从离散到连续——分数阶信号处理的理论、方法与应用

第１１期２０１２年１１月

电子学报

Ｖ０１．４０Ｎｏ．１ｌ

Ａ（ｘＡＥＬＥＣｒＲＯＮＩＣＡＳＩＮＩＣＡＮｏｖ．２０１２

从离散到连续

——分数阶信号处理的理论、方法与应用

陈拮，彭钰林，王舒文，殷福亮

（大连理工大学信息与通信工程学院，辽宁大连１１６０２４）

摘要：近年来，分数阶信号处理受到广泛关注，已成为研究热点，本文对分数阶信号处理理论、方法与应用进

行了综述，分别简述了分数阶傅里叶变换、分数阶微积分、分数阶系统、分数阶统计量、分形的理论方法以及它们在信号处理领域中的应用．

关键词：

分数阶傅里叶变换；分数阶微积分；分数阶系统；分数阶统计量；分形

文献标识码：

Ａ

中图分类号：ＴＮ９１１．７２文章编号：０３７２—２１１２（２０１２）１１—２２８２—０８ＤＯＩ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．０３７２—２１１２．２０１２．１１．０２２

电子学报ＵＲＬ：ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｅｉｏｕｎｌａｌ．ｏｒｇ．ＣＩＩ

ＦｒｏｍＤｉｓｃｒｅｔｅｔｏＣｏｎｔｉｎｕｏｕｓ

——ＦｒａｃｔｉＯｎａｌ

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Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：

ｆｒａｃｄｏｎａｌｆｏｕｒｉｅｒｔｒａｎｓｆｏｒｍ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｃＭｃｌｌｌｕｓ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｏｒｄｅｒｓｙｓｔｅｍ；ｆｒａｃｔｉｏｎａｌｌｏｗｅｒｏｒｄｅｒｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ；ｆｒａｃｔａｌ

１引言

随着数字信号处理理论与方法的快速发展和广泛应用，人们已习惯于用离散化、整数化的思想将模拟信号数字化，并用各种整数阶处理方法进行分析和处理．但实际的信号往往是复杂的，例如，通信中的脉冲噪声没有二阶以上阶次的统计量，图像与语音信号常表现出分形特征，某些系统具有分数阶微积分性质等．对这些特殊的信号与系统，常规信号处理方法性能不佳，而具有分数阶参数和维数的信号处理方法则可以求解这些问题ｎｊ．此外，随着人们对信号处理性能要求的不断提高，现代数字信号处理的研究热点已转向非线性、非因果、非高斯、非平稳、非整数维信号以及非白噪声的处理问题，这从近年来发表的相关研究论文数量上就可以看到这一点．实际上，越来越多的学者尝试对整数化、离散化的信号与系统进行“连续化”研究，将传统整数参数、整数阶信号处理方法扩展到分数阶，以期提取更多的信息，逼近信号的真实特性，改善信号处理的效果．

收稿日期：２０１２－０１—１０；修回日期：２０１２．０９．０６

所谓“分数阶信号处理”，是指阶数、维数、参数为分数的信号与系统的分析与处理方法．目前，分数阶信号处理【ｌＪ相关内容主要包括五方面：分数阶傅里叶变换、分数阶微积分、分数阶系统、分数低阶统计量以及分形．本文对分数阶信号处理的理论、方法与应用进行了综述．

２

分数阶傅里叶变换（Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

Ｔｒａｎｓｆｏｒｍ，门灶ｉＴＩｔ）

Ｆｏｕｒｉｅｒ

传统Ｆｏｕｒｉｅｒ变换在描述非平稳信号时有很大的局限性，因而人们期望找到类似的数学工具来分析非平稳信号．１９８０年ＮａＩＩｌｉａｓｌ２Ｊ从特征函数和特征值的角度首先提出ＦＲＦＦ；１９８７年Ｍｃｂｒｉｄｅ等∞１给出ＦＲＦｒ严格的数学

定义；１９９３年Ｍｅｎｄｌｏｖｉｃ等Ｌ４，５３把Ｈ四用在光学信息处

理中；Ｌｏｈｍａｎｎ等１６Ｊ将ＦＲＦＩ＇的物理意义解释为时频平

Ｊ将卿分解为信号卷积过程，使其

计算复杂度降低至ＦＦｒ量级，促进唧工程应用．

１９９６年Ｏｚａｋｔａｓ等［７

面的旋转，至此，ＦＲＦＦ开始成为一种时频分析工具；

基金项目：国家自然科学基金（Ｎｏ．６１１７２１０７，Ｎｏ．６１１７２１１０，Ｎｏ．６０７７２１６１）；高等学校博士学科点专项科研基金（Ｎｏ．２００８０１４１００１５）；大连市优秀青年科技人才基金（Ｎｏ．２００８Ｊ２３ＪＨ０２５）

万方数据

第１１期陈拮：从离散到连续——分数阶信号处理的理论、方法与应用

２２８３

设信号为ｗ（￡），连续ＦＲＦＦ普遍使用的积分定义

暑

为Ⅲ疋（ｕ）＝Ｉ戈（￡）Ｋ（￡，ｕ）ｄｔ

（１）

式中

Ｋ（ｔ，ｕ）＝

ｅｊ专∞“ｅｊ”‘ｊｔ日。一《ｅ№’，口≠ｐ７ｃ

ａ＝２ｐ丁ｃ

口＝（２ｐ±１）丌

写成算子形式为

恐（Ｕ）＝瞄（￡）

（２）

其中ａ∈（一丌，兀），Ｐ为整数．与连续ＦＲＦＦ类似，数字信

号菇（ｎ）的离散脚（Ｄ唧）定义为

瓦（ｋ）＝％（ｎ）

（３）

ＦＲＦＦ除传统的线性、时移（频移）等性质外，还有如下特殊性质一Ｊ：（ａ）疋满足交换律；（ｂ）（疋）～＝Ｆ一。；（ｃ）酉性，（Ｆｏ）＿‘＝（疋）日；（ｄ）凡［以］＝ｅ－ｊｐｎｘ／２以，这表明ＦＲＫＦ特征函数为Ｈｅｒｍｉｔｅ．Ｇａｕｓｓ函数“；（ｅ）若ｚ（ｔ）的

Ｗｉｇｎｅｒ分布为哦（ｔ，ｗ），则有肋；（／￥ＣＯＳｐ—ｖｓｉｎ０，

ｕｃｏｓ口＋ｖｓｉｎ０）＝ｌｅｏ‰（ｕ．ｖ）Ｅ＇．

根据不同核矩阵，ＤＦＲＦＦ的数值实现主要有三种算法：（１）线性组合类算法蛉Ｊ，利用标准ＤＦＦ核矩阵的指数项的线性组合计算ＤＦＲＦＦ，其缺点是计算结果与连续变换相差较大；（２）离散采样类算法一，１０Ｊ，通过对核函数离散采样值进行卷积来计算ＤＦＲＦｒ，利用ＦＦｒ减小运算量，但其核函数不是带限函数，采样存在频带混叠；（３）特征分解类算法【１１｜，利用矩阵的特征值和特征向量来计算，该类算法的计算量适中，能满足一般的精

度要求．ＦＲ盯具有在时频平面上无交叉项干扰ｕ２Ｊ的优

点，它在信号处理领域中的应用主要有：

（１）信号滤波：Ｏｚａｋｔａｓ等１１３］在唧域中实现了卷积运算、多路复用和分数阶域的滤波．其后，一些学者［１４，１５］将传统Ｆｏｕｒｉｅｒ变换域的滤波技术推广到唧域中．

（２）数字水印：２００１年Ｄｊｕｒｏｖｉｃ等【１６Ｊ首次将咖应用于数字水印，这种水印灵活性更好．其后的一些改进算法【１７，１８］进一步增强了唧域数字水印的鲁棒性．

（３）雷达、声呐：这些系统中常用的ｃｈｉｒｐ信号在ＦＲＦＦ域中具有良好的时频聚焦性．Ａｋｅｙ等ｕ９Ｊ利用ＦＲＦＴ实现了ｃｈｉｒｐ信号的检测算法．其后出现多种基于ＦＲＦｒ的ｃｈｉｒｐ信号检测算法１２０，２１１．

（４）通信系统：将ＯＦＤＭ系统中Ｆｏｕｒｉｅｒ变换替换为ＦＲＦＦ，可获得更好的效果，尤其在抗载波频率误差方面．２００１年Ｍａｒｔｏｎｅ［＝］首先用ＤＦＲＦＹ替代多载波系统中的ＤＦｒ．文献［２３］用ＦＲＦｒ实现了ＭＩＭＯ系统中的ＭＳＥ

万方数据

接收机，提高了对ｃｈｉｒｐ信号的接收灵敏度．

（５）图像压缩：２００１年Ｙｅｔｉｋ等ⅢＪ尝试将ＦＲＦＴ应用于图像压缩中；其后，Ｖｉｊａｙａ等∞Ｊ结合ＦＲＦＩ＇和分层树技术进行压缩编码，压缩率高于传统压缩方法；２０１１年石大明等嘶Ｊ、Ｓｉｎｇｈ等［刀］提出了基于ＦＲＦＦ的图像压缩方法，进一步推进了ＦＲＦＦ在图像压缩上的应用．

（６）模式识别：１９９６年ｌ＿ｏｈｍａｎｎ等旧Ｊ首次将ＦＲＦｒ用于滤波系统辨识中，识别效果有明显改善；其后，Ｂａｒ．

ｓｈａｎ等旧。于２００２年将唧作为神经网络输人的预处

理，能明显减少分类识别的误差；２００６年Ｊｉｎｇ等［３０２将ＦＲＹｒ成功应用于人脸识别的特征提取阶段；２００９年张永亮等【３１１利用ＦＲＦｒ将语音处理中的ＭＦＣＣ推广到分数形式，提高了说话人识别率．

３分数阶微积分（ＦｒａｃｔｉｏｎａｌＣａｌｃｕｌｕｓ，ＦＣ）

早在１６９５年，Ｉ＿ｅｉｂｎｉｚ就提出了ＦＣ问题．ＦＣ是描述分维空间的基础工具，能用于复杂系统的描述［１Ｉ．在Ｆ℃定义中，最早得到公认、最常用的是Ｒｉｅｒｒｍｍ．Ｌｉｏｕｖｉｌｅ定义［３２，３３］，即

ＤＴ［ｔｏ，ｓ㈤Ｊ＝嚣（ｒ‰“刚）

＝喜（赢习￡（ｔ－ｒ）ｎ－ｖ－Ｉ一ｄ护、１１（ｎ一移）ｊＩ＾

７

Ｓ㈩ｄｒ），¨心叫’

移∈Ｒ＋

（４）

其中，ｓ（ｔ）为函数，ｚ。为微积分下限，Ｄ为微分算子，，为积分算子，”为分数阶数，ｎ为大于种的最小正整数，

ｒ（ ）为ｙ函数，ｒ（ｔＪ）＝ｌ。ｅ－‘￡（”～）ｄｔ，ｔ，∈Ｒ．该ＦＣ

定义不便于计算机实现，于是有了由整数阶微分的差分近似递推并求极限得到的Ｇｒｍｎｗａｌｄ．Ｌｅｍｉｋｏｖ定义［蚓，

即

．Ｌ警ｊ

联［ｆ。，ｓ（ｆ）］＝ｌｉｒａｉ’７∑ｋ＝Ｏ（一１）‘∞（￡一胁），移Ｅ

Ｒ

（５）

式中，Ｌ ｊ是向下取整运算，Ｇ为组合数，其定义为供

＝Ｆ瓦；Ｓ轰‰．由于积分和微分可交换，１９６７

年Ｃａｐｕｔｏ给出了先微分ｎ次，再积分ｎ－Ｕ次的ＦＣ定

义［３５，３６］

硝‰ｓ㈤］＝露叫‰嚣㈧刚］

一１１（ｎ—ｔＪ）ｊ

＝南Ｈ－ｒ）…。１嚣ｄ㈧ｒ））ｄｒ’

ｃｎ¨…７

ｒ“¨¨川“’

口∈Ｒ＋

（６）

由式（６）可看出，（８）ＦＣ算子具有线性叠加性、半群性，满足交换律；（ｂ）信号的ＦＣ对时间和阶数皆为解析的；

２２８４电子（ｃ）当”为非负整数时，Ｆｃ退化为传统的整数阶微积分；（ｄ）信号的分数阶微积分可以看作将信号经过一线

性时不变滤波器，该滤波器传递函数为ａ。，（甜）＝Ｉ∞卜ｅｘｐ（ｊ等ｓ舭（叫））；（ｅ）从通信调制的角度，ＦＣ的物理意

义可解释为：幅度随”阶幂指数变化，相位是数字频率∞的广义Ｈｉｌｂｅｒｔ变换．

Ｆｃ在语音／图像处理、模式识别、通信信道建模、生

物医学信号处理、时间序列分析、电化学信号处理、经济数据分析等方面都有成功的应用［３７，３８Ｊ。例如，李远禄等旧』在滤波器设计中引进ＦＣ，使其逼近效果更好；Ｍａｒ－ｇｉｎ等［鲫Ｊ发现ＦＣ阶次取值的小数位有效位数的无规律性可用于数字水印中；蒲亦菲等Ｈ１ｊ基于ＦＣ提取图像的边缘信息．ＦＣ应用在系统辨识和建模时需要求解ＦＣ方程．目前分数阶常微积分方程求解的可行方法有：（１）

Ｌａｐｌａｃｅ变换法Ｌ４２Ｊ，其利用了Ｃａｐｕｔｏ定义式的Ｌａｐｌａｃｅ变

换形式，可不受状态变量影响；（２）状态空间法ｍ’４３Ｊ，该算法表达简单，但当状态变量较多时计算量大．而分数阶偏微分方程求解更为复杂，涉及到边界条件、初值条件等ｍｊ问题．目前，ＦＣ代表性的快速算法有基于Ｇｒｕｍｗａｌｄ－Ｌｅｔｎｉｋｏｖ定义的数值算法、幂级数数值算法、傅里叶级数数值算法、基于子波变换的数值算法等［３６，３７］．ＦＣ具有很多好的特性，例如：能在加强高频信息的同时保留低频信息；抗噪性能强；与整数阶微积分相比，相位不是恒定的±等，能提取更多的相位信息，因此其在信号处理中对分析“非××”信号的应用将会更加广泛．

４

分数阶系统（Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ＯｒｄｅｒＳｙｓｔｅｍ，

ＦｏＳ）

ＦＯＳ是由非整数阶微积分方程描述的动态系统．时域ＦＣ方程经Ｌａｐｌａｃｅ变换可得到分数阶传递函数．作为特例，同元次分数阶系统（即各分数阶次为在（Ｏ，１）之间某个数口的整数倍）传递函数可定义为

叭

黼

鞋驴

㈤

分数阶系统的研究目前主要集中在：

（１）ＦＯＳ的物理实现：目前主要研究１／２阶模拟分抗电路（任意阶ＦＣ模拟分抗电路可用１／２阶的组合实现）．Ｓｏｒｉｍａｃｈｉ等∽ｊ提出了经典的１／２阶树型模拟分抗电路，如图１所示，其中乙、乙可为普通的无源电阻、电容或电感；周激流等Ｉｓ６』提出了改进的两回路串联的１／２阶模拟分抗电路、胃型１／２阶模拟分抗电路以及网格型１／２阶模拟分抗电路；Ｂｏｈａｎｎａｎ研制的‘ｆａｃｔｏｒ’分数

万方数据

学报

２０１２年

阶元件‘４６１可直接搭建分数阶系统

●－。●●●一

‘‘＋’‘。＿一

●●，●’●一

， ｔ －Ｊ

…’’’。１

…。Ｌ

Ｊ一

图１

１／２阶树型模拟分抗电路

（２）Ｆｏｓ稳定性研究：式（７）中Ｈ（ｓ）不是ｓ的有理函数，故ＦＯＳ的稳定性分析相对复杂．王振滨等［４７，４ｓｊ推导出分数阶线性时不变系统的两个稳定性判据：分数阶Ｎｙｑｕｉｓｔ判据和分数阶对数频率判据，避免了求取闭环特征根；李元凯等［４９Ｊ提出的扩展频域法能直观判断任意阶次系统的稳定性．

（３）分数阶随机信号产生：分数阶随机信号是具有长相关性、局部相关性、重尾分布的随机信号，典型如人体生理信号等．蒲亦非∞］使用模拟分抗电路模仿产生了环杓后肌神经电脉冲信号‘，能正确地模仿真实的生物神经冲动．

（４）ＦＯＳ辨识：Ｈａｒｔｌｅｙ等将连续阶分布的概念用于ＦＯＳ的辨识中∞¨．由于ＦＯＳ时域表达式复杂，相关研究集中在频域辨识方法上．例如，彭程等【５２１给出了一种基于模拟退火和线性最小二乘的频域辨识算法．

ＦＯＳ可视为整数阶系统的推广，它能更准确地描述现实世界中的物理系统．ＦＯＳ可用来模拟产生实际中的随机信号，有利于对“非××”信号的分析处理．

５分数低阶统计量（Ｆｒａｃｔｉｏｎａｌ

ＬｏｗｅｒＯｒｄｅｒ

Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ。网∞Ｓ）

数学家Ｌｅｖｙ于１９２５年提出了ａ稳定分布．为准确地描述非高斯脉冲信号，１９９３年Ｓｈａｏ等［５３］将口稳定分布引入到信号处理领域．＆稳定分布的概率密度函数（ＰＤＦ）没有封闭表达式，只能通过特征函数声（ｔ）定义

声（ｔ）＝ｅｘｐ／Ｊｍ一７ｌｔＩ。［１＋ｊｐｓｇ．（ｔ）叫（ｔ，乜）］｝（８）

其‰㈠儿｛淼黑？鲁毗ｇｎ，＝

ｒ

１，

ｆ＞０

｛０，ｔ＝０，口∈（０，２］为特征指数，ａ值越小，其脉冲

Ｉ

Ｌ一１．￡＜０

特性越显著，特别地，ａ＝２时该分布就是高斯分布；口∈［一ｔ，１］为对称参数，用于确定分布的斜度，口＝０对应于对称ａ稳定（＆Ｓ）分布；ｙ∈［０，∞）为分散系数，可度

第１１期陈☆吉：从离散到连续——分数阶信号处理的理论、方法与应用

２２８５

量样本相对于均值的分散程度；／１为位置参数，用于表示分布的均值或中值．

由于Ｏｔ稳定分布不存在二阶与高阶统计量，只能从其ＦＬＯＳ中提取有用信息．ｄ稳定分布随机变量ｘ的Ｐ阶矩定义为Ｅ（１ｘＩ一），其中０＜Ｐ＜ａ＜２．两个ａ稳定分布随机过程戈，（几）和戈：（凡）的共变与分数低阶协方差分别定义为

ｄ

Ｒ。（／２Ｚ）＝Ｅ｛［戈２（ｎ）］［戈１（ｎ＋／ＴＡ）］（ｐ。’｝，１≤Ｐ＜口

（９）

Ｒｄ（ｍ）＝Ｅ｛［戈２（几）ＰⅥ戈２（凡＋ｍ）］㈣｝，

０≤Ａ≤—睾，０≤Ｂ≤ｑ“－（１０）

厶厶

其中符号＜ ＞表示运算。“’＝Ｉ

ｚ

Ｉ。ｓｇｎ（＝），ｍ表示戈，

（ｎ）相对于算２（ｎ）的延迟采样点数．

理论与实践表明，将ＦＬＯＳ理论与传统信号处理算法相结合，应用于水声及雷达、生物医学、通信等信号处理领域，可取得良好的效果．

（１）时问延迟估计：对受到ａ稳定分布噪声干扰的信号，Ｍａ等懈Ｊ提出ｒ根据两个信号共变或分数低阶协方差的峰值位置估计时间延迟；在自适应滤波中采用基于分数低阶矩的代价函数．这两种算法在高斯噪声和ａ稳定分布噪声条件下都具有韧性，但需两个噪声信号互相独立．自适应延迟估计的其他方法还有基于分数低阶循环互相关方法１５５Ｉ、ＬＥＴＤＥ算法ｌ蚓、ＬＭＰ—ＨＢ算法＿５７Ｊ等．诱发电位（ＥＰ）潜伏期是神经生理疾病诊断的重要手段．ＥＰ潜伏期检测从本质上说是时延估计问题，Ｋｏｎｇ等旧ｊ最先将ＬＭＳ、ＤＬＭＳ算法应用于ＥＰ信号检

测中，并改进为ＬＭＰ、ＤＬＭＰ以及ＳＤＡ算法．这些基于ＦＬＯＳ的算法不断被改进：邱天爽等［５９３在自适应迭代过程中引入非线性变换，对ＳＤＡ算法的误差进行了有效补偿；文献Ｅ６０］提出了ＬＭＰＲＢＦＮＮ算法和ＳＤＡＲＢＦＮＮ算法，可解决多次重复刺激易使中枢神经系统疲劳问题．

（２）阵列信号处理：在波束形成方面，文献［６１～６３］分别将传统的ＭＳＥ、最大信噪比和线性最小方差准则的波束形成算法改为基于分数低阶矩求解最优权矢量．在波达方向（ＤＯＡ）估计方面，文献Ｅ６４，６５］分别构造了阵列信号的共变矩阵和分数低阶矩矩阵，提出了ＲＯＣ—ＭＵＳＩＣ算法和ＦＬＯＭ—ＭＵＳＩＣ算法，两者在口稳定分布噪声下的性能都优于ＭＵＳＩＣ算法．对于非平稳信号，何劲惭。等提出了基于分数低阶矩的空域一模糊域的ＤＯＡ估计算法．

（３）信道自适应均衡：针对ａ稳定分布噪声环境，Ｒｕｐｉ等１６７ｊ将基于二阶或四阶统计量的代价函数修改为ＦＬ０ｓ和极性功率定义的新代价函数，提出了分数低阶统计量恒模（ＦＬＯＳ—ＣＭＡ）算法．而“等Ｅ６ｓｊ将ＭＵ—ＣＭＡ算法扩展成分数低阶ＦＬＯＳ—ＭＵ—ＣＭＡ算法，取得了较

万方数据

好的结果．总之，针对脉冲噪声使二阶或高阶统计量处理方法退化的问题［圳，利用口稳定分布和分数低阶统计量对传统算法进行改进，可使算法的应用更灵活广泛．

自然界中存在的大量结构复杂的对象，如海岸线、树木等，很难用规整的图形来表示．为此，数学家Ｍａｎ—ｄｅｍｒｏｔｌ７０，７１］首先提出了“分形”这一概念．分形目前还没有严格的数学定义，通常，若认为一个形态为分形，则它具有以下特性ｍｊ：（口）具有精细的结构，有任意小比例的细节；（ｂ）其整体和局部都不能用传统的几何语言来描述；（Ｃ）具有近似的或统计意义上的自相似形式；（ｄ）其分形维数大于其拓扑维数；（ｅ）能以非常简单的方法定义，可由迭代产生．

维数是几何对象的一个重要特征量，拓扑维数是整数维数，分形维数则将维数由整数拓展为分数，用于度量分形的不规则程度和复杂程度．分形维数根据应

用不同有多种定义，常用的有Ｉ－Ｉａｕｓｄｏｒｆｆ维数％、计盒维

数（又称盒维数）、信息维数、关联维数等．

分形在自然界普遍存在，使得分形理论的应用涵盖了理、工、医、经济、管理等众多学科．在信号处理领域，分形理论作为一种处理非线性信号的重要工具，在生物医学、通信、语音、图像等方面均有应用．

（１）生物医学信号处理

１９８６年Ｍａｙｅｒ－Ｋｒｅｓｓ等∞Ｊ

对人在安静的清醒状态和麻醉状态下的脑电图（ＥＥＧ）信号的维数做了详细分析；１９８８年Ｃａｓａｌｅｇｇｉｏ等ｍＪ通过计算人在不同姿势下心电图（ＥＣＧ）信号的关联维数分析了ＥＣＧ信号的特性，之后，基于分形理论的ＥＣＧ与ＥＥＧ信号处理方法迅速发展，成为诊断心脏病、癫痫病等疾病以及研究生物生理特性的有效手段之＿＿［７５，７６３．同时，分形理论也逐步引入到肌电、眼电等生物电信号的研究ｄｉ３［７７，７８］．

（２）通信信号处理根据不用调制方式信号的分形特性不同，Ｌｖ等ｍ］采用计算信号计盒维数和信息维数的方法，对未调载波、ＢＦＳＫ、ＱｒＳＫ、ＢＰＳＫ与ＱＰＳＫ五种信号进行了调制方式识别．Ｉ－Ｉｉｐｐｅｎｓｔｉｅｌ等［椰］使用计盒维数和前馈神经网络对多种调制信号进行了分类．文献

［８１，８２３Ｎ通过对ＦＳＫｆｌ＿ｆ＿＿“ｆ．盒维数的研究，对ＦＳＫ信

号进行了模糊滤波和信号解调．

（３）语音信号处理语音信号局部特性满足分形特征旧ｊ．Ｍａｒａｇｏｓ等懈Ｊ首先在ＣＥＬＰ技术中用分形码本，有效降低了编码码率．文献［８５］给出了一种基于迭代函数系统（Ｉ聆）的低复杂度、低速率语音编码方案．此外，根据相邻音素的分形维数，可对语音进行识别１８６ｊ与分

割Ｌ９７３；根据语音与背景噪声的分形特性，可以实现语音

电

子

增强【踞Ｊ以及话音激活检测【驯．

（４）图像处理

１９８０年代末，Ｂａｒｎｓｌｅｙ等旧Ｊ首先提

出了分形图象压缩，并将ＩＦＳ应用到图像压缩编码中．随后Ｊａｅｑｕｉｎ等［９ｔＪ阐述了一种基于分块的分形图象压缩方法，可在高压缩率与实现复杂性之间进行折衷．在图像边缘检测领域，Ｃｈｅｎ等陋Ｊ利用分形维数信息对医

学图像进行边缘检测与增强，曹汉强等协ｊ提出了基于

ＩＦＳ的图像边缘检测方法．虽然分形理论是一门新兴的学科，但其在解决非线性问题上的应用潜力很大．随着人们对分形理论的研究与实践，分形理论将逐步成熟完善，并在信号处理领域发挥更大的作用．

７研究展望

连续信号的数字化处理是信号处理领域的一次飞跃．表面上看，分数阶信号处理似乎是由离散回退到连续，但分数阶信号处理不是简单地回归到连续阶信号处理，而是又一次飞跃，这也符合人们认识客观世界的“螺旋式上升”的规律．

本文介绍的五种分数阶信号分析与处理方法，可对不同类型的“非ＸＸ”信号或系统进行有效地分析与处理．此外，它们之间也存在着密切的联系，例如：分数阶微积分是分形的基础，它能有效地描述分维空间；分数阶微分方程可视为一个分数阶系统；若要较好地求解分数阶系统方程，则需要借用分数阶微积分．此外，在频域中研究“非Ｘ×”信号时，可以利用分数阶傅里叶变换；分析ａ稳定分布信号时，分数阶统计量是一个有力工具．可以想象，随着分数阶信号处理理论研究的进一步深化，其应用也将更加广泛．

今后关于分数阶信号处理方法研究，除了在广度、深度方面进一步完善已有方法之外，还包括：如何建立起分数阶信号处理的理论体系，以及如何参照现有整数阶信号处理方法，来构建分数阶信号处理方法等．目前最有可能获得突破的两个方面是：

（１）现有分数阶信号处理方法采用的阶数主要为正的有理数，以上介绍的五种分数阶信号处理方法大都是在正有理分数概念下进行的，而实际中，分数阶不仅仅指正有理分数，也包含阶数为负有理分数、无理数，甚至复数的情况．在无理数和复数阶数情况下，这些分数阶分析处理方法是否有新的拓展和应用，这可能成为以后研究的重点．

（２）其它整数类（阶）信号处理方法，是否可以拓展为分数阶处理，尚需理论上的深入研究与实践上的进一步突破．

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作者简介

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陈始男，副教授，工学博士．１９７５年１１月生，黑龙江省泰来人．２００３年博士毕业于大连理工大学信号与信息处理专业．主要感兴趣领域有效字信号处理、语音处理、图像处理、宽带无线通信技术．

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Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ［Ｃ］．Ａｌｂｕｑｕｅｒｑｕｅ，ＮＭ，

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彭钰林男，硕士研究生，１９８８年３月生，四川蓬溪人．现为大连理工大学信号与信息处理专业硕士研究生．主要感兴趣领域有语音处理、图像处理、生物医学信号处理．

［８５］ＭａｙＲＪ，ｅｔａ１．Ｐｅｒｃｅｖｔｕａｌｃｏｎｔｅｎｔｌ∞ｓｉｎｂｉｔｒａｔｅｃｏｎｓｔｒａｉｎｅｄ

万方数据

从离散到连续——分数阶信号处理的理论、方法与应用

作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：

陈喆， 彭钰林， 王舒文， 殷福亮， CHEN Zhe， PENG Yu-lin， WANG Shu-wen， YIN Fu-liang大连理工大学信息与通信工程学院,辽宁大连,116024电子学报

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引证文献(2条)

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