概率论与数理统计第一章补充题与答案

概率论与数理统计补充习题

第一章 随机事件与概率

一、思考题

1、概率研究的对象是什么？

2、随机现象是否就是没有规律的现象？随机现象的特点是什么？ 3、概率是刻画什么的指标？ 4、概率的公理化定义的意义是什么？ 5、第一章的主要内容是什么？

二、填空题

1、填出下列事件的关系

（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 . （2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 . （3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 . 2、某人用步枪射击目标5次，Ai=（第i次击中目标 ），Bi=（5次射击中击中目标i次）（i=0，1，2，3，4，5），用文字叙述下列事件，并指出各对事件之间的关系. （1）、

5?A为 . ii?1?Bi?15i?155i为 . 5?A与?Bii?1i的关系为 . （2）、

?A为 . ii?2?Bi?25i?225i为 . 5?A与?Bii?25i的关系为 . （3）、

?A与?A的关系为 . iii?1i?3（4）、

?B与?Bii?1i?325i的关系为 .

三、选择题

1、下列各式中正确的有（ ）. （A）、A∪B =（A-AB）∪B

（B）、若A∪C=B∪C则A=B

（C）、若P（A）≥P（B）则A?B

2、若事件A和B互斥，且P（A）≠0，P（B）≠0，则（ ）. （A）、A和B互斥

（B）、A和B不互斥

（C）、P（A-B）=P（A） （D）、P（A-B）=P（A）-P（B）

（B）、P（C）≥P（A）+P（B）-1 （D）、P（C）=P（A+B）

（D）、不独立

3、若当事件A和B同时发生时，事件C必发生，则（ ）. （A）、P（C）≤P（A）+P（B）-1 （C）、P（C）=P（AB） （A）、互斥

4、设0

（B）、对立

（C）、独立

5、设0

（A）、P[(A1∪A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B) （B）、P(A1B∪A2B)=P(A1B)+P(A2B) （C）、P(A1∪A2)=P(A1|B)+P(A2|B) （A）、A?B

（B）、A?B

（D）、P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)

（D）、P（AB）=P（A）

6、设事件A和B满足P（B|A）=1，则（ ）.

（C）、P（B|A）=0

7、对于任意二事件A和B，则（ ）.

（A）、若AB??，则A、B一定独立 （B）、若AB??，则A、B有可能独立 （C）、若AB??，则A、B一定独立 （D）、若AB??，则A、B一定不独立 8、将一枚硬币独立的掷两次，引进事件如下： A1?{第一次出现正面} A2?{第二次出现正面}

A3?{正反各出现一次} A4?{正面出现两次} 则事件（ ）. （A）、A1、A2、A3相互独立 （B）、 A2、A3、A4相互独立 （C）、A1、A2、A3两两独立 （D）、 A2、A3、A4两两独立

四、计算题

1、P(A)=0.5，P(B)=0.3 （1）、若B?A，求P(A∪B)、P(A|A∪B) （2）、若A、B互斥，求P(AB)

（3）、若A与B互相独立，求P(A-B)、P(A-B|B)

2、设事件A和B相互独立，P(A)=0.5，P(A∪B)=0.8，

计算：（1）、P(AB) （2）、P(A∪B).

3、P(A)=0.4，P(A∪B)=0.8，求P(B|A).

4、设10件产品中有4件是次品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是次品，求另

一件是合格品的概率.

5、甲乙两人独立地对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.65，现已知目标被命中，

求甲命中目标的概率.

6、把4个球随机放入4个盒子中，求空盒子数分别为0，1，2，3的概率.

7、甲、乙、丙分别有球为甲：3白2红、乙：全红、丙：红白各半，三人各随意拿出一球，

然后甲从取出的球中随意取回一个，求甲的红球数增加的概率.

8、在所有五位随机整数中（含以0开头的数字），任取一个整数，求下列事件的概率.

（1）、恰有一个数字出现两次； （2）、最大的数字为6； （3）、五个数字恰好严格单增.

9、从1，2，…，9这9个数字中，有放回地取三次，每次取一个，求下列事件的概率： （1）、A1：3个数字全不同； （2）、A2：3个数字没有偶数； （3）、A3：3个数字中最大数字为6；

（4）、A4：3个数字形成一个单调（严格）数列； （5）、A5：3个数字之乘积能被10整除.

10、每箱产品有10件，其次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果

检验是次品，则认为该箱产品不合格而拒收.假设由于检验有误，一件正品被误检为次品的概率为2%，而一件次品被误检为正品的概率为5%.求一箱产品通过验收的概率.

11、一个枪室里有10支枪，其中6支经过校正，命中率可达0.8，另外4支尚未校正，命

中率仅为0.5.

（1）、从枪室里任取一支枪，独立射击三次.求三次均命中目标的概率；

（2）、从枪室里任取一支枪，射击一次，然后放回，如此连续三次，结果三次均命中目

标，求取出的三支枪中有二支是校正过的概率.

12.、设有来自三个地区的各10名，15名和25名的报名表.其中女生的报名表分别为3份，

7份和5份.随机的取一个地区的报名表，从中先后抽出两份, 抽到哪个地区的报名表的可能性相等.

求：（1）、先抽到的一份是女生表的概率p .

（2）、已知后抽到的一份是男生表，求先抽到的一份是女生表的概率q .

第一章 补充习题答案

一、思考

1、答：随机现象的统计规律性.

2、答：不然.随机现象具有不确定性，即试验之前不能确定哪一个事件发生.随机现象也具

有确定性，即在相同条件下，随着试验的次数增多，事件A发生的频率越来越接近一个常数p，随机现象的这一性质，称为频率稳定性，也称统计规律性. 正是随机现象这一确定性，说明了一次试验时随机事件A发生的可能性大小——概率，是一定值.因此才有《概率论》.

3、答：概率是测度随机事件发生的可能性大小的指标. 4、答：其给出了一个指标是否有资格作为概率的评价标准.

5、答：第一章首先给出了描述随机现象结果的术语：随机事件，介绍随机事件的关系与运

算，使得复杂事件可以通过简单事件来描述，并为概率计算提供方便.

给出了概率定义以及概率的基本关系式（性质、条件概率、乘法公式、全概与逆概公式），为概率计算打下基础.

介绍了古典概型.其本身具有应用价值，也为掌握事件关系与练习概率计算搭了舞台.

二、填空

1、（1）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中恰有一件是废品”为 互斥 . （2）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至少有一件是废品” 为 对立 . （3）、“20件产品全是合格品”与“20件产品中至多有一件是废品” 为 后者包含前者 . 2、（1）、

5555?A为 至少击中一次 .?Bii?1i?15i为至少击中一次 .?A与?Bii?1i?1i的关系为 相等 . （2）、

?A为 后四次中至少击中一次 . ?Bii?25i?25i为 至少击中两次 . ?A与?Bii?2i?25i的关系为 不相等 . （3）、

?A与?A的关系为 没有必然联系 .

iii?1225i?35（4）、

?B与?Bii?1i?3i的关系为 互斥 .

三、选择题

1、（A）

2、（C）证明 P(A?B)?P(A?AB)?P(A)?P(AB)?P(A)

反例：

（B）

即B=A A=B，A、B互斥、A与B仍互斥.

（A）

A与B非互斥

（D）P（B）≠0，显然不成立. 3、（B）证明 AB?C， P(AB)≤P(C)

P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)≤1; P(AB)≥P(A)+P(B)-1，所以P(C)≥P(A)+P(B)-1。

4、（C）证明 P(A|B)=1-P(A|B)=P(A|B)∴A、B相互独立（注：此结论课上证过）. 5、（B）证明 P[(A1+A2)|B]=P(A1|B)+P(A2|B)

又 P[(A1+A2)|B]= P(A1|B)+P(A2|B)-P(A1A2|B) P(A1A2|B)=0，P(A1A2B)=0

所以 P(A1B+A2B)=P(A1B)+P(A2B)-P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2B) 反例 设几何概型，

S = A 1= A2 = B = 3 5 可分析（A）、（C）（D）均不成立. 6、（D）证明 由P(B|A)?反例

1 3 5 2 4 6 1 2 4 3 4 P(AB)?1 ，所以 P（AB）=P（A）。

P(A) A为阴影区域及点C，则A不包含B，B也不包含A，

又P（B|A）≠0，有P（B|A）=1（注：几何概型中P（C）=0，一点面积为0） 7、（B）

（A） 反例 古典概型 S＝{1，2，3} A＝{1，2} B={2,3} AB={2}≠Ф P(AB)=1/3

P(A)=P(B)=2/3 P(A)P(B)=4/9 显然A,B不独立.

(B) A,B互斥否与A,B独立否没有必然联系，所以“有可能”是对的. （C） 有结论 当P(A)≠0, P(B)≠0 又AB＝Ф 则A,B一定不独立. (D) 当A=Ф 则AB=Ф 而A,B相互独立. 8、（C）

独立是用概率定义的，故应找到事件的概率 P(A1)=1/2 P(A2)=1/2

P(A3)=1/2 (古典数样本是 S={正正，正反，反正，反反} 2/4) P(A4)=1/4 P(A1A2)=1/4 P(A1A3)=1/4 P(A2A3)=1/4

若是单选，此题已经得出了结果. A1,A2,A3两两相互独立 选（C） P(A1A2A3)=0 显然非A1,A2,A3相互独立 P(A2A3)=1/4 P(A2A4)=1/4 P(A3A4)=0 则A2,A3,A4 非两两相互独立 也非相互独立

四、计算题

1、 （1）、A?B P(A?B)?P(B)?0.7 P(A|A?B)?（2）、P(AB)?P(A（3）、0.35，

2 7B)?1?P(AB)?1?P(A)?P(B)?P(AB)?0.2

1 22、 ∵P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A?B)?1?P(A)P(B)?0.8

P(B)?0.2?0.4 ∴P（B）=0.6 0.5 P(AB)?P(A)?P(B)?0.2

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(A)P(B)?0.5?0.4?0.2?0.7 3、P(AB)?P(A)?P(B)?P(AB)?P(A)?P(AB) ∴P（AB）=0.8-0.6=0.2

P(B|A)?0.5

4、设A=（至少有一件次品） B=（至少有一件合格品）

11211C4?C6?C4C4C624230 P(A)?， ??P(AB)??2234545C10C10P(B|A)?P(AB)4?.

P(A)5P(A(AB))P(AAB)0.6???0.6977P(AB)P(A)?P(B)?P(AB)0.6?0.65?0.6?0.654

5、A =（甲命中） B =（乙命中），

P(A|AB)?6、设X为空盒数 n：4

121C4C4C43!4! P{X?3}?4 P{X?0}?4 P{X?1}?4444P{X=2}=1-P{X=0}-P{X=1}-P{X=3}

7、设A1,2,3分别为甲、乙、丙取出红球，B为甲取回红球

P(甲红球增加)?P(A1B)?P(A1BA3)?P(A1BA3)

?P(A1A3)P(B|A1A3)?P(A1A3)P(B|A1A3) ?P(A1)P(A3)P(B|A1A3)?P(A1)P(A3)P(B|A1A3) ?3123113?????? 5235231013C10C95!?8、（1）P（恰有一个数字出现两次）=

10512

75?65 （2）P（最大数字为6）=

1055C10（3）P（五个数字恰好严格递增）=5

1053P939、 P(A1)?3 P(A2)?3

991?5?3?52?391?3 P(A3)?399（注 分子各项含义: 1：三个6，5×3：为2个6，5×3：为1个6）

3C9?2P(A4)? 3911142?3?C4C4?3!?C4?3156P(A5)??3 3992

方法1

（注：4×3：为两个偶数; C4?C4?3!：为一个偶数，一个5以外的奇数;

2

111C4?3：为两个5一个偶数.）

方法2

设A =（取到5） B =（取到偶数）

P(A5)?P(AB)?1?P(AB)?1?P(AB)?1?[P(A)?P(B)?P(AB)]

835343156 ?1?[3?3?3]?3

999910、设Ai=（抽到有i件次品的箱）B=（抽到正品） C=（验收）

P(C)?P(BC)?P(BC)

?P(C|B)P(B)?P(C|B)P(B) ?P(C|B)[P(A0B)?P(A1B)?P(A2B)]

?P(C|B)[P(A0B)?P(A1B)?P(A2B)] ?0.98???1?（注：

?1?31918?1112??1?????0.05???0??????0.887 310310?310310??3其余同理）

P(A1B)?P(A1)?P(B|A1)P(A1B)?P(A1)?P(B|A1)11、（1）设A =（三次均命中） B=（取到校正过的枪）

P(A)?P(AB ?AB)?P(B)P(A|B)?P(B)P(A|B)

64?0.83??0.53?0.3072?0.05?0.3572 1010（2）设A =（三次命中） Bi=（取到i只经过校对的枪）i=0,1,2,3

P(A)?P(AB0)?P(AB1)?P(AB2)?P(AB3)

?P(B0)P(A|B0)???P(B3)P(A|B3)

326?4??4?1 ????0.53?C3?????0.8?0.5210?10??10?

4?6??6? ?C????0.82?0.5????0.83

?10?10?10?2323=0.008+0.0576+0.13824+0.1106 =0.3144

P(B2A)=

P(B2)P(AB2)0.13824==0.4397

P(A)0.314412、设A1,A2,A3分别为抽到三个地区的报名表

B1,B2分别为第1，2次抽到的女生表

（1） P=P(B1)=P(A1B1∪A2B1∪A3B1)=

?P(AB)

i1i?13=1/3·3/10+1/3·7/15＋1/3·5/25=29/90

（2） Q=P(B1|B2)=

P(B1B2)= =20/61

P(B2) 方法1 P(B2)=P(B1B2B1B2)=2/9+41/90=61/90

P(B1B2)=P(B1B2A1?B1B2A2?B1B2A3)

=1/3·3/10·7/9·+1/3·7/15·8/14+1/3·5/25·20/24 =7/90+4/45+1/18=(7+8+5)/90=2/9 P(B1B2)?P(B1B2A1?B1B2A2?B1B2A3) =1/3(7/10·6/9+8/15·7/14+20/25·19/24) =1/3(7/15+4/15+19/30)=61/90

方法 2 ∵P(B2|A1)?7820 P(B2|A2)? P(B2|A3)? 101525 注意：这一步的注解很关键.即 P(B1|A1)?P(B2|A1)?7/10 抓阄合理 ∴P(B2)?17820P(AB)?P(A)P(B|A)?(??)?61/90 ??i2i2i3101525i?1i?133377784，P(B1B2|A2)???

109301514155201? P(B1B2|A3)?252461741?)?1/9 ∴P(B1B2)?P(B1B2A1?B1B2A2?B1B2A3)?(?330156∵P(B1B2|A1)?∴P(B1|B2)?简单

P(B1B2)2/9??20/61。注：两种方法关键再求 P(B2) 上，方法261/90P(B2)

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