量子力学 答案 曾谨言

第一章

1.1设质量为m的粒子在一维无限深势阱中运动，

量子力学的诞生

??,x?0,x?a V(x)??0,0?x?a?试用de Broglie的驻波条件，求粒子能量的可能取值。

解：据驻波条件，有 a?n??2(n?1,2,3,?)

???2a/n （1）

又据de Broglie关系

p?h/? （2）

而能量

E?p2/2m??2/2m?2h2n2?2?2n2??2m?4a22ma2?n?1,2,3,?? （3）

1.2设粒子限制在长、宽、高分别为a,b,c的箱内运动，试用量子化条件求粒子能量的可能取值。

解：除了与箱壁碰撞外，粒子在箱内作自由运动。假设粒子与箱壁碰撞不引起内部激发，则碰撞为弹性碰撞。动量大小不改变，仅方向反向。选箱的长、宽、高三个方向为x,y,z轴方向，把粒子沿x,y,z轴三个方向的运动分开处理。利用量子化条件，对于x方向，有

?px?dx?nxh,?nx?1,2,3,??

即 px?2a?nxh （2a：一来一回为一个周期）

?px?nxh/2a,

同理可得， py?nyh/2b, pz?nzh/2c,

nx,ny,nz?1,2,3,?

粒子能量

Enxnynz1?2?2222?(px?py?pz)?2m2m222??nxnynz??2?2? 2?abc??? nx,ny,nz?1,2,3,?

1.3设质量为m的粒子在谐振子势V(x)? 提示：利用 p?dx?nh,1m?2x2中运动，用量子化条件求粒子能量E的可能取值。 2?n?1,2,?,p?2m[E?V(x)] V(x)

1

解：能量为E的粒子在谐振子势中的活动范围为 x?a （1） 其中a由下式决定：E?V(x)x?a?由此得 a?1m?2x2。 ?a 0 a x 22E/m?2 ， （2）

x??a即为粒子运动的转折点。有量子化条件

?a?p?dx?2??a12m(E?m?2x2)dx?2m?2?a2?x2dx2?a?a?2m?a2?得a?2?2

?m??a2?nhnh2?n （3） ?m??m?代入（2），解出 En?n??,n?1,2,3,? （4）

积分公式：

?2?ua2u22a?udu?a?u?arcsin?c

22a221.4设一个平面转子的转动惯量为I，求能量的可能取值。 提示：利用

?02p?d??nh,n?1,2,?, p?是平面转子的角动量。转子的能量E?p?/2I。

解：平面转子的转角（角位移）记为?。

它的角动量p??I?（广义动量），p?是运动惯量。按量子化条件

.?2?0p?dx?2?p??mh,m?1,2,3,?

?因而平面转子的能量

p??mh，

2Em?p?/2I?m2?2/2I，

m?1,2,3,?

第二章 波函数与Schr?dinger方程

2.1设质量为m的粒子在势场V(r)中运动。 （a）证明粒子的能量平均值为 E?dr?w，

??3?2w???*???*V? （能量密度）

2m（b）证明能量守恒公式

?w????s?0 ?t2

?s???2?2m????*??*??t? （能流密度）??t?????? ?证：（a）粒子的能量平均值为（设?已归一化）

E???*?????22?2m??V???d3r?T?V （1）

??V??d3r?*V? （势能平均值） （2）

T??d3r?*????22???2m???(动能平均值??) ???232m?dr?????*???????*???????其中T的第一项可化为面积分，而在无穷远处归一化的波函数必然为0。T??22m?d3r??*??? （3） 结合式（1）、（2）和（3），可知能量密度

w??22m??*?????*V?, （4） 且能量平均值 E??d3r?w 。

（b）由（4）式，得

?w?t??2?.2m????*??????*???.?.?**.???V???V??2???..?.*2...2m?????*??????*??????????2?*??**?????????????V???V??

.2?.?2?????s??*????*???22m??V???????????2m?2?V?????????s?E?.????*???.?*?????????s?E??t? （? ：几率密度）

?????s （定态波函数，几率密度?不随时间改变）

所以 ?w?t????s?0 。

2.2考虑单粒子的Schr?dinger方程

3

因此

???22????i???r,t??????r,t???V1?r??iV2?r????r,t? （1） ?t2mV1与V2为实函数。

（a）证明粒子的几率（粒子数）不守恒。

（b）证明粒子在空间体积?内的几率随时间的变化为

?2V2d?3***dr????????????dS???dt???2im??S??d????3r?*?

证：（a）式（1）取复共轭， 得

?*?22*????V1?iV2??* （2） ?i?????t2m ??（1）-??（2）,得

*?*?2*2i???????????2?*?2i?*V2??t2m 2??????*??????*?2iV2?*?2m???????2V?*????????*??????*?2?*? （3） ?t2im????????2V2?????j???0 ， 即 ?t?此即几率不守恒的微分表达式。

（b）式（3）对空间体积?积分，得

??23***33*dr?????????????dr?drV??2??????????t?2im???

??2**3*??????????dS?drV??2?????2imS????????????上式右边第一项代表单位时间内粒子经过表面进入体积?的几率（????j?dS ） ，而第二项代表体积?中“产

生”的几率，这一项表征几率（或粒子数）不守恒。

2.3 设?1和?2是Schr?dinger方程的两个解，证明

d?*?3???dr?r,t?r,t??0。 12dt????1??22??????V?1 （1） 证： ?i????t?2m?4

???2??22?i??????V?2 （2） ???t?2m??*??1*??22?取（1）之复共轭： ?i??????V???1 （3） ?t2m???2?（3）??1*?（2）,得

?*?2?1?2???2?2?1*??1*?2?2 ?i??t2m????对全空间积分：

d?2?3*??i??dr?1?r,t??2?r,t???d3r?2?2?1*??1*?2?2 ?dt2m???23****????dr??????????????????????2? 2112211?2m?????????2??d3r???2??1*??1*??2 ?2m??????2**??????????dS?0，（无穷远边界面上，?1,?2?0） 2112?2m??即

dd3r?1*r,.t?2r,t?0。 ?dt， 求??x,t?。

????2.4）设一维自由粒子的初态??x,0??e?p2?i?p0x?0t?/??2m???ip0x/?解： ??x,t??e

2.5 设一维自由粒子的初态??x,0????x?，求??x,t?。

2??提示：利用积分公式

????2cos?d??sin?d???2 ??????22????或 expi?d????????exp?i?4?。

??解：作Fourier变换： ??x,0??1ipx????pedp， ?2?????ipx???p??12?????????x,0?edx?12?????ipx??(x)edx??12??，

??5

?????x,t??1???p?ei?px?Et?/?2??dp （E?p22m） ??1???i??p2??t?px????2m??2??edp （指数配方）

??????1?it?mx22?t2??eimx2??exp???p??????2m??t???dp ??令 ?2?t?mx22m???p??t??，则

????x,t??1imx22?t2??2m??i?2?eted?????12m?2???teimx22?t??e?i?/4 ?m2??texp??i??mx2???????2?t4???????x,t?2?m2??t 。

2.6 设一维自由粒子的初态为??x,0?，证明在足够长时间后，

??x,t??m2?texp??i?4??exp??imx??mx??2?t???????t?? 式中 ??k????12????x,0?e?ikxdx是??x,0?的Fourier变换。 ??提示：利用 lim?ei?/4e?i?x2???????x?。 证：根据平面波的时间变化规律

eikx?ei?kx??t? ， ??E???k22m，

任意时刻的波函数为

??x,t??1?2????????k?ei?kx??tk2/2mdk

?1eimx2/2?t2??????dk??k??exp???t?mx?2???i?2m??k??t??? ??当时间足够长后（所谓t??） ，上式被积函数中的指数函数具有?函数的性质，取6

1）（

???t2m ， u??k?参照本题的解题提示，即得

??mx??， （2） ?t???x,t??12?eimx22?t2?m?i?/4mx?????e?k?k???dk ??t?t???????m?i?/4imx2/2?t?mx?ee??? （3） ?t??t?m?mx????? （4） ?t??t?2??x,t?2物理意义：在足够长时间后，各不同k值的分波已经互相分离，波群在x处的主要成分为k?mx?t，即

x??ktm，强度???k?，因子m?t描述整个波包的扩散，波包强度?222?1t。

2设整个波包中最强的动量成分为?k0，即k?k0时??k?最大，由（4）式可见，当t足够大以后，?的最大值出现在mx?t?k0处，即x??k0tm处，这表明波包中心处波群的主要成分为k0。

2.7 写出动量表象中的不含时Schr?dinger方程。

p2??V?r? 。 解：经典能量方程 E?2m在动量表象中，只要作变换p?p，r?i?所以在动量表象中，Schr?dinger为：

?d dp?p2?d???V?i?? ????p??E??p?。 ???dp???2m第三章一维定态问题

3.1）设粒子处在二维无限深势阱中，

0, 0?x?aV(x,y)?? ??, 其余区域?求粒子的能量本征值和本征波函数。如a?b ，能级的简并度如何？

解：能量的本征值和本征函数为

Enxny2?2?2nx?2ma2?ba2ny2

?nn?xy2absin?nxxsin?nyyb, nx,ny?1,2,?

7

若a?b，则 Enxny?2?222?(nx?ny) 22ma?nn?xy?nx?nyy2sinxsin aaa这时，若nx?ny，则能级不简并;若nx?ny，则能级一般是二度简并的（有偶然简并情况，如nx?10,ny?5'与nx?11,n'y?2）

3.2）设粒子限制在矩形匣子中运动，即

0, 0?x?a,0?y?b,0?z?cV(x,y,z)?? ? 其余区域??, 求粒子的能量本征值和本征波函数。如a?b?c，讨论能级的简并度。

解：能量本征值和本征波函数为

2?2?2nxE?(nxnynz2ma2?b?22ny2nz), 2c?nxx?nyy?nzz8??sinsinsin,nxnynzabcabc

nx,ny,nz?1,2,3,?当a?b?c时，

?2?2222E?(n?n?nyz) nxnynz2ma2x?nxx?nyy?nzy?2?2 ???sinsinsinnxnynz?aaaa??nx?ny?nz时，能级不简并；

nx,ny,nz三者中有二者相等，而第三者不等时，能级一般为三重简并的。 nx,ny,nz三者皆不相等时，能级一般为6度简并的。

3?52?62?82?32?42?102如 ?222222?10?12?16?6?8?20

3.3）设粒子处在一维无限深方势阱中，

(1,7,9)?(1,3,11)

(1,5,10)?(3,6,9)0, 0?x?aV(x,y)?? ??, x?0,x?a?证明处于定态?n(x)的粒子

8

aa262x?, (x-x)?(1?22)

212n?讨论n ? ?的情况，并于经典力学计算结果相比较。

证：设粒子处于第n个本征态，其本征函数

?n(x)?a2n?sinx. aa2x??x?ndx?02222a分部a2n?xsinxdx （1） ?0aa2a220(x?x)?x?x??x?na2dx?

42a212n?xa2??x?(1?cos)dx? a02a4a26?(1?22) （2） 12n?在经典情况下，在?0, a?区间粒子除与阱壁碰撞（设碰撞时间不计，且为弹性碰撞，即粒子碰撞后仅运动方向改变，但动能、速度不变）外，来回作匀速运动，因此粒子处于x?x?dx范围的几率为dx，故

ax??x?0adxa? ， （3） a2x??2a0dxa2x??，

a3222a2a2(x?x)?x?x?? （4）

342当n??时，量子力学的结果与经典力学结果一致。

3.4）设粒子处在一维无限深方势阱中，

?0, x?a2V(x,y)??

?, x?a2?处于基态(n?1)，求粒子的动量分布。

解：基态波函数为 ?1?2?xcos , （参P57，（12）） aa9

??(p)???12??1??2?a2aaee?ipx??2?xcosdxaa??a12?a2?ipx?1i?x?i?x?(ea?ea)dx22??a?2?a2ap?p?)?i(?)??i(?a??ea??dx?e?????p?a?p?a??p?a??p?a?i???i??i????i???????????1?11??a?2a?2a?2????e???e??????e??e?a??2?????a???2i????a?p?????????2i???p??a??????????1???a?1cospa1pa???p?2???pcos??2???a?a??????2?q?3?2?2?a2p2cospa2?布?(p)??(p)2?4?a?3??2?2?a2p2?2cos2pa2?

3.5）设粒子处于半壁高的势场中

??, x?0V(x)????V0,0?x?a ??0,x?a求粒子的能量本征值。求至少存在一条束缚能级的体积。 解：分区域写出s.eq:

?\1(x)?k'2?1(x)?0, 0?x?a?\(x)?k2?2(x)?0, x?a 2其中 k'2?2??2?V0?E?, k2??2?E?2 ''x方程的解为

?1(x)?Aeikx?Be?ik? 2(x)?Cekx?De?kx 根据对波函数的有限性要求，当x??时，?2(x)有限，则

C?0

当x?0时，?1(x)?0，则A?B?0 于是

?1(x)?Fsink'x, 0?x?a??kx2(x)?De , x?a 在x?a处，波函数及其一级导数连续，得

10

?????动量的几率分

（1） （2）

（3） （4）

（5）

Fsink'a?De?ka, k'Fcosk'a??kDe?ka （6）

k'上两方程相比，得 tgka?? （7）

k'即 tg?a???V0?E2??? （7’） V?E????02E??若令 ka??, ka?? （8） 则由（7）和（3），我们将得到两个方程：

' ( 9) ?????ctg? ?（10）式是以?????2?V0a2 (10) ??2?r?2?V0?2a为半径的圆。对于束缚态来说，?V0?E?0，

结合（3）、（8）式可知，?和?都大于零。（10）式表达的圆与曲线????ctg?在第一象限的交点可决定束缚

态能级。当r??2，即

2?V0a??2，亦即 ?2?V0a2??2?28 （11）

时，至少存在一个束缚态能级。这是对粒子质量，位阱深度和宽度的一个限制。

3—6）求不对称势阱中粒子的能量本征值。 解：仅讨论分立能级的情况，即0?E?V2，

d2?2m?V?E???? 2?dx当x???时，??0，故有

?A1ek1x,????Asin?kx???,?Ae?k2x,?2由

x?0,k1?2m?V1?E??????? 0?x?a,k?2mE?a?x,k2?2m?V2?E??dln?dx在x?0、

x?a处的连续条件，得

k1?kctg?, k2??kctg?ka??? （1）

由（1a）可得 sin???k2mV1 （2）

由于k1,k2,k皆为正值，故由（1b），知ka??为二，四象限的角。

11

因而 sin?ka??????k2mV2 （3）

又由（1），余切函数?ctg?的周期为?，故由(2)式，

??n1??sin?1?k2mV1 (4)

由(3)，得 ka???n??sin?1?k2mV2?k2mV2?sin?1 (5)

结合(4),(5)，得 ka?n2??sin?1?n1??sin?1?k2mV2?k2mV1

或 ka?n??sin?1?k2mV1 （6）

n?1,2,3,?

一般而言，给定一个n值，有一个解kn，相当于有一个能级：

2?2knEn? （7）

2m当V2?V1时，仅当

a2mV2???2?sin?1?V2 V1才有束缚态 ，故V1,V2给定时，仅当 a???V2??1??sin? （8） ?V1?2mV2?2?时才有束缚态（若V1?V2?V，则无论V和a的值如何，至少总有一个能级） 当V1,V2,a给定时，由(7)式可求出n个能级（若有n个能级的话）。相应的波函数为:

?k?knxAe ,n?2mV1???n??Ansin?knx??n? , ??k2nn?1??A?1e?k2n?x?a? ,?n2mV2??其中 An?x?0 ,k1n?2m?V1?E??0?x?a,x?a ,k2n?2m?V2?E??

2?a?1k1n?1k2n?

3—7）设粒子（能量E?0）从左入射，碰到下列势阱（图），求阱壁处的反射系数。

??V0,x?0,解：势阱为 V(x)??

0,x?0.?在区域Ⅰ上有入射波与反射波，在区域Ⅱ上仅有透射波。故

12

?1?Aeikx?Be?ikx,k1?2m?V0?E?? ikx?2?Ce,k2?2mE?112由?1(0)??2(0)，得 A?B?C。 由?1(0)??2(0)，得 k1?A?B??k2C。

''从上二式消去c, 得 ?k1?k2?A??k1?k2?B。

B2?k1?k2?反射系数 R?r?2? 2A?k1?k2?22将k1,k2代入运算，可得

R??VV02?E?E0?4?V0216E2,E??V0 ???1?4EV0,E??V0

3—8）利用Hermite多项式的递推关系（附录A3。式（11）），证明 谐振子波函数满足下列关系

?1?nn?1x?n(x)???n?1(x)??n?1(x)???22?x2?n(x)?12?2?n?n?1??n?2(x)??2n?1??n(x)??n?1??n?2??n?2(x)?

并由此证明，在?n态下， x?0, V?En2 证：谐振子波函数 ?n(x)?Ane??其中，归一化常数 An?22x2Hn(?x) （1）

???2?n!n, ? ? m?? （2）

Hn(?x)的递推关系为 Hn?1(?x)?2?xHn(?x)?2nHn?1(?x)?0. （3）

13

?x?n(x)?Ane?????12?x122x2?xHn(?x)?22221Ane??x2?2?xHn(?x)2?Ane??x2?Hn?1(?x)?2nHn?1(?x)??e??22?1?????2?n!?nx2?nHn?1(?x)?1?2????2?n!n?e??22x2?Hn?1(?x)???2n?1??n?1?!1?n??2x22?e?Hn?1(?x)2 ???????2n?1??n?1?!?n?1??2x22?e?Hn?1(?x)2?1?nn?1?(x)??(x)??n?1n?1??22??x2?n(x)??1?nn?1x?(x)?x?(x)??n?1n?1??22?

???1?nn?1?n?1n?2?n?n?1??2???n?2(x)??n(x)???(x)??(x)???nn?2222222?????????1?n?n?1??n?2(x)??2n?1??n(x)??n?1??n?2??n?2(x)22????1?nn?1x???x?ndx???(x)???n?1(x)??n?1(x)?dx?0

?22??????*n*n????1*V???n(x)?m?2x2??n(x)dx2??11* ???n(x)?m?2?2??2n?1??n(x)dx22?111?1??m?2?2??2n?1???n?????En222?2?2?

3—9）利用Hermite多项式的求导公式。证明（参A3.式（12））

???n?dn?1?n(x)????n?1??n?1?dx2?2?d??(x)?n2dx2'

22?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2? 证：A3.式（12）：Hn(?)?2nHn?1(?), dHn(?x)?2n?Hn?1(?x)

dx14

2222d?n(x)?An???2x2e??x2Hn(?x)?e??x2?2n?Hn?1(?x)dx???2x?n(x)?2n??n?1(x)????

?n?n?1?????n?1(x)??n?1(x)????2n?n?1(x)2?2??n?n?1????n?1(x)??n?1(x)?2?2????d2n?n?1?n?1n?2?n?n?1??(x)???????????????????nn?2nnn?22dx??2?22?2?222??2?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?p???*?d?*?nn?1?n???i?dx???ndx???i????n??????2n?1?2n?1?dx?0 ?p2?2d2T?2m???*??n?????2mdx2????ndx???222m??*?n?2?n?n?1??n?2??2n?1??n??n?1??n?2??n?2?dx ?2?2?E4m??2n?1???*?2m?1?1?n?ndx?4m????2n?1??2??n?2?????n2

3—10）谐振子处于?n态下，计算

?x??????122??122?x?x??，?p????p?p???，?x??p?? ??n1?解：由题3—6），x?0, x2?2Vm?2?E???nm?2??2?m? 由题3—7），p?0, p2?2mT?mE?1?n???n?2??m?? ?x????112??x?x?22????x2?x2?12????1??????n?2??m????1?p?2?2?1222???p?p????p?p2?1???????n?1??2??m????

?x??p???1??n?2???对于基态，n?0,?x??p??2，刚好是测不准关系所规定的下限。

15

???

3—11）荷电q的谐振子，受到外电场?的作用，

V(x)?求能量本征值和本征函数。

1m?2x2?q?x （1） 2p21?m?2x2?q?x?H0?q?x （2） 解： H?2m2H0的本征函数为 ?n?Ane?? 本征值 En??n??0?22x2Hn(?x)，

??1???? 2?现将H的本征值记为En，本症函数记为?n(x)。 式（1）的势能项可以写成 V(x)?122 m?2?x?x0??x02??2其中 x0?q?m? （3） '如作坐标平移，令 x?x?x0 （4）

由于 p??i?dd??i?'?p' （5） dxdxp'2112?m?2x,2?m?2x0 （6） H可表成 H?2m22（6）式中的H与（2）式中的H0相比较，易见H和H0的差别在于变量由x换成x，并添加了常数项

'?122???m?x0?，由此可知 ?2?1?0?2 （7） En?En??m?2x02?n(x)??n(x')??n(x?x0) （8）

即

1?1??q??En??n?????m?2??2?2?2??m?? （9）

221?q????n?????, n?0,1,2,?222m???2?n(x)?Ane其中 An?q?????2?x???m?2?22??q?Hn???x?m?2?????? (10) ?????2?n!n, ??m?? (11)

3—12）设粒子在下列势阱中运动，

16

?,x?0,?? V(x)??122m?x,x?0.??2求粒子能级。

解：既然粒子不能穿入x?0的区域，则对应的S.eq的本征函数必须在x?0处为零。另一方面，在x?0的区域，这些本征函数和谐振子的本征函数相同（因在这个区域，粒子的H和谐振子的H完全一样，粒子的波函数和谐振子的波函数满足同样的S.eq）。振子的具有n?2k?1的奇宇称波函数在x?0处为零，因而这些波函数是这一问题的解（n?2k的偶宇称波函数不满足边条件?(0)?0）所以

Ek??2k?32???, k?0,1,2,?

3—13）设粒子在下列势阱中运动，

V(x)????,x?0,??r??x?a?,x?0. ?r,a?0? 是否存在束缚定态？求存在束缚定态的条件。

解：S.eq: ??2d22mdx2??r??x?a???E? 对于束缚态（E?0），令 ???2mE? 则 d2dx2???2??2mr?2??x?a???0 积分

?a??a??dx,??0?,得?'跃变的条件

?'(a?)??'(a?)??2mr?2?(a) 在x?a处，方程(4)化为

d2dx2???2??0 边条件为 ?(0)?0, ?(?)?0?束缚态?

因此 ?(x)???sh?x,0?x?a,?Ae??x,x?a. 再根据x?a点?(x)连续条件及?'(x)跃变条件(5)，分别得

sh?a?Ae??a??(a) ??Ae??a??ch?a??2mr?2?(a) 由（8）（9）可得（以?a?(a)乘以（9）式，利用（8）式）

17

(1) (2) (3)

(4) (5) (6) (7)

(8)

(9) ?a??acoth?a?2mra (10) 2??此即确定能级的公式。下列分析至少存在一条束缚态能级的条件。

? 当势阱出现第一条能级时，E?0，所以?a?0,

利用 lim?acoth?a?lim?a?0?a?1,

?a?0th?a2mra? , ??a??acoth?a?1?02?2mra因此至少存在一条束缚态能级的条件为 ?1 （11）

?2（10）式化为

纯?势阱中存在唯一的束缚能级。当一侧存在无限高势垒时，由于排斥作用（表现为?(x)?0，对x?0）。束缚态存在与否是要受到影响的。纯?势阱的特征长度L??2mr 。

条件（11）可改写为 a?L2 （12）

即要求无限高势垒离开?势阱较远（a?L2）。才能保证?势阱中的束缚态能存在下去。显然，当a??（即

a??L2），?a??时，左侧无限高势垒的影响可以完全忽略，此时coth?a?1，式（10）给出

??mr2?2

?2?2mr2?即 E?? （13） 22m2?与势阱V(x)??r?(x)的结论完全相同。 令?a??， 则式（10）化为

2mra （14） ?22mra???1，所以只当2?1时，式（10）或（14）才有解。解出根?之后，利用由于??1?coth???1?coth??????a?a?2mE?，即可求出能级

?2?2E?? （15） 22ma第四章 力学量用算符表达与表象变换 4.1）设A与B为厄米算符，则

1?AB?BA?和1?AB?BA?也是厄米算符。由此证明，任何一个算符F均可分22i解为F?F??iF?，F?与F?均为厄米算符，且

F??11?F?F??, F??F?F?? 22i18

111?1?证：ⅰ）??AB?BA????B?A??A?B????BA?AB???AB?BA?

222?2?1? ?AB?BA?为厄米算符。

2?1?1?ⅱ）??AB?BA????B?A??A?B????1?BA?AB??1?AB?BA?

??2i??2i2i2i? 12i?AB?BA?也为厄米算符。

ⅲ）令F?AB，则F???AB???B?A??BA，

且定义 F1??2?F?F??, F?12i?F?F?? 由ⅰ），ⅱ）得F????F?, F??F?，即F?和F?皆为厄米算符。 则由（1）式，不难解得 F?F??iF?

4.2）设F(x,p)是x,p的整函数，证明

?p,F???i????xF, ?x,F??i??pF ?整函数是指F(x,p)可以展开成F(x,p)?Cmmnxpn。

m?,n?0证： （1）先证?p,xm???mi?xm?1, ?x,pn??ni?pn?1。

?p,xm??xm?1?p,x???p,xm?1?x??i?xm?1?xm?2?p,x?x??p,xm?2x2??2i?xm?1?xm?3?p,x?x2?p,xm?3?x3??3i?xm?1??p,xm?33????m?1?i?xm?1?????x?

p,xm??m?1??xm?1???m?1?i?xm?1?i?xm?1??mi?xm?1同理，

?x,pn??pn?1?x,p???x,pn?1?p?i?pn?1?pn?2?x,p?p?x,pn?2?p2?2i?pn?1???x,pn?2?p2??

?ni?pn?1现在，

19

1） （?p,F?????p,?Cmpn??mnx???Cmn?p,xm?pn?m,n?0?m,n?0?

?xm?1?pnmnm?C??mi?,n?0而 ?i??F???Cm?1?xmn??mi?x?pn。 m,n?0? ?p,F???i???xF ?x,F??????x,?Cmn?mnxp???Cmnxm?x,pn??又 m,n?0?m,n?0

?mmnx?ni?pn?1?m??C,n?0而 i??F??p??Cmmnx?ni?pn?1? m,n?0? ?x,F??i???pF

4.3）定义反对易式?A,B???AB?BA，证明

?AB,C??A?B,C????A,C??B?A,BC???A,B??C?B?A,C?

?证：

?AB,C??A?B,C???A,C?B?ABC?ACB?ACB?CAB?A?BC?CB???AC?CA?B?A?B,C????A,C??B?A,BC???A,B?C?B?A,C??ABC?BAC?BAC?BCA??AB?BA?C?B?AC?CA???A,B?C?B?A,C?

??

4.4）设A，B，C为矢量算符，A和B的标积和矢积定义为

A?B??A?B?, ?A?B???????A?B?

?????,?,??x,y,z，????为Levi-civita符号，试验证

A??B?C???A?B??C??????A?B?C? ????A??B?C???A??B?C???A?B?C? ??A?B??C???A??B?C??A??B?C? 20

1）2）3） （

（ （

证：

（1）式左端?A?B?C?AxByCz?ByCz?Ay?BzCx?BxCz??AzBxCy?ByCx

????????????A?B?C?

?（2）式左端??A??B?C?????（1）式右端也可以化成 A?B?C??????A?B?C?。 （1）式得证。 ??????A?B?C??A?B?C? （??1,??2,??3）

?????A??B?C??B?C???A??B?C??B?C???A?B?C??A?B?C???A?B??A?B??C?（2）式右

端?A??B?C???A?B?C?

?A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B?C??A?B

?C??A?B?C???A?B??A?B??C?故（2）式成立。

（3）式验证可仿（2）式。

4.5）设A与B为矢量算符，F为标量算符，证明

?F,A?B???F,A??B?A??F,B? ?F,A?B???F,A??B?A??F,B?

证：（1）式右端??FA?AF??B?A??FB?BF?

?FA?B?AF?B?A?FB?A?BF

?FA?B?A?BF??F,A?B??（1）式左端

（2）式右端 ??FA?AF??B?A??FB?BF? ?FA?B?AF?B?A?FB?A?BF

?FA?B?A?BF??F,A?B??（2）式左端

4.6）设F是由r，p构成的标量算符，证明

?L,F??i??F?p?p?i?r??F?r 证：?L,F???Lx,F?i??Ly,F?j??Lz,F?k 21

（1） （2）

（1）

（2）

?Lx,F???ypz?zpy,F??y?pz,F???y,F?pz?z?py,F???z,F?py(4.2题)??i?y?F?F?F?F?i?pz?i?z?i?py?z?y?y?pz

??F???F?F?F????i?pz?py??i??y?z??z? ??p??p?y??z?y???F???F?? ?i??p??i????r?? （3） ??p??r?x???x??F???F??同理可证，Ly,F?i??p??i????r?? （4） ?????p??y??r?y?L??F???Fz,F??i?????p???p??i????r?z??r??? z将式（3）、（4）、（5）代入式（2），于是（1）式得证。

4.7）证明 p?L?L?p?2i?p

i??p?L?L?p???L2,p? 。

证：?p?L?L?p?x?pyLz?pzLy?Lypz?Lzpy??py,Lz???Ly,pz?

利用基本对易式 ?L?,p????p?,L???i?????p? 即得 ?p?L?L?p?x?2i?px 。

因此 p?L?L?p?2i?p 其次，由于px和Lx对易，所以

?L2,p2x???L,p?yx???L2Z,px???Ly,px?Ly?Ly?Ly,px???Lz,px?Lz?Lz?Lz,px??i??p?zLy?Lypz?pyLz?Lzpy??i??p

?yLz?pzLy????Lypz?Lzpy???i?p?L?L?px因此，i??p?L?L?p???L2,p? 4.8）证明

L2?r2p2??r?p??i?r?p ?L?p?2??p?L?2???L?p???p?L??L2p2 ??p?L???L?p??L2p2?4?2p2 22

5） 1）

2） 3）

（ （ （ （?L?p???L?p???i?Lp （4）

2证: （1）利用公式 ，A??B?C???A?B??C，有

L2???p?r???r?p?????p?r??r??p??p?r?r???p?r?r?p??pr2??P??p?r??r?p?

其中 pr2?r2p?i???r2??r2p?2i?r

p?r?r?p?i????r??r?p?3i?

因此 L2?r2?p2??r?p?2?i?r?p

（2）利用公式， ?L?p??p?L??p?p??0 可得 ??L?p???p?L?????L?p??p??L

??L?p?p???L?p?p??L??Lp2?0??L?L2p2 ??L,P2??0? ?L?p?2??L?p???L?p??L??p??L?p??

?L??p2L??p?L?p??L2p2 ??L,P2??0? ?p?L?2??p?L???p?L????p?L??p??L

??Lp2?p?L?p???L?L2p2 由①②③，则（2）得证。

（3）??p?L???L?p?4.7 ) (1)?p?L???p?L?2i?p?

??p?L?2?2i??p?L??p4.7 ) (1)L2p2?2i??2i?p?L?p??p(?)

L2p2?4?2p2（4）就此式的一个分量加以证明，由4.4）（2），

?A??B?C????A??B?C???A?B?C?

??L?p???L?p??x??L?p???Lxp????L?p??L?px ，

其中Lxp?pLx?i??pzez?pyey?

（即?Lx,pxi?pyj?pzk??0?i?pzj?i?pyk）

??L?p???L?p??x??L?p??pLx?i??L??p????pzez?pyey????L?p??L?pz?i???L?p??p?x?i?L?p?p?L?p?p??x ???i?Lp2?x??i?Lxp2类似地。可以得到y分量和z分量的公式，故（4）题得证。

23

Δ） ① ② ③

（

4.9）定义径向动量算符 pr?1?11??r?p?p?r? 2?rr???1???， ??rr?证明：?a? pr?pr， ?b? pr??i????c? ?r,pr??i?，

?d? pr2??22??21?2??????????r， 2??r2r?r??r?rr??2?e? p2?122L?pr r2????证：?a? ? ?ABC??CBA，

???????1????11111?????? pr? ?r?p?p?r???p?r?????r?p?2?rr?2??r??r???? 1?11???p?r?r?p??pr2?rr?即pr为厄米算符。

??r????1?11?1??rr?b? pr??r?p?p?r?????p????p????i??????????2?rr?2?r?????r??r???ri??r?ri??11????p??????i???????r?r????r2?r2?rr??r?

?i??3r??i??31????i???r?3???i??????r2??r2?rr?r??r???1???i??????rr???c? ?r,pr???i??r,?1????????????i??r,???i??r?r???rr???r???r?r?

??????i??r?1?r??i??r???r2?d? pr2(b)2??1??11??1??22???????2? ??????2??r?r?rrr???rr???r2??21?1?11?2??2??????????????????r2r?rr?rr2r2???r2r?r?? ????2???21?2? rr2?r?r24

?e?据4.8）（1），L2?r2?p2??r?p?其中 r?p??i?r????i?r因而 L2?r2p2??2?r2?i?r?p。

?， ?r????? r???2r?r??r?r??2?2????rp???r?2r ??r2??r??222以r?2左乘上式各项，即得

2122??4.9)?d?1222????p?2L????L?pr 22??r?r?rr??r2

4.10)利用测不准关系估算谐振子的基态能量。

p122解：一维谐振子能量 Ex?x?m?x。

2m22?又x??????xe?22x??dx?0奇，??m??，px?0，

（由(3.8)、(3.9)题可知x?0,px?0）

? ?x?x?x?x，?px?px?px?px，

由测不准关系，?x?px??,得 px??22x。

1???122? Ex????m?x

2m?2x?2dEx?2?2??2? ??3??m?x?0，得 x2?dx8m?x?2m?E0x?2?2m??1??12?????m??????

8m???22m???211??，E0z???。 223??。 22同理有E0y??谐振子（三维）基态能量E0?E0x?E0y?E0z?

4.11) 利用测不准关系估算类氢原子中电子的基态能量。 解：类氢原子中有关电子的讨论与氢原子的讨论十分相似，只是把氢原子中有关公式中的核电荷数?e换成?ze（z为氢原子系数）而u理解为相应的约化质量。故玻尔轨迹半径 a0??2ue2，在类氢原子中变为a?a0

z。

25

类氢原子基态波函数?100?1?rae，仅是r的函数。 ?a3而??er2d1d1d?e??e?，故只考虑径向测不准关系?pr?r~?， 类氢原子径向能量为：drrd?rsin?d?prze2E??。 2urp2ze2?而H?，如果只考虑基态，它可写为 2urprze2?d1?H??，pr??i????

2urdrr??2pr与r共轭，于是?pr?r~?，?r~r，

prze2?2ze2 （1） E??~?22urr2mr2?E??2ze2求极值 0? ??3?rmrr由此得r??得

基态能量，E~?mze242mze2?a0z?a（a0：玻尔半径；a：类氢原子中的电子基态“轨迹”半径）。代入（1）式，

2?2??ze22a

1~1，作为估算是允许的。

rr运算中做了一些不严格的代换，如

4.12)证明在分立的能量本征态下动量平均值为0。 证：设定态波函数的空间部分为?，则有H??E? 为求p的平均值，我们注意到坐标算符xi与H的对易关系：

???xi,H???xi,?pjpj2u?Vx??i?piu。

j??这里已用到最基本的对易关系xi,pj?i??ij，由此

????26

pi??pi????u??xi,H??i?u ?xiH???Hxi?i?u??xiE???Exi??0i?????这里用到了H的厄米性。

????? 这一结果可作一般结果推广。如果厄米算符C可以表示为两个厄米算符A和B的对易子C?i?A,B?，则在A??????或B的本征态中，C的平均值必为0。

4.13）证明在的本征态下，Lx?Ly?0。 （提示：利用LyLz?LzLy?i?Lx，求平均。） 证：设?是Lz的本征态，本征值为m?，即Lz????m??

? Ly,Lz?LyLz?LzLy?i?Lx， ?Lz,Lx??LzLx?LxLz?i?Ly，

??? Lx?1?LyLz???LzLy?i?1??LyLz???LzLy? i?1?m??Ly??m??Ly??0i???????同理有：Ly?0。

4.14) 设粒子处于Ylm??,??状态下，求??Lx?和?Ly2??2

解：记本征态Ylm为lm，满足本征方程

L2lm?l?l?1??2lm，Lzlm?m?lm，lmLz?m?lm，

利用基本对易式 L?L?i?L，

可得算符关系 i?Lx?i?LxLx?LyLz?LzLyLx?Ly?LzLx??LzLyLx

2?? ?LyLxLz?i?Ly?LzLyLx?i?Ly?LyLxLz?LzLyLx

将上式在lm态下求平均，因Lz作用于lm或lm后均变成本征值m?，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，

??227

因此 Lx2?Ly22

2又? Lx?Ly?L?Lz222?l?l?1??m2?2

??? Lx2?Ly?1l?l?1??m2?2 2??上题已证 Lx?Ly?0。

? ??Lx??Lx?Lx2??2?Lx?Lx?Lx?2221l?l?1??m2?2 2??同理 ?Ly

??2?1l?l?1??m2?2。 2??4.15)设体系处于??C1Y11?C2Y20状态（已归一化，即C1（a）Lz的可能测值及平均值; （b）L的可能测值及相应的几率； （c）Lx的可能测值及相应的几率。

22解：? LY11?2?Y11， LY20?6?Y20；

2?C22，求 ?1）

222 LzY11??Y11， LzY20?0?Y20。

（a）由于?已归一化，故Lz的可能测值为?，0，相应的几率为C1，C2。平均值Lz?C1?。 （b）L的可能测值为2?，6?2，相应的几率为C1，C2。

（c）若C1，C2不为0，则Lx（及Ly）的可能测值为：2?，?，0，??，?2?。

2222222?010????21011）Lx在l?1的空间，?L,Lz?对角化的表象中的矩阵是?? 2???010??010??a??a???????1求本征矢并令??1，则?101??b????b?，

2?????c??010??c???得，b?2?a，a?c?2?b，b?2?c。??0,?1。

?a??1???1??ⅰ）取??0，得b?0, c??a，本征矢为?0?，归一化后可得本征矢为?0?。

2????a?????1?28

?a??1???1??ⅱ）取??1，得b?2a?2c，本征矢为?2a?，归一化后可得本征矢为?2?。

2???a????1??1??1?ⅲ）取???1，得b??2a??2c，归一化后可得本征矢为??2?。

2???1??1??1?2??1??C1C1在C1Y11?C1?0?态下， Lx取0的振幅为C1?100?，Lx取0的几率为；Lx取??0??222???0???1????1?21??C1C1的振幅为C1?100??2??，相应的几率为；

242???1??1?2?C1?2CLx取??的振幅为C1?100???2??1，相应的几率为1。总几率为C1。

242???1?2）Lx在l?2的空间，L,Lz对角化表象中的矩阵 利用 jm?1jxjm??2?121jm?1jxjm?2?j?m??j?m?1? ?j?m??j?m?1?

3，20jx2?1?23，2?1jx2?2?1。 2? 22jx21?1，21jx20??0??1?Lx??0??0??010300203030200322010??0??0??1??0?，本征方程?0??1??0??0??010300203030200322010??a???a?????0?b?b????0??c????c?

????d??d?1????e???e?????0?b??a，a?33?b?d???c，3c?e??d，d??e，??0,?1,?2。 c??b，

222?1??0??????0??0?333?2?ⅰ）??0，。在C2Y20?C2?1?态下，测得Lx?0b?0，a??c，d?0，e??c本征矢为?????228?3??0??0??0??1?????29

的振幅为C2?00100????3???8????1??0?2C22?C2。几率为； ???423?0?1???1????1?1ⅱ）??1，b?a，c?0，d??b，d?e，本征矢为?0?。在C2Y20态下，测得Lx??的振幅为

2????1???1????1????1?1C2?00100??0??0，几率为0。

2????1???1?????1?????1?1ⅲ）???1，b??a，c?0，d??b，e??d，本征矢为?0?，在C2Y20态下，测得Lx???几率为0。

??2?1??1??????c1??a，本征矢为ⅳ）??2，b?2a，c?6a，d?2e?2a，e?4?6??????1?的振幅为C2?00100?4????1??2?632C2。几率为C2； 6???842?1??1??2?6?，在C2Y20态下，测得Lx?2??2?1???1?????2?1ⅴ）???2，b??2a，c?6a，d??2a，e?a，本征矢为?6?，在C2Y20态下，测得Lx??2?的

4????2??1???几率为

32C2。 8?331?? ????C2?884?2?C2。

230

在??C1Y11?C2Y20态中，测Lx（和Ly）的可能值及几率分别为：

3C28

2?21C14?2112C1?C224021C14??2?2?32 C284.16）设属于能级E有三个简并态?1，?2和?3，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。 解：

?1?a?1?1??1,?1??1

1'2?2'??2???1,?2??1，?2???,?2'??2'，

13,?3''?3'??3???1,?3??1???2,?3??2，?3??1,?2,?3是归一化的。

????3'。

??1,?2????1,?3????2,?3??

????1'2,?2''??????1,?2????1,?2???1,?1???0，

1'3,?3???1,?3????1,?3???1,?1????2,?3???1,?2???0， ???2,?3????1,?3???2,?1????2,?3???2,?2???0。

??1'3,?3'?它们是正交归一的，但仍然是简并的（可验证：它们仍对应于同一能级）。

4.17）设有矩阵A,B,C,S等，证明

det?AB??det?A??det?B?，det?S?1AS??detA，

Tr?AB??Tr?BA?，Tr?S?1AS??TrA，Tr?ABC??Tr?BCA??Tr?CAB?，

代表矩阵的对角元素之和。 detA表示矩阵相应的行列式得值，证：（1）由定义detA??P?i1?in?a1i1a2i2?anin，

i1?in?1当?i1?in?是?1?n?的偶置换?P?i1?in????1当?i1?in?是?1?n?的奇置换

?0其他情形 ?

故上式可写成：detA?i1?in?P?i?i?P?j?j?a1n1nj1i1aj2i2?ajnin，

31

其中?j1?jn?是?1?n?的任意一个置换。

? detC?det?AB???1i1?inn?P?i?i?C1nj1?jn1j11i1C2i2?Cnin

i1?in?P?i?i??abj1i1a2j2bj2i2?anjnbjnin

?????aa?aPi?ibb?b?1j12j2njn??1nj1i1j2i2jnin?

j1?jn?i1?in?????P?j1?jn?a1j1a2j2?anjn??P?i1?in?P?j1?jn?bj1i1bj2i2?bjnin? j1?jn?i1?in??detA?detB

?1?1?1（2）detSAS?detS?detA?detS?detS?detS?detA

???detS?1S?detA?detA

（3）Tr?AB?????aikikbki??bkiaik?Tr?BA?

ik?1?1?1?TrASS?1?TrA （4）TrSAS?TrS?AS??Tr?AS?S????????（5）Tr?ABC???abijijkjkcki??bjkckiaij?Tr?BCA???ckiaijbjk?Tr?CAB?

ijkijk 第五章 力学量随时间的变化与对称性

5.1）设力学量A不显含t，H为本体系的Hamilton量，证明

d2??A???A,H?,H?

dt22证.若力学量A不显含t，则有令?A,H??C

dA1??A,H?, dti?d2A1dC11???C,H?, ??C,H??则

i?dti?dt2?2d2? ??A???A,H?,H? 2dt2

5.2）设力学量A不显含t，证明束缚定态，证：束缚定态为:：?nr,t??nrenndA?0 dt??。

?在束缚定态??r,t?，有H??r,t??i???r,t??E??r,t?。

?t?其复共轭为H??r,t???i???r?e?E??r,t?。

?t?iEnt?nnn***nniEnt?*nn??32

??dA?dA?d??????n,?n????n,A?n????n,A?n????n,A?n??

dt?dt?????dt?dA?11?????H?n,A?n????n,AH?n? dt?i?i?????A111??A,H????n,HA?n????n,AH?n? ?ti?i?i?1?A,H??1??n,?AH?HA??n??1?A,H???H,A??0。 i?i?i???????exp??iaPx??表示沿x方向平移距离a算符.证明下列形式波函数（Bloch波函数）?x???

??5.3）Dx?a??exp??a??x??eikx?k?x?,?k?x?a???k?x?

是Dx?a?的本征态，相应的本征值为e?ika

??x????x?a??e证：Dx?a?ik?x?a??k?x?a?

?eika?eikx?k?x??eika??x?,证毕。

5.4）设m表示Lz的本征态（本征值为m?），证明

e?ikLz??e?ikLy??m

是角动量L沿空间??,??方向的分量Ln

Lxsin?cos??Lysin?csin??Lzcos??Ln?L?n

的本征态。 证：算符e?ikLy??相当于将体系绕y轴转?角，算符e?ikLz??相当于将体系绕z轴转?角，m原为Lz的本征态，

'本征值为m?，经过两次转动，固定于体系的坐标系（即随体系一起转动的坐标系）的z轴（开始时和实验室z轴重合）已转到实验室坐标系的??,??方向，即n方向，Ylm?m变成了?，即变成了Ln的本征态。本征值是状态的物理属性，不受坐标变换的影响，故仍为m?。（还有解法二，参 钱. .《剖析》. P327）

P2?Vr。证明下列求和规则 5.5）设Hamilton量H?2u2??E?Ex?nmnm??n2??2u 。

x是r的一个分量， ?是对一切定态求和，En是相应于n态的能量本征值，Hn?Enn。

n33

证： ?x,H??11i?2x,px??2i?px?px （?） 2u2uu??A?2??E?Ex?nmnmn??mxnn?En?Em?mn??mxnnHxm?nxHmn?????mxnn?x,H?m??n(?)1i?2mxnnx,Pm??mxnnPxm ??x2unun????i??mxPxn un又A??m?Enn?Em?nnxm??nm?x,H?nnxm??(?)i?mxPxn ?un?i??2i?i??i??， ? 2A??m?Pxx?xPx?m???m?x,Px?m?ununuu? A???En?Em?xnmn2??22u。

不难得出，对于Y,Z分量，亦有同样的结论，证毕。

5.6）设Fr,p为厄米算符，证明能量表象中求和规则为

??n??En?Ek?Fnk2?1k?F,?H,F??k （1） 2证：式（1）左端?A?令??Enn?Ek?kFnnFk??kFnn?HF?FH?k

n?k?F,?H,F??k （2）

计算中用到了公式

?nnn?1。

由于H,F是厄米算符，有下列算符关系：

??H,F???HF?FH??F?H??H?F??FH?HF???H,F? （3）

??式（2）取共轭

???，得到

?A?A?k?F,?H,F??k结合式（2）和（4），得

???k?H,F?F?k(3)??k?H,F?Fk （4）

A???En?Ek?Fnkn2?1k?F,?H,F??k 2证毕。

5.7）证明schr?dinger方程变换在Galileo变换下的不变性，即设惯性参照系K的速度?相对于惯性参照系K运

'34

动（沿x轴方向），空间任何一点 两个参照系中的坐标满足下列关系：

x?x'?vt,y?y',z?z',t?t'。 （1）

势能在两个参照系中的表示式有下列关系

V'x',t'?V'x'??t,t?V?x,t? （2）

???'??'??2?2'?'???V? 证明schr?dinger方程在K参照系中表为 i????2???t?2m?x'?

??2?2?????V 在K参照系中表为 i????2??? ?t2m?x????m?m?2其中 ??exp?i???x?2?????'t?????x??t,t? ??'证：由波函数的统计解释，?和?的意义完全相同。

??x,t??w?x,t?， 是t时刻在x点找到粒子的几率密度；

2??x,t'''?2?w'x',t'，是t'时刻在x'点找到粒子的几率密度。

??但是在给定时刻，给定地点发现粒子的几率应与参照系的选择无关，所以相应的几率应相等，即

w?x,t??w'x',t' （6）

从（1）式有 w?x??t,t??w?x,t? （6’）

'??由此可以得出， ?和?两个波函数彼此只应差绝对值为1的相因子，所以

'??x,t??eiS?'?x',t'??eiS?x,t??'?x??t,t? （7） ?'?x??t,t??e?iS?x,t???x,t? （7） ?2?2?????由（1）式， , ??v?, ?2 ''2'?x?x?t?x?t?x?x?2?2'''''''''?x,t?Vx,t?x,t （3）式变为：?22m?x???????'''?'''?i???x,t?i??x,t?x?t???? （8）

?i????t将（7’）代入（8）式，可得

2?2?2??2?2S?2??S??S?S????S??????i???????V?x,t??i??????????22m?x2m?x?x2m2m?x?x?t??t???????

（9）

35

选择适当的S?x,t?，使得（9）?（4），

??S???0 。 （10） m?x?2?2S?2??S??S?Si?2????0 （10’） ?????2m?x2m??x??x?t从（10）可得 S?2m?x?f?t? 。 （11） ?f?t?是?的任意函数，将（11）代入（10’），可得

?fm?2?? ?t2?m?2t?C 。 积分，得 f?t???2?C为积分常数，但??0时，K'系和K系重合，?'应等于?，即S应等于0，故应取C?0，从而得到

m?m?2S?x?t （12）

?2?代入（7’）式，最后得到波函数的变换规律：

?'??exp??m?x?m?2t?? （13）

逆变换为 ???'eiS??'exp??m?x'??1??i??12?????i????1??m?2t'?? （13’） 2??相当于式（13）中的????，带的量和不带的量互换。 “，”“，”讨论：S?x,t?的函数形式也可用下法求出：

因S?x,t?和势能V无关，所以只需要比较平面波（自由粒子）在K和K系中的表现形式，即可确定S?x,t?.

'沿x方向运动的自由粒子，在伽利略变换下，动量、能量的变换关系为

P'?P?m?

P'P211E????P?m?2?E??P?m?2 （14）

2m2m22'2据此，K系和K系中相应的平面波波函数为

'??ei?Px?Et??， ??e'iP'x'?E't'??? （15）

（1）、（14）代入（15），即得

?'??exp??m?x?m?2t??

?1??i??12????36

此即（13）式，由于这个变换关系仅取决于K和K'系的相对速度?，而与粒子的动量P无关，所以上式适用于任何自由粒子。它正是所求的变换关系。

第六章 中心力场

6.1) 利用6.1.3节中式（17）、（18），证明下列关系式

?1????相对动量 p??r??m2p?mp112? （1）

M?????总动量 P?MR?p1?p2 （2）

总轨迹角动量L?L1?L2?r1?p1?r2?p2?R?P?r?p （3）

?????????????p2?2?22总动能 T12m?p2?P2M?p2? 12m2反之，有 r??????1?R?mr?, r?2?R?mr 12 p?1?mP?p，p2??2mP?p 1以上各式中，M?m1?m2, ??m1m2?m1?m2?

证： R?m1r1?m2r2m ， （17） r?r1?r2， （18）

1?m2相对动量 ?p??r???m1m2???m?r?r?1??m?12???m2p11p2? 1?m2????M ??总动量 P???MR???mmr?m2r2??1?m2?11m?p1?p2 1?m2总轨迹角动量 L??L?L?????1?2?r1?p1?r2?p2

(?5)????R?umr???p???R?ur??1??1??m2???p2 ?R??p1?p2??r?1M?m2p1?m1p2? (1?)(2)R?P?r?p

由（17）、(18)可解出r??1,r2，即（5）式；由（1’）（2’）可解出（6）。

2??????????22?2?6???mP?p????P?p???总动能T?p1?p2?2??2m2m???m1

122m12m237

（4） （5） 6）

1’） 2’）

（（ （?u222m1m2P?2puP?pupuP?p??P?? 2m1m1m22m12m22m2m1m22222?m12?m1?m2?2P?2m22?m1?m2?212?11?? P?p???2?m1m2??2?2P2p （4’） ??2M2?［从（17），(18)式可解出（5）式；从（1），(2)式可解出（6）式］.

6.2) 同上题，求坐标表象中p、P和L的算术表示式

p??i???i???????rP?R，L?R?P?r?p

解： p?1M?mp??i?21?m1p2?M?m2?r1?m1?r2? 其中 ?r1?i??x?j??k?， 1?y1?z1而

?m??x??X???x??1??， 1?x1?X?x1?xM?X?x同理，

??y?m1?????m1???； 1M?Y?y?z1M?Z?z（利用上题（17）（18）式。）

? ?m1r1?M?；仿此可设 ?mR??rr2?1M?R??r 代入（1）中，得 p??i??M?m1m2?M?m1m2?R?m2?r?M?R?m1?r?? ??i??r P???p?????(2)1?p2??i??r1r2??i??R L??R??P??r???p

只要将（3）、（4）式中的p、P以相应的算符代入即可。

6.3）利用氢原子能级公式，讨论下列体系的能谱： （a）电子偶素（positronium，指e??e?束缚体系） （b）u原子（muonic atom）

（c）u子偶素（muonium，指u??u?束缚体系）

38

1） 2） 3）

4）

（ （（ （解：由氢原子光谱理论，能级表达式为：

ue4E1mempn??2?2n2, u?m。

e?mp（a）电子偶素能级 Eue41n??4?2n2，（u?mememm?me）

e?e2（b）u原子能级 Euue41mumpn??2?2n2，（uu?m）

u?mpc）u子偶素能级Em4（ue1mumun??4?2n2，（u?m?mu）

u?mu2

6.4）对于氢原子基态，计算?x??p。

解： * 在求坐标系中，空间反演：r??r（r?r,?????,?????）。 1氢原子基态波函数为 ????1?2100???ra0 ??a30?e?宇称为偶。由于均为奇宇称算符，所以 x?0, px?0 由于?100各向同性，呈球对称分布，显然有

x2?y2?z2?1r23 p22212x?py?pz?3p容易算出 r2??r2??210?0d???r???1????a3?e?2ra0r?sin?drd?d??3a20 0??p2???2??2100??100d????2??????100??100????100???100?d?

2??2???22100d?????????r???2100??rsin?drd?d???2a0 因此 x2?a220， ?x?x2?x?a0 p2?2?p22x?3a2，?pxx?px??03a 0?x??px??3 测不准关系的普遍结论是 ?x??px??2 39

1）2）3）4）5）6）7）8）9） （ （ （ （ （

（ （

（

（

显然式（8）和（9）式是不矛盾的。而且?3很接近式（9）规定的下限?2。

6.5）对于氢原子基态，求电子处于经典禁区?r?2a?（即E?V?0）的几率。 1解：氢原子基态波函数为 ????1?2?ra2100??a3??e，a??ue2，

Eue4e2相应的能量1??2?2??2a T?r??Ee2e2动能 1?V??2a?r T?E?V?0是经典不允许区。由上式解出为r?2a。

因此，电子处于经典不允许区的几率为

1??2?p??a3e?2rar2drsin?d?d?（令??2ra）

2??a0?03??4?a???a3??2???e?2d??13e?4?0.2381

4

6.6）对于类氢原子（核电荷Ze）的“圆轨迹”（指nr?0,l?n?1的轨迹），计算（a）最可几半径； （b）平均半径； （c）涨落?r??r2?r2?12

解：类氢原子中电子波函数?nlm可以表示为

?nlm?Rnl?r?Y1rlm??,???runrl?r?Ylm??,?? （a） 最可几半径由径向几率分布的极值条件 ddrunrl?r??0 决定。l?n?1时，nr?0。

u0,n?1?r??Crne?Zrna

代入（2）式，容易求得 r2几?na0Z 这结果和玻尔量子论中圆轨迹的半径公式一致。 （b）在?nlm态下，各r?之间有递推关系（Kramers公式）

??1???2r?1?aZr?2?1??4??2l?1?2??2?a??2n2rZ2r?0 （参 钱伯初、曾谨言《量子力学习题精选与剖析》P197）

40

1）

2） （4）(5) （ （

在（5）式中令??0，注意到r0?1。可设

1r依次再取??1,2，得到

?nlmZ (6) n2arnlm1Z?3n2?l?l?1?2a??(l?n?1)n?Z???n2?? （7）

2?a?2(l?n?1)（c）r2nlmn2?Z??1?5n2?3l?l?1???2?a????1???Z?n?n???n?1??? （8）

2???a?22因此，r的涨落

?r?r?2?r212??n3n2?a???2?4??Z （9） ??12n?1 （10）

?r?rn2n2?n?2可见，n越大，?rr越小，量子力学的结果和玻尔量子轨迹的图像越加接近。

6.7）设电荷为Ze的原子核突然发生?衰变，核电荷变成?Z?1?e，求衰变前原子Z中一个K电子（1s轨迹上

?的电子）在衰变后仍然保持在新的原子?Z?1?的K轨迹的几率。

解：由于原子核的?衰变是突然发生的。可以认为核外的电子状态还来不及变化。对于原来的K电子，其波函

??Z?2?Zra数仍未 ?100?Z,r???3?e （1）

??a?1??Z?1??2??Z?1?ra而新原子中K电子的波函数应为 ?100?Z?1,r??? （2） ?e3??a?31将?100?Z,r?按新原子的能量本征态作线形展开：

?100?Z,r???Cnlm?nlm?Z,r? （3）

nlm则衰变前的1s电子在衰变后处于新原子的?nlm?Z?1,r?态的几率为

pnlm?Cnlm2??nlm?Z?1??100?Z? （4）

2Z3?Z?1?2??2Z?1?ra2???4?erdr 26?a32因此，本题所求的几率为

p100??100?Z?1??100?Z?241

?Z3?Z?1?1???Z??2??361??1????1???1?? （5）

Z2Z????3?6展开时保留到第三项

当Z??1，上式可近似取成 p100?1?例如， Z?10, p100?0.9932；

3 （5’） 4Z2Z?30, p100?0.9992。

6.8）设碱金属原子中的价电子所受电子实（原子核+满壳电子）的作用近似表为

e2e2aV?r?????2（0????1） （1）

rra为Bohr半径，求价电子的能级。

121?1??8??'''提示：令l?l?1??2??l?l?1?，解出l????l???1? 2?2?2???2l?1??解：取守恒量完全集为H,L,Lz，其共同本征函数为

?2???r,?,???R?r?Ylm??,???u?r?满足径向方程

u?r?Ylm??,?? （2）

r?2\??2e2e2a??u??l?l?1????2?u?Eu （3） 22ur2urr??令 l?l?1??2??ll?1 （4）

''???2\?''?2e2?u??l?l?1???u?Eu （3’） 式（3）就可以化为 ?22ur?2ur?相当于氢原子径向方程中l换成l。所以式（3’）的求解过程完全类似于氢原子问题。后者能级为

'e2En??2， n?nr?l?1， nr?0,1,2,? （5）

2na将l换成l，即得价电子的能级：

'Enl??e22n'a2，n?nr?l?1 （6）

'''通常令 l?l??l （7）

n'?nr?l??l?1?n??l （8）

42

?l称为量子数l和n的“修正数”。由于???1，可以对式（4）作如下近似处理：

l?l?1??2??l'l'?1??l??l??l??l?1??l?l?1???2l?1??l???l?

2??略去??l?，即得 ?l????l?2??1?? （9） 2?由于???1，? ?l??1，因此，本题所得能级Enl和氢原子能级仅有较小的差别，但是能级的“l简并”已经消除。式（6）和碱金属光谱的实验资料大体一致，尤其是，修正数 ?l随l之升高而减小，这一点和实验符合的极好。

式（4）的精确解为 l??'1?1??8????l???1?? （10） 2?2???2l?1?2?212若对上式作二项式展开，保留?项，略去?以上各项，即可得到式（9）。

6.9）在二维谐振子势V?x,y??11Kxx2?Kyy2中的粒子，求解其能量本正值。对于二维各向同性22（Kx?Ky?K）的谐振子，求能级的简并度。（参 书卷ⅠP302-303） 解：

第七章 粒子在电磁场中的运动

7.1）设带电粒子在互相垂直的均匀电场?和均匀磁场B中运动，求能级本征值和本征。 （参《导论》P225）

解：以电场方向为x轴，磁场方向为z轴，则

????,0,0?， B??0,0,B? （1）

去电磁场的标势和矢势为

????x， A??0,Bx,0? （2）

满足关系

?????， B???A

2?1?2?qB?2x??pz??q?x （3） 粒子的Hamiton量为 H??px??py?2u?C?????取守恒量完全集为H,py,pz，它们的共同本征函数可写成

????x,y,z????x?eipyy?pzz??? （4）

其中Py和Pz为本征值，可取任意函数。

??x,y,z?满足能量本证方程： H??x,y,z??E??x,y,z?

43

因此??x?满足方程

2?1?2?qB?2x??pz???x??q?x??x??E??x? （5） ?px??py?2u?C?????亦即，对于??x?来说，H和F式等价：

?2?2q2B22?qB?122H???x?q??px?p?p ??yyz222u?xuC2u2uC?????2?2q2B2q2B221222?????x?x?x?p?p （6） 00yz2222u?x2u2uC2uC??uC2其中 x0?22qBqB?uC?C?py???? （7） q??py??????uC?qB?Bu??式（6）相当于一维谐振子能量算符

qB?2?2122????u?x?x, ?? 022u?x2uC再加上两项函数，因此本题能级为

1?q2B2212?2E??n?????x?p?p 0yz22?2u2uC???1??BqC2?2uC?12???n????p?pz （8） y22?uCB2u2B?其中Py和Pz为任意实数， n?0,1,2,?

式（4）中 为以??x?为?x?x0?变量的一维谐振子能量本征函数，即

??x???n?x?x0??Hn???e??Hn???为厄密多项式，??22 （9）

qBu??x?x0???x?x0? 。 ??C?1227.2）设带电粒子在均匀磁场B和各向同性谐振子势V?r????r中运动，求能量本征值。

2

第八章 自旋

8.1) 在?z表象中，求?x的本征态。

解：在?z表象中，?x的矩阵表示为：?x???1?设?x的本征矢（在?z表象中）为?????，则有??01?? 0???01??a??a?????? ????????10??b??b??a??b?44

可得b??a及a??b ???1,???1 。

2??1, 则a?b; ???1, 则a??b

利用归一化条件，可求出?x的两个本征态为

??1,

1?1?1?1???? ???1,;?1???1?? 。 2??2???8.2) 在?z表象中，求??n的本征态，n?sin?cos?, sin?sin?, cos?? 是??,??方向的单位矢. 解：在?z表象中，?的矩阵表示为

?01??0?i??10???x???????， ， ??yz?10??i0??0?1?? （1）

??????因此，

?n???n??xnx??yny??znz

?nz???n?iny?xnx?iny??cos????i???nz???sin?esin?e?i??? （2）

?cos???设?n的本征函数表示为????b??，本征值为?，则本征方程为

???a??cos???sin?e?i???a??????n?????0，即 ??0 （3） ??sin?ei??cos????????b?由（3）式的系数行列式?0，可解得???1。

对于??1，代回（3）式，可得

?nx?iny1?nxasin?e?i?cos2?i? ??e???b1?cos?n?in1?nsinxyx2归一化本征函数用??,??表示，通常取为

?i???cos????cos2e2??2或?1??,???i??sin?ei???2??2???sin2e??? （4） ??后者形式上更加对称，它和前者相差因子e?i?2，并无实质差别。若用n的直角坐标分量来表示，可以取为

??1n????1?nz??nx?iny?1??或??1?n?? （4’） ??n?in2?1?nz??x2?1?nz??y?z?1??如nz??1，二者等价（仅有相因子的差别）。若n??0,0,1?，应取前者；若n??0,0,?1?，应取后者。

对于???1,类似地可以求得

45

sin?a1?cos??i?2e?i???1?nx??nx?iny ??e??bsin?nx?iny1?nxcos?2?i?2??sin???sine?2?或2??1??,?????i?i???cos?e??2?2????cos2e??? （5） ??或 ??1n??????1?nz???nx?iny?1?? （5’） ????1?n???或?2?1?nz??2?1?nz??nx?iny?z??1?0??1???若n??0,0,1?，取??1???1??; 若n??0,0,?1?，取??1???0??。

????

8.3) 在sz本征态?1?sz??????下，求??sx?和?sy22?1??0?2??2。

解：??sx??sx?sx2??2?sx?sx

2但 sx??22， 4（常数矩阵）

sx?01??1???????10???0， ????2?10??0?2? ??sx???24，类似有?sy

??2??24。

8.4) （a）在sz本征态?1下，求??n的可能测值及相应的几率。（b）同第2题，若电子处

2于??n??1的自旋态下，求?的各分量的可能测值及相应的几率以及?的平均值。

?解：（a）利用8.2）题求得?n的本征函数，容易求出：在自旋态?1??中，?n?1的几率为 ??2?0?2?1? ?1?12?cos2?2?1?1?nz? （1） 2?n??1的几率为

2 ??1?122?sin?2?1?1?nz? （2） 2（b）在自旋态?1??n?1?态，?z?1的几率为

2?1?12?cos2?2?1?1?nz? （3） 246

2?z??1的几率为： ??1??122?sin?2?1?1?nz? （4） 2?z?[或

1?1?nz??1?1?1?nz????1??nz 222222??2?2?s?1?sin???1??co2s?sin?co?s?nz （5’）] ?z?co2考虑到 ?n??xnx??yny??znz，

??各分量以及n各分量在?n的构造中地位对称，所以利用式（3）、（4）、（5），作x,y,z轮换，就可推论出以下

各点：

?x??1的几率为

1?1?nx?， （6） 2?x?nx （7）

1?1?ny? （8） 2?y??1的几率为

?y?ny （9）

将式（5）、（7）、（9）合并写成矢量形式如下：

自旋态?1??n?1?中， ??n （10） 类似地，容易算出：自旋态??1??n??1?中， ???n （11）

解二：（a）在?z?1自旋态?1中，?n的可能测值为本征值?1;设相应的几率为w?及w?，则

2?n?w??1?w????1??w??w? （12）

由于 ?n??xnx??yny??znz （13）

考虑到在?z的本征态中?x和?y的平均值为0，?z的平均值即为其本征值，因此在?1态下，

2?n??znz?1?nz?nz?cos? （14）

由式（12）、（14），并利用w??w??1，就可求出

w??1?1?nz?， w??1?1?nz? （15） 22此即解一中的式（1）、（2）。

???（b）在式（14）中，?是z轴和n的夹角。 z轴和n的选取是任意的。完全可以将原来的z轴作为新的n轴，而原来的n取作新的z轴。由此可知：在?n?1的自旋态中，?z的平均值仍为cos?，即nz。再令x,y,z轮换，即得自旋态?1??n?1?中，??n （10）

在?1态下?各分量的取值大部分当然均为?1，其几率也可估照（a）中计算而写出，即

?47

1?1?nx? （6） 21?y??1的几率为?1?ny? （8）

21?z??1的几率为?1?nz? （3，4）

2?x??1的几率为

8.5) 证明e

8.7）由两个非全同粒子（自旋均为?）组成的体系，设粒子间相互作用表为H?As1?s2 （不考虑轨迹运动）。

i??z?xe?i???cos2???x?sin2???y（?为常数）[量Ⅱ]

z2设初始时刻（t?0）粒子1自旋“向上”?s1z?12?，粒子2自旋“向下”?s2z??12?。求时刻t??0?时，

(a) 粒子1自旋向上的几率（答：cos2?At2?，取??1）

(b) 粒子1和2的自旋向上的几率（答：0） (c) 总自旋s=0和1的几率（答：都是12）

(d) 求和的平均值（答：s1x?s1y?s2x?s2y?0，s1z?解：从求体系的自旋波函数入手，由于

11。 cosAt，s2z??cosAt）

22A?23?H?As1?s2??s?? （1）

2?2?易见总自旋s是守恒量，所以定态波函数可以选为s、sz的共同本征函数，按照总自旋量子数s的不同取值，本征函数和能级为

2s?1,?1Ms,E1?A4,?? （2）

s?0,?00,E0??3A4?t?0时，体系的自旋态为

??0????1???2??因此，t?0时波函数为

12??10??00? （3）

??t??即

12?10e?iEt?112?00e?iEt （4）

0??t??11tt???1???2????1???2??e?iA4????1???2????1???2??e3iA4 22AtAt??????1???2?cos?i??1???2?sin?eiAt4 （4’）

22??(a）由式（4’）可知，在时刻t，粒子1自旋“向上”［同时粒子2自旋“向下”，相当于??1???2?项］的几率为cos?2?At? ?。

?2?48

(b)粒子1和2自旋均“向上”［相应于??1???2?，式（4’）中没有这种项］的几率为0。这是容易理解的。因为总自旋sz为守恒量，而体系初态sz?0，所以任何时刻sz必为0，不可能出现两个粒子均“向上”?sz?1?的情形。

(c)由式（4）可知，总自旋量子数s取1和0的几率相等，各为12。由于s守恒，这个几率不随时间改变 (d)利用式（4’）容易算出s1和s2的平均值为

2?s1xt?s1y?s2xt?s2y?0, ?tt?1?2At1?2At?s1zt??cos?sin?cosAt,? （5）

2?22?2??1s2zt??s1zt??cosAt 。 ??2?第九章 力学量本征值问题的代数解法

9—1） 在8.2节式（21）中给出了自旋（1）与轨迹角动量（l）耦合成总角动量j的波函数?ljmj，这相当于

2j1?l,j2?s?1的耦合。试由8.2节中式（21）写出表9.1（a）中的CG系数 2解：8.2节式（21a）（21b）:

1j1m1m2jm

2?j?l?12 (l?0),mj?m?12?

?ljm?j?l?m?1Ylm??? ?2l?1?l?mYlm?1??1?j?mjY11?j?,mj??1?22?? （21a） 2j?j?mjY11?j?,mj?22???j?l?12,mj?m?12??l??ljm?jj?12?

??l?mYlm??? ?2l?1?l?m?1Ylm?1??1??j?mj?1Y11??j?,mj??122?? （21b）

j?m?1Y2j?2?j11?j?,mj?22???j?l?12 (l?0),mj?m?12??l?j?12?

此二式中的l相当于CG系数中的j1 ，而j2?s?1,mj~m,,~m1,m2??12。

2因此，（21a）式可重写为

jm??j1m1j2m2m2j1m1j2m2jm

49

?j1m111111111 jmj1m1?j1m1?jmj1m1?22222222(21a),j?l?12?j1?1??j?m?12?1211??1?jm11??2j?1?222?1?????? （21a’） ???12????j1?m?12????2j??j1m11?11?1?22??对照CG系数表，可知：当j?j1?j2?j1?12,m2?12时 ，

1j11?j1?m?12?21m122jm?????2j1＋1?? 而m2??12时，

1j11?j1?m?12?21m12?2jm?????2j 1＋1??对于j?l?12?j1?12的（21b）式，有

1j111?j1?m?12?21m122j1?2,m?????2j1＋1??? 12j111?j1?m?12?1m12?2j1?2,m?????2j?

1＋1?

9－2）设两个全同粒子角动量j?j1?j2，耦合成总角动量J，

?j2JM?m2JM?jm??jm m?jm1j1?12?2? 1m2利用CG系数的对称性，证明

p12?j2JM????2j?J?j2JM

由此证明，无论是Bose子或Fermi子，J都必须取偶数

证：由式（1），

p12?j2JM?jm2JM?jmm?jm11?2??jm2?1? 1m2把m1?m2, ??jm2jm1JM?jm2?2??jm1?1?

m1m2利用CG系数的对称性 ????2j?Jm1JM?jmm?j1m2j21?1??jm2?2?

1m2????2j?J?j2JM 对于Fermi子，j?半奇数，2j?奇数，但要求p12????，

50

（1）

(2)

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