基于小波变换的交通流信号去噪 - 图文

基于小波变换的交通流信号去噪处理

摘要：针对实际交通系统时变复杂的特征和交通流变化的不确定性，应用小波分析理论对原始交通数据进行了去噪处理，使去噪后的数据更能反映交通流的本质及变化规律。并对实测交通数据进行验证分析，结果表明，该方法具有很好的去噪效果，可用于交通流数据信息的去噪处理。 关键词：交通流；小波分析；去噪

Traffic Signal Denoising Based on Wavelet Transform

Yangbo

(School of Traffic & Transportation，Chongqing Jiaotong University，Chongqing400041)

Abstract： Uncertainty of the actual traffic system becomes complicated features and traffic flow changes, the application of wavelet analysis of the raw traffic data de-noising processing, the data denoised better reflect the nature and the changes of the traffic flow. And the measured traffic data is validated, the results show that this method has good denoising effect, can be used for noise elimination process traffic data information.

Key words：Traffic Flow；Wavelet Analysis；Denoising

为后期的交通流预测、交通诱导以及通行能力分析

1.研究背景及意义

1.1研究背景

随着社会经济的快速发展，城市化进程的加快，世界各国的汽车保有量日益增大。作为人类社会生存和发展的基础设施，交通运输系统正极大地促进着人类社会经济的快速发展和人们生活水平的提高。然而，城市化发展和汽车的广泛普及在大大地节约人们的出行时间，提高人们的工作效率的同时也带来了日益严重的交通问题。无论是在发达国家还是在发展中国家，交通堵塞、交通安全己经成为困扰各大城市的顽疾，由交通堵塞引起的能源和资源的浪费、汽车尾气给环境带来的污染所造成的损失更是难以估计。资料显示，我国百万人以上的大城市每年由于交通拥堵给社会带来的直接经济损失约合人民币1600亿元，相当于国内生产总值的3.2%。

通过对交通流进行实时诱导和控制，达到对交通流正确、及时地分配与调整，缓解日益增加的交通供需矛盾、降低环境污染、提高道路的安全水平。为了充分地利用现有的交通资源，发挥现有交通基础设施的潜力，缓解交通供求失衡的矛盾，无论是科学地进行交通规划，还是有效地进行交通控制及管理，首先都需要准确、及时地采集交通流信息，并进行交通流信息分析。交通流的实地观测数据是进行交通状态分析和管理的基本资料，它可以将道路交通系统的交通流时空分布规律进行量化，从而

[1]

等科学管理工作提供保证。因此，交通流数据是交通管理工作的基础，其采集的有效性直接关系到交通管理系统作用的发挥。一般来说，所采集的交通流信息主要包括交通流量、速度、占有率等。

然而，由于交通流数据量较大，其中难免会因为设备故障、天气情况、交通管制等造成数据采集的缺失和错误现象。因此，对交通流的异常数据进行辨识和修复是一项必不可少的工作。一般来说，数据预处理能够保证交通流数据很好的完整性和一定的准确性，这对于交通流数据的后期应用非常重要。因为目前所采集的交通流数据无论是用于交通的规划、管理，还是交通流的控制、诱导，都需 要首先对交通流进行分析预测。而交通流预测一般都是根据所采集的历史交通数据进行预测模型拟合，然后运用模型对未来交通情况进行预测。所以数据分析时保证数据的准确性对交通分析结果的有效性具有很关键的作用。 1.2研究意义

交通流分析预测是城市交通控制系统中动态引导和信号控制的基础。首先，实时地采集交通系统信息来及时、准确地预测下一时段的交通流状况是进行交通流诱导的前提[2]。交通流诱导系统作为智能交通系统的重要组成部分，只有在进行有效的交通流预测基础上才能完成对交通系统的供需情况进行预测，为出行者提供最佳的行驶线路，才能为交通控制系统、交通管理系统以及出行者信息系

统的运行提供理论基础。交通流量信息的实时预测在交通管理与控制中起着基础性作用。在车辆调度管理系统先进的驾驶员信息系统、先进的交通管理系统以及自动高速公路系统中都需要提前对交通流状态作出准确的判断和决策，才能进一步应用现代通讯技术、计算机技术将信息提供给出行者，避免其盲目出行，减少交通拥挤。

小波变换是一种信号的时间-尺度(时间-频率)变换方法，具有多分辨特性，也叫多尺度特性。其基本思想是首先寻找一个满足一定条件的基本小波（母小波），然后通过基本小波的平移和伸缩构成小波基，再利用小波基去逼近所要研究的信号，从而达到时频局部化分析的目的。小波变换的小波基在频域上可看作带通滤波器，通过改变平移参数，得到一滤波器组，信号通过这一滤波器组，便可获得小波分解系数。通过改变尺度参数，滤波器的中心频率发生平移，从而能够对不同频率的信号进行分析，达到逐渐精细的目的。

小波变换具有可调的时频窗。当尺度因子增大时，时间窗变宽，频率窗变窄，适于分析低频段信息；反之，尺度因子减小，时间窗变窄，频率窗变宽，适于分析高频段信息。目前，小波变换己经广泛应用于信号降噪、图像处理、数据压缩、故障诊断、损伤识别等方面，在非线性、非平稳信号分析与处理领域占了一席之地。

本文结合小波变换在信号去噪方面的优良特性，对重庆市某处交通流采集数据信息进行有效的研究分析，去除交通流信息中的干扰信息，提高分析的准确性和有效性。

2.小波变换

2.1小波变换基本概念

信号x(t)的连续小波变换(wavelet transform，WT)定义为：

WT?1x(a,b)?|a|2??t?b??x(t)??(a)dt ?????x(t)?*a,b(t)dt??x(t),?a,b(t)?(2-1)

其中?x(t),?a,b(t)?表示两个函数x(t)和?a,b(t)的内积。且

?????(t)dt?0(2-2)

称?(t)为母小波函数，对它进行伸缩和平移变换得到?a,b(t)，即

??ba,b(t)?|a|?12?(ta),a?0(2-3) 其中，a为尺度因子，b为平移因子。称?a,b(t)为分析小波，??a,b(t)为?a,b(t)的共轭函数。如果母小波函数?(t)满足：

?|?(?)|2C?????|?|d???(2-4)

其中，?(?)是?(t)的傅里叶变换，那么对任意的信号x(t),y(t)?L2(R)，存在下列关系式：

????????WTx(a,b)WT?y(a,b)1a2dadb?C??x(t),y(t)?(2-5)

连续小波变换的逆变换是：

x(t)?1?Ca,b(t)da????????WTx(a,b)?a2db(2-6) 它存在的条件是母小波满足式(2-4)，称满足式(2-4)的母小波为容许小波[3]。 2.2小波多分辨率分析

多分辨分析也称为多尺度分析或多分辨逼近，其基本思想是先在L2(R)的某个子空间中建立基底，然后利用简单的伸缩和平移变换，把子空间的基底扩充到L2(R)中。多分辨分析不仅提供了一种构造正交小波基的简单方法，还为正交小波变换的快速算法提供了理论依据，其思想与多采样滤波器组相似，将小波变换与数字滤波器的理论结合起来。

多分辨分析的思想就是构造一组函数空间，使得每组空间的构成都有一种统一的形式，而每个空间的闭包都逼近L2(R)，每个函数在其所有空间中都构成该空间的标准化正交基，而所有函数空间闭包中的函数则构成L2(R)的标准化正交基。所以，如果在这类空间上对信号进行分解，便可得到相互正交的时频特性[4]。定义空间L2(R)中的一列闭子空间?Vj?j?Z称为L2(R)的一个多分辨分析，该序

列需具备如下性质：

1)单调性：Vj?Vj?1,?j?Z； 2)逼近性：IVj?{0},Y?L2(R)；

j?Zj?Z对于如何降低信号的噪声一直是信号处理技术中的一个受困扰问题，统计学理论的平均和线性方法是常被采用的去噪方法，但是对于噪声干扰比较大的信号时，很多信号分析方法有许多的不足，随着近年来小波理论的日趋完善，其被更多的应用3)伸缩性：f(x)?Vj?f(2x)?Vj?1,?j?Z； 4)平移不变性：

f(x)?V0?f(x?k)?V0,?k?Z；

5)Riesz基存在性：存在?(x)?V0，使

{?(x?k)|k?Z构成}V0的 Riesz 基。Riesz 基定义为：若?(t)是V0的Riesz 基，则存在常数 A，B

使得：

2A?c2k?2??c2k?(t?k)?B{ck}k?Z2(2-7)

2并且使得

{c22k}2??ck??(2-8)

k?Z成立。如果?(t)生成一个多分辨分析，则称?(t)为一个尺度函数。Vj?1所表示的信息应该比Vj更丰富。所以，尺度越大，距离目标越近，得到的信息越丰富；尺度越小，距离越远，含有的信息量越少。

3.小波去噪原理

3.1小波变换在信号去噪中的主要特点

小波去噪是近十几年来小波变换在信号分析与处理领域中的一个重要应用方面，其基本原理是将含噪声的信号经过小波变换后，利用具体问题的先验知识，根据信号系数和噪声系数在不同尺度上具有不同性质的机理，构造相应的规则，在小波域对含噪信号的系数进行处理，目的在于减小甚至完全剔除噪声系数，同时最大限度地保留信号系数，得到真实信号的最优估计。总的来说，小波去噪过程一般由三个步骤完成：小波变换、对小波系数非线性处理以滤除噪声和小波逆变换[5]。在对信号进行小波变换时，小波基的选取是一个非常关键的问题。理想的小波基应具有对称性、紧支撑，高消失矩和正交性，但要使一个小波基同时具有这些性质往往不现实，因此在应用中只能根据具体要求选择合适的小波基。随着小波滤波理论研究的深入，若能做到按信号特征自适应选择小波基，则信号描述的效果将会得到较大的改善。

于信号去噪领域，经拟合后可以作为一维信号来进行去噪处理[6]。小波变换在信号去噪中主要有以下四个特点：

1)低熵性：信号的熵在经变换后由于小波系数的稀疏分布而降低；

2)多分辨性：采用了多分辨法，能很好的体现信号的非稳态特征；

3)去相关性：可以对信号做去相关处理； 4)选基灵活性：可以根据信号特点和对信号的去噪要求，来选择不同的小波基函数。 3.2小波去噪理论

经测试采集到的含噪声信号基本模型为：

Sn?fn?en(3-1)

式中fn为有效信号，en为噪声信号。信号去噪的

主要目的是尽最大可能地将有效信号与噪声信号分离，保留有效信号，剔除噪声信号。在去噪分析中，通常假设噪声为高斯白噪声，即en是均值为零，方差为1的服从高斯分布的随机序列。对信号进行小波变换得：

Wsn(a,b)?Wfn(a,b)?Wen(a,b) (3-2)

令en为高斯白噪声，则

E{eeT}??2eIQ (3-3)

式中E{}为均值运算，Q为en的协方差矩阵。令W

为正交小波变换矩阵，可得：

??[Wsn(a,b)]?W[s]?[Wfn(a,b)]?W[f](3-4) ??[Wen(a,b)]?W[e]由式（3-4）得：

W[s]?W[f]?W[e] (3-5) 令W[s]的协方差矩阵为P，由于噪声为高斯白

噪声，则

P?E?{W[e]}{W[e]}T??E?W[e][e]TWT??WQWT (3-6)

由于W为正交矩阵，根据式（3-3）和式（3-6）可知

Q??2eI?P (3-7)

由式（3-7）可知平稳高斯白噪声经正交小波变换后仍是平稳的高斯白噪声，对于式（3-1）所示信号噪声模型，经过正交小波变换后，最大程度上去除了en的相关性，其能量集中在少数的小波系数上，???sgn(?),|?|?T?(?)??(3-9)

0,|?|?T?其中?为原小波系数，?(?)为阈值化后的小波系它们将分布在各个尺度下的所有时间轴上，在小波变换的各个尺度下保留有效信号的模极大值点，而将其他点置零或最大程度地减小，利用处理后小波系数做逆小波变换重构信号就能达到抑制噪声的目的。

信号降噪一般要遵循两个准则：

1)光滑性：降噪后的信号和原信号至少具有同等的光滑性；

2)相似性：降噪后的信号和原信号的方差估计应是最坏情况下的最小值。 3.3小波阈值去噪原理

小波去噪的目的是将信号、噪声的小波变换信息有效地分离，小波阈值去噪的主要依据是小波变换具有很强的去相关性，可以将信号的自身能量集中在小波域内一些较大的小波系数中，而将噪声的能量分布于整个小波域内，信号在经小波分解后的系数幅值要比噪声的系数幅值大，认为信号一般由幅值较大的小波系数构成，幅值较小的系数在很大程度上是噪声。因此，采用小波阈值去噪的方法可以保留信号系数，将大部分噪声系数减少至零。应用小波阈值去噪的基本过程为：

1)分解：选取合适的小波基后，对信号进行多层小波分解；

2)作用阈值：对于分解得到的各层系数选择阈值，并对高频系数作用软阈值；

3)重建：用降噪后的小波系数重构原始信号。 1.阈值函数的选取

将小波分析用于信号噪声处理的过程中，在系数上作用阈值是一关键步骤，阈值函数体现了对超过和低于阈值的小波系数模的不同处理策略及不同估计方法，常用的阈值函数有硬阈值和软阈值函数。

硬阈值函数：

?(?)????,|?|?T?0,|?|?T(3-8)

软阈值函数：

数，T为阈值。

硬阈值是将低于T的?认为是噪声引起的，置零。软阈值是将|?|?T的值完全保留并收缩处理，硬阈值方法可以很好的保留原信号的边缘特征，但函数不连续，软阈值相对是光滑连续的，但也容易造成边缘信息模糊，还有一种兼顾软硬阈值优点的方法，称为半软阈值函数，虽然有较好的去噪效果，但需要两个阈值，较难实现，应用较少，目前应用较多的是软阈值函数[7]。

2.阈值的估计

阈值是去噪中的另一个关键因素，阈值的选取直接影响降噪的效果，T过小，去噪后信号仍然含有噪声，T过大，信号本身信息可能被过滤掉，造成失真。对原信号样本阈值的估计选取常用的有四种阈值估计方法：

1)固定阈值(sqtwolong)：将从信号中获得的最小极大方差的阈值与系数log(length(s))相乘得到阈值；

2)基于 Stein 无偏似然估计的软阈值(rigorous sure)：对于给定的阈值，进行似然估计，将似然函数最小化得到阈值；

3)启发式阈值(heuristic sure)：由于Stein 无偏似然估计产生的阈值，在信噪比较高时对噪声的抑制效果不明显，该法利用启发函数在sqtwolong 和rigorous sure 中自动选取一个；

4)最小极大方差阈值(minimaxi)：使选取的阈值产生最小的极大方差。

4.交通流信号去噪处理实例分析

4.1交通流信号的去噪处理

用于道路实时控制的交通流预测在数据采集的准确性和有效性上要求比较高，而含有大量白噪声的交通流数据如果直接用于交通流分析，势必会使分析误差加大。所以，对交通流信号进行白噪声的去噪处理是交通流信号分析中一项重要的工作。 在进行小波变换时，由于小波基都是紧支集，因此小波变换具有一种“集中”的能力，可以使信号的能量在小波变换域内集中于少数系数上，那么相对

来说，对这些系数的取值必然大于在小波系数域内能量分散于大量小波系数的噪声的小波系数值。所以，可以认为幅值比较大的小波系数一般以信号为主，而幅值比较小的系数在很大程度上是噪声。另外，由于小波变换是基于多分辨分析进行的，可以在保留信号时间特性的情况下通过多个滤波器来得到不同频段的信息。因此，这就使得应用小波方法去除信号噪声成为可能[8]。

然而，对于实际的交通流信息，并不能确切地了解噪声成分所在的频率范围，它们很可能存在于信号的整个频率范围内。因此，含有噪声的交通流信号模型表示如下：

s(n)?f(n)??e(n)，n?0,1???,n?1(4-1) 其中，f(n)原始信号的小波变换系数；f(n)为噪声强度；e(n)白噪声[9]。

4.2交通流信号阈值去噪方法的应用

应用改进的模型对交通流进行交通流短时预测能够取得更好的效果。为了能够从宏观上更准确地把握交通流的变化趋势，下面运用软阈值去噪方法和改进的去噪方法对交通流信号分别进行去噪处理，并运用改进的模型对交通流进行预测及结果对比分析。

1)软阈值去噪方法应用

图4-1是针对重庆市某交通路口的某时段的交通流量原始统计数据和基于软阈值去噪处理后的交通流预测结果曲线图。图4-2是软阈值去噪处理后交通流预测结果误差分析结果图。

图4-1软阈值去噪处理后的交通流预测结果曲线图

Fig.4-1Traffic flow forecasting graph showing the results of

soft-thresholding processing

图4-2软阈值去噪处理后交通流预测结果误差分析结果图

Fig.4-2 After the soft threshold for dealing with traffic flow prediction

error analysis results in Fig.

2)改进的阈值去噪方法应用

图4-3是针对重庆市某交通路口的某时段的交通流量原始统计数据和基于改进软阈值去噪处理后交通流预测结果曲线图。图4-4是改进软阈值去噪处理后交通流预测结果误差分析结果图。

图4-3 改进软阈值去噪处理后交通流预测结果曲线图

Fig.4-3 Improved traffic flow prediction results after the soft

thresholding process graph

图4-4 改进软阈值去噪处理后交通流预测结果误差分析结果图 Fig.4-4 The improved soft threshold for dealing with traffic flow

prediction error analysis results in Fig.

经过统计，两种去噪方法处理后的交通流预测误差分析情况如表4-1所示：

表4-1 阈值去噪数据的预测误差对比

Table 4-1 Thresholding prediction error data comparison

误差指标 软阈值法 改进阈值法 MSE 31.9571 27.4115 MAE 4.8146 4.4355 MAPE

0.0275

0.0253

从表4-1中可以看出，改进的阈值去噪方法处理后的交通流预测结果在各项误差评价指标上都优于软阈值法，它能够使去噪处理后的交通流信号更加平滑，更有效地用于交通流预测。这是因为，从阈值表达式上看改进的阈值法能够在阈值去噪时使噪声小波系数与有用的小波系数进行平滑过渡，而并不是将所有噪声小波系数直接置为0。另外，一般的软阈值法去噪是通过Matlab直接选取噪声的默认阈值作用于全局信号，而改进的阈值法则是针对小波分解重构的各单支信号分别处理，作用不同的阈值，从而使阈值的去噪进行得更合理。 4.3阈值去噪对交通流预测的影响分析

与4.2节中的预测结果相比，去噪处理对交通流预测的影响情况如表4-2所示：

表4-2 阈值去噪对改进模型预测结果的影响

Table 4-2Threshold Denoising to improve the model prediction

results

误差指标 未经阈值处理的

改进阈值法结果

处理结果 MSE 28.3487 27.4115 MAE 4.5781 4.4355 MAPE

0.0262

0.0253

由表可知，经过阈值处理后预测结果的MSE、MEA、MAPE两项误差指标分别降低了3.31%、3.11%、3.44%，这说明对交通量时间序列进行阈值去噪处理是能够提高预测精度的。其中反映预测数据可靠性的MSE指标与衡量预测结果无偏性的MAPE指标减小说明阈值去噪处理使预测结果既能够保证与实际交通流的相似性，又能够保证预测信号的光滑性，宏观地反映交通流的变化趋势。而对于短时交通流来说，进行预测的主要目的就是在把握住未来交通流变化趋势的同时有效地实施交通流实时控制[10]。因此，对交通量的时间序列进行去噪处理对于提高预测效果是有效的。

5.论文总结

本文分析了基于小波变换的交通流数据信息的去噪处理。对比了改进的阈值去噪方法与软阈值去噪方法在交通流信号去噪分析中的优劣，并进行了小波去噪方法对交通流预测的影响分析，证明小波阈值去噪方法能够很好地保证预测模型的准确性，明显提高了交通流的预测精度。

参考文献(References)：

[1]兰云.短时交通流量预测研究[D].西北工业大学硕士学位论文.2002 [2]喻丹.基于小波理论的短时交通流预测方法研究[D].长沙理工大学硕

士学位论文.2008

[3]衡彤.小波分析及其应用研究[D].四川大学博士学位论文.2003 [4]陈中.小波分析及其在时间序列中的应用[D].西南交通大学硕士学位

论文.2004

[5]程正兴著.小波分析算法与应用[M].西安.西安交通大学出版社.1998 [6]王新楼.小波去噪方法分析与Matlab仿真[J].工业控制计算机.2008，21(6):55-56

[7]杨芳明，朱顺应.基于小波的短时交通流预测[J].重庆交通学院学报.2006，25(3):99-102

[8]Dingwei Huang.Wavelet Analysis in a Traffic Model[J].Physica

A:Statistical Mechanics and Its Applications.2003,329(1-2):298-308 [9]李嘉,刘小兰.基于卡尔曼滤波理论的交通信息预测模型及其应用[J]. 中南公路工程，2005，30(4)：108-109

[10]王晓原，吴磊，张开旺，张敬磊. 非参数小波算法的交通流预测方法[J].系统工程，2005，23(10): 44-47

经过统计，两种去噪方法处理后的交通流预测误差分析情况如表4-1所示：

表4-1 阈值去噪数据的预测误差对比

Table 4-1 Thresholding prediction error data comparison

误差指标 软阈值法 改进阈值法 MSE 31.9571 27.4115 MAE 4.8146 4.4355 MAPE

0.0275

0.0253

从表4-1中可以看出，改进的阈值去噪方法处理后的交通流预测结果在各项误差评价指标上都优于软阈值法，它能够使去噪处理后的交通流信号更加平滑，更有效地用于交通流预测。这是因为，从阈值表达式上看改进的阈值法能够在阈值去噪时使噪声小波系数与有用的小波系数进行平滑过渡，而并不是将所有噪声小波系数直接置为0。另外，一般的软阈值法去噪是通过Matlab直接选取噪声的默认阈值作用于全局信号，而改进的阈值法则是针对小波分解重构的各单支信号分别处理，作用不同的阈值，从而使阈值的去噪进行得更合理。 4.3阈值去噪对交通流预测的影响分析

与4.2节中的预测结果相比，去噪处理对交通流预测的影响情况如表4-2所示：

表4-2 阈值去噪对改进模型预测结果的影响

Table 4-2Threshold Denoising to improve the model prediction

results

误差指标 未经阈值处理的

改进阈值法结果

处理结果 MSE 28.3487 27.4115 MAE 4.5781 4.4355 MAPE

0.0262

0.0253

由表可知，经过阈值处理后预测结果的MSE、MEA、MAPE两项误差指标分别降低了3.31%、3.11%、3.44%，这说明对交通量时间序列进行阈值去噪处理是能够提高预测精度的。其中反映预测数据可靠性的MSE指标与衡量预测结果无偏性的MAPE指标减小说明阈值去噪处理使预测结果既能够保证与实际交通流的相似性，又能够保证预测信号的光滑性，宏观地反映交通流的变化趋势。而对于短时交通流来说，进行预测的主要目的就是在把握住未来交通流变化趋势的同时有效地实施交通流实时控制[10]。因此，对交通量的时间序列进行去噪处理对于提高预测效果是有效的。

5.论文总结

本文分析了基于小波变换的交通流数据信息的去噪处理。对比了改进的阈值去噪方法与软阈值去噪方法在交通流信号去噪分析中的优劣，并进行了小波去噪方法对交通流预测的影响分析，证明小波阈值去噪方法能够很好地保证预测模型的准确性，明显提高了交通流的预测精度。

参考文献(References)：

[1]兰云.短时交通流量预测研究[D].西北工业大学硕士学位论文.2002 [2]喻丹.基于小波理论的短时交通流预测方法研究[D].长沙理工大学硕

士学位论文.2008

[3]衡彤.小波分析及其应用研究[D].四川大学博士学位论文.2003 [4]陈中.小波分析及其在时间序列中的应用[D].西南交通大学硕士学位

论文.2004

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本文来源：https://www.bwwdw.com/article/w3p8.html