数学物理方法试卷与答案

《数学物理方法》试卷

一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ ）

A．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ ）

A．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.

??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ ）

??n?f?? A．f?0. B．u??0. C．

?fdS?0. D．?udS?0.

???X''(x)??X(x)?0, 0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题?

?X(0)?X(l)?0的解是（ ）

n?n??n???n??x ). B．( ?x ). A．( ??,cos?,sinll?l??l?(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ). D．( ?x ). C．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ ） A．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. B．uxx?4uxy?4uyy?0.

C．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0. D．uxx?3uxy?2uyy?0.

1

二、填空题（每题4分，共20分）

??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是_______________

??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????______________________.

2．对于如下的二阶线性偏微分方程

a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0

其特征方程为________________________________________________________. 3．二阶常微分方程y''(x)?1'13y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?__________ x44x_______________________________________________.

4．二维拉普拉斯方程的基本解为________________________________________，三维拉普拉斯方程的基本解为__________________________________________. 5．已知J1(x)?222sinx, J1(x)?cosx，利用Bessel函数递推公式求

??x?x2J3(x)?_______________________________________.

2三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题

2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??xx?l??xx?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0?

2

四、（10分）用行波法求解下列问题

??2u?2u?2u?32?0, y?0, ???x???, ?2?2?x?y?y??x ??u2?u?3x, ?0, ???x???.?y?0?yy?0?

五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题：

??u?2u??2, 0?x?2, t?0,?t?x?? ?ux?0?ux?2?0, t?0,??ut?0?sin?x, 0?x?2.??

3

六、（15分）用格林函数法求解下定解问题

??2u?2u??x2??y2?0, y?0, ??u?f(x) , ???x???.?y?0

七、（10分）将函数f?x??x在区间[0，1]上展成Bessel函数系{J1(?m(1)x)}?m?1的

级数，其中?m(1)为Bessel函数J1(x)的正零点，m?1,2,?.

4

2008—2009学年第二学期 《数学物理方法》试卷B答案

一、选择题（每题4分，共20分） 1．柯西问题指的是（ B ）

A．微分方程和边界条件. B. 微分方程和初始条件. C．微分方程和初始边界条件. D. 以上都不正确. 2．定解问题的适定性指定解问题的解具有（ D ）

A．存在性和唯一性. B. 唯一性和稳定性. C. 存在性和稳定性. D. 存在性、唯一性和稳定性.

??2u?0,?3．牛曼内问题 ??u 有解的必要条件是（ C ）

?f??n?? A．f?0. B．u??0. C．

?fdS?0. D．?udS?0.

???X''(x)??X(x)?0, 0?x?l4．用分离变量法求解偏微分方程中，特征值问题?

X(0)?X(l)?0?的解是（ B ）

n?n??n???n??x ). B．( ?x ). A．( ??,cos?,sinll?l??l?(2n?1)?(2n?1)??(2n?1)???(2n?1)??x ). D．( ?x ). C．( ??,cos?,sin2l2l2l2l????22225．指出下列微分方程哪个是双曲型的（ D ） A．uxx?4uxy?5uyy?ux?2uy?0. B．uxx?4uxy?4uyy?0.

C．x2uxx?2xyuxy?y2uyy?xyux?y2uy?0.

5

D．uxx?3uxy?2uyy?0.

二、填空题（每题4分，共20分）

??2u?2u?2?2?0, 0?x??, t?0?t?x??1．求定解问题?ux?0?2sint, ux????2sint, t?0的解是(2sintcosx).

??ut?0?0, utt?0?2cosx, 0?x????2．对于如下的二阶线性偏微分方程

a(x,y)uxx?2b(x,y)uxy?c(x,y)uyy?dux?euy?fu?0

其特征方程为( a(x,y)(dy)2?2b(x,y)dxdy?c(x,y)(dx)2?0 ). 3．二阶常微分方程y''(x)?或0).

4．二维拉普拉斯方程的基本解为（ ln1（ ）.

r1 ），三维拉普拉斯方程的基本解为r1'13y(x)?(?2)y(x)?0的任一特解y?（ Jx44x1(x) 3225．已知J1(x)?222sinx, J1(x)?cosx，利用Bessel函数递推公式求

??x?x23J3(x)?（

221221dsinx(sinx?cosx)??x()() ）. ?xx?xdxx

三、（15分）用分离变量法求解如下定解问题

2??2u2?u??t2?a?x2?0, 0?x?l, t?0??u??u?0, ?0, t?0 ??x?xx?l?x?0?u?x, utt?0?0, 0?x?l.?t?0? 6

解：第一步：分离变量 (4分) 设u(x,t)?X(x)T(t)，代入方程可得

X''(x)T''(x)X(x)T(t)?aX(x)T(t)??

X(x)a2T(x)''2''此式中，左端是关于x的函数，右端是关于t的函数。因此，左端和右端相等，就必须等于一个与x,t无关的常数。设为??，则有

X''(x)T''(

X(x)?x)a2T(x)???''2

????T(t)??aT(t)?0,??X''(x)??X(x)?0.将u(x,t)代入边界条件得

X'(0)T(t)?X'(l)T(t)?0,

从而可得特征值问题

X''(x)??X(x)?0X'(0)?X'(l)?0,

第二步：求解特征值问题 1) 若??0，方程的通解形式为

X(x)?Ae??x?Be???x

由定解条件知A?0,B?0，从而X(x)?0，不符合要求。 2) 若??0，方程的通解形式为

X(x)?Ax?B

由边界条件知A?0,，从而X(x)?B。 3) 若??0，方程的通解形式为

X(x)?Acos?x?Bsin?x

代入边界条件得

??B?0,?B?0,???Asin?l?0?????(n?l)2, n?1,2,3,... 从而得特征值问题的一系列特征值及相应的特征函数

7

分)

(4n?2???(), n?0,1,2,3,...n??l ??X(x)?Acosn?x, n?1,2,3,...nn?l?第三步：求特解，并叠加出一般解 (3分) 求解了特征值问题后，将每特征值?n代入函数T(t)满足的方程可得出相应的解

Tt)?C'D'0(0?0tT'n?'n? n(t)?Cncoslat?Dnsinlat, n?1,2,3,...因此，也就得到满足偏微分方程和边界条件的一般解

?u(x,t)?C?0?D0t??(Cncosnn?1lat?Dn?n?nsinlat)coslx, 第四步：确定叠加系数 由初始条件可知

?Cn?0??Cncosn?1lx?x?Dn?a

0??Dnn?1lcosn?lx?0可得

Cl0?2C2ln?n2?2[(?1)n?1],n?1,2,3? Dn?0,n?0,1,2,?故原方程的解为

u(x,t)?l?2l2??n?atn?n2?2[(?1)n?1]coslcoslxn?1? ?l4l(2n?1)?at(2n?

2??coscos1)?x. n?0(2n?1)2?2ll

8

分)

(4四、（10分）用行波法求解下列问题

???2u?2u?2?3u?2?2?x?y2?0, y?0, ???x???, ??x?y??u ?u?y?0?3x2, ?y?0, ???x???.y?0解：其特征方程为

(dy)2?2dxdy?3(dx)2?0 由此可得特征线方程为

3x?y?cx?y?d 因此作变换

????3x?y,???x?y 从而可得

?2u????＝0 从而有

u(x,y)?F(3x?y)?G(x?y)由初始条件可得

F(3x)?G(x)?3x2?F'(3x)?G'(x)?0

所以有

F(3x)?3G(x)?C，

从而可得

9x2F(3x)?4?C2 G(x)?3x4?C故而可知

u(x,y)?F(3x?y)?G(x?y)?3x2?y2。

9

(2分)

(2分)

(2分) (2分) (2分)

五、（10分）用Laplace变换法求解定解问题：

??u?2u??2, 0?x?2, t?0,?t?x?? ?ux?0?ux?2?0, t?0,??ut?0?sin?x, 0?x?2.??解：由题意知，需关于时间t作拉普拉斯变换，记U(x,s)?L{u(x,t)}，对方程做拉氏变换可得

??d2U?dx2?sU??sin?x, ??Ux?0?Ux?2?0,用系数待定法很容易解求上常微分方程的一特解

Usin?x0?s??2 又上常微分方程相应的齐次问题的通解为

Usx?sx1?Ae?Be

所以，上常微分方程的通解为

U?Aesx?Be?sx?sin?xs??2， 再由定解条件可得A＝B＝0，从而

U?sin?xs??2 故而，原定解问题的解

u(x,t)?L?1{U}?L?1{sin?xs??2}?e??2tsin?x.。

六、（15分）用格林函数法求解下定解问题

???2u?2u?x2??y2?0, y?0, ? ??uy?0?f(x) , ???x???.10

(4分)(2分)(2分)(2分)

解：设M0(x0,y0)为下半平面中任意一点。已知二维调和函数的积分表达式为

u(M0)??1?11?u(u(M)(ln)?ln)dS (2分) ?2???nrMM0rMM0?n设v为调和函数，则由第二格林公式知

22(u?v?v?u)d???(u?????v?u ?v)dS?0 （2）

?n?n（1）＋（2）可得

u(M0)??[u(M)(??v1?111?u?(ln)]dS??(ln?v)]dS (2分) ?n2??nrMM02?rMM0?n?若能求得v满足

??2v?0,y?0??11?v?ln?y?02?rMM0?? （3）

y?0则定义格林函数G(M,M0)?11ln?v，则有 2?rMM0u(M0)???u(M)??GdS (2分) ?n由电象法可知，M1(x0,?y0)为M0(x0,y0)的象点，故可取

v?11ln (2分) 2?rMM1显然其满足（3）。从而可得格林函数

G(M,M0)?1111ln?ln2?rMM02?rMM1?(y?y0)?(y?y0)?G?G1?111??(ln?ln)?(?)?n?y2??yrMM0rMM12?(x?x0)2?(y?y0)2(x?x0)2?(y?y0)2 (5分) 故而

u(M0)???u(M)??G1dS???n?y0???(??x0)2?y02f(?)d? (2分)

?? 11

七、（10分）将函数f?x??x在区间[0，1]上展成Bessel函数系{J1(?m(1)x)}?m?1的

级数，其中?m(1)为Bessel函数J1(x)的正零点，m?1,2,?. 解：设f?x??x有如下级数形式

f(x)??AiJ1(?i(1)x) (1分)

i?1?下面利用Bessel函数的正交性确定系数Ai

易知，对上等式两边同时乘以xJ1(?i(1)x)并关于x在[0,1]内积分可得

12Ai?2(1)?x2J1(?i(1)x)dx (2分)

J2(?i)0再由递推公式

d[x2J2(?i(1)x)d2[xJ2(x)]?x2J1(x),可得 dx]?x2J1(?i(1)x)dx (2分)

?i(1)故而

1x2J2(?i(1)x)22222(1)Ai?2(1)?xJ1(?ix)dx?2(1)???(1)(1)(1)(1)J2(?i)0J2(?i)?i(1)?J(?)?J(?)i2ii0i01 (3分) 这里用到递推公式

Jn?1(x)?Jn?1(x)?2nJn(x)。 x所以，

?2?2(1)(1)f(x)??(1)J(?x)?J(?x) (2分) ?1i1i(1)(1)(1)i?1?iJ2(?i)i?1?iJ0(?i)? 12

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