME上，点B的对应点恰与H重合，折痕为GE． 根据上述过程，长方形纸片的长宽之比

的值为（ ）

A． B．

C．

D．

考点： 翻折变换（折叠问题）．

分析： 由折叠可得线段及角的关系，找出MH=DC=AB，BG=CG=BC，HE=BE=AB，然后利用勾股定理求出长与宽的比即可． 解答： 解：由①折叠可得AE=ME，

由②折叠可得MC=MH=DC，CG=GH，∠CGM=∠HGM， 由③折叠可得HE=BE，BG=GH，∠HGE=∠BGE， ∵AB=AE+BE，AE=MH+HE，HE=BE，MH=DC=AB， ∴HE=BE=AB， 又∵CG=GH，BG=GH， ∴BG=CG=BC，

∵∠CGM=∠HGM，∠HGE=∠BGE， ∴∠MGE=90°，

在RT△MCG中，MG=MC+CG=（AB）+（BC）， 在RT△GBE中，GE=BE+BG=（AB）+（BC）， ∵ME=MH+HE=AB+AB=AB， 在RT△MGE中，ME=MG+GE，

∴（AB）=（AB）+（BC）+（AB）+（BC）， 化简得，AB=2BC ∴

=

，

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

故选：C．

点评： 本题主要考查了折叠问题，解题的关键是根据折叠图形前后边角的大小不变找出线段之间的关系．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，请把答案填在答题卡相应位置上） 9．分解因式：xy﹣y= y（x+y）（x﹣y） ．

考点： 提公因式法与公式法的综合运用．

分析： 先提取公因式y，再利用平方差公式进行二次分解．

解答： 解：xy﹣y

22

=y（x﹣y） =y（x+y）（x﹣y）． 故答案为：y（x+y）（x﹣y）．

点评： 本题考查了提公因式法与公式法分解因式，提取公因式后利用平方差公式进行二次因式分解是解题的关键，分解要彻底．

2

32

3

10．若锐角α满足2sin（α﹣15°）﹣1=0，则tanα= 1 ．

考点： 特殊角的三角函数值．

分析： 根据2sin（α﹣15°）﹣1=0，求得α﹣15°的值，再求tanα的值即可． 解答： 解：∵2sin（α﹣15°）﹣1=0， ∴sin（α﹣15°）=，

∴α﹣15°=30°， ∴α=45°，

∴tanα=tan45°=1， 故答案为1．

点评： 本题考查了特殊角的三角函数值，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值的运算．

11．（3分）（2014?长沙）如图，在△ABC中，DE∥BC，的面积为 18 ．

=，△ADE的面积是8，则△ABC

考点： 相似三角形的判定与性质．

分析： 根据相似三角形的判定，可得△ADE∽△ABC，根据相似三角形的性质，可得答案． 解答： 解；∵在△ABC中，DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC． ∵

=，

∴=（）=，

2

，

∴S△ABC=18， 故答案为：18．

点评： 本题考查了相似三角形判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质． 12．如图是以△ABC的边AB为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作CD⊥AB交AB于D，已知cos∠ACD=，BC=4，则AC的长为

．

考点： 圆周角定理；解直角三角形．

分析： 由AB为直径，CD⊥AB，可得∠B=∠ACD，又由cos∠ACD=，可求得tan∠B，然后由三角函数的性质，求得AC的长． 解答： 解：∵AB为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B+∠A=90°， ∵CD⊥AB，

∴∠A+∠ACD=90°， ∴∠B=∠ACD， ∵cos∠ACD=， ∴cos∠B=， ∴tan∠B=

，

．

∴AC=BC?tan∠B=故答案为：

．

点评： 此题考查了圆周角定理以及三角函数的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．

13．小斌所在的课外活动小组在大课间活动中练习立定跳远，成绩如下（单位：米）：1.96，2.16，2.04，2.20，1.98，2.22，2.32，则这组数据的中位数是 2.16 米．

考点： 中位数．

分析： 根据中位数的概念求解．

解答： 解：这组数据按照从小到大的顺序排列为：1.96，1.98，2.04，2.16，2.20，2.22，2.32，

则中位数为：2.16． 故答案为：2.16．

点评： 本题考查了中位数的知识：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．

14．现定义运算“★”，对于任意实数a、b，都有a★b=a﹣3a+b，如：3★5=3﹣3×3+5，若x★2=6，则实数x的值是 ﹣1或4 ．

2

2

考点： 解一元二次方程-因式分解法． 专题： 压轴题；新定义．

分析： 根据题中的新定义将所求式子转化为一元二次方程，求出一元二次方程的解即可得到x的值．

解答： 解：根据题中的新定义将x★2=6变形得： x﹣3x+2=6，即x﹣3x﹣4=0， 因式分解得：（x﹣4）（x+1）=0，

解得：x1=4，x2=﹣1， 则实数x的值是﹣1或4． 故答案为：﹣1或4

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边变为积的形式，然后根据两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．

15．某校在九年级的一次模拟考试中，随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，其中有10名学生的成绩达108分以上，据此估计该校九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有 160 名学生．

考点： 用样本估计总体．

分析： 先求出随机抽取的40名学生中成绩达到108分以上的所占的百分比，再乘以640，即可得出答案．

解答： 解：∵随机抽取40名学生的数学成绩进行分析，有10名学生的成绩达108分以上， ∴九年级640名学生中这次模拟考数学成绩达108分以上的约有640×

=160（名）；

2

2

故答案为：160．

点评： 此题考查了用样本估计总体，用到的知识点是总体平均数约等于样本平均数．

16．如图，在小山的东侧A点有一个热气球，由于受西风的影响，以30米/分的速度沿与地面成75°角的方向飞行，25分钟后到达C处，此时热气球上的人测得小山西侧B点的俯角为30°，则小山东西两侧A、B两点间的距离为 750 米．

考点： 解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 专题： 压轴题． 分析： 作AD⊥BC于D，根据速度和时间先求得AC的长，在Rt△ACD中，求得∠ACD的度数，再求得AD的长度，然后根据∠B=30°求出AB的长． 解答： 解：如图，过点A作AD⊥BC，垂足为D， 在Rt△ACD中，∠ACD=75°﹣30°=45°， AC=30×25=750（米），

∴AD=AC?sin45°=375（米）．

在Rt△ABD中， ∵∠B=30°，

∴AB=2AD=750（米）． 故答案为：750．

点评： 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是根据仰角和俯角构造直角三角形并解直角三角形，难度适中．

17．若抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点，且过点A（m，n），B（m+6，n），则n= 9 ．

考点： 抛物线与x轴的交点． 专题： 压轴题．

分析： 首先，由“抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点”推知x=﹣时，y=0．且b﹣4c=0，即b=4c；

其次，根据抛物线对称轴的定义知点A、B关于对称轴对称，则A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）；

最后，根据二次函数图象上点的坐标特征知n=（﹣﹣3）+b（﹣﹣3）+c=所以把b=4c代入即可求得n的值．

2

解答： 解：∵抛物线y=x+bx+c与x轴只有一个交点， ∴当x=﹣时，y=0．且b﹣4c=0，即b=4c． 又∵点A（m，n），B（m+6，n）， ∴点A、B关于直线x=﹣对称， ∴A（﹣﹣3，n），B（﹣+3，n）

将A点坐标代入抛物线解析式，得：n=（﹣﹣3）+b（﹣﹣3）+c=∵b=4c， ∴n=

×4c+c+9=9．

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

b+c+9，

2

b+c+9

2

故答案是：9．

点评： 本题考查了抛物线与x轴的交点．二次函数y=ax+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）

2

的交点与一元二次方程ax+bx+c=0根之间的关系．

2

△=b﹣4ac决定抛物线与x轴的交点个数．

2

△=b﹣4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；

2

△=b﹣4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；

2

△=b﹣4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．

18．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=﹣x（x﹣3）（0≤x≤3）在x轴上方的部分，记作C1，它与x轴交于点O，A1，将C1绕点A1旋转180°得C2，C2与x轴交于另一点A2．请继续操作并探究：将C2绕点A2旋转180°得C3，与x轴交于另一点A3；将C3绕点A2旋转180°得C4，与x轴交于另一点A4，这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C2，…，Cn，…则Cn的顶点坐标为 （3n﹣，（﹣1）?用含n的代数式表示）．

n+1

2

） （n为正整数，

考点： 二次函数图象与几何变换．

分析： 根据图形连续旋转，旋转奇数次时，图象在x轴下方，每两个图象全等且相隔三个单位；旋转偶数次时，图象在x轴上方，每两个图象全等且相隔三个单位．

解答： 解：这样依次得到x轴上的点A1，A2，A3，…，An，…，及抛物线C1，C2，…，Cn，…． 则Cn的顶点坐标为 （3n﹣，（﹣1）?故答案为：（3n﹣，（﹣1）?

n+1

n+1

），

）．

点评： 本题考查了二次函数图象与几何变换，交点间的距离是3，顶点间的横向距离距离是3，纵向距离是．

三、解答题（本大题共9题，共76分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明） 19．（1）计算：（）+（π﹣2015）+sin60°+|

﹣2

0

﹣2|．

（2）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中x=3．

考点： 分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 分析： （1）先分别根据0指数幂、负整数指数幂的运算法则、特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；

（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可． 解答： 解：（1）原式=9+1+=12﹣

；

+2﹣

（2）原式=

?

=．

=4．

当x=3时，原式=

点评： 本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

20．解方程：

（1）x（x+3）=7（x+3） （2）

﹣

=2．

考点： 解一元二次方程-因式分解法；解分式方程． 专题： 计算题．

分析： （1）方程移项后，利用因式分解法求出解即可；

（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解． 解答： 解：（1）方程整理得：x（x+3）﹣7（x+3）=0， 分解因式得：（x﹣7）（x+3）=0， 解得：x1=7，x2=﹣3；

2

（2）去分母得：3x﹣6﹣x﹣2=2x﹣4，

2

整理得：x﹣x+2=0，即（x﹣2）（x+1）=0， 解得：x=2或x=﹣1，

经检验x=2是增根，分式方程的解为x=﹣1．

点评： 此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，以及解分式方程，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

21．已知关于x的方程mx﹣（m+2）x+2=0（m≠0）． （1）求证：方程总有两个实数根；

（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数m的值．

考点： 根的判别式． 专题： 计算题．

分析： （1）先计算判别式的值得到△=（m+2）﹣4m×2=（m﹣2），再根据非负数的值得到△≥0，然后根据判别式的意义得到方程总有两个实数根；

（2）利用因式分解法解方程得到x1=1，x2=，然后利用整数的整除性确定正整数m的值． 解答： （1）证明：∵m≠0， △=（m+2）﹣4m×2 2

=m﹣4m+4

2

=（m﹣2），

2

2

2

2

而（m﹣2）≥0，即△≥0， ∴方程总有两个实数根；

（2）解：（x﹣1）（mx﹣2）=0， x﹣1=0或mx﹣2=0， ∴x1=1，x2=，

当m为正整数1或2时，x2为整数， 即方程的两个实数根都是整数， ∴正整数m的值为1或2．

点评： 本题考查了一元二次方程ax+bx+c=0（a≠0）的根的判别式△=b﹣4ac：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．

22．为了更好地宣传“开车不喝酒，喝酒不开车”的驾车理念，某市一家报社设计了如下的调查问卷（单选）．在随机调查了本市全部5000名司机中的部分司机后，整理相关数据并制作了右侧两个不完整的统计图：

克服酒驾﹣﹣你认为哪一种方式更好？ A．司机酒驾，乘客有责，让乘客帮助监督 B．在车上张贴“请勿喝酒”的提醒标志 C．签订“永不酒驾”保证书 D．希望交警加大检查力度

E．查出酒驾，追究就餐饭店的连带责任

2

2

2

根据以上信息解答下列问题：

（1）请补全条形统计图，并直接写出扇形统计图中m= 12 ； （2）该市支持选项B的司机大约有多少人？

（3）若要从该市支持选项B的司机中随机抽取100名，给他们发放“请勿酒驾”的提醒标志，则支持该选项的司机小李被抽中的概率是多少？

考点： 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；概率公式． 专题： 计算题．

分析： （1）根据选择方式B的有81人，占总数的27%，即可求得总人数，利用总人数减去其它各组的人数即可求得选择方式D的人数，作出直方图，然后根据百分比的意义求得m的值；

（2）利用总人数5000乘以对应的百分比即可求得； （3）利用概率公式即可求解．

解答： 解：（1）调查的总人数是：81÷27%=300（人）， 则选择D方式的人数300﹣75﹣81﹣90﹣36=18（人）， m=

×100=12．

补全条形统计图如下：

（2）该市支持选项B的司机大约有：27%×5000=1350（人）；

（3）小李抽中的概率P=

=

．

点评： 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

23．4张相同的卡片上分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面向上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数． （1）求这两个数的差为0的概率；

（2）如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为非负数时，则甲获胜；否则，乙获胜，你认为这样的规则公平吗？如果不公平，请说明理由．

考点： 游戏公平性；列表法与树状图法．

分析： （1）利用树状图法列举出所有可能，进而求出概率； （2）利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 解答： 解：（1）如图所示：

所有情况有16种情况，两个数的差为0的有3种， 故这两个数的差为0的概率为：

；

（2）当抽到的这两个数的差为非负数的情况有13种， 故甲获胜的概率为：

，

故乙获胜的概率为：，

故此游戏不公平． 点评： 本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 24．如图，在南北方向的海岸线MN上，有A、B两艘巡逻船，现均收到故障船c的求救信号．已知A、B两船相距100（+3）海里，船C在船A的北偏东60°方向上，船C在船B的东南方向上，MN上有一观测点D，测得船C正好在观测点D的南偏东75°方向上．

（1）分别求出A与C，A与D之间的距离AC和AD（如果运算结果有根号，请保留根号）． （2）已知距观测点D处200海里范围内有暗礁．若巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险？（参考数据：≈1.41，≈1.73）

考点： 解直角三角形的应用-方向角问题．

分析： （1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里，在Rt△AEC中，CE=AE?tan60°，在Rt△BCE中，BE=CE=x，由AE+BE=x+x=100（3+）求出x的值，再根据AC=2x得出AC的值，在△ACD中，由∠DAC=60°，∠ADC=75°得出∠ACD=45°．过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y，根据AC=y+y=200求出y的值，故可得出AD的长，进而得出结论；

（2）根据（1）中的结论得出DF的长，再与200相比较即可． 解答： 解：（1）作CE⊥AB于点E，则∠ABC=45°，∠BAC=60°，设AE=x海里， ∵在Rt△AEC中，CE=AE?tan60°=x， 在Rt△BCE中，BE=CE=x， ∴AE+BE=x+x=100（3+），解得x=100， ∴AC=2x=200． 在△ACD中，

∵∠DAC=60°，∠ADC=75°， ∴∠ACD=45°．

过点D作DF⊥AC于点F，设AF=y，则DF=CF=y， ∴AC=y+y=200，解得y=100（3﹣）， ∴AD=2y=200（3﹣）．

答：A与C之间的距离AC为200海里，A与D之间的距离AD为200（3﹣）海里；

（2）∵由（1）可知，DF=AF=×100（3﹣）≈219． ∵219＞200，

∴巡逻船A沿直线AC去营救船C，在去营救的途中有无触暗礁危险．

点评： 本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．

25．如图，AD是△ABC的中线，点E在AC上，BE交AD于点F．某数学兴趣小组在研究这个图形时得到如下结论： （1）当（2）当（3）当… 猜想：当

=

时，

=？并说明理由．

=时，=时，=时，

=； =； =；

考点： 平行线分线段成比例；三角形中位线定理． 分析： 如图，作辅助线；证明即可解决问题． 解答： 解：猜想：当

=

时，

=

；理由如下：

，得到EG=nAE；证明EG=CG，AC=（2n+1）AE，

如图，过点D作DG∥BE，交AC与点G；

则∴

，

，EG=nAE；

∵AD是△ABC的中线， ∴EG=CG，AC=（2n+1）AE， ∴

．

点评： 该题主要考查了平行线分线断成比例定理等几何知识点的性质及其应用问题；解题的关键是作辅助线，构造平行线，灵活运用平行线分线断成比例定理来分析、判断、推理或解答．

26．九（1）班数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x（1≤x≤90）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间x（天） 售价（元/件） 每天销量（件） 1≤x＜50 x+40 200﹣2x 50≤x≤90 90 已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为y元． （1）求出y与x的函数关系式；

（2）问销售该商品第几天时，当天销售利润最大，最大利润是多少？

（3）该商品在销售过程中，共有多少天每天销售利润不低于4800元？请直接写出结果．

考点： 二次函数的应用． 专题： 销售问题．

分析： （1）根据单价乘以数量，可得利润，可得答案；

（2）根据分段函数的性质，可分别得出最大值，根据有理数的比较，可得答案；

（3）根据二次函数值大于或等于4800，一次函数值大于或等于48000，可得不等式，根据解不等式组，可得答案．

解答： 解：（1）当1≤x＜50时，y=（200﹣2x）（x+40﹣30）=﹣2x+180x+2000， 当50≤x≤90时， y=（200﹣2x）（90﹣30）=﹣120x+12000， 综上所述：y=

；

2

（2）当1≤x＜50时，二次函数开口向下，二次函数对称轴为x=45， 当x=45时，y最大=﹣2×45+180×45+2000=6050， 当50≤x≤90时，y随x的增大而减小，

2

当x=50时，y最大=6000，

综上所述，该商品第45天时，当天销售利润最大，最大利润是6050元；

（3）当1≤x＜50时，y=﹣2x+180x+2000≥4800，解得20≤x≤70， 因此利润不低于4800元的天数是20≤x＜50，共30天； 当50≤x≤90时，y=﹣120x+12000≥4800，解得x≤60， 因此利润不低于4800元的天数是50≤x≤60，共11天，

所以该商品在销售过程中，共41天每天销售利润不低于4800元．

点评： 本题考查了二次函数的应用，利用单价乘以数量求函数解析式，利用了函数的性质求最值．

27．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC=CE?CA． （1）求证：BC=CD；

（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB=OB，CD=2，求⊙O的半径．

2

2

考点： 相似三角形的判定与性质；圆周角定理． 专题： 计算题．

分析： （1）由DC=CE?CA和∠ACD=∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD=∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD=∠CBD，所以∠CDB=∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC=DC； （2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到

=

=2，则PC=2CD=4

，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到

=

，再利

2

用比例的性质可计算出r的值． 解答： （1）证明：∵DC=CE?CA， ∴

=

，

2

而∠ACD=∠DCE， ∴△CAD∽△CDE， ∴∠CAD=∠CDE， ∵∠CAD=∠CBD， ∴∠CDB=∠CBD， ∴BC=DC；

（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r， ∵CD=CB， ∴

=

，

∴∠BOC=∠BAD， ∴OC∥AD，

∴===2，

∴PC=2CD=4，

∵∠PCB=∠PAD，∠CPB=∠APD， ∴△PCB∽△PAD， ∴

=

，即

=

，

∴r=4，

即⊙O的半径为4．

点评： 本题考查了相似三角形的判定与性质：三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．也考查了圆周角定理．

28．如图1，在平面直角坐标系xOy中，直线l：（0，﹣1），抛物线

与x轴、y轴分别交于点A和点B

经过点B，且与直线l的另一个交点为C（4，n）．

（1）求n的值和抛物线的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为t（0＜t＜4）．DE∥y轴交直线l于点E，点F在直线l上，且四边形DFEG为矩形（如图2）．若矩形DFEG的周长为p，求p与t的函数关系式以及p的最大值；

（3）M是平面内一点，将△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°后，得到△A1O1B1，点A、O、B的对应点分别是点A1、O1、B1．若△A1O1B1的两个顶点恰好落在抛物线上，请直接写出点A1的横坐标．

考点： 二次函数综合题． 专题： 压轴题．

分析： （1）把点B的坐标代入直线解析式求出m的值，再把点C的坐标代入直线求解即可得到n的值，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答；

（2）令y=0求出点A的坐标，从而得到OA、OB的长度，利用勾股定理列式求出AB的长，然后根据两直线平行，内错角相等可得∠ABO=∠DEF，再解直角三角形用DE表示出EF、DF，根据矩形的周长公式表示出p，利用直线和抛物线的解析式表示DE的长，整理即可得到P与t的关系式，再利用二次函数的最值问题解答；

（3）根据逆时针旋转角为90°可得A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，然后分①点O1、B1在抛物线上时，表示出两点的横坐标，再根据纵坐标相同列出方程求解即可；②点A1、B1在抛物线上时，表示出点B1的横坐标，再根据两点的纵坐标相差A1O1的长度列出方程求解即可． 解答： 解：（1）∵直线l：y=x+m经过点B（0，﹣1）， ∴m=﹣1，

∴直线l的解析式为y=x﹣1， ∵直线l：y=x﹣1经过点C（4，n）， ∴n=×4﹣1=2，

∵抛物线y=x+bx+c经过点C（4，2）和点B（0，﹣1），

2

∴，

解得，

2

∴抛物线的解析式为y=x﹣x﹣1；

（2）令y=0，则x﹣1=0， 解得x=，

∴点A的坐标为（，0）， ∴OA=，

在Rt△OAB中，OB=1， ∴AB=

=

=，

∵DE∥y轴， ∴∠ABO=∠DEF，

在矩形DFEG中，EF=DE?cos∠DEF=DE?DF=DE?sin∠DEF=DE?

=DE，

DE，

=DE，

∴p=2（DF+EF）=2（+）DE=

∵点D的横坐标为t（0＜t＜4）， ∴D（t，t﹣t﹣1），E（t，t﹣1）， ∴DE=（t﹣1）﹣（t﹣t﹣1）=﹣t+2t， ∴p=

×（﹣t+2t）=﹣t+

22

2

2

2

2

t，

∵p=﹣（t﹣2）+，且﹣＜0，

；

∴当t=2时，p有最大值

（3）∵△AOB绕点M沿逆时针方向旋转90°，

∴A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，设点A1的横坐标为x，

①如图1，点O1、B1在抛物线上时，点O1的横坐标为x，点B1的横坐标为x+1， ∴x﹣x﹣1=（x+1）﹣（x+1）﹣1， 解得x=，

②如图2，点A1、B1在抛物线上时，点B1的横坐标为x+1，点A1的纵坐标比点B1的纵坐标大，

∴x﹣x﹣1=（x+1）﹣（x+1）﹣1+， 解得x=﹣

．

．

2

2

2

2

综上所述，点A1的横坐标为或﹣

点评： 本题是二次函数综合题型，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求二次函数解析式，锐角三角函数，长方形的周长公式，以及二次函数的最值问题，本题难点在于（3）根据旋转角是90°判断出A1O1∥y轴时，B1O1∥x轴，注意要分情况讨论．

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