第5章-大数定律与中心极限定理答案

第五章 《中心极限定理》测验题

班级： 姓名： 学号： 成绩：

一、单项选择题（每题2分，共10分）

1. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从参数为????0?的泊松分布，则当n充分大时，离散型随机变量Y?（ ）近似服从标准正态分布.

?XA)

i?1ni?? B)

?Xi?1ni?? C)

?Xi?1ni?n? D)

?Xi?1ni?n?

??n?n?解: 因为 E(Xi)?D(Xi)?? ?i?1,2,?,n?,

又 Sn???????????由李雅普诺夫中心极限定理:

12n?,

??Xi?1ni?????Xi?1ni?n??N(0,1)

Sn故选(D)

n?2. 如果离散型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从0-1分布B?1,p?，则当n充分大时，离散型随机变量X??Xi?1ni近似服从（ ）分布.

A) E??? B) N?0,1? C) Nnp,np?1?p? D) B?1,p? 解 因为 E?Xi??p,?i?1,2,?,n?,D?Xi??1p?1?p??p?1?p?,?i?1,2,?,n? 所以E?X??E(X1)?E(X2)???E(Xn)?np,D?X??np?1?p?. 故离散型随机变量X?故选(C)

3. 如果连续型随机变量X1,X2,L,Xn相互独立且皆服从参数为????0?的指数分布,则下列正确的是（ ）.

???Xi?1ni近似服从正态分布Nnp,np?1?p?.

??第 1 页 共 6 页

n?n??n?X??X?n??i????i?i?1i?1A) limP??x????x?; B) limP??x????x?;

n??n??nn????2?????????1?n??n?X??X?n??i????i?i?1i?1C) limP??x????x?; D) limP??x????x?;

n??n??1n????2?????????其中??x?为标准正态分布函数. 解 由李雅普诺夫中心极限定理:

E(Xi)?1?,D(Xi)?1?2 ?i?1,2,?,n?,

1211?1?1Sn??2?2???2??n,

??????nn1?1???Xi?n??Xi???Xi?n??i?1?i?1???i?1?N(0,1)

1Snnnn?故选(B)

4. 设随机变量X与Y的数学期望分别为-2和2,方差分别为1和4,而相关系数为?0.5,则根据切贝谢夫不等式估计PX?Y?6?（ ）. A)

??1111 B) C) D) 461216解| E?X?Y???2?2?0

(Y,?)?XYDXDY D?X?Y??D?X??D?Y??2cov?X,Y?, covX???1?4?2???0.5??1?2?3.

由切贝谢夫不等式得 PX?Y?E?X?Y??6?故选(C)

5. 若随机变量X?B?1000,0.01?, 则P?4?X?16??（ ）. A) 0.925 B) 0.825 C) 0.9 D) 0.725 解| 因为 E?X??1000?0.01?10,D?X??npq?10?0.99?9.9

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??D?X?Y?31??.

623612由切贝谢夫不等式得

P?4?X?16??P?X?10?6?

?1?P?X?10?6??1?故选(D)

D?X?9.9?1??1?0.275?0.725.

3662二、填空题（每空2分，共10分）

1. 已知离散型随机变量X服从参数为??3的泊松分布，则利用切贝谢夫不等式估计概率

P?X?3?5?? . 解 因为X?P??m?

所以E?X??D?X??3

由切贝谢夫不等式PX?E?X??5???D?X?3?. 522522. 已知随机变量X存在数学期望E?X?和方差D?X?，且数学期望E?X??10，EX?109，利用

??切贝谢夫不等式估计概率PX?10?6? . 解 因为 E?X??10,D?X??EX??????E?X??22?109?100?9

由切贝谢夫不等式PX?10?6???D?X?91??. 263643. 已知随机变量X的方差为4，则由切贝谢夫不等式估计概率PX?E?X??3? . 解 由切贝谢夫不等式PX?E?X??3?????4. 94. 若随机变量X?B?n,p?,则当n充分大时,X 近似服从正态分布N( , ) 解 因为 E?X??np,D?X??np?1?p?. 三、计算或证明题题（每题10分，共80分）

1. 如果随机变量X存在数学期望E?X?和方差D?X?，则对于任意常数??0，都有切贝谢夫不等式：

P?X?EX????DX?2 （证明当X为连续型随机变量时的情况）

证明 设连续性随机变量X的概率密度函数为??x?,则

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P?X?EX????X?EX?????x?dx?1X?EX???X?EX2?22??x?dx

D?X???2?????X?EX??x?dx??2.

2. 投掷一枚均匀硬币1000次，试利用切贝谢夫不等式估计出现正面次数在450次~550次之间的概率. 解 设随机变量X表示1000次试验中出现正面朝上的次数, 由于

X?B?1000,0.5?,所以E?X??500,D?X??250;

由切贝谢夫不等式

P?450?X?550??P?X?500?50??1?D?X?250?1??0.9. 22500503. 已知连续型随机变量X服从区间??1,3?的均匀分布，试利用切贝谢夫不等式估计事件X?1?4发生的概率.

?1?3?3?(?1)??4;

?1,D?X??解 由于X?U??1,3?, 所以E?X??2123由切贝谢夫不等式

24D(X)11P?X?1?4??1?2?1?3??0.9167.

412164. 对敌人的防御工事进行80次轰炸，每次轰炸命中目标炸弹数目的数学期望为2，方差为0.8，且各次轰炸相互独立，求在80次轰炸中有150颗~170颗炸弹命中目标的概率.

解 设随机变量X表示80次轰炸中炸弹命中目标的次数, Xi表示第i次轰炸命中目标的次数, 则E?Xi??2,,D?Xi??0.8;由于X??Xi?180i

所以E?X??160,,D?X??80?0.8?64; 由中心极限定理得

P?150?X?170?

?170?160??150?160?????????

88???????1.25?????1.25??2??1.25??1?2?0.8944?1?0.7888.

5. 袋装食糖用机器装袋，每袋食糖净重的数学期望为100克，方差为4克，一盒内装100袋，求一盒食糖

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净重大于10,060克的概率.

解 设每袋食糖的净重为Xi ?i?1,2,?,100?,则Xi ?i?1,2,?,100?服从独立同分布,且

E(Xi)?100,D(Xi)?4;设一盒食糖为X,则

X??Xi,E(X)?10000,D(X)?400,

i?1100由中心极限定理得

P?X?10060? ?1?P?X?10060?

?10060?10000??1?????1???3??1?0.99865?0.00135.

400??6. 某人寿保险公司为某地区100,000人保险，规定投保人在年初向人寿保险公司交纳保险金30元，若投保人死亡，则人寿保险公司向家属一次性赔偿6,000元，由历史资料估计该地区投保人死亡率为0.0037，求人寿保险公司一年从投保人得到净收入不少于600,000元的概率.

解 设随机变量X表示一年内投保人中死亡人数, 则X?B?n,p?,其中n?100000,p?0.0037;

E?X??np?370,D?X??npq?370?0.9963?368.31; 由100000?30?6000X?600,000,

得X?400

由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为

?X?np400?370?? P?X?400??P???np?1?p?368.31????30????????1.56??0.9406.

?19.1940?7. 某车间有同型号机床200部，每部开动的概率为0.7，假定各机床开与关是独立的，开动时每部机床要消耗电能15个单位.问电厂最少要供应这个车间多少电能，才能以95%的概率，保证不致因供电不足而影响生产？

解 设随机变量X表示200部机床中同时开动机床台数, 则

X?B?200,0.7?,E?X??np?140,D?X??42?6.482

用K表示最少开动的机床台数,则

P?X?K??P?X?K?

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?K?200?0.7?????

?200?0.7?0.3??K?140??????0.95

?6.5?查表??1.65??0.95, 故

K?140?1.65 6.5由此得K?151

这说明, 这个车间同时开动的机床数不大于151部的概率为0.95.

所以电厂最少要供应这个车间151?15?2265个单位电能,才能以95%的概率, 保证不致因供电不足而影响生产.

8. 设某妇产医院生男婴的概率为0.515,求新生的10000个婴儿中,女婴不少于男婴的概率? 解 设X表示10000个婴儿中男婴的个数, 则X?B?n,p?其中n?10000,p?0.515. 由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为

?X?np5000?np?? P?X?5000??P???np?1?p?np?1?p?????5000?10000?0.515?????????3??1???3?

?10000?0.515?0.485??1?0.99865?0.00135.

附表：

?0?0.5??0.6913;?0?1??0.8413;?0?1.25??0.8944;??2.5??0.993790 ?0?1.5??0.9938;?0?1.56??0.9406;?0?1.65??0.95; ?0?3??0.99865.

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?K?200?0.7?????

?200?0.7?0.3??K?140??????0.95

?6.5?查表??1.65??0.95, 故

K?140?1.65 6.5由此得K?151

这说明, 这个车间同时开动的机床数不大于151部的概率为0.95.

所以电厂最少要供应这个车间151?15?2265个单位电能,才能以95%的概率, 保证不致因供电不足而影响生产.

8. 设某妇产医院生男婴的概率为0.515,求新生的10000个婴儿中,女婴不少于男婴的概率? 解 设X表示10000个婴儿中男婴的个数, 则X?B?n,p?其中n?10000,p?0.515. 由拉普拉斯中心极限定理,所求概率为

?X?np5000?np?? P?X?5000??P???np?1?p?np?1?p?????5000?10000?0.515?????????3??1???3?

?10000?0.515?0.485??1?0.99865?0.00135.

附表：

?0?0.5??0.6913;?0?1??0.8413;?0?1.25??0.8944;??2.5??0.993790 ?0?1.5??0.9938;?0?1.56??0.9406;?0?1.65??0.95; ?0?3??0.99865.

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