4.2多自由度系统的固有频率与主振型

4.2 多自由度系统的固有频率与主振型

一、固有频率和主振型

上节导出了多自由度系统的自由振动微分方程： 以及

考虑到系统的主振动是简谐振动，可设它为：

将它分别代入（4-5）与（4-7）式，可得如下主振型方程 以及

（4-12）

，可得

（4-11）

（4-10）

如果引入系统矩阵的概念，可以将式（4-11）与（4-12）化成具有相同的形式，对（4-11）式两端乘以 这时，设系统矩阵

为

（4-13）

且令

，则主振型方程（4-11）可化为

（4-14）

再设另一个形式的系统矩阵

为

（4-15）

（4-16）

且令，则主振型方程（4-12）可化为

（4-17）

这样，主振型方程（4-15）与（4-17）就有着相同的形式。 注意到系统的刚度矩阵

与柔度矩阵

之间存在着互逆关系，即有

或

利用矩阵乘积的求逆公式，可知上述两种系统矩阵之间有着互逆关系： 还应该指出，尽管系统的刚度矩阵对称矩阵。

现在来看系统固有频率与主振型问题。鉴于方程（4-15）与（4-17）属于同一形式，故只需讨论其中之一。 方程（4-15）可改写为

它有非零解的条件为

（4-18）

、柔度矩阵

以及质量矩阵

一般都是对称矩阵，但是其系统矩阵

和

一般已不再是

（4-19）

（4-19）式称为系统的频率方程或特征方程。对它展开的结果，可得一个关于的次代数方程： 它的个根

成为系统的特征根，亦称矩阵

的特征值。特征值

（4-20）

与系统固有频率

之间有如下关系：

（4-21）

一般说来，次代数方程的个根，可以是单根，也可以是重根；可以是实数，也可以是复数。但是，在我们所考虑的情形中，由于系统质量矩阵是正定的实对称阵，刚度矩阵是正定的或半正定的,故所有特征值都是实数，并且是正数或零。事实上，由正定与半正定的条件，对于任何非零的

，有

现对系统主振型方程

两端前乘以

，得

（4-22）

考虑到条件式（4-22），自然就得出上述结论。

通常，刚度矩阵为正定（或半正定）的系统，称为正定系统（或半正定系统）。所以，上述结论可改述为：正定系统的特征值都是正的，而半正定系统的特征值是正数或零。

将各个特征值代入式（4-18），可求得各个相应的，他们称为系统的主振型（或固有振型），亦称为矩阵的特征

矢量。这样，对于任何一个自由度系统，总可以找到个固有频率（或特征值）以及相应的个主振型（或特征矢量）。

如果令，那么系统的特征矢量也可以从的伴随矩阵得出。事实上，按逆阵的表示，有

上式前乘以

，得

当

时，即有

上式与（4-18）式相比较，可知

中各列与

充其量只相差一个常数乘子。

例4-6 设图4-1所示三自由度系统中，有，。求系统的主振型。解：这时，系统矩阵为

令，则有

而其伴随阵为

将

代入（4-22），可得

4-23）

（

注意到该矩阵中各列是成比例的。其中第三列正是取 同样的，将

代入式（4-23），可得

为基准的主振型：

将

代入式（4-23），可得

矩阵特征值问题通常表示成下述标准形式： 其中，

是实数方阵，

（4-24）

是对称阵。

是特征矢量，是特征值。在大多数算法中还假设

显然，方程（4-15）与（4-17）都具有（4-24）式的形式。不过无论是阵，可进行如下坐标变换。 因为质量矩阵

通常是正定的实对称阵，它总可以分解为

还是一般都不是对称阵。为了将它们化为对称

式中

为非奇异上三角阵，

为其转置阵。

（4-25）

将式（4-25）代入式（4-16）与（4-17），得 上式前乘以

，得

（4-26）

引入新的系统矩阵

：

（4-27）

再对进行如下变换：

（4-28）

于是，式（4-26）可改写成

（4-29）

我们来证明新的系统矩阵是对称阵，并且与系统矩阵有着相同的特征值。事实上，是由对称阵经变换（4-27）

得来的，按矩阵乘积的的转置规则，有 即系统矩阵

又可以看作是系统矩阵

经变换（4-30）得来的。因为

有着相同的特征值。不过，这时的特征矢量

已不同于特征矢量

，但如果求出

后，

（4-30）

并注意到

是非奇异矩阵，故

与

就不难通过逆变换：

求出相应的

。

（4-31）

再来看方程（4-15）的变换，对式（4-25）求逆，有 将上式代入（4-15），得

两端前乘以

，得

（4-32）

再引入另一个新的系统矩阵

：

同时对

进行变换（4-28）。于是，式（4-32）可改写为

（4-33）

和前面的讨论相类似，可以证明新的系统矩阵

（4-34） 已是对称阵，且有

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