数学分析 - 竞赛辅导讲义

高等数学（数学分析）竞赛辅导讲稿

一、 函数

函数，主要考察考生对函数的概念及性质的理解和掌握。包括函数的连续性。闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理、根的存在定理），并会应用这些性质。

问题1 试证不存在?1上的连续函数f，使得f在无理数集上是一一映射，在有理数集上不是一一映射。

证 若不然，则存在a,b??，使得f(a)?[a,b]上的最大值和最小值分别为Mf(b)?L且a?b。设f(x)在

和m。若f在[a,b]上取常值，则f在

?L无理数集上不是一一映射。于是Ma?c?b或m?L。不妨设L?M?f(c)，

，则由f(?)可数、开区间(L,M)不可数知(L,M)?f(?)??。

任取某个h?(L,M)?f(?)，分别在?a,c?和?c,b?上应用介值性定理

必有s和t使得a?s?c?t?b且f(s)?t都是无理数，这与f因h?(f(t)?h。LM,)f?()?，故s和

在无理数集上是一一映射矛盾。

问题2 若一族开区间{I?|???}覆盖了闭区间[0,1]，则必存在一个正数??0，使得[0,1]中的任意两点x1,x2满足x1?x2??时，

x1,x2必属于某个开区间I??{I?}。

证 不妨设每个开区间都是有限区间。

（1） 作函数f:[0,1]??，x?sup{d(x,I?C)|???}。 （2） f连续，且f(x)?0。而闭区间上的连续函数一定有最小

值，令??12（连续性的证明： min{f(x)|x?[0,1]}。

CC?x,y?[0,1]，d(x,I?)?inf{d(x,a)|a?I?}?

1

inf{d(x,y)?d(y,a)|a?I?}?d(x,y)?inf{d(y,a)|a?I?}= d(x,y)?d(y,I?)，取上确界得

sup{d(x,I?)|???}?d(x,y)?sup{d(y,I?)|???}

CCCCC即f(x)?f(y)?d(x,y)，同理f(y)?f(x)?d(x,y)，于是

f(x)?f(y)?d(x,y)，故???0,取???，当x?y??时，

） f(x)?f(y)??，所以f(x)是[0,1]上的连续函数。

（3）因此存在I?，使得d(x,I?C)??，?x?[0,1]，0???f(x)，从而(x??,x??)?I?。

（4）而满足x1?x2??的点x1,x2必在某个(x??,x??)中(事实上取x?x1?x22即可)，从而命题得证。

练习1 设f(x)在[0,1]上可导，且f(0)?0,f(1)?1。证明：对任意正数a、b，必存在(0,1)内的两个不同的数?与?，使

af?(?)?bf?(?)?a?b。

证 设0?a?b?1，令C0=

aa?b，则0< C0<1。因

f(0)?0,f(1)?1且f(x)在[0, 1]上连续，由介值性定理存在c?(0,1)，

使得f(c)= C0。现在在[0,c]上利用拉格朗日中值定理，存在??(0,c)，有

f?(?)?f(c)?f(0)c?0?c0c?0?a(a?b)c。

同理在[c,1]上利用拉格朗日中值定理存在??(c,1)，有

2

f?(?)?f(1)?f(c)1?c?1?c01?c?b(a?b)(1?c)。

于是

af?(?)?bf?(?)?(a?b)c?(a?b)(1?c)?a?b。

命题得证。 二、 极限

数列和函数极限的计算，以及有关问题的讨论，无穷阶的比较，实数完备性理论及其应用。

问题3 设a1?c(c?0),an?1?c?an,n?1,2,?.求liman。

n??证 首先证明{an}是递增数列.

a2?c?a1?c?c?c?a1,假设ak?1?ak成立，则

ak?2?c?ak?1?c?ak?ak?1, 因此{an}是递增数列.

再证明{an}是有界数列. c?an?1?c.

an?c显然成立. a1?c?1?2c?c2?1?c成立.

设ak?1?c成立，则

ak?1?c?ak?c?1?c?1?2c?c2?1?c,

因此，c?an?1?c成立.

iman,在根据单调有界定理知知{an}收敛，设a?ln??an?1?c?an1?2两边取极限，得a?c?a,解得，但由于an?a1?c2a?1?4c?12或

a?4c?12, 因此a?0, 从而

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liman?n??1?4c?12.

练习2 设a1?2,an?1?2an,n?1,2,?，求liman。

n??证 显然an?0首先证明，an?2.

a1?2?2, 若假设an?2, 则an?1?2an?4?2.根据归

纳法可得an?2成立.

又由 an?1?an?2an?an?an(2?an)2an?an?0, 即{an}是递增数

an, 在列且有上界, 根据单调有界定理知{an}收敛，设a?limn??an?1?2an两边取极限，得aan?a1?222?2a,解得a?0或a?2，但由于

, 因此a?12?2an?2. , 从而limn??练习3 设Sn?1?13???11n?lnn，求证：limSn 存在。

n??[分析] 两个事实：1)(1?)n 单调递增?e；

n2)(1?)n?1 单调递减?e。

n1 有不等式

证 Sn?Sn?1?ln11n?1n?1n?11n?11?ln(1?1n1)?1n 。

?0，故{Sn}单

=ln(1?)?n1n?11调下降，且Sn?ln(1?)?ln(1?)???ln(1?)?lnn=

2nln123n?1???lnn?ln(1?)?0。 12nn? limSn 存在。

n?? 4

注 1?12?13???1n?lnn?C?o(1)，其中C是欧拉常数。

三、 积分中值定理

函数可导性的研究，微分中值定理及其应用，利用导数研究函数的性质（单调性，凹凸性等）以及导数的应用（极值、最大值和最小值等）。

问题4 设P?0是常数，求证limn???n?pn11?x2dx?0。

解 由积分第一中值定理知???(n,n?p)，有

?故原式?lim11??2n?pn11?x2dx?11??2?P

????P?0。

练习4 lim?n??n?pnsinxxdx。

解 由积分第一中值定理知???(n,n?p)，有

?故原式=limsin????n?pnsinxxdx?sin???p

??p=0。

四、 积分

不定积分和定积分的计算，定积分的性质以及变上，下限的积分，定积分的应用和广义积分。

问题5 求积分?解

2?xsinx1?cosx20dx。

2??02?xsinx1?cosx2dx??0?xsinx1?cosx5

2dx???xsinx1?cosx2dx （1）

??2?xsinx1?cosx2dx????(t??)sint1?cost20dt 代入（1）得

原式 =??=??0?sint1?cost22dt??0??1?cost2dcost??arctancost|?0

?2。

2?0练习5 证明：?2sin(x)dx?0。

2分析：令x?u。

练习6 证明 |?220042003sintdt|?212003。

分析：令x?u，再利用积分第二中值定理。

定理： 设f(x)在[a,b]上Riemann可积，则

?(?,?)?[a,b](a?????b)，?x0?(?,?)使f(x)在x?x0处连续。

证明：作分划?:??x0?x1?x0?f(x) 在[a,b]上Riemann可积，取?1????n???xn??。因?0，存在n1?4，

???2使

n1?(Mii?1(1)?mi(1))???n1????2

（其中Mi(1)?义。）

sup{f(x)},mix?[xi?1,xi](1)?inf{f(x)}，以下类似定

x?[xi?1,xi] 6

n1所以

Mi(1)?(Mii?1(1)(1)?mi(1))?n12?n1?2，因此至少有三个i，使

(1)?mi?1。取0?i1?n1,使Mi?1,11?mi(1)1?1。作区间

[?1,?1]?[xi1xi]，则f(x)在[?1,?1]上Riemann可积。取

?2??1??122?0，存在n2?4，使

n1?(Mii?1n2(2)?mi?(2))?1??1n2??1??14

于是

Mi?(Mii?1(2)?mi(2))?n24n2?22，因此至少有三个i，使

(2)?mi(2)?12。

(2)2取0?i2?n2,使Mi套

?mi(2)2?12。如此继续可以得到一个闭区间

[?,?]?[?1,?1]??[?n,?n]??

使得（1）?n??n?Mi(n)???4n；（2）f(x)在[?n,?n]上的上下确界满足

??mi(n)?1n。由闭区间套定理知?[?n,?n]?{x0}。下证f(x)n?1在x?x0处连续。

事实上，???0,?n0?[]?1,有

?0011n0??。而由上述构造过程知，

???0,有(x0??,x0??)?[?n,?n]，

此时

f(x)?f(x0)?Mi(n0)?mi(n0)?1n0??

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故f(x)在x?x0处连续。

问题6 设函数f(x)在[a,b]上Riemann可积，且?f(x)dx?0。

ab试证明：存在闭区间[?,?]?[a,b]，使得当x?[?,?]时，f(x)?0。

[分析] 只需在[a,b]区间上找一个连续点x0，使得f(x0)?0。利用

定积分的定义，分点取连续点（上述定理保证存在连续点）即可。

练习7 若f(x)可积，则

?f(x)dx?0?f(x)在连续点处恒等于

ab20。

证 必要性 若?x0,f(x)在x0连续，但f(x0)?0，则

?x0?(?,??)a(b,有?)x?(?,?),f(x)?0，于是

?a充分性

bf(x)dx?2???f(x)dx?0，矛盾。

22?abf(x)dx?lim2n?n??f(?i)b?an。 ?0（?i取连续点）

i?1五、 其它

问题7 从已知?ABC的内部的点P向三边作三条垂线，求使此三条垂线长的乘积为最大的点P的位置。

解：设P到AB,AC,BC的距离分别为x,y,z。则

cx?by?az?2S，

其中S为?ABC的面积。

xyz?1abccx?by?az?1abc(cx?by?az3)?31abc(2S3)，

3等号当且紧当cx?by?az时成立，且可达到。

练习8 证明：锐角三角形内一点到三顶点联线成等角时，该点到三顶点距离之和为最小。

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练习9 求使得下列不等式对所有的自然数n都成立的最大的数

?和最小的数?：(1?1n)n???e?(1?1n)n?? 。（??1ln2?1,??12）

问题10 设有函数列

2221515f1(x)?x?75,f2(xx)?x?fn(x),……,)?x?f1(x),……,fn(?122求方程f2004(x)?2x的一切实数解。

解 （1）首先验证x?5是方程的解。 （2）当x?5时，用归纳法证明fn(x)?2x。 （3）当x?5时，用归纳法证明fn(x)?2x。 问题11 设f1(x)?fn0(x)?xf(x)，fn(x)?fn?1(f(x))，x??，若存在n0，使得

，则f是?1到f(?1)的一一映射。

x2使得f(x1)?f(x2)。

证 只需证f是单射。假设f不是单射，则?x1?因此?n1，n而fn1?n1?n22???使得fn1(x1)?x1，fn2(x2)?x2。于是fn1?1(x1)?fn2?1(x2)，从

(x1)?fn2?n1?n2(x2)。所以

，fn2?n1?n2fn1?n1?n2(x1)?fn1(fn1?n2(x1))?fn1(x1)(x2)?fn2(fn1?n2(x2))?fn2(x2)。

于是x1?fn1(x1)?fn2(x2)?x2，这与x1?x2矛盾。故f是?1到f(?1)的映射。

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