2012年深圳高考二轮复习专项训练（三） - 三角函数与平面向量

专项训练（三）——三角函数与平面向量

3

1．若sin(???)? ，α为第四象限角，则tan?=（ ）

534

A．- B. –

432．若?ABC的内角A满足sin2A?233

C. 44D. 3

,则sinA?cosA?_______.

3. 已知点P(tan?,cos?)在第三象限, 则角?的终边在( ).

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4．下列各式中，值为

12的是 （ ）

2学科网A.sin15?cos15? B.2cos?125?1 C.

tan22.5?1?tan22.5?2 D.

1?cos60?2

学科5．设α是第三象限角，tanα=12，则cosα=______________。 6．若sin???1??2???????2??=（ ） ，则cos?3?6??3?A．?79 B．?3413 C．

13 D．

79

7．已知点P(sinA．

?4?,cos34?)落在角?的终边上，且??[0,2?)，则?的值为（ ）

B．

3?4 C．

?25?4 D．

7?4

8．函数y?Asin(?x??)?k(A?0,??0,|?|?)的图象如图所示，则y的表达式是

（ ）

A．y? B．y? C．y?323232sin(2x?sin(2x?sin(2x??3)?1 )?1 )?1

?3?3

D．y?sin(2x??3)?1

9．函数yπ???2sin?2x??6??的图像（ ）

B．关于y轴成轴对称

A．关于原点成中心对称

1

C．关于直线x?π12成轴对称

D． 关于点??π?,0??12?成中心对称

?610．同时具有性质：“①最小正周期是?②图像关于直线x?数”的一个函数（ ）

A．y?sin(x2??3对称③在[?,?3]上是增函

?6) )

B．y?cos(2x?D．y?cos(2x??3) )

C．y?sin(2x??6?611．下列函数中既是区间(0,

A．y?x,x?R2?2)上的增函数,又是以?为周期的偶函数是（ ）

B．y?|sinx|,x?Rsin2x

C．y?cos2x,x?R

22D．y?e,x?R

12．已知函数f(x)?2sinxcosx,x?R，则f(x)是（ ）． A．最小正周期为?的奇函数 B．最小正周期为C．最小正周期为?的偶函数 D．最小正周期为13．将函数y?sin(x?Ａ．关于点????π?2的奇函数 的偶函数

?2?6?． )的图象按向量a????,0?平移，则平移后的函数图象（ ）

?，0?对称 6? Ｂ．关于直线x? Ｄ．关于直线x??6π6π2对称 对称

Ｃ．关于点??π?，0?对称 ?3?14.将函数y?sin(2x??3)的图象先向左平移，然后将所得图象上所有点的横坐标变为原来

的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象对应的函数解析式为（ ）．

A．y??cosx B．y?sin4x C．

y?sin(x?3cosx?6) D．y?sinx

15．要得到一个奇函数，只需将函数f(x)?sinx?A．向右平移C．向左平移

????的图象（ ）

个单位 个单位

B．向右平移D．向左平移

????个单位 个单位

16．要得到函数y?f(2x??)的图象，只须将函数y?f(x)的图象（ ）

A．向左平移?个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．向右平移?个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变

2

C．向左平移?个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的D．向右平移?个单位，再把所有点的横坐标缩短到原来的

1212倍，纵坐标不变 倍，纵坐标不变

17．若向量a=（4,2）,b=(6,m),则a?b，则m的值是 （ ） A．12 B．3 C．-3 D．-12 18.已知a???3,1?,b??1,?2?，若?2a?b∥a?kb，则实数k的值是（ ） A. －17 B. ?12???53? C.

1918 D.

?????b?(4,?2)?a?b19 已知平面向量a＝(1,?3),，若与a垂直，则?＝（ ）

A． ?1 B． 1 C． ?2 D． 2

B 12

??20． 已知|a|?3，|b|?5，a?b?12，则向量a在向量b上的投影为（ ）.

A3

C4

D5

521. 若平面向量b与向量a=(1,-2)的夹角是180, 且

?b?35, 则b等于( ).

A. (?3,6) B. (3,?6) C. (6,?3) D. (?6,3)

网22．

?4.已知a?A.13?2,3?,bB.135????4,7?,则a在b方向上的投影为(C.65D.655??)

23．若平面向量a?(?1,2)与b的夹角是180?，且|b|?35，则b的坐标为( )

A．(3,?6) B．(?3,6) C．(6,?3) D．(?6,3) 24．在?ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知A=于( )

A. 1 B. 2 C. 25.在?ABC中，B?60?,xABBC?433-1 D

3

?3，a=3，b=1，则c等

,则sinC＝__________

x26．函数f(x)?cos(?2)?sin(??2),x?R。

（1）求f(x)的周期； （2）求f(x)在[0,?)上的减区间；

2105（3）若f(?)?，??(0,?2)，求tan(2???4)的值。

3

27．已知函数f(x)?（1）若

f(?)?24sinx2cosx2?cos2x2?12.

,???0,??,求?的值；

（2）求函数f(x)在?????4,??上最大值和最小值． ??

28．设函数f(x)?2cosx?sin2x?a(a?R) 2(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间； (2)当x?[0,?6]时，f(x)的最大值为2，求a的值．

29．已知函数

f(x)?sin(2x??6)?sin(2x??6)?2cos2x.

（1）求f(x)的最大值及最小正周期； （2）求使f(x)≥2的x的取值范围.

4

30．已知函数f(x)?cosx?cos(x?（1）求（3）若

31．设函数f(x)?sin2x?f(x)?2),x?R

f(x)的最小正周期； （2）求

34的单调增区间；

f(?)?，求sin2?的值.

3sinxcosx

（1）求f(x)的最小正周期和值域； （2）将函数y?f(x)的图象按向量a?(?函数y?g(x)的解析式。

??32.已知A,B,C是三角形?ABC三内角，向量m??1,?3,n??cosA,sinA?，且

??12,12)平移后得到函数y?g(x)的图象，求

?????m?n?1．

（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若tanB?12，求

1?sin2BcosB?sinB22的值

5

33

已知向量m?(2sinx,cosx?sinx)，n?(3cosx,cosx?sinx)，函数

f(x)?m?n

（I）求f(x)的最小正周期和值域；

（II）在?ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c，若f(试判断?ABC的形状。

34．已知函数f(x)?sinx3cosx3?3cos2A2)?2且a2?bc，

x3－

32

（1） 将f(x)化为含Asin(ωx?φ)(ω?0，0<φ?π)的形式，写出f(x)的最小正周期及

其对称中心；

（2） 如果三角形ABC的三边a、b、c满足b2=ac，且边b所对角为x，试求x的范围及

此时函数f(3x)的值域。

??????35．已知向量m??sinA,cosA?,n??cosB,sinB?,m?n?32，且A,B,C分别是锐角

三角形ABC三边a,b,c所对的角。

（Ⅰ）求?C的大小； （Ⅱ）若a,c,b成等比数列，且CA?CB?18，求c的值。

6

??36．已知向量m?(sinB,1?cosB)??，且与向量n?(1,0)所成角为，其中A、B、C是△ABC

3的内角。

（1）求角Ｂ的大小； （2）若sinA?sinC=1，AC=23，求△ABC的面积。

??37．已知A,B,C是三角形?ABC三内角，向量m??1,????3,n??cosA,sinA?，m?n?1．

??（Ⅰ）求角A； （Ⅱ）若tanB?

12，求

1?sin2BcosB?sinB22的值

38．已知向量

(Ⅰ) 求cos(?0????a?(cos?,sin?),

?b?(cos?,sin?),

??2a?b?55．

??)的值;

??2?2(Ⅱ) 若

,

???0, 且

sin???513, 求sin?．

7

39．已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0,??0,?（1）求函数f(x)的表达式； （2）若f(?)?f(???3)?2425?2????2 )一个周期的图象如图所示，

，且?为?ABC的一

个内角，求sin??cos?的值.

40．在?ABC中，a、、B、Cbc分别为角A、（Ⅰ）求角A的值； （Ⅱ）若a

41.在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，已知a?2，c?3，cosB?（1）求b的值； （2）求sinC的值．

14?3的对边，且满足b?c?a?bc.

222，设角B的大小为x,?ABC的周长为y，求y?f(x)的最大值.

．

8

42．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且

8sin2B?C2?2cos2A?7.

(1)求角A的大小； (2)若a=3，b+c=3，求b和c的值．

43．已知ΔABC的周长2+1，且sinA+sinB=2sinC。 （1）求边AB的长。 （2）若ΔABC的面积为

16sinC，求内角C的度数。

44．已知向量

??f(?)?a?b.

??a?(sin?,cos?),b?(6sin??cos?,7sin??2cos?)，设函数

(Ⅰ)求函数f(?)的最大值；

(Ⅱ)在锐角三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，f(A)?6， 且?ABC的面积为3，b?c?2?32,求a的值.

9

45．已知?ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,向量

m?(4,?1),n?(cos2A2?cos2A),且m?n?72

（Ⅰ）求角A的大小； （Ⅱ）若a?

46．如图某河段的两岸可视为平行，为了测量该河段的宽度，在河段的一岸边选取两点A、B，观察对岸的点C,测得?CAB?75，?CBA?45,且AB?100米。 （1）求sin75； （2）求该河段的宽度。

???3,试判断b?c取得最大值时，?ABC的形状.

10

专项训练（三）——三角函数与平面向量参考答案

1.A 2．153 3．B 4．C 5．13 6．A 7．D 8．A 9．D 10.C

?1211. B 12.D 13.A 14.D 15.D 16.C 17.D 18.B 19.B 20.B 21.A 22.C 23.A 24.B 25. 26. 解：（1）f(x)?cos(??23913

x2x2x2x2x2)?sin(??)?sin?cos?2sin(??4)

f(x)的周期T?2?12?4? ???? 4分

（2）由得

?2?2?2k??x252??4?32??2k?,k?Z，

?4k??x???4k?,k?Z。

又x?[0,?)， 令k?0，得

?2?x?52?；令k??1，得??27?2?x??32?（舍去）

∴ f(x)在[0,?)上的减区间是[2105,?)。 ???? 8分

（3）由f(?)?，得sin?2?cos?2?2105，

∴1?sin???285，∴sin??35

92545又??(0,)，∴cos??1?sin2??1??，

∴ tan??sin?cos??34，∴tan2??2tan?1?tan2422?3244， ?9716??1?∴tan(2???4tan2??tan)??41?tan2?tan?4?71??124712?12??3117。 ???? 12分

27．解：（1）f(x)?12sinx?1?cosx2?(sinx?cosx)?22sin(x??4)?2分

11

由题意知

f(?)?22sin(???4)?24，即 sin(???4)?12 ????3分

∵??(0,?) 即 ??∴???4?(??4?,5?47?12)

?4?5?6? ????6分

?4?5?4（2）∵ ∴

??4???? 即

20??? ????8分

12f(x)max?f(?4)?，

2f(x)min?f(?)?? ????12分

?4)?a?1

28．解:(1) f?x??1?cos2x?sin2x?a?2???(4分)

2sin(2x?则f(x)的最小正周期T=?且当2k?-??3?8?2?2x??4?2k???2 ?k?Z?时，f(x)单调递增，即?k???,k?????8??k?Z?为f?x?的单调递增区间。————————7分

(2)当x??0,?时，?2x? ?4412?6?当2x?????7??4??2，即x??8时，sin(2x+?4)=1

所以f?x?max?2?1?a?2,?a?1?2————————14分

29．解：（I）?f(x)?sin(2x?

?sin2xcos??6)?sin(2x??6)?2cos2x

?6?cos2xsin?6?sin2xcos?6?cos2xsin?6?2cos2x?1

3sin2x?cos2x?1?2sin(2x??6)?1

2?|?|2?2 ∴当sin(2x??6)=1时,f(x)max?2?1?3

T????

（II）?f(x)≥2, ?2sin(2x?

?2k???66)?1≥2

?sin(2x??6)≥12

?6≤2x??6≤2k??5? ?k?≤x≤k???3?3(k?Z)

?f(x)≥2的x的取值范围是{x|k?≤x≤k??,k?Z}

12

30．解：f(x)?cosx?cos(x??2(22cosx?22?2)?cosx?sinx ?????（1分）

sinx)

?2cos(x??4) ?????（3分）

2?1?2?； ?????（6分）

（1）f(x)的最小正周期为T?（2）由??2k??x?得

3?4?2k??x??4?2??2k? ， k?Z ?????（7分） ?2k?， k?Z ?????（8分） 3?4?2k?,7?4?2k?],k?Z ?????（9分） 347?4 f(x)的单调增区间为[（3）因为f(?)?34，即cos??sin??916 ?????（10分）

1?2sin?cos?? ?????（11分）

?sin2??716 ?????（12分）

1?cos2x232sin2x?31．解：（1）将原函数化简为：f(x)??3sin2x212 ???2分

=

12cos2x?

=sin(2x?1?6)?12 ???4分

∴f(x)的最小正周期为?，值域为[??121222,3] ???6分

（2）y?g(x)?f(x???)? ???8分

???6?1212 =sin?2(x??12)???

=sin2x?1 ???12分 32

．

解

（

1

）

∵

???m?n?1 ∴

??1,3??cosA,sinA??1? 即

3sinA?cosA?1 ????2

?31?2?sinA??cosA???1?22???∴,

13

??1?sin?A???62??， ?????????4

∵

0?A??,??6?A??6?5?6 ????????????5

∴A? ∴

A??6??6

?3． ??????????7

2

(sinB?cosB)222（

1?sin2BcosB?sinB22）

sinB?cosBcosB?sinB由

1?tanB1?tanB2题

?3， ??12

知

?cosB?sinB??33．解：﹙Ⅰ﹚f(x)?m?n?23sinxcosx?cos ?3sinx2?x?sin2x????? 1分

coxs 2 ????????? 3分

?2sin(x2??6 ) ?????????4分

∴T??,f(x)?[?2,2] ??????????6分 ﹙Ⅱ﹚由f(A2)?2，有f(A2)?2sin(A??6)?2，

∴sin(A??6)?1.

∵0?A??，∴A??6??2,即A??3. ?????????9分

22222由余弦定理a?b?c?2bccosA及a?bc，∴(b?c)?0.

∴b?c, ∴B?C??3.∴?ABC为等边三角形. ????????12分

1?cos?3?22x3?3234．解：(1)f?x??sinx3?coxx3?3?cos2x3?32?12?sin2x3

?sin2x3?cos?3?cos2x3?sin????2x?sin??? …………….4分 333???3? ……………5分

?f?x?的最小正周期为T?2?23 14

f?x?的对称中心为???3k?2???,0? 2??k?z? …………….6分

(2) ?b?ac

a?c?b2ac??2222?cosx??a?c?ac2ac22?2ac?ac2ac?12 ……………..8分

又x??0,?? ?x??0,??3????

3?而f?3x??sin?2x???? 由2x???????,? ………………10分 ?3?3??f???3x?sin2x???????0,1? ………………….12分

3??35．解：（1）因为m??sinA,cosA?,n??cosB,sinB?,m?n?sin2C

3232所以 sinAcosB?cosAsinB?…………2分 即 sin(A?B)?…………3分

所以 sinC?32…………4分

?3又因为?C是锐角三角形内角，所以?C?（2）因为c?ab…………8分

2…………6分

又CA?CB?18 所以 abcosC?18…………10分 所以 ab?36 即c?36 所以c?6…………12分 36．解：（1）∵

??m?(sinB?,12??cBo s, 且与向量n?(1,0)所成角为,

3∴

sinB2?2coBs?12， ∴ cos?2B12，

?3又0????，∴ （2）由（1）可得：

B2??3，即B?23?,A?C?。

∴ sinA?sinC ?sinA?sin(?3?A)?12sinA?32cosA?sin(A??3)

15

∵ 0?A??3， ∴

3(2?3?A??3?2?3，

?6(?∴ sinA?3?),，1]∴ 当sinA?sinC=1时，A=

∴AB=2， 则S?ABC?37

．

解

（

1

）

∵

3

???m?n?1 ∴

??1,3??cosA,sinA??1? 即

3sinA?cosA?1 ????2

?31?2?sinA??cosA???1?22???∴

??1?sin?A???62??,

， ?????????4

∵

0?A??,??6?A???6?5?6 ????????????5

∴A? ∴

A??6?6

?3． ??????????7

1?sin2BcosB?sinB22由题知

?(sinB?cosB)222cosB?sinB?sinB?cosBcosB?sinB?1?tanB1?tanB?3，

38．解:（Ⅰ）

??a?(cos?,sin?),

?b?(cos?,sin?),

???a?b??cos??cos?,sin??sin???2?a?b?55?． ?2,

??45??cos??cos???sin??sin??2?255,

2?2cos????,

?cos??????35．

(2)

?0????2,??2???0,?0??????,

513?cos??1213?cos??????35,

?sin??????45.

?sin???, ,

16

?sin??sin???????????

?sin?????co?s?co?s????

s?in?4123?5?33???????5135?13?65

?1239．解：（1）从图知，函数的最大值为1，则A?1 ??1分

函数f(x)的周期为T?4?(又x???6??6)??, 而T?2??，则??2, ??3分

???时，y?0，∴sin(2?(??6)??)?0， 而??2?2，则???3，

∴函数f(x)的表达式为 f(x)?sin(2x?（2）由f(A)?f(A?化简得：sin2A??3)?2425?3) ?? 6分

得：sin(2A??3)?sin(2A?2?3)?49252425

2425， ∴(sinA?cosA)?1?sin2A?242575 ?? 9分

由于0?A??，则0?2A?2?，但sin2A?从而sinA?cosA?0 因此 sinA?cosA??0，则0?2A??，即A为锐角，

． ?? 12分

b?c?a2bc22240．解：（Ⅰ）在?ABC中，由b?c?a?bc及余弦定理得cosA??3222?12

而0?A??，则A?；

bsinBcsinCasinA332 （Ⅱ）由a?3,A??3及正弦定理得

????2，

而B?x,C?2?3?x，则b?2sinx,c?2sin(3?2sinx?2sin(2?32?3?x)(0?x?3sin(x?2?3) 3，

于是y?a?b?c? 由0?x?2?3?x)?2??6)?得

?6?x?2?6?25?6，当x?2?6?2即x??3时，ymax?33 41．解：（1）由余弦定理，b?a?c?2accosB，???????????????2分

得b?2?3?2?2?3??b?22214?10，???????????????????4分

10．?????????????????????????????6分

17

（2）方法1：由余弦定理，得cosC?a?b?c2ab222，????????????8分

?4?10?92?2?10?108，?????????10分

∵C是?ABC的内角， ∴sinC?1?cosC?2386．?????????????????????12分

方法2：∵cosB?142，且B是?ABC的内角，

154∴sinB?1?cosB?．?????????????????????8分 ，????????????????????10分

根据正弦定理，

bsinB?csinC15410?得sinC?csinBb3??386． ?????????????????12分

42．解：(1)在△ABC中，B+C=π-A，由条件，可得4[1-cos(B+C)] -4cos2A+2=7．

∵cos(B+C)= -cosA，∴4cos2A-4cosA+1=0 ．

解得cosA?12,又A?(0,π),?A??3.

(2)由cosA?又a?12,知b?c?a2bc222?12,即(b?c)?a22?3bc

3,b?c?3,代入得bc?2.

?b?c?3,?b?1,?b?2,由???或??bc?2,?c?2;?c?1.

43．解：（1）∵a+b+c=2+1 (1) 又由正弦定理得：a+b=2c (2)?????????4分 由(1)(2)解得 a+b=2，c=1，

∴ AB=1 ??????????????6分

（2）∵ΔABC的面积S=

∴ ab=

1312absinC=

16sinC

??????????????????8分

18

22∴ cosC=

a?b?c2a?b)2?2ab?c2

2ab?(2ab=

12∴ C=? ??????????????????12分

344．解:(Ⅰ)f(?)?a???b?sin?(6sin??cos?)?cos?(7sin??2cos?)

?6sin2??2cos2??8sin?cos??4(1?cos2?)?4sin2??2

?42sin(2???)?24……………………4分

?f(?)max?42?2………6分

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得f(A)?42sin(2A??)?2?6(2A??4，sin4)?22

因为0?A??2，所以???2A???3?????,A??444，2A444……………8分

?S1?ABC?bcsinA?2bc?324?bc?62，又b?c?2?32……………10?a2?b2?c2?2bccosA?(b?c)2?2bc?2bc?22?(2?32)2?122?2?62?22?10?a?10……………12分

45．解：（Ⅰ）由m?(4,?1),n?(cos2A,cos2A)2

m?n?4cos2Acos2A2

?4?1?cosA?(2cos2A?1)2

??2cos2A?2cosA?3??????????????4分 又因为m?n?7,所以-2cos2A?2cosA?3?7

22 解得cosA?12????????????????5分

?0?A??,?A??3???????????????6分

（Ⅱ）在?ABC中，a2?b2?c2?2bccosA,且a?3，

?(3)2?b2?c2?2bc?12

?b2?c2?bc。?????????????????9分

19

分

?b?c22?2bc,?3?2bc?bc，

3时，b?c取得最大值,

即bc?3,当且仅当b?c?又由（Ⅰ）知A??3,?B?C??3,

故b?c取得最大值时，?ABC为等边三角形. ??????????12分

????46．解：（1）sin75?sin(30?45)?sin30cos45?cos30sin45

??? ?12?22??32?22?6?4?2------------------------4分

（2）∵?CAB?75，?CBA?45

∴?ACB?180??CAB??CBA?60, 由正弦定理得：

ABsin75sin60????CDABsin?ACB?BCsin?CAB

∴BC?------------6分

AB如图过点B作BD垂直于对岸，垂足为D,则BD的长就是该河段的宽度。 在Rt?BDC中，∵?BCD??CBA?45,sin?BCD?6?43225(6?233)?BDBC2?,------------8分

∴BD?BCsin45＝

?ABsin75sin60??100??sin45??22

?（米）

∴该河段的宽度

25(6?233)米。---------------------------12分

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