九年级数学综合练习题及答案

一．解答题（共30小题） 1．（2010?安顺）为了节约用水，某水厂规定：某单元居民如果一个月的用水量不超过x吨，那么这个月该单元居民只交10元水费．如果超过x吨，则这个月除了仍要交10元水费外，超过那部分按每吨

元交费．

（1）该单元居民8月份用水80吨，超过了规定的x吨，则超过部分应交水费 元（用含x的式子表示）．

（2）下表是该单元居民9月、10月的用水情况和交费情况： 月份 用水量（吨） 交费总数（元） 9月份 85 25 10月份 50 10 根据上表的数据，求该水厂规定的x吨是多少？ 解答：解：（1）

（80﹣x）；

（2）根据表格提供的数据，可以知道x≥50，根据9月份用水情况可以列出方程： 10+

（85﹣x）=25解得，x1=60，x2=25，因为x≥50，所以x=60．

的解，请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解，并把检验 t=2＞0 求原方程的解 所以x=4 2．小明用下面的方法求出方程你的解答过程填写在下面的表格中． 方程 换元法得新解新方程 方程 ， t=2 令则2t﹣4=0 解答：答：第一行每空（0.5分）， 第二行每空（1分）． ，则t=1 令t2+2t﹣3=0 t=﹣3 令 t=1 t=﹣2 t=1＞0 t=﹣3＜0 t=1＞0 t=﹣2＜0 3．某超市销售一种品牌童装，平均每天可售出30件，每件盈利40元．面对2008年下半年全球的金融危机，超市采用降价措施，每件童装每降价2元，平均每天就多售出6件．要使平均每天销售童装利润为1000元，那么每件童装应降价多少元？（列方程，并化为一般形式）． 解答：解：每降价2元，多销售6件， 设降价x元，则多销售3x件；

降价后销售件数为（30+3x）件，每件利润为（40﹣x）元． 则有（30+3x）（40﹣x）=1000， 整理得3x2﹣90x﹣200=0．

4．美国爆发了金融危机，这场灾难性的冲击使美国五大投行在半年内顷刻倒闭，金融危机也波及到我国，为了缓解金融危机对我国的影响，我国采取了相应的应对措施．发展农产品加工业，不仅可以增加农民收入，而且对增加劳动就业具有十分重要的作用．某A型产品加工公司2007年实现销售收入850万元，实现利税90万元，以后两年每年单项指标增长的百分数相同，且后项指标年增长率高出前项5个百分点．为响应党应对全球性金融危机号召，该公司2010年新增20条生产线，投资比该公司2009年销售收入的一半多427.9375万元，年内建成后，每条生产线当年产量将达500吨，每公斤销售收入10元，且年内上交利税将是前两年的总和，达到237.6万元． （1）求利税年平均增长百分数；

（2）已知每投资3万元，就可以安置1名待业人员在工厂就业，每销售20万元的A型产品需要1名销售员，问该项目2010年可以新增多少人就业？ 解答：解：（1）设增长百分数为x，可得后两年的利税和为90（1+x）+90（1+x）2， 由题意得：90（1+x）+90（1+x）2=237.6，

解得：x=20%，即利税的平均增长百分数为20%．

（2）2009年的销售收入为：850（1+15%）2=1124.125万元， 投资钱数为：

+427.9375=980万元，∴由于投资解决的就业人数为

=330，即增加330人，

销售收入=500×1000×10×20=1亿元，∴有销售增加的就业人数为：=500人．

故该项目2010年可以新增330+500=830人就业．

5．在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，图a、图b分别是小明和小颖的设计方案．

（1）你认为小明的结果对吗？请说明理由．（2）请你帮助小颖求出图中的x（精确到0.1m）． （3）你还有其他的设计方案吗？请在下图中画出你的设计草图，并加以说明．

解答：解：（1）小明的结果不对，设小路的宽为xm， 则得方程（16﹣2x）（12﹣2x）=×16×12，解得x1=2，x2=12．

∵荒地的宽为12m，若小路宽为12m，不符合实际情况，故x2=12m不符合题意，应舍去． （2）由题意得4×

=

，x2=

∴x≈5.5m．

（3）方案不唯一，

在一块长16m，宽12m的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园所占面积为荒地面积的一半，

取矩形的边AB的中点E，连接EC，ED，如图，

6．利民商店经销甲、乙两种商品． 现有如下信息：

请根据以上信息，解答下列问题：

（1）甲、乙两种商品的进货单价各多少元？

（2）该商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件．为了使每天获取更大的利润，商店决定把甲、乙两种商品的零售单价都下降m元．在不考虑其他因素的条件下，当m定为多少时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润共1700元？ 解答：解：（1）假设甲、乙两种商品的进货单价各为x，y元， 根据题意得：

，解得：

，

（2）∵商店平均每天卖出甲商品500件和乙商品300件．经调查发现，甲、乙两种商品零售单价分别每降0.1元，这两种商品每天可各多销售100件． ∴甲、乙两种商品的零售单价都下降m元时， 甲乙每天分别卖出：（500+

×100）件，（300+

×100）件，

∵销售甲、乙两种商品获取的利润是：甲乙每件的利润分别为：3﹣2=1元，5﹣3=2元， 每件降价后每件利润分别为：（1﹣m）元，（2﹣m）元； w=（1﹣m）×（500+

×100）+（2﹣m）×（300+

×100），

=﹣2000m2+2200m+1100， ∴1700=﹣2000m2+2200m+1100， 解：m=0.6或0.5 ∴当m定为0.5元或0.6元时，才能使商店每天销售甲、乙两种商品获取的利润是1700元．

7．森林旅行社组团去A景区旅游，收费标准如下：人均旅游费用为800元．随着旅游市场形势的变化，旅行社推出了以下收费方案：

（1）如果人数不超过30人，人均旅游费用为800元；

（2）如果人数多于30人，那么每增加1人，人均旅游费用降低10元，但人均旅游费用不得低于500元．

甲公司分批组织员工到A景区旅游，现组织第一批员工到A景区旅游，并支付给旅行社29250元．求该公司第一批参加旅游的员工人数．

解答：解：设该公司第一批参加旅游的员工人数x名员工去A景区旅游， ∵29250＞30×800，∴x＞30；∴[800﹣10（x﹣30）]x=29250，解得：x1=45，x2=65， ∵800﹣10（x﹣30）≥500∴x1=45，x2=65（不符合题意，舍去）． 8．（2011?十堰）请阅读下列材料：

问题：已知方程x2+x﹣1=0，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍．

解：设所求方程的根为y，则y=2x所以x=． 把x=代入已知方程，得（）2+﹣1=0

化简，得y2+2y﹣4=0

故所求方程为y2+2y﹣4=0．

这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”．

请用阅读村料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化为一般形式）：

（1）已知方程x2+x﹣2=0，求一个一元二次方程，使它的根分别为己知方程根的相反数，则所求方程为： y2﹣y﹣2=0 ；

（2）己知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不等于零的实数根，求一个一元二次方程，使它的根分别是己知方程根的倒数． 解答：解：（1）设所求方程的根为y，则y=﹣x所以x=﹣y． 把x=﹣y代入已知方程，得y2﹣y﹣2=0， 故所求方程为y2﹣y﹣2=0；

（2）设所求方程的根为y，则y=（x≠0），于是x=（y≠0）

（3）把x=代入方程ax2+bx+c=0，得a（）2+b?+c=0去分母，得a+by+cy2=0．

若c=0，有ax2+bx=0，即x（ax+b）=0，可得有一个解为x=0，则函数图象必过原点， ∴方程ax2+bx+c=0有一个根为0，不符合题意， ∴c≠0，

故所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）． 9．（2006?滨州）假设A型进口汽车（以下简称A型车）关税率在2001年是100%，在2006年是25%，2001年A型车每辆的价格为64万元（其中含32万元的关税）． （Ⅰ）已知与A型车性能相近的B型国产汽车（以下简称B型车），2001年每辆的价格为46万元，若A型车的价格只受关税降低的影响，为了保证2006年B型车的价格为A型车价格的90%，B型车价格要逐年降低，求平均每年下降多少万元； （Ⅱ）某人在2004年投资30万元，计划到2006年用这笔投资及投资回报买一辆按（Ⅰ）中所述降低价格后的B型车，假设每年的投资回报率相同，第一年的回报计入第二年的投资，试求每年的最低回报率． （参考数据：≈1.79，≈1.1） 解答：解：（Ⅰ）设B型汽车平均每年下降x万元， 根据题意得46﹣5x=32（1+25%）×90%． 解这个方程，得x=2．

答：B型汽车平均每年下降2万元； （Ⅱ）设每年的投资回报率为x，2006年降价后B型车价格为36万元． 根据题意得30（1+x）2=36．∴（1+x）2=1.2，∴1+x≈±1.1．∴x1≈0.1，x2≈﹣2.1（负值舍去）．

10．某服装厂生产一批西服，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？

解答：解：设该产品的成本价平均每月应降低x， 依题意得625（1﹣20%）（1+6%）﹣500（1﹣x）2=625﹣500， 整理得500（1﹣x）2=405，（1﹣x）2=0.81，∴1﹣x=±0.9，∴x=1±0.9， x1=1.9（舍去），x2=0.1=10%． 11．（2011?资阳）某校某年级秋游，若租用48座客车若干辆，则正好坐满；若租用64座客车，则能少租1辆，且有一辆车没有坐满，但超过一半． （1）需租用48座客车多少辆？

解：设需租用48座客车x辆．则需租用64座客车 辆．当租用64座客车时，未坐满的那辆车还有 个空位（用含x的代数式表示）．由题意，可得不等式组： 解这个不等式组，得：_ ．因此，需租用48座客车 辆．

（2）若租用48座客车每辆250元，租用64座客车每辆300元，应租用哪种客车较合算？ 解答：解：（1）设需租用48座客车x辆．则需租用64座客车（x﹣1）辆．当租用64座客车时，未坐满的那辆车还有（16x﹣64）个空位（用含x的代数式表示）．由题意，可得不等式组：

解得：4＜x＜6．∵x为整数，∴x=5．因此需租用48座客车5辆．

（2）租用48座客车所需费用为5×250=1250（元）， 租用64座客车所需费用为（5﹣1）×300=1200（元），∵1200＜1250，∴租用64座客车较合算． 因此租用64座客车较合算．

12．下岗职工王阿姨利用自己的一技之长开办了“爱心服装厂”，计划生产甲、乙两种型号的服装共40套投放到市场销售．已知甲型服装每套成本34元，售价39元；乙型服装每套成本42元，售价50元．服装厂预计两种服装的成本不低于1536元，不高于1552元． （1）问服装厂有哪几种生产方案？

（2）在（1）的条件下，服装厂又拿出6套服装捐赠给某社区低保户，其余34套全部售出，这样服装厂可获得利润27元．请直接写出服装厂这40套服装是按哪种方案生产的． 解答：解：（1）设甲型服装x套，则乙型服装为（40﹣x）套， 由题意得1536≤34x+42（40﹣x）≤1552，解得16≤x≤18． ∵x是正整数，∴x=16或17或18．

有以下生产三种方案：生产甲型服装16套，乙型24套或甲型服装17套，乙型23套或甲型服装18套，乙型服装22套．

（2）总利润为=（39﹣34）x+（40﹣x）×（50﹣42），设捐出甲型服装a件，则乙型服装（6﹣a）件， ∴（39﹣34）x+（40﹣x）×（50﹣42）﹣39a﹣（6﹣a）×50=27， 解得整数解为x=16，a=5． ∴服装厂采用的方案是：生产甲型服装16套，乙型服装24套． 13．受国际金融危机影响，全国各地纷纷出现了农民工返乡的问题．为了切实解决农民工工作的压力，全国各地出台了各种措施解决农民工就业．如某农机服务队采取“一帮一”﹣﹣技术工人帮助辅助人员．一个农机服务队有技术员工和辅助员工共15人，技术员工人数是辅助员工人数的2倍．服务队计划对员工发放奖金共计20000元，按“技术员工个人奖金”A（元）和“辅助员工个人奖金”B（元）两种标准发放，其中A≥B≥800，并且A，B都是100的整数倍．

注：农机服务队是一种农业机械化服务组织，为农民提供耕种、收割等有偿服务． （1）求该农机服务队中技术员工和辅助员工的人数； （2）求本次奖金发放的具体方案． 分析：（1）题中有两个等量关系：技术员工人数+辅助员工人数=15，技术员工人数=辅助员工人数×2，直接设未知数，列出二元一次方程组求解；

（2）先由等量关系：技术员工人数×A+辅助员工人数×B=20000，可以得出A与B的一个关系式，又A≥B≥800，转化成一元一次不等式组，求出A与B的取值范围，再根据A，B都是100的整数倍，确定方案． 解答：解：（1）设该农机服务队有技术员工x人、辅助员工y人， 则

，解得

．

∴该农机服务队有技术员工10人、辅助员工5人．

（2）由10A+5B=20000，得2A+B=4000． ∵A≥B≥800，∴

，∵A，B都是100的整数倍，

∴，，．

14．春运开始，婺源长途汽车站以服务乘客为宗旨，随时根据乘客流量，调整检票口的数量，尽量使乘客不在车站滞留．2月9日，车站开始检票时，有a（a＞0）名乘客在候车室排队等候检票进站，检票开始后，仍有乘客继续前来排队检票进站．设乘客按固定的速度增加，检票口检票的速度也是固定的，若开放一个检票口，则需30分钟才能将排队等候检票的乘客全部检票完毕；若开放两个检票口，则需10分钟便可将排队等候检票的乘客全部检票完毕；如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，以使后来到站的乘客能随到随检，至少要同时开放几个检票口？

分析：设旅客增加速度为x人/分；检票的速度为 y人/分，至少要同时开放n个检票口，根据题意的等量关系可列出方程a+30x=30y，a+10x=2×10y，从而可解出a+5x≤5ny中的n的范围，也就得出了答案．

解答：解：设旅客增加速度为x人/分；检票的速度为 y人/分，至少要同时开放n个检票口，依题意有

a+30x=30y，a+10x=2×10y，

如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，则可得a+5x≤5ny， 解得：n≥3.5．

答：如果要在5分钟内将排队等候检票的乘客全部检票完毕，以使后来到站的乘客能随到随检，至少要同时开放4个检票口．

15．2011年3月11日下午，日本东北部地区发生里氏9级特大地震和海啸灾害，造成重大人员伤亡和财产损失．强震发生后，中国军队将筹措到位的第一批次援日救灾物资打包成件，其中棉帐篷和毛巾被共320件，毛巾被比棉帐篷多80件．

（1）求打包成件的棉帐篷和毛巾被各多少件？ （2）现计划租用甲、乙两种飞机共8架，一次性将这批棉帐篷和毛巾被全部运往日本重灾区宫城县．已知甲种飞机最多可装毛巾被40件和棉帐篷10件，乙种货车最多可装毛巾被和棉帐篷各20件．则安排甲、乙两种飞机时有几种方案？请你帮助设计出来．

（3）在第（2）问的条件下，如果甲种飞机每架需付运输费4000元，乙种飞机每架需付运输费3600元．应选择哪种方案可使运输费最少？最少运输费是多少元？ 分析：（1）首先设打包成件的毛巾被有x件，根据毛巾被比棉帐篷多80件，则打包成件的棉帐篷有x﹣80间．再根据帐篷和毛巾被共320件，可列方程x+（x﹣80）=320．

（2）设租用甲种飞机x架，则乙种飞机为8﹣x架．所有甲乙两种飞机装载应该满足：装载的帐篷数总数≥打包成件的棉帐篷总数，装载的毛巾总数≥打包成件的毛巾总数，解得x即可确定方案． （3）根据（2）中求得的x结果，运用运输总费用=甲种飞机运输总费用+乙种飞机运输总费用，甲种飞机运输总费用=甲种飞机每架需付运输费×甲种飞机的架数，乙种飞机运输总费用=乙种飞机每架需付运输费×乙种飞机的架数．选择最小的运输总费用即为所求． 解答：解：（1）设打包成件的毛巾被有x件，则x+（x﹣80）=320， 解得x=200，x﹣80=120，

答：打包成件的毛巾被和棉帐篷分别为200件和120件．

（2）设租用甲种飞机x架，则

得2≤x≤4 ∴x=2或3或4，中国军队安排甲、乙两种飞机时有3种方案． 设计方案分别为：①甲飞机2架，乙飞机6架；②甲飞机3架，乙飞机5架；③甲飞机4架，乙飞机4架．（1分）

（3）3种方案的运费分别为： ①2×4000+6×3600=29600； ②3×4000+5×3600=30000；

③4×4000+4×3600=30400．（1分） ∴方案①运费最少，最少运费是29600元．（1分） （注：用一次函数的性质说明方案①最少也可．） 19．（1998?内江）阅读（1）的推导并填空，然后解答第（2）题． （1）当a＜0，∵ax2+bx+c=a（x+

2

）2+A（2），又∵（x+）2≥0，∴a（x+）2≤0，ax2+bx+c=a（x+

）

+A≤A，即：无论x怎样变化，y=ax2+bx+c（a＜0）的所有取值中，以A为最大；且在x=B时，y的

，B=

；

值等于A，其中，用a，b，c表示，A=

（2）为了绿化城市，我市准备在如图的矩形ABCD内规划一块地面，修建一个矩形草坪PQRC．按计划要求，草坪的两边RC与CP分别在BC和CD上，且草坪不能超过文物保护区△AEF的边界EF．经测量知，AB=CD=100m，BC=AD=80m，AE=30m，AF=20m．应如何确定草坪的位置，才能使草坪占地面积最大又符合设计要求并求出这个最大面积（结果保留到个位，解答时可应用（1）的结论）？

解答：解：（1）根据题意：A=

，B=﹣

．

（2）延长PQ交AE于G，设CP=x，SPQCR=y， 则

又PQ=PG﹣GQ=80﹣

，GQ=

=

． ，则y=x?

即：y=﹣x2+

x∴当x=﹣时，y最大=≈6017

∴CR=QR=

21．（2003?重庆）电脑CPU蕊片由一种叫“单晶硅”的材料制成，未切割前的单晶硅材料是一种薄型

圆片，叫“晶圆片”．现为了生产某种CPU蕊片，需要长、宽都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圆片的直径为10.05cm．问一张这种晶圆片能否切割出所需尺寸的小硅片66张？请说明你的方法和理由．（不计切割损耗）

解答：解：答：可以切割出66个小正方形．（1分） 方法一：

（1）我们把10个小正方形排成一排，看成一个长条形的矩形，这个矩形刚好能放入直径为10.05cm的圆内，如图中矩形ABCD． ∵AB=10BC=10． ∴对角线AC2=100+1=101＜10.052．（3分）

（2）我们在矩形ABCD的上方和下方可以分别放入9个小正方形． ∵新加入的两排小正方形连同ABCD的一部分可看成矩形EFGH，矩形EFGH的长为9，高为3，对角线EG2=92+32=81+9=90＜10.052．但是新加入的这两排小正方形不能是每排10个，因为： 102+32=100+9=109＞10.052．（6分） （3）同理：82+52=64+25=89＜10.052， 92+52=81+25=106＞10.052， ∴可以在矩形EFGH的上面和下面分别再排下8个小正方形，那么现在小正方形已有了5层．（8分） （4）再在原来的基础上，上下再加一层，共7层，新矩形的高可以看成是7，那么新加入的这两排，每排都可以是7个但不能是8个． ∵72+72=49+49=98＜10.052， 82+72=64+49=113＞10.052．（9分）

（5）在7层的基础上，上下再加入一层，新矩形的高可以看成是9，这两层，每排可以是4个但不能是5个． ∵42+92=16+81=97＜10.052， 52+92=25+81=106＞10.052，

现在总共排了9层，高度达到了9，上下各剩下约0.5cm的空间，因为矩形ABCD的位置不能调整， 故再也放不下一个小正方形了． ∴10+2×9+2×8+2×7+2×4=66（个）．（10分） 方法二：

可以按9个正方形排成一排，叠4层，先放入圆内， 然后：（1）上下再加一层，每层8个，现在共有6层； （2）在前面的基础上，上下各加6个，现在共有8层； （3）最后上下还可加一层，但每层只能是一个，共10层． 这样共有：4×9+2×8+2×6+2×1=66（个）．

24．（2005?泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）． （1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连接AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；

探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论． （2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）； 探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围． （3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°（图4）； 探究：在图4中，线段C′N?E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N?E′M的值，如果有变化，请你说明理由．

分析：（1）BE=AD，可通过证三角形BEC和ACD全等来得出． （2）由于重合部分的面积无法直接求出，因此可用△RPQ的面积减去△RST的面积来求得（S、T为RP、RQ与AC的交点）．△PRQ的面积易求得．关键是△RST的面积，三角形RST中，由于∠RTS=∠CTQ=60°﹣∠TCQ=30°，而∠R=60°，因此△RST是直角三角形，只需求出RS和ST的长即可．上面已经求得了∠QTC=∠QCT=30°，因此RT=RQ﹣QT=RQ﹣QC=3﹣x，然后根据△RTS中特殊角的度数即可得出RS和ST的长，进而可得出y，x的函数关系式． （3）本题可通过证△CE′M和△NCC′相似来求解． 解答：解：（1）BE=AD 证明：∵△ABC与△DCE是等边三角形 ∴∠ACB=∠DCE=60°，CA=CB，CE=CD∴∠BCE=∠ACD∴△BCE≌△ACD ∴BE=AD． （2）如图在△CQT中∵∠TCQ=30°∠RQP=60°∴∠QTC=30°∴∠QTC=∠TCQ ∴QT=QC=x∴RT=3﹣x∵∠RTS+∠R=90°∴∠RST=90° ∴y=

×32﹣（3﹣x）2=﹣（3﹣x）2+

（0≤x≤3）．

（3）C′N?E′M的值不变 ∵∠ACB=60°∴∠MCE′+∠NCC′=120°∵∠CNC′+∠NCC′=120°∴∠MCE′=∠CNC′∵∠E′=∠C′ ∴△E′MC∽△C′CN∴

，∴C′N?E′M=C′C?E′C=×=．

25．（2005?扬州）如图1，AB是⊙O的直径，射线BM⊥AB，垂足为B，点C为射线BM上的一个动点（C与B不重合），连接AC交⊙O于D，过点D作⊙O的切线交BC于E． （1）在C点运动过程中，当DE∥AB时（如图2），求∠ACB的度数； （2）在C点运动过程中，试比较线段CE与BE的大小，并说明理由； （3）∠ACB在什么范围内变化时，线段DC上存在点G，满足条件BC2=4DG?DC（请写出推理过程）．

解答：

解：（1）如图2：当DE∥AB时，连接OD， ∵DE是⊙O的切线，∴OD⊥DE，∵DE∥AB，∴OD⊥AB；又∵OD=OA，∴∠A=45°，又∵BM⊥AB， ∴∠OBE=90°，∴在Rt△ABC中，∠ACB=45°；即：当∠ACB=45°时，DE∥AB；

（2）如图1，连接BD，∵AB是⊙O的直径，∴∠BDA=∠BDC=90°，∴∠ACB+∠CBD=90°，∠EDB+∠CDE=90°； 又∵BM⊥AB，AB是⊙O的直径，∴MB是⊙O的切线，又∵DE是⊙O的切线，∴∠CBD=∠EDB，∴∠ACB=∠CDE，∴EC=ED，∴BE=EC；

（3）假设在线段CD上存在点G，使BC2=4DG?DC，由（2）知：BE=CE，∴BC=2CE=2DE， ∴（2DE）2=4 DG?DC，从而DE2=DG?DC；由于∠CDE是公共角，∴△DEG∽△DCE，∴∠ACB=∠DEG； 令∠ACB=x，∠DGE=y，∴∠CDE=∠ACB=x，∵C和B不重合，∴BC＞0，∴D和G就不能够重合，但是，G可以和C重合，∴要使线段CD上的G点存在，则要满足：2x+y=180°且y≥x，因此x≤60°， ∴0°＜∠ACB≤60°时，满足条件的G点存在．

29．（2006?西岗区）如图，以△ABC的边AB、AC为直角边向外作等腰直角△ABE和△ACD，M是BC

的中点，请你探究线段DE与AM之间的关系． 说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；

（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①、②中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明． ①画出将△ACM绕某一点顺时针旋转180°后的图形； ②∠BAC=90°（如图）

附加题：如图，若以△ABC的边AB、AC为直角边，向内作等腰直角△ABE和△ACD，其它条件不变，

试探究线段DE与AM之间的关系．解答：解：（1）分三种情况；

当∠BAC=90°，M是BC的中点∴AM=BM=MC=

∠EAD=∠BAC=90°，AE=AB，AC=AD

∴△ABC≌△AED∴ED=BC∴ED=2AM同理当∠BAC＞90°，易得ED＜2AM当∠BAC＜90°，易得ED＞2AM

2）已知（1）的结论，若∠BAC=90°，可得ED=2AM 附加：结合上题可得：2AM=DE 延长CA到F使AF=AC，连接BF 易证△ABF≌△ADE ∴BF=DE∵2AM=BF∴2AM=DE．

30．（2007?咸宁）如图，在平面直角坐标系xoy中，已知矩形ABCD的边AB、AD分别在x轴、y轴上，点A与坐标原点重合，且AB=2，AD=1． 操作：将矩形ABCD折叠，使点A落在边DC上． 探究：

（1）我们发现折痕所在的直线与矩形的两边一定相交，那么相交的情形有几种请你画出每种情形的图形；（只要用矩形草稿纸动手折一折你会有发现的！）

（2）当折痕所在的直线与矩形的边OD相交于点E，与边OB相交于点F时，设直线的解析式为y=kx+b． ①求b与k的函数关系式； ②求折痕EF的长（用含k的代数式表示），并写出k的取值范围．

解答：解：（1）

（2）令y=0，得x=﹣，令x=0，得y=b， ∴E（0，b），F （0，﹣），

①如图设A折叠后与M点重合，M的坐标为（m，0），连接EM，根据折叠知道EF⊥OM，而MD⊥OD， ∴△EOF∽△MDO， ∴

，而OE=b，OF=﹣，DM=m，OD=1，

代入比例式中得到m=﹣k，在Rt△EDM中，EM2=ED2+DM2，而根据折叠知道OE=EM， ∴b2=（1﹣b）2+（﹣k）2，∴b=

；

=b

，∵k＜0，∴EF=﹣

，

②在Rt△OEF中，EF2=OE2+OF2，∴EF=

∵OE=b＜1，OF=﹣＜2，∴﹣1＜k＜﹣2．

3．（2010?贵港）如图所示，已知直线y=kx﹣1与抛物线y=ax2+bx+c交于A（﹣3，2）、B（0，﹣1）两点，抛物线的顶点为C（﹣1，﹣2），对称轴交直线AB于点D，连接OC． （1）求k的值及抛物线的解析式；

（2）若P为抛物线上的点，且以P、A、D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标；

（3）在（2）的条件下所得的三角形是否与△OCD相似？请直接写出判断结果，不必写出证明过程．

解答：解：（1）∵直线y=kx﹣1经过A（﹣3，2），∴把点A（﹣3，2）代入y=kx﹣1得： 2=﹣3k﹣1，∴k=﹣1， 把A（﹣3，2）、B（0，﹣1）、C（﹣1，﹣2）代入y=ax2+bx+c得∴抛物线的解析式为y=x2+2x﹣1． （2）由

得D（﹣1，0），即点D在x轴上，

，∴

，

且|OD|=|OB|=1，∴△BDO为等腰直角三角形，∴∠BDO=45°， ①过点D作l1⊥AB，交y轴于E，交抛物线于P1、P2两点，连接P1A、P2A， 则△P1AD、△P2AD都是满足条件的直角三角形， ∵∠EDO=90°﹣∠BDO=45°，∴|OE|=|OD|=1，∴点E（0，1）， ∴直线l1的解析式为y=x+1， 由

解得：

或

，

∴满足条件的点为P1（﹣2，﹣1）、P2（1，2）； ②过点A作l2⊥AB，交抛物线于另一点P3，连接P3D，则△P3AD是满足条件的直角三角形， ∵l1∥l2且l2过点A（﹣3，2） ∴l2的解析式为y=x+5， 由

解得：

或

（舍去），

∴P3的坐标为（2，7），

综上所述，满足条件的点为P1（﹣2，﹣1）、P2（1，2）、P3（2，7）．

（3）∵P1（﹣2，﹣1），A（﹣3，﹣2），D（﹣1，0）， ∴P1D=，AD=2；

而OC=1，CD=2，即P1D：AD=OC：CD，又∵∠OCD=∠P1AD=90°，∴△P1AD∽△OCD， 同理可求得△P2AD与△OCD不相似，△P3AD与△OCD不相似； 故判断结果如下： △P1AD∽△OCD，△P2AD与△OCD不相似；△P3AD与△OCD不相似．

4．（2010?顺义区）如图，直线l1：y=kx+b平行于直线y=x﹣1，且与直线l2：

相交于点P（﹣

1，0）．

（1）求直线l1、l2的解析式；

（2）直线l1与y轴交于点A．一动点C从点A出发，先沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B1处后，改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A1处后，再沿平行于x轴的方向运动，到达直线l2上的点B2处后，又改为垂直于x轴的方向运动，到达直线l1上的点A2处后，仍沿平行于x轴的方向运动，…

照此规律运动，动点C依次经过点B1，A1，B2，A2，B3，A3，…，Bn，An，… ①求点B1，B2，A1，A2的坐标； ②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标；并求当动点C到达An处时，运动的总路径的长？

解答：解：（1）∵y=kx+b平行于直线y=x﹣1，∴y=x+b∵过P（﹣1，0），∴﹣1+b=0， ∴b=1∴直线l1的解析式为y=x+1；（1分）∵点P（﹣1，0）在直线l2上，∴∴

；∴直线l2的解析式为

；（2分）

；∴x1=1； ；

（2）①A点坐标为（0，1），则B1点的纵坐标为1，设B1（x1，1），∴

∴B1点的坐标为（1，1）；（3分）则A1点的横坐标为1，设A1（1，y1）∴y1=1+1=2；∴A1点的坐标为（1，2）；（4分）同理，可得B2（3，2），A2（3，4）；（6分） ②经过归纳得An（2n﹣1，2n），Bn（2n﹣1，2n﹣1）；（7分）

当动点C到达An处时，运动的总路径的长为An点的横纵坐标之和再减去1， 即2n﹣1+2n﹣1=2n+1﹣2．（8分） 5．（2010?淄博）已知直角坐标系中有一点A（﹣4，3），点B在x轴上，△AOB是等腰三角形．

（1）求满足条件的所有点B的坐标；

（2）求过O，A，B三点且开口向下的抛物线的函数表达式（只需求出满足条件的一条即可）； （3）在（2）中求出的抛物线上存在点P，使得以O，A，B，P四点为顶点的四边形是梯形，求满足条件的所有点P的坐标及相应梯形的面积．

解答：解：作AC⊥x轴，由已知得OC=4，AC=3，OA=

=5．

（1）当OA=OB=5时，

如果点B在x轴的负半轴上，如图（1），点B的坐标为（﹣5，0）； 如果点B在x轴的正半轴上，如图（2），点B的坐标为（5，0）；

当OA=AB时，点B在x轴的负半轴上，如图（3），BC=OC，则OB=8，点B的坐标为（﹣8，0）； 当AB=OB时，点B在x轴的负半轴上，如图（4），在x轴上取点D，使AD=OA，可知OD=8． 由∠AOB=∠OAB=∠ODA，可知△AOB∽△ODA， 则

，解得OB=

，点B的坐标为（﹣

，0）．

（2）当AB=OA时，抛物线过O（0，0），A（﹣4，3），B（﹣8，0）三点， 设抛物线的函数表达式为y=ax2+bx， 可得方程组

．

（3）当OA=AB时，若BP∥OA，如图（5），作PE⊥x轴，则∠AOC=∠PBE，∠ACO=∠PEB=90°， △AOC∽△PBE，代入

．设BE=4m，PE=3m，则点P的坐标为（4m﹣8，﹣3m）， ，解得m=3；则点P的坐标为（4，﹣9），S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=48． ，解得a=

，

，∵

；当OA=OB时，同理得

若OP∥AB，根据抛物线的对称性可得点P的坐标为（﹣12，﹣9），S梯形

AOPB=S△ABO+S△BPO=48

当OA=OB时，若BP∥OA，如图（6），作PF⊥x轴，则∠AOC=∠PBF，∠ACO=∠PFB=90°， △AOC∽△PBF，代入

；设BF=4m，PF=3m，则点P的坐标为（4m﹣5，﹣3m）， ，解得m=．则点P的坐标为（1，﹣），S梯形ABPO=S△ABO+S△BPO=

．

若OP∥AB（图略），作PF⊥x轴，则∠ABC=∠POF，∠ACB=∠PFO=90°， △ABC∽△POF，代入

；设点P的坐标为（﹣n，﹣3n），

，解得n=9；则点P的坐标为（﹣9，﹣27），S梯形AOPB=S△ABO+S△BPO=75．

7．（2006?河北）探索： 在如图1至图3中，△ABC的面积为a．

（1）如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA．若△ACD的面积为S1，则S1= a （用含a的代数式表示）； （2）如图2，延长△ABC的边BC到点D，延长边CA到点E，使CD=BC，AE=CA，连接DE．若△DEC的面积为S2，则S2= 2a （用含a的代数式表示），并写出理由；

（3）在图2的基础上延长AB到点F，使BF=AB，连接FD，FE，得到△DEF（如图3）．若阴影部分的面积为S3，则S3= 6a （用含a的代数式表示）． 发现：

像上面那样，将△ABC各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图3），此时，我们称△ABC向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF的面积是原来△ABC面积的 7 倍． 应用：

去年在面积为10m2的△ABC空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC向外进行两次扩展，第一次由△ABC扩展成△DEF，第二次由△DEF扩展成△MGH（如图4）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少m2？ 解答：解：（1）∵BC=CD， ∴△ACD和△ABC是等底同高的，即S1=a； （2）2a；（2分）理由：连接AD，

∵CD=BC，AE=CA，∴S△DAC=S△DAE=S△ABC=a，∴S2=2a； （3）结合（2）得：2a×3=6a； 扩展一次后得到的△DEF的面积是6a+a=7a，即是原来三角形的面积的7倍． 应用拓展区域的面积：（72﹣1）×10=480（m2）． 8．（2007?兰州）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象交x轴于点A（x0，0）和点B（2，0），与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x=﹣1，tan∠BAC=2，点A关于y轴的对称点为点D． （1）确定A、C、D三点的坐标；

（2）求过B、C、D三点的抛物线的解析式；

（3）若过点（0，3）且平行于x轴的直线与（2）小题中所求抛物线交于M、N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P（x，y）为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式；

（4）当＜x＜4时，（3）小题中平行四边形的面积是否有最大值？若有，请求出；若无，请说明理由．

解答：解：（1）∵点A与点B关于直线x=﹣1对称，点B的坐标是（2，0）

∴点A的横坐标是

=﹣1，x0=﹣4，故点A的坐标是（﹣4，0）（1分）∵tan∠BAC=2即=2，

可得OC=8 ∴C（0，8）（2分）∵点A关于y轴的对称点为D∴点D的坐标是（4，0）（3分） （2）设过三点的抛物线解析式为y=a（x﹣2）（x﹣4）代入点C（0，8），解得a=1（4分）∴抛物线的解析式是y=x2﹣6x+8；（5分） （3）∵抛物线y=x2﹣6x+8与过点（0，3）平行于x轴的直线相交于M点和N点 ∴M（1，3），N（5，3），|MN|=4（6分）而抛物线的顶点为（3，﹣1）当y＞3时S=4（y﹣3）=4y﹣12

当﹣1≤y＜3时S=4（3﹣y）=﹣4y+12（8分）

（4）以MN为一边，P（x，y）为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大 ∴当x=3，y=﹣1时，h=4S=|MN|?h=4×4=16∴满足条件的平行四边形面积有最大值16．（10分）

9．（2011?江西）某课题学习小组在一次活动中对三角形的内接正方形的有关问题进行了探讨： 定义：如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的边上，那么我们就把这个正方形叫做三角形的内接正方形．

结论：在探讨过程中，有三位同学得出如下结果：

甲同学：在钝角、直角、不等边锐角三角形中分别存在 1 个、 2 个、 3 个大小不同的内接正方形．

乙同学：在直角三角形中，两个顶点都在斜边上的内接正方形的面积较大．

丙同学：在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小． 任务：（1）填充甲同学结论中的数据；

（2）乙同学的结果正确吗？若不正确，请举出一个反例并通过计算给予说明，若正确，请给出证明； （3）请你结合（2）的判定，推测丙同学的结论是否正确，并证明．

解答：解：（1）1，2，3．（3分）

（2）乙同学的结果不正确．（4分） 例如：在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=1，则

．

如图①，四边形DEFB是只有一个顶点在斜边上的内接正方形．设它的边长为a，则依题意可得：

，∴

，

如图②，四边形DEFH两个顶点都在斜边上的内接正方形．设它的边长为b，则依题意可得：，

∴．∴a＞b．（7分）

（3）丙同学的结论正确． 设△ABC的三条边分别为a，b，c，不妨设a＞b＞c，三条边上的对应高分别为ha，hb，hc，内接正方形的边长分别为xa，xb，xc． 依题意可得：

=

，∴xa=

．同理xb=

．

∵xa﹣xb=﹣=﹣=2S（﹣）=（b+hb﹣a﹣ha）．

=（b+﹣a﹣）．=?（b﹣a）（1﹣

）．=

?（b﹣a）（1﹣）．

又∵b＜a，ha＜b，∴（b﹣a）（1﹣

）＜0，∴xa＜xb，即xa2＜xb2．

∴在不等边锐角三角形中，两个顶点都在较大边上的内接正方形的面积反而较小．（10分）

14．（2006?辽宁）某蔬菜基地加工厂有工人100人，现对100人进行工作分工，或采摘蔬菜，或对当

日采摘的蔬菜进行精加工．每人每天只能做一项工作．若采摘蔬菜，每人每天平均采摘48kg；若对采摘后的蔬菜进行精加工，每人每天可精加工32kg（每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出）．已知每千克蔬菜直接出售可获利润1元，精加工后再出售，每千克可获利润3元．设每天安排x名工人进行蔬菜精加工．

（1）求每天蔬菜精加工后再出售所得利润y（元）与x（人）的函数关系式；

（2）如果每天精加工的蔬菜和没来得及精加工的蔬菜全部售出的利润为w元，求w与x的函数关系式，并说明如何安排精加工人数才能使一天所获的利润最大？最大利润是多少？ 解答：解：（1）y=3×32x，∴y=96x；（3分）

（2）w=96x+[48（100﹣x）﹣32x]×1，∴w=16x+4800（08分），由题意知：48（100﹣x）≥32x，解得x≤60（10分），

∵w=16x+4800，K=16＞0，∴w随x的增大而增大∴当x=60时，w有最大值，w最大=16×60+4800=5760（元）． ∴安排60人进行精加工，40人采摘蔬菜，一天所获利润最大，最大利润5760元．（12分） 16．（2006?凉山州）阅读材料，解答下列问题： 求函数y=解．∵y=

（x＞﹣1）中的y的取值范围．

∵

∴y＞2

（x、y为正数）；此不等式说明：当正数x、y

在高中我们将学习这样一个重要的不等式：的积为定值时，其和有最小值． 例如：求证：x+≥2（x＞0）证明：∵利用以上信息，解决以下问题： （1）求函数：y=

中（x＞1），y的取值范围．

∴x+≥2

（2）若x＞0，求代数式2x+的最小值． 解答：解：（1）y=1+

，

∵x＞1，∴x﹣1＞0，∴y＞1． （2）∵（2x+≥

）2≥0，∴（

，∴2x+的最小值为4

）2﹣2．

?

+（

）2≥0，∴2x+≥2

?

，

17．（2006?重庆）如图1所示，一张三角形纸片ABC，∠ACB=90°，AC=8，BC=6．沿斜边AB的中线CD把这张纸片剪成△AC1D1和△BC2D2两个三角形（如图所示）．将纸片△AC1D1沿直线D2B（AB）方向平移（点A，D1，D2，B始终在同一直线上），当点D1于点B重合时，停止平移．在平移过程中，C1D1与BC2交于点E，AC1与C2D2、BC2分别交于点F、P． （1）当△AC1D1平移到如图3所示的位置时，猜想图中的D1E与D2F的数量关系，并证明你的猜想； （2）设平移距离D2D1为x，△AC1D1与△BC2D2重叠部分面积为y，请写出y与x的函数关系式，以及自变量的取值范围；

（3）对于（2）中的结论是否存在这样的x的值使得y=S△ABC；若不存在，请说明理由．

解答：解：（1）D1E=D2F． ∵C1D1∥C2D2，∴∠C1=∠AFD2．又∵∠ACB=90°，CD是斜边上的中线，∴DC=DA=DB，即C1D1=C2D2=BD2=AD1 ∴∠C1=∠A，∴∠AFD2=∠A∴AD2=D2F．同理：BD1=D1E．又∵AD1=BD2，∴AD2=BD1．∴D1E=D2F．

（2）∵在Rt△ABC中，AC=8，BC=6， ∴由勾股定理，得AB=10．即AD1=BD2=C1D1=C2D2=5又∵D2D1=x，∴D1E=BD1=D2F=AD2=5﹣x．

∴C2F=C1E=x在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为设△BED1的BD1边上的高为h，由探究，得△BC2D2∽△BED1， ∴

．∴h=

．S△BED1=×BD1×h=

．

（5﹣x）2又∵∠C1+∠C2=90°，∴∠FPC2=90度．

x2

x（0≤x≤5）．

又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=．∴PC2=x，PF=x，S△FC2P=PC2×PF=而y=S△BC2D2﹣S△BED1﹣S△FC2P=S△ABC﹣（3）存在． 当y=S△ABC时，即﹣

x2+

（5﹣x）2﹣

x2∴y=﹣

x2+

x=6，整理得3x2﹣20x+25=0．解得，x1=，x2=5．

即当x=或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的．

二．填空题（共3小题）

19．如图所示，四边形ABCD是某个圆的圆外切四边形，已知∠A=∠B=120°，∠D=90°，且BC=1，则AD的长为 ．

解答：解：设⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H， 连接OA，OB，OE，OD，OG，OH； 设AH=x，则AE=BE=BF=x，OE=x!， ∴圆的半径是x； ∵等腰直角三角形ODG，∴DG=DH=x，∵B，O，G三点共线，∴BG=（2+∴CG=CF=（2

+3）x，∴x+（2

+3）x=1，∴x=

，∴AD=（

+1）x=

）x；∵∠C=30°，

．

∴C2F=C1E=x在△BC2D2中，C2到BD2的距离就是△ABC的AB边上的高，为设△BED1的BD1边上的高为h，由探究，得△BC2D2∽△BED1， ∴

．∴h=

．S△BED1=×BD1×h=

．

（5﹣x）2又∵∠C1+∠C2=90°，∴∠FPC2=90度．

x2

x（0≤x≤5）．

又∵∠C2=∠B，sinB=，cosB=．∴PC2=x，PF=x，S△FC2P=PC2×PF=而y=S△BC2D2﹣S△BED1﹣S△FC2P=S△ABC﹣（3）存在． 当y=S△ABC时，即﹣

x2+

（5﹣x）2﹣

x2∴y=﹣

x2+

x=6，整理得3x2﹣20x+25=0．解得，x1=，x2=5．

即当x=或x=5时，重叠部分的面积等于原△ABC面积的．

二．填空题（共3小题）

19．如图所示，四边形ABCD是某个圆的圆外切四边形，已知∠A=∠B=120°，∠D=90°，且BC=1，则AD的长为 ．

解答：解：设⊙O与AB，BC，CD，AD分别相切于点E，F，G，H， 连接OA，OB，OE，OD，OG，OH； 设AH=x，则AE=BE=BF=x，OE=x!， ∴圆的半径是x； ∵等腰直角三角形ODG，∴DG=DH=x，∵B，O，G三点共线，∴BG=（2+∴CG=CF=（2

+3）x，∴x+（2

+3）x=1，∴x=

，∴AD=（

+1）x=

）x；∵∠C=30°，

．

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