江苏省栟茶高级中学2012届高三第一次学情调研测试数学试题

栟茶高级中学2012届高三第一次学情调研

数学试卷

一．填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分 ． 1.命题p：?x∈R，2x2+1>0的否定是_ ?x∈R，2x2+1≤0 .2.“x>1”是“x2>x”成立的 充分而不必要条件( 填“充分不必要”、“必要不充分条件”、“充要”、“既不充分又不必要”之一).[来源:ZXXK]

3.已知集合A?{3,m2},B?{?1,3,3m?2},若A?B?A,，则实数m的值为 1或2 .

1?x2的值域为 (?1,1] . 4.函数y?21?x1??2x＋1， x≤0，

5. 已知f(x)＝?不等式 f(x)≥－1的解集是{x|－4≤x≤2} .

??－(x－1)2， x>0，

6．设a,b为不重合的两条直线，?,?为不重合的两个平面，给出下列命题：

（1）若a∥?且b∥?，则a∥b； （2）若a??且a??，则?∥?；

（3）若???，则一定存在平面?，使得???,???； （4）若???，则一定存在直线l，使得l??,l//?.

上面命题中，所有真命题的序号是 （2），（3），（4） ． ．．．

3?

7.函数f(x)＝ln(4＋3x－x2)的单调递减区间是 ??2，4? . 8.如果函数y=?

?2x?3,x?0是奇函数，则f(x)=_ 2x+3 _______.

?f?x?,x?013102

9.已知α、β为锐角，且tan α＝，cos β＝，则sin(α＋β)＝________.

2102

10.在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c.若(a2＋c2－b2)tan B＝3ac，则角B

π2π

的值为__或______．

33

11. 下列几个命题：

①关于x的不等式ax?2x?x在(0,1)上恒成立，则a的取值范围为(??,1]； ② 函数

2y?log2(?x?1)?2的图象可由y?log2(?x?1)?2的图象向上平移4个单位,向右平移2

个单位得到；③若关于

x方程x2?2x?3?m有两解,则m?0或m?4；④若函数

1对称.其中正确的有__①②③④_. 2f(2x?1)是偶函数, 则f(2x)的图象关于直线x?(x?1)212.已知a?0，若函数f(x)?2在[?1,1]上的最大值为2，则实数a的值为 1 _.

x?a13.等腰三角形ABC的腰AB上的中线CD的长为2，则△ABC周长的最大值 62 . 14.已知f（x）=|x2－4|+x2+kx，若f(x)在(0,4)上有两个不同的零点x1，x2，则k的取值范围是 （―7，―

2）.

二、解答题：本大题共6小题，共90分.

15．(本小题满分14分) 已知命题p：指数函数f(x)=(2a-6)x在R上单调递减，命题q：关于x的方程x2-3ax+2a2+1=0的两个相异实根均大于3．若p、q中有且仅有一个为真命题，求实数a的取值范围．

又由题意应有p真q假或p假q真．

7?3?a???2，a无解．???????????10分

（i）若p真q假，则??a?5?2?7?a?3或a???2，∴5

（ii）若p假q真，则?22?a?5?2?57

3列，且cosB?．

4????????3cosAcosC（1）若BA?BC?，求a?c的值； （2）求的值． ?2sinAsinC????????3316．解：（1）由BA?BC?，得accosB?．????2分

223因为cosB?，所以b2?ac?2．????4分

4由余弦定理b2?a2?c2?2accosB，得a2?c2?b2?2accosB?5， 则(a?c)2?a2?c2?2ac?9，故a?c?3．…………7分

故a的取值范围是{a|

来源:]73，得sinB?．????9分

442由b?ac及正弦定理得sin2B?sinAsinC，????11分

cosAcosCsinCcosA?cosCsinAsin(A?C)sinB147??????于是????14分 sinAsinCsinAsinCsin2Bsin2BsinB7（2）由cosB? 17．（本小题满分15分）

A1

B1

C1

如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，点D在边BC上，AD⊥C1D． （1）求证：AD⊥平面BC C1 B1；

BE（2）设E是B1C1上的一点，当1的值为多少时，

EC1A1E∥平面ADC1？请给出证明．

解: （1）在正三棱柱中，C C1⊥平面ABC，AD?平面ABC，

∴ AD⊥C C1．???????????????2分

又AD⊥C1D，C C1交C1D于C1，且C C1和C1D都在面BC C1 B1内，

∴ AD⊥面BC C1 B1． ????????????????????5分

（2）由（1），得AD⊥BC．在正三角形ABC中，D是BC的中点．??????7分

BE当1?1，即E为B1C1的中点时，A1E∥平面ADC1．?????????8分 EC1事实上，正三棱柱ABC－A1B1C1中，四边形BC C1 B1是矩形，且D、E分别是BC、B1C1的中点，所以B1B∥DE，B1B= DE． ???????????????10分 又B1B∥AA1，且B1B=AA1，

∴DE∥AA1，且DE=AA1． ??????????????????13分 所以四边形ADE A1为平行四边形，所以E A1∥AD．

而E A1?面AD C1内，故A1E∥平面AD C1． ???????????15分

18. (本小题满分15分) 如图所示,在矩形ABCD中,已知AB=a,BC=b(b＜a),AB,AD,CD,CB上分别截取

AE,AH,CG,CF都等于x,记四边形EFGH的面积为f（x）.

（1）求f（x）的解析式和定义域 ； （2）当x为何值时,四边形EFGH的面积最大？ 并求出最大面积.

18.解：(1) 设四边形EFGH的面积为S,

则S△AEH=S△CFG=x2, ?????2分 S△BEF=S△DGH=(a-x)(b-x),?????4分 ∴S=ab-2［x2+(a-x)(b-x)］= －2x2+(a+b)x= －2(x-12121212a?b2(a?b)2)+,??6分

84由图形知函数的定义域为{x|0＜x≤b}.?????8分

(2) 因为0＜b＜a,所以0＜b＜

a?b, 2a?ba?b(a?b)2若≤b,即a≤3b时,则当x=时,S有最大值;???11分

844若

a?b＞b,即a＞3b时,S(x)在(0,b］上是增函数,[来源:学§科§网] 4a?b2(a?b)2此时当x=b时,S有最大值为-2(b-)+=ab-b2,???14分

84

a?b(a?b)2时,四边形面积Smax=,

84综上可知,当a≤3b时,x=

当a＞3b时,x=b时,四边形面积Smax=ab-b2. ???15分[来源:Z*xx*k.Com]

kx－1

19．(本小题满分16分) 已知函数f(x)＝lg(k∈R且k>0)．

x－1

(1)求函数f(x)的定义域；[来源:学*科*网]

(2)若函数f(x)在[10,＋∞)上是单调增函数,求k的取值范围．

1x－kkx－11

解：(1)由>0及k>0得>0,即(x－)(x－1)>0.

kx－1x－1

1

①当0；?????2分

k②当k＝1时,x∈R且x≠1；?????4分

1

③当k>1时,x<或x>1. ?????6分

k

1

综上可得当0

k1

当k≥1时,函数的定义域为(－∞,)∪(1,＋∞)．?????8分

k10k－11

(2)∵f(x)在[10,＋∞)上是增函数,∴>0,∴k>.?????10分

1010－1

kx－1k－1

又f(x)＝lg＝lg(k＋), x－1x－1

故对任意的x1,x2,当10≤x1

k－1k－1k－1k－1

即lg(k＋)

x1－1x2－1x1－1x2－111

∴(k－1)·(－)<0, ?????14分

x1－1x2－111又∵>, x1－1x2－1∴k－1<0,∴k<1.[来源:]

1

综上可知k∈(,1)．?????????????16分

1020．（本题满分16分） 已知二次函数f(x)?ax2?bx?c.

来源学§科§网

（1）若a?b?c,且f(1)?0,是否存在m?R,使得f(m)??a成立时,f(m?3)为正数 ，

若存在，证明你的结论，若不存在，说明理由；

（2）若对x1,x2?R,且x1?x2,f(x1)?f(x2),方程f(x)?实根，证明必有一个根属于(x1,x2);1[f(x1)?f(x2)]有2个不等2（3）若f(0)?0，是否存在b的值使{x|f(x)?x}={x|f[f(x)]?x}成立，若存在，求出b的取值范围，若不存在，说明理由. 20.解：（1）因为f(1)?a?b?c?0,且a?b?c,所以a?0且C?0,????2分 ∵f(1)?0,?1是f(x)?0的一个根,由韦达定理知另一根为c, a

?a?0且c?0,?分

假设存在，由题意，则[来源:Z。xx。k.Com]

cc1?0?1,又a?b?c,b??a?c,∴可得?2???，??? 4aa2ccca(m?)(m?1)??a?0??m?1?m?3??3??2?3?1.

aaa 因为f(x)在(1,??)单调递增,?f(m?3)?f(1)?0, 即 存在这样的m使f(m?3)?0.??? 6分

1 （2）令g(x)?f(x)?[f(x1)?f(x2)],则g(x)是二次函数.

2f(x1)?f(x2)f(x1)?f(x2)?g(x1)?g(x2)?[f(x1)?][f(x2)?]22

1??[f(x1)?f(x2)]2?04又?f(x1)?f(x2),g(x1)?g(x2)?0,?g(x)?0有两个不等实根,且方程g(x)?0 的根必有一个属于(x1,x2).?? 10分[来源:Z_xx_k.Com]

来源:]

（3）由f(0)?0得c=0，∴f(x)?ax2?bx

由f(x)?x，得方程ax2?(b?1)x?0，解得x1=0，x2=又由f[f(x)]?x}得a[f(x)]2?bf(x)?x ∴a[f(x)?x?x]2?b[f(x)?x?x]?x

∴a[f(x)?x]?2ax[f(x)?x]?ax?b[f(x)?x]?bx?x?0

221?b，[来源:Z#xx#k.Com] a版权所有：()

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