抽屉原理 题库教师版

8-2抽屉原理

教学目标

抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：

1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法； 2．掌握用抽屉原理解题的基本过程； 3. 能够构造抽屉进行解题； 4. 利用最不利原则进行解题；

5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

知识点拨

一、知识点介绍

抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

二、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。 （2）定义

一般情况下，把n＋1或多于n＋1个苹果放到n个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题 苹果÷抽屉＝商……余数 余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数＝x?1?x??n?1??， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里 （二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

知识精讲

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模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论

【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？ 【解析】 6只鸽子要飞进5个笼子，如果每个笼子装1只，这样还剩下1只鸽子．这只鸽子可以任意飞进其

中的一个笼子，这样至少有一个笼子里有2只鸽子．所以这句话是正确的． 利用刚刚学习过的抽屉原理来解释这个问题，把鸽笼看作“抽屉”，把鸽子看作“苹果”，6?5?1??1 ，1?1?2（只）把6个苹果放到5个抽屉中，每个抽屉中都要有1个苹果，那么肯定有一个抽屉中有两个苹果，也就是一定有一个笼子里有2只鸽子．

【巩固】 把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼． 【解析】 在8个鱼缸里面，每个鱼缸放一条，就是8条金鱼；还剩下的一条，任意放在这8个鱼缸其中的任

意一个中，这样至少有一个鱼缸里面会放有两条金鱼．

【巩固】 教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业 试说明：这5名学

生中，至少有两个人在做同一科作业．

【解析】 将5名学生看作5个苹果 将数学、英语、语文、地理作业各看成一个抽屉，共4个抽屉 由抽屉

原理，一定存在一个抽屉，在这个抽屉里至少有2个苹果．即至少有两名学生在做同一科的作业．

【巩固】 年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生

日．”你知道张老师为什么这样说吗？

【解析】 先想一想，在这个问题中，把什么当作抽屉，一共有多少个抽屉？从题目可以看出，这道题显然

与月份有关．我们知道，一年有12个月，把这12个月看成12个抽屉，这道题就相当于把13个苹果放入12个抽屉中．根据抽屉原理，至少有一个抽屉放了两个苹果．因此至少有两个同学在同一个月过生日．

【总结】题目中并没有说明什么是“抽屉”，什么是“物品”，解题的关键是制造“抽屉”，确定假设的“物

品”，根据“抽屉少，物品多”转化为抽屉原理来解．

【巩固】 数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样． 【解析】 属相共12个，把12个属相作为12个“抽屉”，13个同学按照自己的属相选择相应的“抽屉”，根

据抽屉原理，一定有一个“抽屉”中有两个或两个以上同学，也就是说至少有两个同学属相一样．

【巩固】 光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？ 【解析】 一年最多有366天，把366天看作366个“抽屉”，将367名学生看作367个“苹果”．这样，把367

个苹果放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个苹果．这就说明，至少有2名同学的生日相同．

【巩固】 用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同． 【解析】 五种颜色最多只能涂5个不同颜色的面，因为正方体有6个面，还有一个面要选择这五种颜色中

的任意一种来涂，不管这个面涂成哪种颜色，都会和前面有一个面颜色相同，这样就有两个面会被涂上相同的颜色． 也可以把五种颜色作为5个“抽屉”，六个面作为六个物品，当把六个面随意放入五个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉中有两个或两个以上的面，也就是至少会有两个面涂色相同．

【例 2】 向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？ 【解析】 一年最多有366天，可看做366个抽屉，730个学生看做730个苹果．因为730?366?1??364，

所以，至少有1＋1＝2（个）学生的生日是同一天．

【巩固】 试说明400人中至少有两个人的生日相同. 【解析】 将一年中的366天或365天视为366个或365个抽屉，400个人看作400个苹果，从最极端的情

况考虑，即每个抽屉都放一个苹果，还有35个或34个苹果必然要放到有一个苹果的抽屉里，所

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以至少有一个抽屉有至少两个苹果，即至少有两人的生日相同.

【例 3】 三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩． 【解析】 方法一：情况一：这三个小朋友，可能全部是男，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正确的；

情况二：这三个小朋友，可能全部是女，那么必有两个小朋友都是女孩的说法是正确的； 情况三：这三个小朋友，可能其中1男2女那么必有两个小朋友都是女孩说法是正确的； 情况四：这三个小朋友，可能其中2男1女，那么必有两个小朋友都是男孩的说法是正

确的．所以，三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩的说法是正确的；

方法二：三个小朋友只有两种性别，所以至少有两个人的性别是相同的，所以必有两个小朋友都

是男孩或者都是女孩．

【例 4】 “六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游

园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

【解析】 假设共有n个小朋友到公园游玩，我们把他们看作n个“苹果”，再把每个小朋友遇到的熟人数目

看作“抽屉”，那么，n个小朋友每人遇到的熟人数目共有以下n种可能：0，1，2，……，n?1．其中0的意思是指这位小朋友没有遇到熟人；而每位小朋友最多遇见n?1个熟人，所以共有n个“抽屉”．下面分两种情况来讨论：

⑴如果在这n个小朋友中，有一些小朋友没有遇到任何熟人，这时其他小朋友最多只能遇上n?2个熟人，这样熟人数目只有n?1种可能：0，1，2，……，n?2．这样，“苹果”数(n个小朋友)超过“抽屉”数(n?1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等．

⑵如果在这n个小朋友中，每位小朋友都至少遇到一个熟人，这样熟人数目只有n?1种可能：1，2，3，……，n?1．这时，“苹果”数(n个小朋友)仍然超过“抽屉”数(n?1种熟人数目)，根据抽屉原理，至少有两个小朋友，他们遇到的熟人数目相等． 总之，不管这n个小朋友各遇到多少熟人(包括没遇到熟人)，必有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

【巩固】 五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，

他们的朋友人数一样多．

【解析】 数学小组共有20名同学，因此每个同学最多有19个朋友；又由于他们都有朋友，所以每个同学

至少有1个朋友．因此，这20名同学中，每个同学的朋友数只有19种可能：1，2，3，……，19．把这20名同学看作20个“苹果”，又把同学的朋友数目看作19个“抽屉”，根据抽屉原理，至少有2名同学，他们的朋友人数一样多．

【例 5】 在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？ 【解析】 因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三种情形．我们将余数的这三种情形看成是三个

“抽屉”．一个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个“抽屉”里．将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同（需要对学生利用余数性质进行解释：为什么余数相同，则差就能被整除）．这两个数的差必能被3整除．

【巩固】 四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由． 【解析】 想一想，不同的自然数被3除的余数有几类？在这道题中，把什么当作抽屉呢？

把这四个连续的自然数分别除以3，其余数不外乎是0，1，2，把这3个不同的余数当作3个“抽屉”，把这4个连续的自然数按照被3除的余数，分别放入对应的3个“抽屉”中，根据抽屉原理，至少有两个自然数在同一个抽屉里，也就是说，至少有两个自然数除以3的余数相同．

【例 6】 证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数． 【解析】 在与整除有关的问题中有这样的性质，如果两个整数a、b，它们除以自然数m的余数相同，那么

它们的差a?b是m的倍数.根据这个性质，本题只需证明这8个自然数中有2个自然数，它们除以7的余数相同.我们可以把所有自然数按被7除所得的7种不同的余数0、1、2、3、4、5、6分成七类.也就是7个抽屉.任取8个自然数，根据抽屉原理，必有两个数在同一个抽屉中，也就

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是它们除以7的余数相同，因此这两个数的差一定是7的倍数．

【巩固】 证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。 【解析】 把自然数按照除以5的余数分成5个剩余类，即5个抽屉.任取6个自然数，根据抽屉原理，至

少有两个数属于同一剩余类，即这两个数除以5的余数相同，因此它们的差是5的倍数。

【巩固】 （第八届《小数报》数学竞赛决赛）将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是

1的为第1类，个位数字是2的为第2类，?，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类．（1）任意取出6个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反例．

【解析】 （1）不一定有．例如1、2、3、4、5、10这6个数中，任意两个数的和都不是10的倍数．

（2）一定有．将第1类与第9类合并，第2类与第8类合并，第3类与第7类合并，第4类与第6类合并，制造出4个抽屉；把第5类、第10类分别看作1个抽屉，共6个抽屉．任意7个互不同类的自然数，放到这6个抽屉中，至少有1个抽屉里放2个数．因为7个数互不同类，所以后两个抽屉中每个都不可能放两个数．当两个互不同类的数放到前4个抽屉的任何一个里面时，它们的和一定是10的倍数．

【巩固】 证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相

同的两位数．

【解析】 两位数除以11的余数有11种：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，按余数情况把所有两位数

分成11种．12个不同的两位数放入11个抽屉，必定有至少2个数在同一个抽屉里，这2个数除以11的余数相同，两者的差一定能整除11．两个不同的两位数，差能被11整除，这个差也一定是两位数（如11，22……），并且个位与十位相同． 所以，任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．

【例 7】 任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数． 【解析】 设这11个数为a1，a2，a3，……，a11，由5个数的结论可知，在a1，a2，a3，a4，a5中必有

3个数，其和为3的倍数，不妨设a1?a2?a3?3k1；在a4，a5，a6，a7，a8中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设a4?a5?a6?3k2；在a7，a8，a9，a10，a11中必有3个数，其和为3的倍数，不妨设a7?a8?a9?3k3．又在k1，k2，k3中必有两个数的奇偶性相同，不妨设k1，k2的奇偶性相同，那么3k1?3k2是6的倍数，即a1，a2，a3，a4，a5，a6的和是6的倍数．

【巩固】 在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？ 【解析】 至多有两个数在同一个抽屉里，那么每个抽屉里都有数，在每个抽屉里各取一个数，这三个数被

3除的余数分别为0，1，2．因此这三个数之和能被3整除．综上所述，在任意的五个自然数中，其中必有三个数的和是3的倍数．

【例 8】 任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做

和)．

【解析】 把这2008个数先排成一行：a1，a2，a3，……，a2008，

第1个数为a1； 前2个数的和为a1?a2；

前3个数的和为a1?a2?a3；

……

前2008个数的和为a1?a2???a2008．

如果这2008个和中有一个是2008的倍数，那么问题已经解决；如果这2008个和中没有2008的倍数，那么它们除以2008的余数只能为1，2，……，2007之一，根据抽屉原理，必有两个和除以2008的余数相同，那么它们的差(仍然是a1，a2，a3，……，a2008中若干个数的和)是2008的倍数．所以结论成立．

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【巩固】 20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题．证明：小明一定在连续的若干天内恰好

做了7道题目．

【解析】 设小明第1天做了a1道题，前2天共做了a2道题，前3天共做了a3道题，……，前14天共做了a14道题．显然a14?20，而a1～a13都小于20．考虑a1，……，……，a2，a3，a14及a1?7，a2?7，a3?7，a14?7这28个数，它们都不超过27．

根据抽屉原理，这28个数中必有两个数相等．由于a1，……，a2，a3，a14互不相等，a1?7，a2?7，a3?7，……，a14?7也互不相等，因而这两个相等的数只能一个在前一组，另一个在后一组中，

即有：aj?ai?7，所以aj?ai?7．这表明从第i?1天到第j天，小明恰好做了7道题．

【例 9】 求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

1996?4?499，下面证明可以找到1个各位数字都是1的自然数，它是499的倍数． 【解析】

取500个数：1，11，111，……，111……1（500个1）．用499去除这500个数，得到500个余

数a1，a2，a3，…，a500．由于余数只能取0，1，2，…，498这499个值，所以根据抽屉原则，

必有2个余数是相同的，这2个数的差就是499的倍数，差的前若干位是1，后若干位是0： 11…100…0．又499和10是互质的，所以它的前若干位由1组成的自然数是499的倍数，将它乘以4，就得到一个各位数字都是4的自然数，这是1996的倍数．

【巩固】 任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数. 【解析】 考虑如下n?1个数：7，77，777，……，77?7，77?7，这n?1个数除以n的余数只能为0，??????n位n?1位1，2，……，n?1中之一，共n种情况，根据抽屉原理，其中必有两个数除以n的余数相同，不

妨设为77?7和77?7(p?q)，那么77?7?77?7?77?700?0是n的倍数，所以n乘以适当??????????????????p位q位p位q位(p?q)位q位的整数，可以得到形式为77?700?0的数，即由0和7组成的数． ??????(p?q)位q位

【例 10】 求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得(a?b)(c?d)(e?f)是105的倍数．

【解析】 105?3?5?7．对于任意的8个自然数，必可选出2个数，使它们的差是7的倍数；在剩下的6

个数中，又可选出2个数，使它们的差是5的倍数；在剩下的4个数中，又可选出2个数，使它们的差是3的倍数．

【巩固】 任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为

105的倍数．

【解析】 根据上一题的提示我们可以写出下列数字谜(a?b)(c?d)(e?f)使其结果为105的倍数，那么我们的

思路是使第一个括号里是7的倍数，第二个括号里是5的倍数，第三个括号里是3的倍数，那么对于如果六个数字里有7的倍数，那么第一个括号里直接做乘法即可，如果没有7的倍数，那么我们做如下抽屉：

{除以7的余数是1或者是6} {除以7的余数是2或者是5}

{除以7的余数是3或者是4}那么六个数字肯定有两个数字在同一个抽屉里，那么着两个数如果余数相同，做减法就可以得到7的倍数，如果余数不同，做加法就可以得到7的倍数．

这样剩下的4个数中，同理可得后面的括号里也可以组合出5和3的倍数．于是本题可以证明．

【巩固】 （2008年中国台湾小学数学竞赛决赛（一）在100张卡片上不重复地编上1~100，至少要随意

抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？

?100?【解析】 ，抽12?22?3，因为3的倍数有???33个，所以不是3的倍数的数一共有100?33?67（个）

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个盒子中的乒乓球数目相同？

【解析】 每个盒子不超过5个球，最“坏”的情况是每个盒子的球数尽量不相同，为1、2、3、4、5这5

种各不相同的个数，共有：1?2?3?4?5??15，61?15?4?1，最不利的分法是：装1、2、3、4、5个球的各4个，还剩1个球，要使每个盒子不超过5个球，无论放入哪个盒子，都会使至少有5个盒子的球数相同．

【例 33】 将400本书随意分给若干同学，但是每个人不许超过11本，问：至少有多少个同学分到的书的

本数相同？

【解析】 每人不许超过11本，最“坏”的情况是每人得到的本数尽量不相同，为：1、2、3、4、5、6、7、

8、9、10、11这11种各不相同的本数，共有：1+2+3+?+11=66本，400?66?6?4，最不利的分法是：得1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11本数+的各6人，还剩4本书，要使每个人不超过11本，无论发给谁，都会使至少有7人得到书的本书相同．

【例 34】 有苹果和桔子若干个，任意分成5堆，能否找到这样两堆，使苹果的总数与桔子的总数都是偶

数？

【解析】 需先跟学生介绍奇偶性：奇数?奇数?偶数；奇数?偶数?奇数；偶数?偶数?偶数。

先用列表法进行搭配。由于题目只要求判断两堆水果的个数关系，因此可以从水果个数的奇、偶性上来考虑抽屉的设计．对于每堆水果中的苹果、桔子的个数分别都有奇数与偶数两种可能，所以每堆水果中苹果、桔子个数的搭配就有4种情形：（奇，奇），（奇，偶），（偶，奇），（偶，偶），其中括号中的第一个字表示苹果数的奇偶性，第二个字表示桔子数的奇偶性．将这4种情形看成4个抽屉，现有5堆水果，根据抽屉原理可知，这5堆水果里至少有2堆属于上述4种情形的同一种情形．由于奇数加奇数为偶数，偶数加偶数仍为偶数，所以在同一个抽屉中的两堆水果，其苹果的总数与桔子的总数都是偶数．

【例 35】 （难度等级 ※※※）在长度是10厘米的线段上任意取11个点，是否至少有两个点，它们之间

的距离不大于1厘米？

【解析】 把长度10厘米的线段10等分，那么每段线段的长度是1厘米（见下图）．

将每段线段看成是一个“抽屉”，一共有10个抽屉．现在将这11个点放到这10个抽屉中去．根据

抽屉原理，至少有一个抽屉里有两个或两个以上的点（包括这些线段的端点）．由于这两个点在同一个抽屉里，它们之间的距离当然不会大于1厘米．所以，在长度是10厘米的线段上任意取11个点，至少存在两个点，它们之间的距离不大于1厘米．

【巩固】 在1米长的直尺上任意点五个点，请你说明这五个点中至少有两个点的距离不大于25厘米． 【解析】 5个点最多把1米长的直尺分成4段，要想使每一段都尽量长，应采取平均分的办法．把1米长的

直尺平均划分成四段，每一段25厘米，把这四段看成四个抽屉．当把五个点随意放入四个抽屉时，根据抽屉原理，一定有一个抽屉里面有两个或两个以上的点，落在同一段上的这两点间的距离一定不大于25厘米，所以结论成立．

【巩固】 试说明在一条长100米的小路一旁植树101棵，不管怎样种，总有两棵树的距离不超过1米． 【解析】 把这条小路分成每段1米长，共100段每段看作是一个抽屉，共100个抽屉，把101棵树看作是

101个苹果，于是101个苹果放入100个抽屉中，至少有一个抽屉中有两个苹果，即至少有一段有两棵或两棵以上的树.

【巩固】 (《小数报》数学竞赛初赛试题)在20米长的水泥阳台上放11盆花，随便怎样摆放，至少有几

盆花之间的距离不超过2米．

【解析】 如果每两盆之间的距离都超过2米，那么总距离超过2?（11?1）?20(米)．另一方面，可以使开始

的10盆每两盆之间距离略大于2米，而最后两盆之间小于2米．所以，至少有两盆之间的距离不超过2米．

【巩固】 在20米长的水泥阳台上放12盆花，随便怎样摆放，请你说明至少有两盆花它们之间的距离小于

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2米．

【解析】 第1盆花放在一个端点上，第2盆花放在距第1盆花恰为2米处（这是两盆花之间最近的距离了，

再近就说明题目已经正确了——两盆花之间距离小于2米）．第3盆花放在距离第2盆花的距离2米处，这样每隔2米放1盆花，直到阳台的另一个尽头，恰好放第11盆花．至此，阳台上的11盆花中任意两盆花之间的距离都按你的设想不小于2米放好了．现在考虑最后1盆花，它只能放在已放好的11盆花所留出的10个空档内了，这已说明必有两盆花之间的距离小于2米．题目的结论是正确的．

【例 36】 在边长为3的正三角形内，任意放入10个点，求证：必有两个点的距离不大于1．

【解析】 将边长为3的正三角形等分为9个小正三角形，根据抽屉原理，10个点中必有两个点落入同一个

小正三角形的内部或边上，那么这两个点之间的距离不会超过小正三角形的边长，故必有两个点的距离不大于1．

【巩固】 边长为1的等边三角形内有5个点，那么这5个点中一定有距离小于0.5的两点. 【解析】 5个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为1的等边三角形内（包括边界）有5个点，那么

这5个点中一定有距离不大于的两点”，则顺次连接三角形三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为4个全等的边长为的小等边三角形，则5个点中必有2点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于0.5。可以继续拓展：边长为1的等边三角形内，若

1有n2?1个点，则至少存在2点距离小于.

n

【巩固】 在边长为1 的正方形内任意放入九个点，求证：存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面

积不超过0.125

【解析】 如图，用9个点四等分正方形，得到四个面积都为0.25的正方形，我们把四个面积为0.25的正方

形看成4个抽屉，9个点看成苹果，因此必有三个点在一个面积为0.25的正方形内，如果这三点恰好是正方形的顶点，则三角形的面积为0.125，如果这三点在正方形内部，则三角形的面积小于0.125，因此存在三个点，以这三个点为顶点的三角形的面积不超过0.125 【巩固】 在边长为3米的正方形中，任意放入28个点，求证：必定有四个点，以它们为顶点的四边形的

面积不超过1平方米．

【解析】 将大正方形分成9个边长为1米的小正方形，则9个小正方形为“抽屉”，有：28?9?3?1，

则必有一个小正方形里(上)至少有3?1?4(个)点，若这四个点恰好落在这个小正方形的四个顶点，那么以这4个点为顶点的四边形的面积为1平方米；若有一个点落在正方形的内部或边上，则面积将小于1平方米．综上所述，不论怎么放，必定有四个点，以它们为顶点的四边形的面积不超过1平方米．

【巩固】 在一个矩形内任意放五点，其中任意三点不在一条直线上。证明：在以这五点为顶点的三角形

中，至少有一个的面积小于矩形面积的四分之一。

【解析】 如右图，将长方形按中线分为两部分，则由抽屉原理知必然有3个点在同一个区域，那么由这3

个点所构成的三角形的面积必然小于该区域的一半，即长方形面的四分之一。

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【例 37】 在一个直径为2厘米的圆内放入七个点，请证明一定有两个点的距离不大于1厘米 【解析】 将圆分成六个面积相等的扇形，这六个扇形可以看成六个抽屉，七个点看成七个苹果，这样必有

一个抽屉有两个苹果，即一定有两个点的距离不大于1厘米

【巩固】 平面上给定17个点，如果任意三个点中总有两个点之间的距离小于1，证明：在这17个点中必

有9个点可以落在同一半径为1的圆内。

O1O2 【解析】 如果17个点中，任意两点之间的距离都小于1，那么，以这17个点中任意一点为圆心，以1为

半径作一个圆，这17个点必然全落在这个圆内。如果这17点中，有两点之间距离不小于1(即大于或等于1)，设这两点为O1、O2，分别以O1、O2为圆心，1为半径作两个圆(如图)。把这两个圆看作两个抽屉，由于任意三点中总有两个点之间的距离小于1，因此其他15个点中每一点，到O1、O2的距离必有一个小于1。也就是说这些点必落在某一个圆中。根据抽屉原理必有一个圆至少包含这15个点中的8个点。由于圆心是17个点中的一点，因此这个圆至少包含17个点中的9个点。

【例 38】 9条直线的每一条都把一个正方形分成两个梯形，而且它们的面积之比为2∶3。证明：这9 条

直线中至少有3 条通过同一个点。

AN HDEPQFBGMC

【解析】 设正方形为ABCD，E、F分别是AB，CD的中点。设直线MN把正方形ABCD分成两个长方

形ABMN和CDNM，并且与EF相交于P（如图）,长方形ABMN的面积:长方形CDNM的面积?2:3，如果把直线MN绕P点旋转一定角度后，原来的两个长方形就变成两个梯形，根据割补法两个梯形的面积比也为2:3，所以只要直线MN绕P点旋转，得到的两个梯形的面积比为2:3，所以将长方形分成2:3的两个梯形必定经过P点，同样根据对称经过Q点的直线也是满足条件的直线，同理我们还可以找到把长方形分成上下两个梯形的两个点这样，在正方形内就有4个固定的点，凡是把正方形面积分成两个面积为2∶3 的梯形的直线，一定通过这4点中的某一个。我们把这4个点看作4个抽屉，9条直线看作9个苹果，由抽屉原理可知，9?4?2?1，所以，必有一个抽屉内至少放有3个苹果，也就是，必有三条直线要通过一个点。 【例 39】 如图，能否在8行8列的方格表的每一个空格中分别填上1，2，3这三个数，使得各行各列及

对角线上8个数的和互不相同？并说明理由．

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【解析】 从问题入手：因为问的是和，所以就从和的种类入手。由1，2，3组成的和中最小为8?1?8，

最大的为8?3?24，8~24中共有17种结果，而8行8列加上对角线共有18个和，根据抽屉原理，必有两和是相同的，所以此题不能满足要求．

【巩固】 在8?8的方格纸中，每个方格纸内可以填上1?4四个自然数中的任意一个，填满后对每个2?2“田”字形内的四个数字求和，在这些和中，相同的和至少有几个？

【解析】 先计算出在8?8的方格中，共有2?2“田”字形：7?7?49(个)，在1?4中任取4个数(可以重

复)的和可以是4?16中之一，共13种可能，根据抽屉原理:49?13?3?10，至少有3?1?4个“田”字形内的数字和是相同的． 【巩固】 用数字1，2，3，4，5，6填满一个6?6的方格表，如右图所示，每个小方格只填其中一个数

字，将每个2?2正方格内的四个数字的和称为这个2?2正方格的“标示数”．问：能否给出一种填法，使得任意两个“标示数”均不相同？如果能，请举出一例；如果不能，请说明理由．

【解析】 先计算出每个2?2正方格内的四个数字的和最小为4，最大为24，从4到24共有21个不同的值，

即有21个“抽屉”；再找出在6?6的方格表最多有：5?5?25(个)2?2正方格的“标示数”，即有25个“苹果”．25?21?1?4,根据抽屉原理，必有两个“标示数”相同．

【巩固】 能否在10行10列的方格表的每个空格中分别填上1，2，3这三个数之一，使得大正方形的每

行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同？对你的结论加以说明．

【解析】 大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和最小是10，最大是30．因为从10到30之间

只有21个互不相同的整数值，把这21个互不相同的数值看作21个“抽屉”，而10行、10列及两条对角线上的数字和共有22个整数值，这样元素的个数比抽屉的个数多1个，根据抽屉原理可知，至少有两个和同属于一个抽屉，故要使大正方形的每行、每列及对角线上的10个数字之和互不相同是不可能的．

【例 40】 （南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛C卷第12题）如下图① ，A、B、C、D四

只小盘拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果，每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部

糖果，也可取出2只相邻盘中的全部糖果.要使1至13粒糖果全能取到，四只盘中应各有 粒糖果.把各只盘中糖果的粒数填在下图②中.

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A

B

D

C

图① 图②

【解析】 有两种方法（填出一种即可），如下图

2

113

467

2

【巩固】 (南京市第三届“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第12题)如右图A、B、C、D四只小盘

拼成一个环形，每只小盘中放若干糖果.每次可取出1只、或3只、或4只盘中的全部糖果，也

可取出2只相邻盘中的全部糖果.这样取出的糖果数最多有几种？请说明理由.

A

B

D

C

【解析】 最多为13种.因为取1只盘子有4种取法；取3只盘子（即有1种盘子不取），也有四种取法；取4

只盘子只有1只取法；取两只相邻的盘子，在第1只取定后，（依顺时针方向），第2只也就确定了，所以也有4种取法.共有3?4?1?13种取法.满足13种取法的糖果放法可以有无数多种.例题的解表明糖果数可以为1～13这13种.

【例 41】 如右图，分别标有数字1,2,?,8的滚珠两组，放在内外两个圆环上，开始时相对的滚珠所标的数

字都不相同．当两个圆环按不同方向转动时，必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．

【分析】 内外两个圆环对转可以看成一个静止，只有一个环转动，一个环转动一周后，每个滚珠都会有一

次与标有相同数字的滚珠相对的局面出现，那么这种局面共要出现8次.将这8次局面看成8个苹果，注意到一环每转动45?角就有一次滚珠相对的局面出现，转动一周共有8次滚珠相对的局面，而最初相对滚珠所标数字都不相同，所以相对的滚珠所标的数字相同的情况只出现在以后的7次转动中，将7次转动看做7个抽屉，根据抽屉原理至少有2次数字相对的局面出现在同一次转动中即必有某一时刻，内外两环中至少有两对数字相同的滚珠相对．

【巩固】 8位小朋友围着一张圆桌坐下，在每位小朋友面前都放着一张纸条，上面分别写着这8位小朋友

的名字．开始时，每位小朋友发现自己面前所对的纸条上写的都不是自己的名字，请证明：经过适当转动圆桌，一定能使至少两位小朋友恰好对准自己的名字．

【解析】 沿顺时针方向转动圆桌，每次转动一格，使每位小朋友恰好对准桌面上的字条，经过8次转动后，

桌面又回到原来的位置．在这个转动的过程中，每位小朋友恰好对准桌面上写有自己名字的字条

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