由Minkowski不等式生成的函数

第 1 6卷第 1期2 O 1 3年 1月

高等数学研究S TUDI E S I N C0LLE GE M ATHEM ATI CS

V0 1 . 1 6。 No . 1

J a n .,2 0 1 3

由 Mi n k o w s k i不等式生成的函数时统业，邓捷坤(海军指挥学院浦口分院，江苏南京 2 1 1 8 O O )

摘要定义一个与 Mi n k o w s k i不等式相关的二元函数，由它的单调性和准线性，可得出 Mi n k o ws k i不等式的一些加细 .

关键词 Mi n k o w s k i不等式；准线性；单调性中图分类号 0 1 7 8 文献标识码 A 文章编号 1 0 0 8— 1 3 9 9 ( 2 0 1 3 ) 0 1— 0 0 3 8— 0 3

文[ 1]研究了由 S c h wa r z不等式生成函数的方

法，本文以其为借鉴，研究由 Mi n k o ws k i不等式生成的函数的准线性和单调性 .

( )≥ ( )=== ( s古+￡古 ) ,也即待证不等式成立。

引理 1 ( Mi n k o ws k i不等式)[ ] 设， ( )和g (￡ )

定义 1设， ( z )和g ( z )在[口， 6]上可积， P≥ 1,对于任意 x l, x 2∈ E a, 5 1, x l≤ x 2,定义H( f, , )一 I +g ( 如一

在[ n, 6]上可积， P≥ 1,则

I l厂 ( z )+g ( z )l d x≤

[ ( f ( x 如 )专+ (

d z )告] .

[ (

)告+ (H( f, g; x l, x 2 )≤ 0 .

)告

弓 l理2 设、、 S、 t均非负， P≥ 1,则

根据引理 1,可知

( 古+ 古 ) + ( 古+ 古 ) ≤『 1 (甜+ 5 ) 1+ ( + ) I古] .证明当、、 S、 t均为零时，结论显然成立，故只须考虑， 7 3, S, t不全为零的情形；不妨假设 S≠0 . 构造关于的可导函数

命题 1 设厂 ( z )和g ( z )在[口， 6]上可积， P≥ 1,对任意实数 z 1, z 2, z 3 (口≤ z 1≤z 2≤z 3≤6 ),有H( f, g; z1, z 3 )≤

H( f, g; 3 2 1, 3 g 2 )+ H( f, g; z 2, z 3 )≤ 0 .

证明由定义 1可知

( )一 ( + ) 1+ ( + )吉] 一(“古+ 古 ) ( >o )经计算可得

H( f, g; z 1, z 2 )+ H( f, g; 3 2 2, 3 2 3 )一J 1

I l厂 ( z )+g ( z )I d x—

[ (不妨取

)古+ (

I ' d x )告卜

c[ ( )告+ ] 一[ (詈 )告+令 ( )一 0,得一

[ ( I f ( x ) )告+ (“一 lJ z

)告

旦一 07 3

。

十

t

,( z )l妇， g ( z )l d,厂 ( z )l ,

由此解得t u

一

r zl

一了’===

容易验证 ( )在此处取得最小值，故有收稿日期： 2 0 1 0— 0 7— 3 1;修改日期： 2 0 1 2— 1 2— 0 2 作者简介：时统业( 1 9 6 3 -),男，河北张家口人，硕士，副教授，从事基础数学教学和研究。 E ma i l; s h t y c i t y@s i n a . c o m

“一

I

则由引理 2易知待证结论成立。

邓捷坤( 1 9 5 7 -),男，福建莆田人，硕士，高级工程师，从事信息战装备研究。 E ma i l: d e n g j k 2 0 0 6@1 6 3 . C O I I l

推论 1 设厂 ( z )和 g ( z )在[ n, 上可积， P≥ 1,则 H( f, g; n, z )是[口， 6]上的单调减少函

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